经济数学基础期末复习指导

(教改)专科经济数学基础期末复习指导

四川电大余梦涛

经济数学基础是广播电视大学财经、管理各专业的一门统设必修课，也是一门重要的基础

课。该课程计划学时为90,其中电视课36学时，5学分，内容包括一元函数微积分、概率论和矩

阵代数等三部分。教材采用“经济数学基础”(周兆麟编)和李林曙等编的《跟我学经济数学》(均

由高等教育出版社出版)，另外还配有《经济数学基础CAI课件》和《经济数学基础速查卡》等辅

助教学媒体。为了帮助同学更好地学习、掌握教学大纲规定的教学内容，下面给出本门课程的具

体要求。

(-)基本要求

第1章函数

1、基本要求

(1)、理解函数概念，了解函数的两要素-----定义域和对应关系。会判断两函数是否相同。

(2)、掌握求函数定义域的方法，会求函数数值。会确定函数值域。

(3)、了解函数的属性，掌握函数奇偶性的判别，知道它的几何特点。

(4)、了解复合函数概念，会对复合函数进行分解如已知/(g(x))或g(/(x))

求出/(x)和g(x)。知道初等函数的概念。

(5)、了解分段函数概念，掌握求分段函数定义域和函数值的方法。

(6)、理解常数函数、塞函数、指数函数、对数函数和三角函数(正弦、余弦、正切和余切)。

(7)、了解需求、供给、成本、平均成本、收入和利润等经济分析中常见的函数。

(8)、会列简单应用问题的函数关系式。

2、重点

函数概念、定义域求法、函数的奇偶性，儿类基本初等函数、复合函数和经济分析中常见的

函数。

第2章一元函数微分学

1、基本要求

(1)、知道极限概念(数列极限、函数极限、左右极限)，知道极限存在的充分必要条件；

lim/(x)=Au>limf(x)-A

X-^XQXT/I

且lim/(x)=A

(2)、了解无穷小量的概念，知道无穷小与无穷大的关系以及有界变量乘无穷小仍为无穷小

的性质，如

limxsin—=0

x

(3)、掌握极限的四则运算法则和两个重要极限:

..sina(x)

lim---------=1t

a(x)TOa(x)

lim(1+」一)"")=e

夕(X)

lim(1+=e

o(x)->0

(4)、掌握极限的计算方法

(5)、了解函数在一点连续的概念，会求函数的间断点。

(6)、理解导数定义，会求曲线的切线。知道可导与连续的关系

(7)、了解微分概念，即dy=y'dx。会求函数的微分。

(8)、会求二阶导数。

2、重点

极限概念及计算方法，两个重要极限，函数的连续性，导数定义及基本公式，可导与

连续的关系，导数的计算(四则运算法则，复合函数求导法则，隐函数求导法则，二阶导数

第三章导数的应用

1、基本要求

(1)、掌握函数的单调性的判别方法，会求函数的单调区间。

(2)、了解函数极值的概念，掌握极值存在的必要条件和极值点的判别方法。分清函数的极

值点与驻点的区别与联系，会求函数的极值。

(3)、掌握求边际成本、边际平均成本、边际收入和边际利润的方法。会求需求弹性。

(4)、了解最值概念，熟练掌握经济分析中的平均成本最低、收入最大和利润最大等应用问

题的解法。

2、重点

函数的极值及其应用问题。

第四章一元函数积分学

1、基本要求

(1)、理解原函数弓不定积分概念，弄清两者之间的关系。会求当曲线的切斜率已知时，满

足一定条件的曲线方程。知道不定积分与导数(微分)之间的关系。

(2)熟练掌握不定积分的性质

£(，f(x)dx)=f(x),djf(x)dx=f(x)dx

jf'(x)dx=f(x)+c,jdf(x)=f(x)+c

(3)熟记不定积分基本公式

(4)熟练掌握不定积分的计算方法：熟练掌握的直接积分法八第换元积分法(凑微分法)

分部积分法。

分部积分公式为：

^uvdx=uv-Ju/dx或^udv=uv-^vdu

会求被积分函以下类型的不定积分和定积分:

^xneaxdx,sinaxdx,Inxdx,cosaxdx

(5)了解定积分的定义，设f(x,y)在[a,b]上连续，存在F(x),使得F\x)=/(x)

则f/(x)dx="x)l：=F(b)-F(a)

(6)了解不定积分和定积分的性质，尤其是：

£f(x)dx=0

^f(x)dx=-^f(x)dx

[f(x)dx=[f[x}dx+jf(x)dx

(7)熟练掌握不定积分的计算方法：熟练掌握的直接积分法八第一换元积分法(凑微分法)分

部积分法。

分部积分公式为：

uv'dx=uvP-fuv'dx或fudv=uvI：一fvdu

(8)知道无穷限积分的收敛性，会求无穷限积分。

(9)、知道变上限的定积分概念，知道。00=1/。辿是/1⑺的原函数。即

“(x)=/(X)

(10)、记住奇偶函数在对称区间上积分的性质。即/(尤)是奇函数，则有

£f(.x}dx=0

若/(X)是偶函数，则有£fWdx=2£f(x)dx=2£f(x)dx

(2)、重点

原函数与不定积分概念，不定积分的性质，不定积分基本公式，不定积分、的直接积分法,

第一换元积分法(凑微分法)，分部积分法。定积分的计算。

第五章定积分的应用

1、基本要求

(1)掌握用不定积分和定积分求总成本函数、收入函数和利润函数或其增量的方法。

已知边际成本c'(a),固定成本c0，则

C(q)=]C(q)dq+Co

=[C'(t)dt+co(c0=C(0))

AC=,R，Q)dt

已知边际收入R(q),贝IJ：

R(q)=,R<q)dq=

AT?=力

已知Z/(q)(或C'(q),R'(q))和固定成本,则:

L(q)=^L'(q)dq-c0=£L\t}dt-c0

AL=pL'(t)dt

(2)、掌握定积分计算简单的平面图形的面积的方法。

(3)、掌握简单的微分方程的求解方法。

2、重点

积分在经济分析中的应用。

第6章数据处理

1、基本要求

1.了解总体、样本、均值、加权平均数、方差、标准差、众数和中位数等概念，会作频数直

方图和频率直方图。

2.掌握均值、加权平均数、方差、标准差、众数和中位数的计算方法。

2^重点

均值、方差、标准差和中位数等概念及计算方法。

第7章随机事件与概率

1、基本要求

1.理解或了解一些基本概念。主要包括：

(1)知道随机事件的概念，了解概率概念及性质；

(2)知道事件的包含、相等以及和、积、差，了解事件互不相容和对立事件等概念；

(3)会解简单古典概型问题；

(4)了解条件概率概念；

(5)理解事件独立概念。

2.握概概率的加法公式和乘法公式，掌握有关事件独立性的计算。

2、重点

事件的包含、相等以及和、积、差、互不相容和对立事件等概念；事件独立概念，概率的

加法公式和乘法公式，掌握有关事件独立性的计算。

第8章随机变量与数字特征

1、基本要求

1.理解或了解一些基本概念

⑴了解离散型和连续型随机变量的定义及其概率分布的性质；

⑵了解二项分布、泊松分布的概率分布列或密度，记住它们的期望与方差，会计算二项分布

的概率；

⑶了解均匀分布；

(4)理解正态分布、标准正态分布，记住其期望与方差；

(5)了解随机变量期望和方差的概念及性质。

3.熟练掌握一般正态分布的概率计算问题；掌握随机变量期望和方差的计算方法

2、重点

1、离散型和连续型随机变量的定义及其概率分布。

2、二项分布、泊松分布的概率分布列或密度，记住它们的期望与方差，会计算二项分布的概

率；

3、均匀分布；

4、正态分布、标准正态分布，记住其期望与方差；

5、随机变量期望和方差的概念及性质。

6,熟练掌握一般正态分布的概率计算问题；掌握随机变量期望和方差的计算方法

第9章矩阵

1、基本要求

(1)、理解矩阵、行阵、列阵、零阵和矩阵相等等概念。

(2)、熟练掌握矩阵的加法、数乘、乘法和转置等运算。

矩阵乘法还有以下特点：

i.不满足交换律，即AB=BA一般不成立(满足AB=BA的两个矩阵A,B称为可

交换的)。

ii.不满足消去律，即由AC=BC及CHO得不到A=B。当C可逆

时，AC=BC=>A-B

iii.AwO,5wO,可能有AB=O。

(3)、了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角形矩阵和对称矩阵的定义和性质。

(4)、理解矩阵可逆与逆矩阵概念，了解可逆矩阵和逆矩阵的性质。熟练掌握用初等行变换法求

逆矩阵的方法。

⑷)一

(5)、熟练掌握矩阵的初等行变换法。熟练掌握用初等行变换求矩阵的秩、逆矩阵、阶梯形矩阵、

行简化阶梯形矩阵等方法。

(6)、了解矩阵秩的概念，熟练掌握其求法。

(7)、记住以下结论：

(A+8)T=A，+8，

{ABY=BTAT

(kA)'1kAr

(AT)T=A

(AT=A

(AB)-1=

(AT)T=(AT)T

(kA)-1=-A-l(k^O')

k

2、重点

矩阵概念，矩阵乘法运算，可逆矩阵及逆矩阵求法，矩阵的秩，初等行变换。

第10章线性方程组

1、基本要求

(1)、了解线性方程组的有关概念：n元线性方程组、线性方程组的矩阵表示、系数矩阵、增

广矩阵、0解、非。解、一般解和特解。

(2)、理解并熟练掌握线性方程组的有解判定定理。设线性方程组

AX=b,A=(Ab)，则AX=b有解的充分必要条件是

秩(A)=秩(A)

(3)、熟练掌握齐次线方程组AX=0的有关结论和解法。

(4),熟练掌握非齐次线性方程组AX=b的有关结论和解法。

2、重点

线性方程组，有解判定定理和解法。

考试采用闭卷笔试，卷面满分为100分，60分为及格，考试时间为120分钟。

一元函数微积分(含基础知识)、矩阵代数各部分所占分数的比与它们在教学内容中所占课时的

百分比大致相当，一元函数微积分(含基础知识)约占60%,矩阵代数约占20%,概率统计约占

20%o试题类型分为单项选择题、填空题和解答题。单项选择题的形式为四选一，即在每题的四个

备选答案中选出一个正确答案；填空题只要求直接填写结果，不必写出计算过程和推理过程；解

答题包括计算题、应用题或证明题，解答题要求写出文字说明、演算步骤或推证过程。三种题型

分数的百分比为：单项选择题和填空题40%,解答题60%(包括证明题，分数约占5%)。

(二)例题分析

一、函数

例题

例1求函数y=粤02的定义域。

A/2-X

解ln(x-1)的定义域是x〉l,的定义域是x42,但由于万工在分母上，因此

x02。故函数》=华2的定义域就是上述函数定义域的公共部分，B|11<x<2o

A/2-X

(1)理解函数的对应关系/的含义：/表示当自变量取值为x时，因变量y的取值为/(幻。

例如，对于函数>=_/'(》)=/+]11苫+2',/表示运算：

()2+ln()+2()

于是，/(1)=12+lnl+2'=3,/(2)=22+ln2+22=8+ln2o

例2设/(x)=x+l，求/(/6)+1)。

解由于/(x)=x+l,说明了表示运算：()+1,因此

/(/(%)+1)=(/(%)+1)+1=f(x)+2

再将/(x)=x+l代入，得

/(/(x)+l)=(x+l)+2=x+3

(2)会判断两函数是否相同。

从函数的两个要素可知，两个函数相等，当且仅当他们的定义域相同，对应规则相同，而与自

变量或因变量所用的字母无关。

例3下列函数中，哪两个函数是相等的函数：

A./(*)=7?与8«)=卜|

x1-1

B./3=』与8(制="+1

解A中的两个函数定义域相同，对应规则也相同，故它们是相等的函数；B中的两个函数定

义域不同，故它们是不相等的函数。

(3)了解分段函数概念，掌握求分段函数定义域和函数值的方法.

fx-1X>1

例4设/(x)=.一,求函数的定义域及/(2),/(0)。

[VI-Xx<l

解函数的定义域是(-co,8),/(2)=2-1=1,/(0)=VTZ0=l»

2.掌握函数奇偶性的判别，知道它的几何特点；

判断函数是奇函数或是偶函数，可以用定义去判断，即

(1)若/(—x)=/(x),则/(X)为偶函数；

(2)若f(—x)=-/⑴,则“X)为奇函数。

也可以根据一些已知的函数的奇偶性，再利用“奇函数土奇函数、奇函数X偶函数仍为奇函数：

偶函数土偶函数、偶函数X偶函数、奇函数X奇函数为偶函数”的性质来判断。

例5下列函数中，()是偶函数。

A.f(x)-x3sinxB./(x)=x'+l

C./(x)=ax-a~xD./(x)=x1sinx

解根据偶函数的定义以及奇函数义奇函数是偶函数的原则，可以验证A中/和sinx都是奇

函数，故它们的乘积/(x)=x3sinx是偶函数，因此A正确。既然是单选题，A已经正确，那

么其它的选项一定是错误的。故正确选项是A。

3.了解复合函数概念，会对复合函数进行分解：

例6将复合函数y=cos[ln(2x+1)]分解成简单函数。

解y=cosw,M=Inv,v=2x+1»

4.知道初等函数的概念，牢记常数函数、幕函数、指数函数、对数函数和三角函数(正弦、

余弦、正切和余切)的解析表达式、定义域、主要性质及图形。

基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质及图形微积分常要用到，一定要熟练掌握。

5.了解需求、供给、成本、平均成本、收入和利润函数的概念。

6.会列简单应用问题的函数表达式。

例7生产某种产品的固定成本为1万元，每生产…个该产品所需费用为20元，若该产品出售

的单价为30元，试求：

(1)生产x件该种产品的总成本和平均成本；

(2)售出X件该种产品的总收入；

(3)若生产的产品都能够售出，则生产x件该种产品的利润是多少？

解(1)生产x件该种产品的总成本为C(x)=10000+20x：

平均成本为C(x)=坦S+20o

x

(2)售出x件该种产品的总收入为R(x)=30x。

(3)生产x件该种产品的利润为

L(x)=R(x)-C(x)

=30x-(10000+20x)

=10x-10000.

二、极限与连续

例i当无。0时，/(*)=匕如互，又/(X)在％=0处连续，求)(v。

X

11+2v

解；Vlim/(.r)=lim-^

x->0x->0%

..(1-Jl+2x)(1+Jl+2尤)

-=lim---------------.----------------

M1+Jl+2x)

=lim-------/一

…o1+V1T2X

=-1

.*.f(O)=-l

例2当X时，/(幻=空匹，又/(x)在x=0处连续，求f(0)。

X

解：;

「▲/、「sin2x

limf(x)=lim----------

x—>0x—>0%

sin2x__

=lim----------.2=2

…。2x

/.f(0)=2

例3当Rf+8时，下列变量中，()为无穷小量。

(A)Inx(B)Sin%(C)(D)e'-1

XX+1

解：;

...IQ-SinA：c

A.limInx=oo,B.lim----------=O

X->4-00X->4-00X

2

C.lim-----=ooZ).lim(e"—1)=oo

X—>4-00X-|-]X—>4-00

答案:(B)

例4当X-0时，下列变量中()为无穷小量。

(A)ex-1(B)COSX

(C)2"(D)Inx

解：；

A.lim(e'-1)=OB.limcosx=1

0x->0

C.lim2v=\D.limInx=oo

x->0x->0+

答案：(A)

例5函数

fx2+lX>2

1/c当xf2时，f(x)极限存在,

x+ax<2

贝lja=o

limf(x)=lim(x+a)=2+a

xf2-12一

解..lim，(x)=limM+1)=5

12+.92+

2+a=5a=3

例6下列结论正确的是()o

ixQinx

(A)lim(l+—)=e(B)lim-------=1

a。xisx

i

1.一

(C)limxsin—=0(D)lim(l+%)*=e

x->0xx—>oo

答案：(C)

例7设

/'(x)=12x+l°.，贝lja=()时，f(x)在x=0处连续。

[a+20<;

解：f(O)=l

lim/(x)=lim(a+2)=a+2

Xf0-x->0"

limf(x)=lim(2x+1)=1

x->0+Xf0+

a+2=la="l

(A)0(B)1(C)2(D)-1

答案：(D)

例8数列1,0,-1,1,0,-1,.....(

(A)收敛于-1(B)收敛于1

(C)收敛于0

答案：(D)

例9求极限

X2—5x+6

1.lim

.¥->3x-3

解：原式

(x—2)(x—3)[.

=lim------------------=lim(x-2)=1

x->3x—3XT3

「2n2+l

2.hm—；-------

2

X->83n-2«+3

解：原式

2+

~T2

=lim———“c

x->8.233

3——+不

nrr

品（工-；’）

解：原式

x+1—2x—1

=lim=limlim------=一

Xf1(x—l)(x+Di(x-l)(x+l)…ix+12

「sin3x

4.lim-------

XT。X

解：原式

sin3x

=lim・3=3

Xf03x

—COSJC

5.lim

x—►O工2

解：原式

2sin2—sin—..

lim------21im(----------)2.—=—

10X.10x42

2

6.limfl—kx^)x

x->o

解：原式

__

=lim[l+(—履)]"=e~k

x->0

7.lim(l+2)，

▲eX

2-.2

解：原式=lim(l+-)2=r

xrOJ

..—5x+6

8.lim-----；--------

x->3x~—9

原式=lim，"_2)(*_3)=lim^—

解:

原'x-3(%_3)(%+3)x-3%+36

1.Jl+龙-1

9.lim--------------

10x

解:原式

=lim他三兽叵起..1+x—111

=11m.-----=lim,——=—

i。x(Jl+x+l)x->0x(Vl+x+1)XTOJI+X+12

10.lim(l+—)2x+5

*f8x

解：原式

=lim(l+-)2v.lim(l+-)5=lim(l+-)v2.l=e2

x—>00Xx—>00XXf8X

ILlim2nsin—

n->oo2"

解：原式

.x

sin——

=lim-----.x=x

28X

2〃

2x3+1

12.lim

Xf85A:2+3

解：原式

2+4

=l「im——X=oo

A-XO53

sin(x2-4)

13.lim

XT2x-2

解：原式

sin(x2-4)

=lim------------.(x+2)

2

32x_4

sin(x2-4)

=lim------------.lim(x+2)

x2_4x->2

=4

三、导数与微分

例1求曲线y="在x=l处的切线

的方程。

解：y'=e'，yLi=e

又x=1时，y=e

・'.切线方程为:y-e=e(x-l)

即：y=ex

例2设需求函数为q=1000eW/25。其中q为需求量，p为价格。

试求：

(1)需求量q对价格p的弹性；

(2)当价格p=10时，求需求弹性值，并说明其经济意义。

解：(1)需求量q对价格p的弹性为

q=1()()()/°必。

g'=100(k<,,25p(-0.125)

•••需求量q对价格p的弹性为:

〃=p.一q'

q

lOOOe~0」25p(o.i25)

=—0.125p

=p-lOOOe《⑵。

(3)当p=10时，需求量q对价格p的弹性

20=T25

(负号表示需求量q是价格的单调减函数)。其经济意义为：在价格p=10

的基础上，若价格提高(减少)1%,需求量将减少(增加)1.25%。

例3:下列结论中()是正确的。

A.f(x)在x=x0处连续，则f(x)在X。处可导。

B.f(x)在x=x0处极限存在，则f(x)在X。处有定义

C.f(x)在X。处有定义，则f(x)在X。处有极限

D.f(x)在X。处不连续，则f(x)在xo处不可导

答案：(D)

例4试在曲线2》=江求一点，使过该点的切线方程平行于直线y=1x-\.

解：已知直线的斜率为k=2。

又由线在任一点的切线斜率为k=y'=（x~y=2x

要使切线平行于已知直线，就要求斜率相等，即2x=2,

・，・x=l,y=l2=l

2

故曲线>=不在（1,1）点的切线平行于已知直线y=2x・l。

例5求下列函数的导数或微分：

X-

(1)y=—j=----,求dy。

Vx+1

解：

_(号，(&+1)--(6+1)，2x(4+1-.古

(77+1)2-(五+1)2

+1)—x2_3x2-t-Axyfx

2y(五+1--2&V7+1-

,,.3x2—4xy[x.

:.dy=yax=———~产-------ax

“2V7(VX+I)2

(2)y=ex+x4x,求y.。

解：

_i_13

y'=(eA)'+(xVx),=(exy+(x^y

(3)求y,\x=o。

解:

y,=e*+2.r-i(__+2x—iy=(2—2x)e-x'+2x-'

7

.3"2(iL=2e-七

(4)y=eaxsinbx,求y'。

解：

y'=eax.(ax)'sinbx+eax.cosbx.(bx)'=eax.asinbx+ea'.cosbx.b

=eax(asinbx+bcosbx)

.i

sin—

(5)y=3',求y'。

解：

sin—1sin—11

y'=3A.ln3.(sin—)'=3X.lnx.cos—

xxx

sin—]1In31sin—

=3,ln3.cos—・(一一-)=——-(cos-).3、

XXXX

(6)y=ln[cos(^')]求y'(0)

y'=---7-7-(cosex)'=-----1――(—sinex).(eA)'

cos(e)cos(e)

=—ex.tgex

(7)y+xey=1,求y(o)。

解：这是隐函数，方程两端同时对x求导。

y'+(xev)'=l

y'+ey+xey.y'-0

y'(l+xey)=­ey

,ey

：.y=---------

\+xey

又,.,x=0时，代入原方程y=l

•*-yI,r=0=­e

~~1+0e

(8)ex+y-xy=1,求y。

解；这是隐函数，方程两端同时对X求导。

2x+2y.y'-(1-y+xy')+3=0

2x+2y-y'-y—xy'+3=0

y'(2y—x)=y—2x—3

,=2-2£^3

2y-x

,riy-2x-3

ay=yax=-----------ax

2y-3

y=xe

(11)x求y"

解：求函数的二阶导数时，先求一阶导数，再求二阶导数。

y,=x,ex+x(exY=ex+xex

=(1+x)ex

y"=[(1+x)ex\=1•e*+(1+x)ex

=(2+x)ev

（12）y=尤cos尤求y"

解：

yr=cosx+x-(cosx)f

=cosx-x-sinx

yn=[cosx-x-sinx]

=-sinx-(1.sinx+x-cosx)

=-2sinx-xcosx

例6：下列等式中()是正确的。

A.―Jdx=d(，2一)

JB.Inxdjc=d(—)

x

1,1、

c.-------dx=d(——)

Xx

D.sinxdx=d(cosx)

答案：D

三、导数的应用

例1在指定区间［—10,10］内，函数y=（）是单调增加的。

A.sinxB.e-vC.x2D.ln（x+20）

解这个题目主要考察同学们对基本初等函数图形的掌握情况。因它们都是比较简单的函数,

从图形上就比较容易看出它们的单调性。

A中sinx是正弦函数，它的图形在指定区间［—10,10］内是波浪形的，因此不是单调增加函数。

B中e-*是指数函数，（er）'=-er<0,故它是单调减少函数。

2

c中r"是幕函数，它在指定区间［-io,io］内的图形是抛物线，因此不是单调增加函数。

根据排除法可知正确答案应是1）。

也可以用求导数的方法验证：在指定区间［—10,10］内，只有（ln（x+20））'=—5—〉0

x+20

故y=ln(x+20)是单调增加函数。

正确的选项是D。

(2)函数/(x)=x—Inx的单调增加区间是()。

解用求导数的方法，因

f'(x)=(x-Inx)'=1-工

x

令/(X)=1—L>0,则X>1,则函数的单调增加区间是(L+OO)。

X

2.了解一些基本概念。

(1)了解函数极值的概念，知道函数极值存在的必要条件，知道函数的极值点与驻点的区别

与联系；

(2)了解边际概念和需求价格弹性概念；

3.熟练掌握求经济分析中的应用问题(如平均成本最低、收入最大和利润最大等)，会求几

何问题中的最值问题。掌握求边际函数的方法，会计算需求弹性。

例2经济应用题

1.生产某种产品令台时的边际成本(7(4)=2.54+1000(元/台)，固定成本500元，若已知

边际收入为R'(q)=2q+2000,试求

(1)获得最大利润时的产量；

(2)从最大利润的产量的基础再生产100台，利润有何变化？

解这是一个求最值的问题。

(1)L'=R'-C'

=29+2000-(2.5^+1000)

=-0.5^+1000

令〃=0,求得唯一驻点4=2000。因为驻点唯一,且利润存在着最大值，所以当产量为2000

时，可使利润达到最大。

(2)在利润最大的基础上再增加100台，利润的改变量为

AL=£：：(-0.5q+1000)dq

2100

=(-12+1000幻=-2500

42000

即利润将减少2500元。

2.设某产品的成本函数为

C(q)=石q2+3q+io()(万元)

其中4是产量，单位：台。求使平均成本最小的产量。并求最小平均成本是多少？

……K、C(q)1c100

平均成本C(q)=-----=—q+3n-----

q25q

Gq）」

25q-

解得田=50(台)，^2=-50(舍去)

因有意义的驻点唯一，故q=50台是所求的最小值点。当产量为50台时，平均成本最小。

最小平均成本为

«50）=［上q+3+图］方5。=7（万元）

3.生产某种产品的固定费用是1000万元，每多生产1台该种产品，其成本增加10万元，又知对

该产品的需求为q=120-2p(其中q是产销量，单位：台;0是价格,单位:万元).求

(1)使该产品利润最大的产量；

(2)该产品的边际收入.

解(1)设总成本函数为C(g),收入函数为R(q),利润函数为L(q),于是

C(q)=10q+1000(万元)

R{q)=qp=60q-g/(万元)

1_

L(q)=R(q)-C(q)=5Qq--q~9-1000(万元)

〃(g)=50-g=0

得到4=50(台)。

因为驻点唯一，故q=50台是所求最小值点。即生产50台的该种产品能获

最大利润。

1.

⑵因R(q)=60g-,q-,故边际收入R(q)=60—g(万兀/台)。

(3)例3确定/(%)=2%3—9%+128-3的单调区间。

解：该函数的定义域为(—8,+8)

/'(%)=6尤2-18%+12=6,-3x+2)=6(x—l)(x—2)

令0=)%('/,得％i=1,%2=2

〈

(1,2)(2,+00)

+一+

f'M

/(x)

/\/

函数f(x)在(―8,1)及(2,+00)内单调增加，在(1,2)内单调减少。

例4设q=100-8p为需求函数，当需求量q=()时，总收入R最大。

A、100B、50C、200D、25

答案：(B)

例3若/)=O,则“°是f(x)的()。

A、极大值点B、最大

C、极小值点D、驻点

答案：(D)

例5若函数f(x)在［a,b］内恒有jT'(x)VO,则f(x)在［a,b］上的最大值为

答案：f(a)

例6当x=4时，y=JC2-+-px+q取得极值，则p=。

解："'=2x+p

令y=O,x=_]

——=4p=—8

2

答案：-8。

例7设函数f(x)在点]。的领域可导，而且/’(%())=0如果/'(X)在点％()的左右由正变负,

则/(%)为f(x)的。

答案：极大值。

例8求函数“xQxln%的极值。

解：此函数定义域为(0,+8)

/'(x)=(xln2x),-In2x+x.21nx.—=In?x+21nx=lnx(2+lnx)

X

令f'(x)=0,即In%.(2+In%)=0

2="2

得X1=l,x

X1

(0人)2-2

e~(6J)(1,+8)

+0-0+

/'(X)

0

fix)4"2

由上表可知，函数/(x)在％=0-2处达到极大值，极大值为了(6-2)=4"2：函数/(X)

在x=l处达到极小值，极小值为f(l)=0。

例9已知生产某种商品(单位：千件)的成本函数为c(q)=0.坨2+]5q+22.5(单位：千元),

试求使该产品的平均成本最小的产量和最小平均成本，并求此时的边际成本。

解：设生产q千件产品的平均成本为丽一

则

花)=侬=^^^=。.均+15+经

qqq

qe(0,+oo)

22.5

c0=0.1

q2

令C(9)'=0,解得q=15,q=-15(舍去)

Vq=15是平均成本函数c(q)在定义域内的唯一驻点。

，q=15是平均成本c(q)的极小值点也是最小值点。

即当产量q=15千件时，该产品的平均成本最小，最小平均成本为为C7F)=18(千元)。

又：边际成本c\q)=0.2q+15

...当q=15时，C'(15)=18即当产量为15千件时的边际成本为18千元/千件。

例10某厂生产某种产品，其固定成本为2000元，每生产1吨产品成本增加60元，对这种产品的

市场需求规律为q=1000-10p(q为需求量，p为价格)，试求：

(1)成本函数，收入函数；

(2)产量为多少吨时利润最大；

(3)获得最大利润时的价格及需求弹性。

解(1)成本函数c(q)=Co+C](q)

.•.C(q)=2000+60q,收入函数R(q)=p.q,Vq=1000-1Op

»=100———<7

10

R(g)=(100-\q)4

=100«?--o2

10

(2)利润函数L(q)=R(q)-C(q)

L(q)=]00g-(2000+60g)=-+40q-2000

L'(q)=-；q+40令L'(q)=0,则q=200

•.•在定义域内，L(q)只有唯一的驻点；

.•.产量q=200吨时，利润最大。

⑶\=]00_,

利润最大时的价格p=100—±X200=80(元)

又.需求函数7=1000-10/?,</'=-10

.•.需求弹性

n，TOI。。P

q1000-10/?10/7-1000p-100

价格p=80元时，需求弹性7=4。

四、不定积分

例1已知

f(x)=J,।2dx>贝U尸(0)=---------------»

/'(0)=1

答案：1

例2设Jf(x)dx=]—12+c，则/(%)=

1-7%

解

小上2x

答案：Z-?

(")2

例3

答案:sinx+c

.2

例4下列函数中，（）是xsin%的原函数。

122r

(A)-COSX(B)XCC

2

c212

(C)-2cosx(D)--cosx

2

解：

cos%2)'=--.(-sin^2)(x2)'=—sinJC2.2X=xsin%2

222

答案:(D)

例5若=-e*+c,贝ij/(幻=()。

iiJ__J_

(A)—(B)——(C)-(D)-2

Xx2%-X

解：

「-~~1111-

f(x)ex=(-ex)'=-ex.(—)'=-ex.(—7)-—^ex

xxx

x

答案：(B)

例6计算下列不定积分：

1.dx

解：原式=

1,12o-1-

Jc-1(5-X92)2J(5-X2)=-1.-(5-X2)2+c=—；(5一%92/+c

2.jp-ydx(卜二dx=arctan%+c)

j—^：dx-\-^rdx=-\-Lyd(l+12)_J—=dx

解：原式J+%2，+%221+x21+x2

12

=-ln(l+x)-arctanx+c

3.Jxsin2xdx

解：

u=x,v'=sin2x

u'-l,v=fsin2xdx--gcos2x

原式=

——xcos2x-f--cos2xdx=--xcos2x+—fcos2xdx

2J222J

=—1XCOS2cXH—11rcos2cxd,2cx

222J

1c1•-

=——xcos2x+—sin2x+c

24

4.J(x+l)cos3xiZr

解：

”=x+1,v1=cos3x

u'=1,v=fcos3xcte=—sin3x

J3

原式二

；(x+l)sin3x--jsin3xdx=-(x+1)sin3x--Jsin3无d3x

=；(x+1)sin3x+—cos3x+c

sin

5.dx

4x

解：原式二

^sinyfx小=2jsin4xd4x=-2cos4x+c

2x

6.\xe~dx

解：

u—x,v*=e"

w1=1,v=\e~^xdx=--e~^x

2

，原式二

1.1r

——xe2x+-\e~2'dx=--xe~2x-e-2x^c

22J24

7.理今dx

X

解：原式:

3

i」

^yfxdx-3—dx=­x2-3.+c=2/+64+c

3

------bl

2

8.Md.

X

2।

3

解：原式=](111%)dlnx=J.Qnx)+c

解：原式二

1r__11--+11—

3333333

-J(X-2)J(X-2)—(X-2)+C=-(X-2)+C

----F1

3

•o.Jln(x+l)dx

解：

u=ln(x+l),v'=1

,1

u=----,V=X

x+1

原式=

xln(x+1)-FXdx=xln(x+1)-["+)——dx

Jx+1Jx+1

=xln(x+1)-J[1-----]dx=xln(x+1)-J1.dx+J----d(x+1)

=xln(x+1)-x+ln(x+l)+c

例7曲线y=/(X)在点x处的切线斜率为-x+2,且曲线过(2,5)点，求该曲线方程。

解：•.•曲线y=/(兀)在点X处的切线斜率为-X+2,...y'=-％+2.

1Y2

y-=j(-x+2)dx—X+2x+c

2

即尸一#+25T22+2*

即c=3；.曲线方程为1

V=——X2+2x+3

2

定积分

例।g£f(x)dx

dx

答案：0

例2设f(x)是［-a,a］上奇函数，则定积分

f(x)dx=-

答案：o

dr则P'(X)=

答案：-1

i+ji2

例4设尸(％)=^e~fdt，则F1(o)=。

解：

F\x)=e-x：.F'(0)=e°=1

答案：1

例5下列定积分值为0的为()。

2

(A)(B)f2%cosxdx

35

(C)j?2(?+?)^(D)£2(x+3x+l)Jx

答案：(C)

例6计算下列定积分

<.丁丁1一八

」+Inx

解：原式=

31e3

1r/d(lnx)=[.1J(l+lnx)

JVl+