高考数学总复习 同步测试卷（三）基本初等函数Ⅰ理（含解析）新人教A版-新人教A版高三数学试题

同步测试卷理科数学(三)【p289】(基本初等函数Ⅰ)时间：60分钟总分：100分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知幂函数y＝f(x)的图象经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,8)))，则满足f(x)＝27的x的值为()A．3B.eq\f(1,27)C．27D.eq\f(1,3)【解析】因为幂函数y＝xα的图象经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,8)))，所以(－2)α＝－eq\f(1,8)，所以α＝－3.又因为f(x)＝27，所以x－3＝27，所以x＝eq\f(1,3).【答案】D2．函数y＝eq\f(xax,|x|)(a>1)的图象的大致形状是()【解析】由题意得y＝eq\f(xax,|x|)(a>1)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax，x>0，,－ax，x<0，))∵a>1，∴当x>0时，函数为增函数；当x<0时，函数为减函数，结合各选项可得B满足题意．【答案】B3．已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则()A．a>b>cB．a>c>bC．c>a>bD．b>c>a【解析】因为函数f(x)＝0.4x在R上为减函数，且0.2<0.6，所以0.40.6<0.40.2<0.40＝1.因为a＝20.2>20＝1，所以20.2>0.40.2>0.40.6.【答案】A4．为了得到函数y＝log2eq\r(x－1)的图象，可将函数y＝log2x的图象上所有的点的()A．纵坐标缩短到原来的eq\f(1,2)倍，横坐标不变，再向左平移1个单位长度B．纵坐标缩短到原来的eq\f(1,2)倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度C．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度D．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度【解析】y＝log2eq\r(x－1)＝eq\f(1,2)log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1))所以y＝log2x纵坐标缩短到原来的eq\f(1,2)倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度得到y＝log2eq\r(x－1)的图象．【答案】B5．已知二次函数y＝f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且函数图象截x轴所得的线段长为8，则函数y＝f(x)的零点为()A．2，6B．2，－6C．－2，6D．－2，－6【解析】由于函数y＝f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，所以x＝2为二次函数y＝f(x)的对称轴，根据二次函数图象的性质，图象与x轴的交点必关于x＝2对称．而两交点间的距离为8，则必有x1＝2＋4＝6，x2＝2－4＝－2.故交点坐标为(6，0)和(－2，0)，则函数的零点为－2，6.【答案】C6．若函数y＝f(x)满足：①f(x)的图象是中心对称图形；②若x∈D时，f(x)图象上的点到其对称中心的距离不超过一个正数M，则称f(x)是区间D上的“M对称函数”．若函数f(x)＝(x＋1)3＋m(m>0)是区间[－4，2]上的“3m对称函数”，则实数m的取值范围是()A．[eq\r(82)，＋∞)B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(82)，＋∞))C．(－∞，eq\r(82))D．(eq\r(82)，＋∞)【解析】函数f(x)＝(x＋1)3＋m(m>0)的图象可由y＝x3的图象向左平移1个单位，再向上平移m个单位得到，故函数f(x)的图象关于点A(－1，m)对称，如图所示，由图可知，当x∈[－4，2]时，点A到函数f(x)图象上的点(－4，m－27)或(2，m＋27)的距离最大，最大距离为d＝eq\r(9＋（m－27－m）2)＝3eq\r(82)，根据条件只需3m≥3eq\r(82)，故m≥eq\r(82).【答案】A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将各小题的结果填在题中横线上．)7．计算：0.25×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(－4)＋2logeq\r(2)4＝________．【解析】0.25×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(－4)＋2logeq\r(2)4＝eq\f(1,4)×16＋2log216＝4＋16＝20.【答案】208．设函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－x，x≤0，,1，x＞0，))则满足f(x＋1)<f(2x)的x的取值范围是________．【解析】函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－x，x≤0，,1，x＞0))的图象如图：满足f(x＋1)<f(2x)，可得2x<0<x＋1或2x<x＋1≤0，解得x∈(－∞，0)．【答案】(－∞，0)9．已知f(x)＝logeq\s\do9(\f(1,2))(x2－ax＋3a)在区间[2，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是________．【解析】令t＝x2－ax＋3a，则由函数f(x)＝g(t)＝logeq\s\do9(\f(1,2))t在区间[2，＋∞)上为减函数，可得函数t在区间[2，＋∞)上为增函数且t(2)＞0，故有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)≤2，,t（2）＝4－2a＋3a>0，))解得－4＜a≤4.【答案】(－4，4]10．已知定义在R上的偶函数feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0))对称，且当x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，2))时，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝－2x＋3，若关于x的方程feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝logaeq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))(a>1)恰好有8个不同的实数根，则实数a的取值范围是________．【解析】由题定义在R上的偶函数feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0))对称，可得f(－x)＝f(x)，f(2－x)＝－f(x)，即为f(2－x)＝－f(－x)，即为f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)为周期为4的函数，又当x∈(1，2]时，f(x)＝3－2x，可得当x∈[－2，－1)时，f(x)＝3＋2x，当x∈(0，1]时，f(x)＝－f(x－2)＝－3－2(x－2)＝－2x＋1，当x∈(－1，0]时，f(x)＝2x＋1.作出feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))在R上的图象，以及y＝logaeq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))(a>1)的图象，关于x的方程feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝logaeq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))(a>1)恰好有8个不同的实数根，即为y＝f(x)与y＝logaeq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))(a>1)的图象恰好有8个交点，由图象可得f(4)＝1，即loga4＝1，解得a＝4.此时y＝f(x)与y＝logaeq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))(a>1)的图象恰好有8个交点．【答案】eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(4))三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)11．(16分)设f(x)是定义在R上的偶函数，当0≤x≤1时，f(x)＝－x＋1；当x>1时，f(x)＝log2x.(1)在平面直角坐标系中直接画出函数y＝f(x)在R上的草图；(2)当x∈(－∞，－1)时，求满足方程f(x)＋log4(－x)＝6的x的值；(3)求y＝f(x)在[0，t](t>0)上的值域．【解析】(1)由单调性和过点(0，1)，(±1，0)，(±2，1)，(±4，2)，作出图象如图．(2)当x∈(－∞，－1)时，f(x)＝log2(－x)，∴f(x)＋log4(－x)＝log2(－x)＋eq\f(log2（－x）,log24)＝eq\f(3,2)log2(－x)＝6，即log2(－x)＝4，即－x＝24，得x＝－16.(3)当0＜t≤1时，值域为[－t＋1，1]；当1<t≤2时，值域为[0，1]；当t>2时，值域为[0，log2t]．12．(16分)已知函数f(x)＝x2＋ax＋3.(1)若函数f(x)对任意实数t∈R都有f(1＋t)＝f(1－t)成立，求f(x)的解析式；(2)当函数f(x)在区间[－1，1]上的最小值为－3时，求实数a的值．【解析】(1)∵f(1＋t)＝f(1－t)，∴函数f(x)图象的对称轴为x＝1，∴－eq\f(a,2)＝1，解得a＝－2.∴函数的解析式为f(x)＝x2－2x＋3.(2)由题意得函数f(x)＝x2＋ax＋3图象的对称轴为x＝－eq\f(a,2).①当1≤－eq\f(a,2)，即a≤－2时，f(x)在[－1，1]上单调递减，∴f(x)min＝f(1)＝1＋a＋3＝a＋4＝－3，解得a＝－7，符合题意；②当－1＜－eq\f(a,2)＜1，即－2<a<2时，由题意得f(x)min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))＝eq\f(4×3－a2,4)＝－3.解得a2＝24，∴a＝2eq\r(6)或a＝－2eq\r(6)，又－2<a<2，不合题意，舍去；③当－eq\f(a,2)≤－1，即a≥2时，f(x)在[－1，1]上单调递增，∴f(x)min＝f(－1)＝1－a＋3＝4－a＝－3，解得a＝7，符合题意．综上可知a＝7或a＝－7.13．(18分)已知函数f(x)＝a－eq\f(2x,2x＋1)是定义域为R的奇函数．(1)求实数a的值并判断函数f(x)的单调性；(2)当x∈[3，9]时，不等式f(logeq\o\al(2,3)x)＋f(2－mlog3x)≥0恒成立，求实数m的取值范围．【解析】(1)法一：∵函数是定义域为R的奇函数，∴f(0)＝a－eq\f(20,20＋1)＝0，解得a＝eq\f(1,2).经检验，当a＝eq\f(1,2)时，函数f(x)为奇函数，即所求实数a的值为eq\f(1,2).∵f′(x)＝0－eq\f(2xln2·（2x＋1）－2x·2xln2,（2x＋1）2)＝－eq\f(2xln2,（2x＋1）2)，f′(x)<0在R上恒成立，所以f(x)是R上的减函数．法二：∵函数是定义域为R的奇函数，∴f(0)＝a－eq\f(20,20＋1)＝0，解得a＝eq\f(1,2).经检验，当a＝eq\f(1,2)时，函数f(x)为奇函数，即所求实数a的值为eq\f(1,2).设∀x1，x2∈R且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝eq\f(1,2)－eq\f(2x1,2x1＋1)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(2x2,2x2＋1)))＝eq\f(2x2（2x1＋1）－2x1（2x2＋1）,（2x1＋1）（2x2＋1）)＝eq\f(2x2－2x1,（2x1＋1）（2x2＋1）)，∵x1<x2，∴2x2－2x1>0，(2x1＋1)(2x2＋1)>0，∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以f(x)是R上的减函数．(2)由f(logeq\o\al(2,3)x)＋f(2－mlog3x)≥0，可得f(logeq\o\al(2,