广东省中山市2023-2024学年高一上学期期末数学试题（含答案解析）

中山市高一级2023—2024学年第一学期期末统一考试数学试卷本试卷共6页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和准考证号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】根据充分必要条件的概念举例说明即可判断结论.【详解】当时满足，但是，当时满足，但是，所以是的既不充分也不必要条件.故选：D.2.将化成分数指数幂的形式是（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用分数指数幂的意义及运算化简即可.【详解】.故选：A3.已知全集，，，则（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】根据集合交集和并集中的元素进行推理，结合选项可得答案.【详解】因为，则，，故A错，，故B错，，故C错误，，故D正确，故选：D．4.已知函数在上的值域是，则的最大值是（）A.3 B.6 C.4 D.8【答案】B【解析】【分析】根据二次函数图像特点，要使得区间长度最大，则对称轴两边（能取到对称轴的前提下）距离越大，区间长度越大【详解】，因为值域为，所以要取到最小值1，必须取到对称轴，又对称轴两边距离越大，则区间长度越大，令，得或，所以当时，故选：B5.函数的单调递增区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据对数型复合函数的单调性即可求解.【详解】由复合而成，由于函数在定义域内为单调递增函数，在单调递增，故由复合函数的单调性可知：的单调递增区间需要满足，解得，故单调区间为，故选：C6.已知数是奇函数，则实数a的值是（）A.1 B. C.4 D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性列方程来求得.【详解】由，解得，所以的定义域是，是奇函数，所以，，解得.故选：C7.已知，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据已知，结合不等式性质及指对数的性质比较各式的大小关系.【详解】A：若，此时，错；B：若，此时，错；C：由单调递增，且，则，所以，对；D：若，则，此时，错.故选：C8.如图，在半径为lcm的圆周上，一只红蚂蚁和一只黑蚂蚁同时从点出发，按逆时针匀速爬行，设红蚂蚁每秒爬过弧度，黑蚂蚁每秒爬过弧度（），两只蚂蚁第2秒时均爬到第二象限，第秒时又都回到点．若两只蚂蚁的爬行速度大小保持不变，红蚂蚁从点顺时针匀速爬行，黑蚂蚁同时从点逆时针匀速爬行，则它们从出发后到第二次相遇时，黑蚂蚁爬过的路程为________cm．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求得，然后列方程来求得正确答案.【详解】依题意，，所以，则，由于第秒时又都回到点，所以，所以，设秒后两者第二次相遇，则秒，黑蚂蚁爬过的路程为.故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列函数中，既是奇函数，又是R上的增函数的是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】CD选项是幂函数，可以直接进行判断，A选项从奇函数和偶函数的定义判断，B选项先化为分段函数，画出函数图象，即可说明是奇函数，也是R上的增函数【详解】，故，且，所以既不是奇函数也不是偶函数，是偶函数，所以排除选项AD；因为，如图是函数图象，当时，，故，所以是奇函数，且在R上是增函数，故B正确；因为是奇函数且在R上是增函数，故C正确.故选：BC.10.已知正数x，y满足，则（）A.的最大值为1 B.的最大值为2C.的最小值为2 D.的最小值为【答案】AD【解析】【分析】A选项，由基本不等式求出；B选项，求出；C选项，在A选项基础上得到；D选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.详解】A选项，正数x，y满足，由基本不等式得，解得，当且仅当时，等号成立，A正确；B选项，，故，当且仅当时，等号成立，故的最小值为2，B错误；C选项，由A选项知，，故，当且仅当时，等号成立，所以，故的最大值为2，C错误；D选项，由于正数x，y满足，故，当且仅当，即时，等号成立，D正确.故选：AD11.给定函数（）A.的图像关于原点对称 B.的值域是C.在区间上是增函数 D.有三个零点【答案】AB【解析】【分析】对于A：由函数的定义域为R，，可判断；对于B：当时，，当时，，由或，可判断；对于C：由在单调递增可判断；对于D：令，解方程可判断.【详解】解：对于A：因为函数的定义域为R，且，所以函数是奇函数，所以的图像关于原点对称，故A正确；对于B：当时，，当时，，又或，所以或，综上得的值域为，故B正确；对于C：因为在单调递增，所以由B选项解析得，在区间上是减函数，故C不正确；对于D：令，即，解得，故D不正确，故选：AB.12.设偶函数的定义域为，且满足，对于任意，都有成立则（）A.不等式的解集为B.不等式的解集为C.不等式的解集为D.不等式的解集为【答案】AC【解析】【分析】AB选项，令，得到在上单调递增，结合的单调性和奇偶性，分类讨论解不等式，求出解集；CD选项，令，推出的单调性和奇偶性，结合，解不等式，求出解集.【详解】AB选项，当时，，即，故在上单调递增，偶函数的定义域为，故在上单调递减，又，故，当时，，所以，解得，当时，，此时，即，当时，，由于在上单调递增，故，故，解得，故；当时，，由于在上单调递减，故，故，解得，故；综上，或或，故不等式解集为，A正确，B错误；CD选项，中，令得，设，则，所以在上单调递增，因为为上的偶函数，故定义域为，且，所以为偶函数，因为，所以，则等价于，故，解得或，C正确，D错误.故选：AC【点睛】方法点睛：利用函数奇偶性和单调性解不等式，若已知单调递增，，则，若已知单调递减，，则，若已知为偶函数，，通常将变形为，将自变量均加上绝对值，结合函数在上的单调性得到不等式，求出解集，也可画出函数图象，数形结合进行解答，无论哪种方法，均要优先考虑定义域.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.计算：_______.【答案】2【解析】【分析】利用对数基本运算公式即可求解.【详解】解：由对数的基本运算得故答案为：.14.已知函数，给出三个性质：①定义域为；②是奇函数：③在上是减函数．写出一个同时满足性质①、性质②和性质③的函数解析式，______.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据函数满足的条件，写出符合条件的一个函数解析式即可.【详解】根据函数满足的条件可知，该函数可以为.故答案为：.15.依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依据《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额＝应纳税所得额×税率－速算扣除数，应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额＝综合所得收入额－基本减除费用－专项扣除－专项附加扣除－依法确定的其他扣除．其中，基本减除费用为每年60000元，税率与速算扣除数见下表：级数全年应纳税所得额所在区间税率（%）速算扣除数130210252032016920425319205305292063585920745181920李华全年综合所得收入额为249600元，假定缴纳的专项扣除基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除是4560元，则他全年应缴纳的综合所得个税是______元．【答案】5712【解析】【分析】先根据已知求出专项扣除总额，然后再求出应纳税所得额，进而可以求出个税税额．【详解】解：专项扣除总额为：元，应纳税所得额为：元，个税税额为：元，故答案为：5712．16.已知是定义在区间的函数，则函数的零点是___________；若方程有四个不相等的实数根，，，，则___________.【答案】①.2，8②.20【解析】【分析】解方程，即可求得函数的零点；将方程四个不相等的实数根问题转化为利用二次方程根与系数的关系，可得结论；【详解】由题意可知，令，即，解得或，故函数在内的零点为和；方程有四个不相等的实数根，，即为与的四个交点的横坐标，方程即，，即，当即时，方程可转化为即；当时，方程可转化为即；故要有四个实数根，则两种情况都有两个不同的实数根，不妨设为的两根，则，则为的两根，则，则；故答案为:2，8;20.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知，求下列各式的值．（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系式求得正确答案.（2）利用“的代换”的方法，结合同角三角函数的基本关系式求得正确答案.【小问1详解】.【小问2详解】.18.若集合，．（1）若，写出的子集个数；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）8个（2）【解析】【分析】（1）先利用一元二次方程化简集合A，B，再利用集合的并集运算求解，进而得到子集的个数；（2）由，得到，分中没有元素即，中只有一个元素和中有两个元素求解.【小问1详解】解：，若，则，此时，．有3个元素，故子集个数为个，即8个．【小问2详解】因，所以，．①若中没有元素即，则，此时；．②若中只有一个元素，则，此时．则，此时．③若中有两个元素，则，此时．因为中也有两个元素，且，则必有，由韦达定理得，则，矛盾，故舍去．综上所述，当时，．所以实数的取值范围：．【点睛】．19.函数的性质通常指函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、零点等．已知（1）研究并证明函数的性质；（2）根据函数的性质，画出函数的大致图象．【答案】（1）答案详见解析（2）图象详见解析【解析】【分析】（1）根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、零点等知识求得正确答案.（2）根据函数的性质画出函数的大致图象．【小问1详解】，由解得，所以的定义域是，，所以是偶函数.由于，所以没有零点.函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.由于，所以的值域为.【小问2详解】根据（1）中的性质，画出函数的大致图象如下图所示：20.对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部偶函数”.（1）已知函数，试判断是否为“局部偶函数”，并说明理由；（2）若为定义在区间上的“局部偶函数”，求实数的取值范围.【答案】（1）是“局部偶函数”，理由见解析（2）【解析】【分析】（1）解方程得出，从而得出是“局部偶函数”；（2）由得出，令，得出在上有解，求出的范围，进而得出实数的取值范围.【小问1详解】，令，得，解得，∴存在满足，故是“局部偶函数”；【小问2详解】由，得令，得，则在上有解∴，即故的取值范围为21.已知函数的定义域为，值域为，且对任意，，都有．．（1）求的值，并证明为奇函数．（2）若，，且，证明为上的增函数，并解不等式．【答案】（1）；证明见解析（2）证明见解析；解集为【解析】【分析】（1）赋值法令，可得；由给定性质，证明即可.（2）证明的单调性，再由单调性解不等式.【小问1详解】令，得，又函数的值域为，∴．∵，∴，∴，∴为奇函数．【小问2详解】任取，．．∵，∴．∵当时，，∴，∴．又函数的值域为，∴，即，∴为上的增函数．由，即，化简得．∵，∴，∴．又为上的增函数，∴，故的解集为．【点睛】方法点睛：抽象函数的性质研究：①赋值法求特定元素的函数值；②利用已知抽象函数的等式性质，证明函数的单调性；③利用单调性解相关表达式.22.已知函数有两个零点．（1）求实数a的取值范围；（2）设，是g（x）的两个零点，证明：．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由可得，然后令，则，再分或，和讨论即可；（2）函数g（x）有两个零点，，令，则转化为，为方程的两根，然后根据根与系数的关系结合三角函数的性质可得，再利用余弦函数的单调性可证得结论.【小问1详解】解：．由可得，令，