中考热点题型之阿氏圆

中考热点题型之阿氏圆阿氏圆整理例1、如图1，抛物线$y=ax^2+(a+3)x+3$（$a\neq0$）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，3）。在x轴上有一动点E（m，0）（$0<m<4$），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M。（1）求a的值和直线AB的函数表达式；解：将点A（4，0）代入$y=ax^2+(a+3)x+3$，得$16a+4(a+3)+3=0$。解得$a=-\frac{39}{16}$。抛物线的函数表达式为$y=-\frac{39}{16}x^2+\frac{39}{4}x+3$。将$x=0$代入得点B的坐标为（0，3）。由A（4，0），B（0，3）可得直线AB的函数表达式为$y=-\frac{3}{4}x+3$。（2）设△PMN的周长为$C_1$，△AEN的周长为$C_2$，若$\frac{C_1}{C_2}=\frac{1}{5}$，求m的值。解：由题意得$OE=m$，$AE=4-m$，$AB=5$，点P的坐标可表示为（m，$-\frac{39}{16}m^2+\frac{39}{4}m+3$）。则$PE=-\frac{4}{39}m^2+\frac{4}{39}m+\frac{3}{13}$，$AN=4-m$，$NE=4-m$。因为△AEN∽△AOB，所以$AB=\frac{4}{3}BO=4$，即$\frac{AB}{BO}=\frac{4}{3}$。所以$\frac{C_2}{AB}=\frac{1}{2}$，即$\frac{C_2}{5}=\frac{1}{2}$，解得$C_2=\frac{5}{2}$。因为$\frac{C_1}{C_2}=\frac{1}{5}$，所以$C_1=\frac{1}{5}C_2=\frac{1}{2}$。由△PMN∽△AEN可得$\frac{PN}{AN}=\frac{1}{2}$，即$PN=\frac{1}{3}(4-m)$，$PM=\frac{2}{3}(4-m)$。因为△PMN和△AEN均为直角三角形，所以$MN=\sqrt{AN^2+AM^2}=\sqrt{(4-m)^2+\left(-\frac{39}{16}m^2+\frac{39}{4}m+3\right)^2}$，$EN=\sqrt{AE^2+AN^2}=\sqrt{(4-m)^2+\left(\frac{3}{4}m-3\right)^2}$。则$C_1=PN+NM+MP=\frac{1}{3}(4-m)+\sqrt{(4-m)^2+\left(-\frac{39}{16}m^2+\frac{39}{4}m+3\right)^2}+\frac{2}{3}(4-m)$。代入$\frac{C_1}{C_2}=\frac{1}{5}$，解得$m=2$。（3）在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（$0°<\alpha<90°$），连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值。解：在（2）的条件下，m的值为2，点E（2，0），OE=2。旋转得到OE′=2。取点F（0，$\frac{3}{4}$），则OF=$\frac{3}{4}$。因为$\angleEOE′=\alpha$，所以$\angleE′OF=90°-\alpha$。则$E′A=OE′\sin\angleE′OF=2\sin(90°-\alpha)=2\cos\alpha$，$E′B=OF+E′O\cos\angleE′OF=\frac{3}{4}+2\cos\alpha$。所以$E′A+E′B=2\cos\alpha+\frac{3}{4}+2\cos\alpha=4\cos\alpha+\frac{3}{4}$。由于$0°<\alpha<90°$，所以$\cos\alpha>0$，所以$E′A+E′B$的最小值为$\frac{3}{4}$。在直角三角形ABC中，已知CB=4，CA=6，以C为圆心，半径为2作圆。设P为圆上任意一点，连接AP和BP。由于C为圆心，所以CP=2。根据三角形不等式，有AP+BP≥AB，即AP+BP≥AC+CB=10。因此，AP+BP的最小值为10。答案为A。题目描述：如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC=1，BD=2，求点P的最小值，使得PC+PD最小。解题思路：首先，我们可以发现AC=1，那么AC是半径，∠APC=90°，因此AP=√2-1，PC=2-√2