高考数学总复习 同步测试卷（十四）直线、平面、简单几何体 理（含解析）新人教A版-新人教A版高三数学试题

同步测试卷理科数学(十四)【p311】(直线、平面、简单几何体)时间：60分钟总分：100分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．如图所示的平面图形(阴影部分)，绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为()A．一个球体B．一个球体中间挖去一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个圆锥【答案】B2．下列说法正确的是()A．空间中，两不重合的平面若有公共点，则这些点一定在一条直线上B．空间中，三角形、四边形都一定是平面图形C．空间中，正方体、长方体、四面体都是四棱柱D．用一平面去截棱锥，底面与截面之间的部分所形成的多面体叫棱台【解析】空间四边形不是平面图形，故B错；四面体不是四棱柱，故C错；平行于底面的平面去截棱台，底面和截面之间的部分所形成的多面体才叫棱台，故D错；根据公理2可知A正确．【答案】A3．如图，点O为正方体ABCD－A′B′C′D′的中心，点E为侧面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的面上的正投影不可能是()【解析】由题意知光线从上向下照射，得到C，光线从前向后照射，得到A，光线从左向右照射得到B.【答案】D4．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝4，BB1＝1，AC＝2eq\r(5)，则异面直线BD与AC所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°【解析】取B1C1中点M，连BM，DM，则DM∥A1C1∥AC，所以异面直线BD与AC所成的角为∠BDM，因为DM＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(5)，BD＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，BM＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，所以∠BDM＝eq\f(π,3)，即异面直线BD与AC所成的角为60°.【答案】C5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，三棱锥D1－AB1C的表面积与正方体的表面积的比为()A．1∶1B．1∶eq\r(2)C．1∶eq\r(3)D．1∶2【解析】设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则正方体ABCD－A1B1C1D1的表面积为6a2，且三棱锥D1－AB1C为各棱长均为eq\r(2)a的正四面体，其中一个面的面积为S＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)×eq\r(2)a×eq\r(2)a＝eq\f(\r(3),2)a2，所以三棱锥D1－AB1C的表面积为：S1＝4×eq\f(\r(3),2)a2＝2eq\r(3)a2，所以三棱锥D1－AB1C的表面积与正方体ABCD－A1B1C1D1的表面积之比为S1∶S2＝1∶eq\r(3).【答案】C6．如图，四边形ABCD是边长为2eq\r(3)的正方形，点E，F分别为边BC，CD的中点，将△ABE，△ECF，△FDA分别沿AE，EF，FA折起，使B，C，D三点重合于点P，若四面体PAEF的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积是()A．6πB．12πC．18πD．9eq\r(2)π【解析】因为∠APE＝∠EPF＝∠APF＝90°，所以可将四面体补成一个长方体(PA，PE，PF是从同一顶点出发的三条棱)，则四面体和补全的长方体有相同的外接球，设其半径为R，由题意知2R＝eq\r(（\r(3)）2＋（\r(3)）2＋（2\r(3)）2)＝3eq\r(2)，故该球的表面积S＝4πR2＝4πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)))eq\s\up12(2)＝18π.【答案】C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将各小题的结果填在题中横线上．)7．如图所示，梯形A1B1C1D1是水平放置的平面图形ABCD的直观图(斜二测画法)，若A1D1∥Oy′，A1B1∥C1D1，A1B1＝eq\f(2,3)C1D1＝2，A1D1＝1，则四边形ABCD的面积是________________________________________________________________________．【解析】由直观图知，四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，CD＝3，因为A1D1∥Oy′，所以AD⊥CD，且AD＝2，根据梯形面积公式S＝eq\f(1,2)×(2＋3)×2＝5.【答案】58．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若各条棱长均为2，且M为A1C1的中点，则三棱锥M－AB1C的体积是________．【解析】∵在正三棱柱ABC－A1B1C1中，各条棱长均为2，且M为A1C1的中点，∴S△AMC＝eq\f(1,2)×2×2＝2，MB1⊥平面AMC，且B1M＝eq\r(4－1)＝eq\r(3)，∴VM－AB1C＝VB1－AMC＝eq\f(1,3)×B1M×S△AMC＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×2＝eq\f(2\r(3),3).【答案】eq\f(2\r(3),3)9．在正四面体ABCD中，AO⊥平面BCD，垂足为O，设M是线段AO上一点，且∠BMC＝90°，则eq\f(AM,MO)的值为________．【解析】如图，连接OB，设正四面体的棱长为a，则OB＝eq\f(\r(3),3)a，MB＝eq\f(\r(2),2)a，故OM＝eq\f(\r(6),6)a＝eq\f(1,2)AO，则eq\f(AM,MO)＝1.【答案】110．已知三棱锥P－ABC中，顶点P在底面的射影为H.给出下列命题：①若PA，PB，PC两两互相垂直，则H为△ABC的垂心；②若PA，PB，PC两两互相垂直，且点H在△ABC的内部，则△ABC有可能为钝角三角形；③若AC⊥BC，且H与A重合，则三棱锥P－ABC的各个面都是直角三角形；④若AC⊥BC，且H为AB边的中点，则PA＝PB＝PC.其中正确命题的序号是__________．(把你认为正确的序号都填上)【解析】若PA，PB，PC两两互相垂直，容易推出AH⊥BC，同理BH⊥AC，可得H是△ABC的垂心，①正确；若PA，PB，PC两两互相垂直，P在底面是射影H在△ABC的内部，是三角形ABC的垂心，所以不可能是钝角三角形，②不正确；若H与A重合则PA⊥平面ABC，所以PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，又BC⊥AC，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，故四个面都是直角三角形，③正确；当PH⊥平面ABC时，PA2＝PH2＋HA2，PB2＝PH2＋BH2，PC2＝PH2＋CH2，因为H是Rt△ABC斜边AB的中点，所以BH＝AH＝CH，故PA＝PB＝PC，故④正确；【答案】①③④三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)11．(16分)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.(1)证明：平面PAB⊥平面PAD.(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，四棱锥P－ABCD的体积为9，求四棱锥P－ABCD的侧面积．【解析】(1)∵∠BAP＝∠CDP＝90°，∴PA⊥AB，PD⊥DC.又∵AB∥CD，∴PD⊥AB，∴AB⊥平面PAD.又∵AB⊂平面PAB，∴平面PAD⊥平面PAB.(2)设PA＝PD＝AB＝DC＝a，则AD＝BC＝eq\r(2)a.过P作PE⊥AD，E为垂足，∵PA＝PD，∴E为AD中点．∵AB⊥平面PAD，∴AB⊥PE，PE⊥平面ABCD.VP－ABCD＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),2)a×a×eq\r(2)a＝9，∴a3＝27，∴a＝3.四棱锥P－ABCD的侧面积为：S△PAD＋S△PAB＋S△PDC＋S△PBC＝eq\f(1,2)a2＋eq\f(1,2)a2＋eq\f(1,2)a2＋eq\f(1,2)·eq\r(2)a·eq\r(2)a×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3,2)a2＋eq\f(\r(3),2)a2＝eq\f(（3＋\r(3)）a2,2)＝eq\f(27＋9\r(3),2).12．(16分)如图所示的几何体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，AF∥DE，AF⊥AD，且平面BED⊥平面ABCD.(1)求证：平面ABF∥平面CDE；(2)求证：AF⊥CD.【解析】(1)∵四边形ABCD为菱形，∴AB∥CD，∵AB⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，∴AB∥平面CDE，同理，AF∥平面CDE，∵AB∩AF＝A，∴平面ABF∥平面CDE.(2)连结AC，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∵平面BED⊥平面ABCD，平面BED∩平面ABCD＝BD，∴AC⊥平面BDE，∵DE⊂平面BDE，∴AC⊥DE，∵AF∥DE，∴AC⊥AF，又∵AF⊥AD，AD∩AC＝A，∴AF⊥平面ABCD，∵CD⊂平面ABCD，∴AF⊥CD.13．(18分)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，CC1，AD的中点．(1)求异面直线EG与B1C所成角的大小；(2)棱CD上是否存在点T，使AT∥平面B1EF？请证明你的结论．【解析】(1)连接BD，B1D1，CD1.因为E，G分别是AB，AD的中点，所以EG∥BD.又因为B1D1∥BD.所以∠CB1D1为异面直线EG与B1C所成角．在△CB1D1中，因为CB1＝B1D1＝CD1，所以∠CB1D1＝60°.(2)在棱CD上取点T，使得DT＝eq\f(1,4)DC，则AT∥