高考数学总复习 第八章 计数原理、概率与统计 第52讲 变量的相关性、统计案例练习 理（含解析）新人教A版-新人教A版高三数学试题

第52讲变量的相关性、统计案例夯实基础【p116】【学习目标】1．会收集现实问题中两个有关联变量的数据并作出散点图，会利用散点图直观认识变量间的相关关系；2．了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程；3．了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用；4．了解回归的基本思想、方法及简单应用．【基础检测】1．已知下表所示数据的回归直线方程为y＝4x－4，则实数a的值为()x23456y3711a21A.16B．18C．20D．22【解析】由表中数据可知x＝eq\f(2＋3＋4＋5＋6,5)＝4，y＝eq\f(3＋7＋11＋a＋21,5)＝eq\f(a＋42,5)，回归直线方程过样本中心(x，y)，所以eq\f(a＋42,5)＝12，解得a＝18.【答案】B2．以下四个命题中是真命题的是()A．对随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“分类变量X与Y有关系”的把握程度越大B．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于0C．若数据x1，x2，x3，…，xn的方差为1，则2x1，2x2，2x3，…，2xn的方差为2D．在回归分析中，可用相关指数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好【解析】依据线性相关及相关指数的有关知识可以推断，选项D是正确的．【答案】D3．下面是2×2列联表：y1y2合计x1a2173x2222547合计b46120则表中a，b的值分别为()A．94，72B．52，50C．74，52D．52，74【解析】∵a＋21＝73，∴a＝52.又a＋22＝b，∴b＝74.【答案】D4．通过随机咨询110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)算得，K2＝eq\f(110（40×30－20×20）2,60×50×60×50)≈7.8.附表：P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是()A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”【解析】因为K2≈7.8≥6.635，而P(K2≥6.635)＝0.010，故由独立性检验的意义可知，相关的概率大于1－0.010＝0.99.【答案】C5．某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量(单位：cm)，图1为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，图2为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝1.16x－30.75，以下结论中不正确的为()A．15名志愿者身高的极差小于臂展的极差B．15名志愿者身高和臂展成正相关关系C．可估计身高为190cm的人臂展大约为189.65cmD．身高相差10cm的两人臂展都相差11.6cm【解析】A.身高极差大约为18cm，臂展极差大约为23cm，故正确；B．很明显根据散点图象以及回归直线得到，身高矮臂展就会短一些，身高高一些，臂展就长一些，故正确；C．身高为190cm，代入回归方程可得到臂展估计值等于189.65cm，但是不是准确值，故正确；D．身高相差10cm的两人臂展的估计值相差11.6cm，但并不是准确值，回归方程上的点并不都是准确的样本点，故说法不正确．【答案】D【知识要点】1．相关关系的分类从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称之为__正相关__；点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系称为__负相关__．2．线性相关从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫__回归直线__．3．回归方程(1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的__距离的平方和__最小的方法叫最小二乘法．(2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(b,\s\up6(^))＝\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（xi－x）（yi－y）,\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（xi－x）2)＝\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－nxy,\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－nx2)，,\o(a,\s\up6(^))＝y－\o(b,\s\up6(^))x.))其中eq\o(b,\s\up6(^))是回归方程的__斜率__，eq\o(a,\s\up6(^))是在y轴上的截距．4．样本相关系数r＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（xi－x）（yi－y）,\r(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（xi－x）2\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（yi－y）2))，用来衡量两个变量间的线性相关关系．(1)当r>0时，表示两个变量__正相关__；(2)当r<0时，表示两个变量__负相关__；(3)r的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关性__越大__；r的绝对值越接近于0，表示两个变量之间几乎不存在相关关系．通常当|r|>0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系．5．线性回归模型(1)y＝bx＋a＋e中，a，b称为模型的未知参数，e称为随机误差．(2)相关指数用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是：R2＝1－eq\f(\o(∑,\s\up6(n))^\o(,\s\do4(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(^))i）2,\o(∑,\s\up6(n))^\o(,\s\do4(i＝1))（yi－y－）2)，R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果__越好__．在线性回归模型中，R2表示解释变量对预报变量变化的贡献率，R2越接近于1，表示回归效果越好．6．独立性检验(1)用变量的不同“值”表示个体所需的不同类别，这种变量称为分类变量．(2)列出的两个分类变量的频数表，称为列联表．(3)一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称2×2列联表)为：y1y2总计x1aba＋bx2cdc＋d总计a＋cb＋da＋b＋c＋dK2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（a＋c）（c＋d）（b＋d）)(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)，可利用独立性检验判断表来判断“X与Y的关系”．这种利用随机变量K2来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验．典例剖析【p117】考点1相关关系的判断eq\a\vs4\al(例1)(1)对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是()A．r2＜r4＜0＜r3＜r1B．r4＜r2＜0＜r1＜r3C．r4＜r2＜0＜r3＜r1D．r2＜r4＜0＜r1＜r3【解析】由相关系数的定义，以及散点图所表达的含义可知r2＜r4＜0＜r3＜r1.【答案】A(2)已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是()A．x与y正相关，x与z负相关B．x与y正相关，x与z正相关C．x与y负相关，x与z负相关D．x与y负相关，x与z正相关【解析】因为y＝－0.1x＋1的斜率小于0，故x与y负相关．因为y与z正相关，可设z＝eq\o(b,\s\up6(^))y＋eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))>0，则z＝eq\o(b,\s\up6(^))y＋eq\o(a,\s\up6(^))＝－0.1eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(b,\s\up6(^))＋eq\o(a,\s\up6(^))，故x与z负相关．【答案】C【点评】相关关系的判断的2种方法(1)散点图法：如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系．如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系．若点散布在从左下角到右上角的区域，则正相关．(2)相关系数法：利用相关系数判定，当|r|越趋近于1相关性越强．考点2回归分析eq\a\vs4\al(例2)某测试团队为了研究“饮酒”对“驾车安全”的影响，随机选取100名驾驶员先后在无酒状态、酒后状态下进行“停车距离”测试，测试的方案：电脑模拟驾驶，以某速度匀速行驶，记录下驾驶员的“停车距离”(驾驶员从看到意外情况到车子停下所需要的距离)，无酒状态与酒后状态下的试验数据分别列于表1和表2中表1停车距离d(米)(10，20](20，30](30，40](40，50](50，60]频数26ab82表2平均每毫升血液酒精含量x毫克1030507090平均停车距离y米3050607090已知表1数据的中位数估计值为26，回答以下问题．(1)求a，b的值，并估计驾驶员无酒状态下停车距离的平均数；(2)根据最小二乘法，由表2的数据计算y关于x的回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；(3)该测试团队认为：驾驶员酒后驾车的平均“停车距离”y大于(1)中无酒状态下的停车距离平均数的3倍，则认定驾驶员是“醉驾”．请根据(2)中的回归方程，预测当每毫升血液酒精含量大于多少毫克时为“醉驾”？(附：回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－nxy,\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－nx2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝y－eq\o(b,\s\up6(^))x.)【解析】(1)依题意，得eq\f(6,10)a＝50－26，解得a＝40，又a＋b＋36＝100，解得b＝24；故停车距离的平均数为15×eq\f(26,100)＋25×eq\f(40,100)＋35×eq\f(24,100)＋45×eq\f(8,100)＋55×eq\f(2,100)＝27.(2)依题意，可知x＝50，y＝60，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(10×30＋30×50＋50×60＋70×70＋90×90－5×50×60,102＋302＋502＋702＋902－5×502)＝eq\f(7,10)，eq\o(a,\s\up6(^))＝60－eq\f(7,10)×50＝25，所以回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.7x＋25.(3)由(1)知当y>81时认定驾驶员是“醉驾”，令eq\o(y,\s\up6(^))>81，得0.7x＋25>81，解得x>80，当每毫升血液酒精含量大于80毫克时认定为“醉驾”．【点评】1.回归直线方程中系数的2种求法(1)利用公式，求出回归系数b，a.(2)待定系数法：利用回归直线过样本点中心求系数．2．回归分析的2种策略(1)利用回归方程进行预测：把回归直线方程看作一次函数，求函数值．(2)利用回归直线判断正、负相关：决定正相关还是负相关的是回归系数b.考点3独立性检验eq\a\vs4\al(例3)某中学对“学生性别和是否喜欢看NBA比赛”作了一次调查，其中男生人数是女生人数的2倍，男生喜欢看NBA的人数占男生人数的eq\f(5,6)，女生喜欢看NBA的人数占女生人数的eq\f(1,3).(1)若被调查的男生人数为n，根据题意建立一个2×2列联表；(2)若有95%的把握认为是否喜欢看NBA和性别有关，问男生至少有多少人？附：K2＝eq\f(（a＋b＋c＋d）（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)P(K2≥k)0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828【解析】(1)由已知，得喜欢NBA不喜欢NBA总计男生eq\f(5n,6)eq\f(n,6)n女生eq\f(n,6)eq\f(n,3)eq\f(n,2)总计neq\f(n,2)eq\f(3n,2)(2)K2＝eq\f(\f(3n,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5n,6)·\f(n,3)－\f(n,6)·\f(n,6)))\s\up12(2),n·\f(n,2)·\f(n,2)·n)＝eq\f(3,8)n.若有95%的把握认为是否喜欢看NBA和性别有关．则K2＞3.841，即eq\f(3,8)n＞3.841，n＞10.24.∵eq\f(n,2)，eq\f(n,3)，eq\f(n,6)为整数，∴n最小值为12，即男生至少12人．【点评】1.独立性检验的关键是准确的计算K2，在计算时，要充分利用2×2列联表．2．独立性检验的步骤：(1)根据样本数据制成2×2列联表．(2)根据公式K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（a＋c）（b＋d）（c＋d）)计算K2的观测值k.(3)比较k与临界值的大小关系作统计推断．考点4概率与统计的综合问题eq\a\vs4\al(例4)为了比较注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，各组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B.(1)甲、乙是200只家兔的2只，求甲、乙分在不同组的概率；(2)下表1和表2分别是注射药物A和B后的试验结果．(疱疹面积单位：mm2)表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表疱疹面积[60，65)[65，70)[70，75)[75，80)频数30402010表2：注射药物B后皮肤疱疹面积的频数分布表疱疹面积[60，65)[65，70)[70，75)[75，80)[80，85)频数1025203015①完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数的大小；注射药物A后皮肤疱疹面积的频率分布直方图注射药物B后皮肤疱疹面积的频率分布直方图②完成下面2×2列联表，并回答是否有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”．表3：疱疹面积小于70mm2疱疹面积不小于70mm2合计注射药物Aa＝b＝注射药物Bc＝d＝合计n＝附：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)P(K2≥k)0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828【解析】(1)甲、乙两只家兔分在不同组的概率为P＝eq\f(Ceq\o\al(1,100)Ceq\o\al(1,100),Ceq\o\al(2,200))＝eq\f(100,199).eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或P＝1－\f(2Ceq\o\al(98,198),Ceq\o\al(100,200))＝\f(100,199)))(2)①如下图所示注射药物A后皮肤疱疹面积的频率分布直方图注射药物B后皮肤疱疹面积的频率分布直方图可以看出注射药物A后的疱疹面积的中位数在65至70之间，而注射药物B后疱疹面积的中位数在70至75之间，所以注射药物A后疱疹面积的中位数小于注射药物B后疱疹面积的中位数．②表3疱疹面积小于70mm2疱疹面积不小于70mm2合计注射药物Aa＝70b＝30100注射药物Bc＝35d＝65100合计10595n＝200K2＝eq\f(200×（70×65－35×30）2,100×100×105×95)≈24.56.由于K2＞10.828，所以有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”．【点评】本题主要考查概率，频率分布直方图，中位数，2×2列联表等知识，同时也考查了绘图能力及运算求解能力．方法总结【p119】1．现实世界中存在不能用函数模型描述的变量关系，这种与函数关系不同的变量间的相关关系，常常通过散点图加以直观认识，然后再寻求这两个变量之间的相关性．2．两个变量的线性相关：假设两个具有线性相关关系的变量的一组数据为：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，所求的回归方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，①其中eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（xi－x）（yi－y）,\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（xi－x－）2)＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－nxy,\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－nx2).②3．通过求Q＝(y1－bx1－a)2＋(y2－bx2－a)2＋…＋(yn－bxn－a)2的最小值而得到②，并进而得到回归直线①的方法叫做最小二乘法．走进高考【p119】1．(2018·全国卷Ⅱ)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1，2，…，17)建立模型①：eq\o(y,\s\up6(^))＝－30.4＋13.5t；根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1，2，…，7)建立模型②：eq\o(y,\s\up6(^))＝99＋17.5t.(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．【解析】(1)利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为eq\o(y,\s\up6(^))＝－30.4＋13.5×19＝226.1(亿元)．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为eq\o(y,\s\up6(^))＝99＋17.5×9＝256.5(亿元)．(2)利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下：(ⅰ)从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y＝－30.4＋13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型eq\o(y,\s\up6(^))＝99＋17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．(ⅱ)从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．2．(2017·全国卷Ⅱ)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量＜50kg箱产量≥50kg旧养殖法新养殖法(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01)附：P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【解析】(1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”，由题意知P(A)＝P(BC)＝P(B)P(C)，旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62，故P(B)的估计值为0.62，新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为(0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5＝0.66，故P(C)的估计值为0.66，因此，事件A的概率估计值为0.62×0.66＝0.4092.(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量<50kg箱产量≥50kg旧养殖法6238新养殖法3466K2＝eq\f(200×（62×66－34×38）2,96×104×100×100)＝15.705.由于15.705>6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044)×5＝0.34<0.5，箱产量低于55kg的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044＋0.068)×5＝0.68>0.5，故新养殖法箱产量的中位数的估计值为50＋eq\f(0.5－0.34,0.068)≈52.35(kg)．考点集训【p238】A组题1．四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且eq\o(y,\s\up6(^))＝2.347x－6.423；②y与x负相关且eq\o(y,\s\up6(^))＝－3.476x＋5.648；③y与x正相关且eq\o(y,\s\up6(^))＝5.437x＋8.493；④y与x正相关且eq\o(y,\s\up6(^))＝－4.326x－4.578.其中一定不正确的结论的序号是()A．①②B．②③C．③④D．①④【解析】正相关指的是y随x的增大而增大，负相关指的是y随x的增大而减小，故不正确的为①④.【答案】D2．已知某产品连续4个月的广告费用为xi(i＝1，2，3，4)千元，销售额为yi(i＝1，2，3，4)万元，经过对这些数据的处理，得到如下数据信息：①x1＋x2＋x3＋x4＝18，y1＋y2＋y3＋y4＝14；②广告费用x和销售额y之间具有较强的线性相关关系；③回归直线方程eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a中的b＝0.8(用最小二乘法求得)，那么，当广告费用为6千元时，可预测销售额约为()A．3.5万元B．4.7万元C．4.9万元D．6.5万元【解析】依题意得x＝4.5，y＝3.5，由回归直线必过样本中心点得a＝3.5－0.8×4.5＝－0.1.当x＝6时，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.8×6－0.1＝4.7.【答案】B3．某医疗机构通过抽样调查(样本容量n＝1000)，利用2×2列联表和K2统计量研究患肺病是否与吸烟有关．计算得K2＝4.453，经查对临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05，现给出四个结论，其中正确的是()A．在100个吸烟的人中约有95个人患肺病B．若某人吸烟，那么他有95%的可能性患肺病C．有95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”D．只有5%的把握认为“患肺病与吸烟有关”【解析】由已知数据可得有1－0.05＝95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”．【答案】C4．某社区为了了解本社区居民的受教育程度与年收入的关系，随机调查了100位居民，得到如下表所示的2×2列联表(单位：位)：分类年收入5万元以下年收入5万元及以上总计高中文化以上104555高中文化及以下153045总计2575100若推断“受教育程度与年收入有关系”，则这种推断犯错误的概率不超过()A．2.5%B．1%C．5%D．10%【解析】由表中的数据可得K2＝eq\f(100×（10×30－15×45）2,55×45×25×75)≈3.030，由于3.030＞2.706，所以推断“受教育程度与年收入有关系”，犯错误的概率不超过10%.【答案】D5．如图所示，有5组数据：A(1，3)，B(2，4)，C(3，8)，D(7，10)，E(10，12)，去掉________组数据后剩下的4组数据的线性相关系数最大．【解析】仔细观察点A(1，3)，B(2，4)，C(3，8)，D(7，10)，E(10，12)，可知点A，B，D，E在一条直线附近，而C点明显偏离此直线上，由此可知去掉点C后，使剩下的四点组成的数组相关关系数最大．【答案】C6．物价部门对本市的5家商场的某商品一天的销售量和价格进行调查，得到5家商场的售价x(元)和销售量y(件)之间的一组数据如下表所示：价格x99.5m10.511销售量y11n865由散点图可知，销售量y与价格x之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝－3.2x＋40，且m＋n＝20，则n＝________．【解析】x＝eq\f(1,5)×(9＋9.5＋m＋10.5＋11)＝eq\f(1,5)×(40＋m)，y＝eq\f(1,5)×(11＋n＋8＋6＋5)＝eq\f(1,5)×(30＋n)．因为其线性回归方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝－3.2x＋40，所以有eq\f(1,5)×(30＋n)＝－3.2×eq\f(1,5)×(40＋m)＋40，即30＋n＝－3.2×(40＋m)＋200.又m＋n＝20，所以m＝n＝10.【答案】107．炼钢是一个氧化降碳的过程，由于钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，因此必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系．现已测得炉料熔化完毕时钢水的含碳量x与冶炼时间y(从炉料熔化完毕到出钢的时间)的一组数据，如下表所示：i12345678910xi/0．01%104180190177147134150191204121yi/min100200210185155135170205235125xiyi10400360003990032745227851809025500391554794015125(1)据统计表明，y与x之间具有线性相关关系，请用相关系数r加以说明(|r|≥0.75，则认为y与x有较强的线性相关关系，否则认为没有较强的线性相关关系，r精确到0.001)；(2)建立y关于x的回归方程(回归系数的结果精确到0.01)；(3)根据(2)中的结论，预测钢水含碳量为160个0.01%的冶炼时间．参考公式：回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中斜率和截距的最小二乘估计分别为eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－nxy,\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－nx2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝y－eq\o(b,\s\up6(^))x，相关系数r＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－nxy,\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－nx2))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))yeq\o\al(2,i)－ny2)))).参考数据：x＝159.8，y＝172，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝265448，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))yeq\o\al(2,i)＝312350，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xiyi＝287640，eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－10x2))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))yeq\o\al(2,i)－10y2)))＝12905.【解析】(1)由题得r＝eq\f(287640－10×159.8×172,12905)≈0.991，∵r>0.75，∴可以认为y与x有较强的线性相关关系．(2)eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xiyi－10xy,\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－10x2)≈1.27，∴eq\o(a,\s\up6(^))＝y－eq\o(b,\s\up6(^))x≈－30.95，所以回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝1.27x－30.95.(3)当x＝160时，eq\o(y,\s\up6(^))＝1.27×160－30.95≈172(min)，即大约需要冶炼172min.8．某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．(1)应收集多少位女生的样本数据？(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为：[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.P(K2≥k0)0.100.050.0100.005k02.7063.8416.6357.879附：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）).【解析】(1)300×eq\f(4500,15000)＝90，所以应收集90位女生的样本数据．(2)由频率分布直方图得每周平均体育运动超过4小时的频率为1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.(3)由(2)知300位学生中有300×0.75＝225(位)的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又因为样本数据中有210个是关于男生的，90个是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：男生女生总计每周平均体育运动时间不超过4小时453075每周平均体育运动时间超过4小时16560225总计21090300结合列联表可算得K2＝eq\f(300×（165×30－45×60）2,75×225×210×90)＝eq\f(100,21)≈4.762>3.841.所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．B组题1．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x(元)456789销量y(件)908483807568由表中数据，求得线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝－4x＋a.若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2,3)【解析】依题意得x＝eq\f(1,6)×(4＋5＋6＋7＋8＋9)＝eq\f(13,2)，y＝eq\f(1,6)×(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，又回归直线必经过样本中心点(x，y)，于是有a＝80＋4×eq\f(13,2)＝106.不等式4x＋y－106<0表示的是回归直线的左下方区域．注意到在6个样本数据中，共有2个样本数据位于回归直线的左下方区域，因此所求的概率等于eq\f(1,3).【答案】B2．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得K2≈3.918，经查临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05.则下列结论中，正确结论的序号是________．①有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；②若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；③这种血清预防感冒的有效率为95%；④这种血清预防感冒的有效率为5%.【解析】K2≈3.918≥3.841，而P(K2≥3.814)≈0.05，所以有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”．要注意我们检验的是假设是否成立，和该血清预防感冒的有效率是没有关系的，不是同一个问题，不要混淆．【答案】①3．某村2011年至2017年人均纯收入(单位：千元)的数据如下表：年份2011201220132014201520162017年份代号t1234567人均纯收入2.93.33.64.44.85.25.9(1)求y关于t的线性回归方程；(2)利用(1)中的回归方程，分析2011年至2017年该村人均纯收入的变化情况，并预测该村2020年人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1（ti－t）（yi－y）,∑n,i＝1,7,)（ti－t）2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝y－eq\o(b,\s\up6(^))t.【解析】(1)由所给数据计算得t＝eq\f(1,7)(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4,y＝eq\f(1,7)(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，eq\i\su(i＝1（ti－t）2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，,∑7,i＝1,7,)(ti－t)(yi－y)＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，eq\f(\i\su(i＝1（ti－t）（yi－y）,∑7,i＝1,7,)（ti－t）2)＝eq\f(14,28)＝0.5，eq\o(a,\s\up6(^))＝y－eq\o(b,\s\up6(^))t＝4.3－0.5×4＝2.3，所