立体几何答案

专题八立体几何初步

第二十二讲空间几何体的三视图'表面积和体积

2019年

1.解析该模型为长方体,挖去四棱锥O—EFG〃后所得的几何体，其

中O为长方体的中心，£,p,G，H'分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm,

AA,=4cm,

所以该模型体积为:

11,

匕-Vo-EFGH=6x6x4--x(4x6-4x-x3x2)x3=144-12=132(cm),

3D打印所用原料密度因为为0.9g/cm3,不考虑打印损耗,

所以制作该模型所需原料的质量为：132x0.9=118.8(g).

2.解析因为长方体ABC。-A4GA的体积是120,E为CG的中点，

所以KtBCP-4,B,c,D,=ABXBCXDD]=120,所以三棱锥E-BCD的体积：

K」xSxCE=-x-xBCxDCxCE=—xABxBCxDD,=10.

C-oCZv3RorCnzv32]2

3.解析由题可知，四棱锥底面正方形的对角线长为2,且垂直相交平分，由勾股定理得，正

四棱锥的高为2.

因为圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，则圆柱的上底面直径为底面正方形

对角线的一半等于1，即半径等于,，由相似比可得圆柱的高为正四棱锥高的一半，为1.

2

[1YTt

所以该圆柱的体积为V=S"=n—xl=_.

⑴4

4.解析：由Q4=~B=PC及△A3C是边长为2的正三角形可知，三棱锥P—ABC为正

三棱锥，

则顶点P在底面的射影0为底面三角形的中心.连接BO并延长，交4c于G,

则AC_LBG,又POJ_AC,POIBG=O,可得AC,平面P8G,贝ij尸8_L4c.

因为E,F分别是孙，A8的中点，所以EFPPB.

又NCEF=90°,BPEF1CE,所以PBLCE,得P8J_平面以C

所以P8_L%,PBLPC.

又因为B4=P8=PC,△ABC是正三角形，

所以△QACgAPBC/△/VLB,故Q4_LPC

所以正三棱锥P—ABC的三条侧棱两两互相垂直.

把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，

其直径为正方体的体对角线的长度，即4=巧2+依2+小2=瓜半径为手,

则球0的体积为g兀x|半)="兀.故选D.

5.解析：由三视图还原原几何体如图，

该几何体为直五棱柱，底面五边形的面积可用两个直角梯形的面积求解,

即S五边形ABCDE=34+6)X3+；(2+6)X3=27，高为6,

则该柱体的体积是V=27x6=162.

故选B.

6.解析：由三视图还原原几何体如图所示，

HG

该几何体是把棱长为4的正方体去掉一个四棱柱，

贝U该几何体的体积V=KE方体-唳棱柱=4x4x4-^x（2+4）x2x4=40.

2010-2018年

1.C【解析】解法一将三视图还原为直观图，几何体是底面为直角梯形，且一条侧棱和底

面垂直的四棱锥，如图所示，

易知，BC//AD,BC=1,AD=AB=PA=2,ABLAD,姑_L平面ABC。，

故△%O,APAS为直角三角形，；J.平面ABC。，BCu平面ABC。，

PA±BC,又BC工AB,且出。48=4,；.8C_L平面抬6,又PBu平面

PAB.3C_LPB,...△PBC为直角三角形，容易求得PC=3,CD<,PD=2五,

故APCZ）不是直角三角形，故选C.

解法二在正方体中作出该几何体的直观图，记为四棱锥P-A6CD,如图，由图可

知在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为3,故选C.

2.B【解析】由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱，该圆柱的高为2,底面周长

16.画出该圆柱的侧面展开图，如图②所示，连接MN,则MS=2,SN=4,则从M

到N的路径中，最短路径的长度为，邓2+和2=^22+42=26.故选B.

M____________________________________

_______'、'、、、、________________________________________

SN

图②

3.A【解析】由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，梯头看不见，所以

是虚线，结合梯头的位置知选A.

4.B【解析】设等边三角形ABC的边长为x,贝ijL/sinGO=9百，得x=6.

2

设AA6C的外接圆半径为r,则2r=」一，解得r=2g,所以球心到AABC所

sin60

在平面的距离d=押-(2扬2=2,则点D到平面ABC的最大距离4=a+4=6,

所以三棱锥体积的最大值匕〃8cx6=1x9Gx6=18百.故选B.

ni<tA3Zjziov-3

5.D【解析】如图以AR为底面矩形一边的四边形有AAGC、A4Q。、A4,&E4

个，每一个面都有4个顶点，所以阳马的个数为16个.故选D.

6.C【解析】由三视图可知，该儿何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何体

的体积V=；x(l+2)x2x2=6.故选C.

7.B【解析】由题意可知，该几何体是由一个三棱锥和一个三棱柱构成，则表面所有梯形

之和为2x；(2+4)x2=12.选B.

8.B【解析】解法一由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3,高

为4的圆柱，其体积匕=TTX32X4=36兀，上半部分是一个底面半径为3,高为6的圆

柱的一半，

1,

其体积匕=5X（7ix32x6）=27n,

故该组合体的体积V=K+%=36兀+27兀=63兀.故选B.

解法二该几何体可以看作是高为14,底面半径为3的圆柱的一半，所以体积为

1,

—（^x3'）xl4=63^.选B.

9.B【解析】圆柱的轴截面如图，AC=1,AB=-,所以圆柱底面半径r=8C="，

22

那么圆柱的体积是V=7rr2h=万x（*）2x1=（万，故选B.

10.A【解析】该几何体是由一个高为3的圆锥的一半，和高为3的三棱锥组成（如图），

其体积为：1（^XTTX12X3）+1（^X2X1X3）=1+1.选A.

11.B【解析】借助正方体可知粗线部分为该几何体是四棱锥，

2

2

最长的棱长是体对角线，所以收2+22+22=2百.选B.

12.C【解析】由三视图可知，四棱锥的底面是边长为1的正方形，高为1,

11py

其体积V=—x『xl=—.设半球的半径为R,则2R=&,即R=J,

'332

所以半球的体积匕='x生x（变>=也万.

2326

故该几何体的体积v=K+%=’+也%.故选C.

36

13.A【解析】由三视图可得此几何体为一个球切割掉!后剩下的几何体，

8

7492

设球的半径为「，故‘X?万，=丝〃，所以r=2,

833

73

表面积S=—x4万产十二万r2=17万，选A.

84

14.C【解析】该几何体是圆锥与圆柱的组合体，

设圆柱底面圆半径为「，周长为。，圆锥母线长为/,圆柱高为力.

由图得r=2,c-2KK—4K,由勾股定理得：/=1。+（2百）=4,

2

S表=nr+ch+；ci=4兀+16兀+8兀=28兀,故选C.

15.B【解析】由三视图可得该几何体是平行六面体，上下底面是边长为3的正方形，故面

积都是9,前后两个侧面是平行四边形，一边长为3、该边上的高为6,故面积都为18,

左右两个侧面是矩形，边长为和3,故面积都为96，则该几何体的表面积为2（9

+18+96）=54+186.

16.C【解析】由题意得，该几何体为一立方体与四棱锥的组合，

I32

体积丫=2?+—x22x2=—，故选C.

33

17.D【解析】由三视图知：该几何体是半个圆柱，其中底面圆的半径为1,母线长为2,

所以该几何体的表面积是gx2万xlx(l+2)+2x2=3%+4,故选D.

18.A【解析】这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，

V=—^xl2x2+-x(—xxlx2)xl=^-+—,选A.

2323

19.D【解析】如图，设正方形的棱长为1,则截取部分为三棱锥A-4瓦0,其体积为工,

6

又正方体的体积为1,则剩余部分的体积为9,故所求比值为

65

20.B【解析】在长、宽、高分别为2、1、1的长方体中，该四面体是如图所示的三棱锥

P-ABC,表面积为^xlx2x2+@x(及)2x2=2+百.

24

21.A【解析】由圆锥的对称性可知，要使其内接长方体最大，则底面为正方形，令此长方

X2—h

体底面对角线长为2x,高为〃，则由三角形相似可得，-=——，所以%=2—2x,

12

2x+x+22x3

xe(0,1),长方体体积V长方体=(&x)2〃=2x(2-2x)W2(~)=3，

2

当且仅当x=2-2r,即x=2时取等号，Klf(f=-7rxlx2=—,

3圆锥33

16

故材料利用率为“=2，选A.

2万9兀

T

22.B【解析】由三视图可知，此组合体是由半个圆柱与半个球体组合而成，其表面积为

乃户+2万尸+4产+27/=207+]6,所以r=2.

23.B【解析】如图,

设辅助正方体的棱长为4,三视图对应的多面体为三棱锥A-BCD,最长的棱为

AZ)=J(4&+22=6,选B.

24.C【解析】原毛坯的体积V=(万x3?)x6=54万，由三视图可知该零件为两个圆柱的组

合体，其体积£'=%+%=5x22)x4+5x32)x2=34万，故所求比值为

,V'10

1------=----.

V27

25.A【解析】如图，将边长为2的正方体截去两个角，

S表=2x2x6—gxlxl+2x¥x(&)2=21+6

26.A【解析】圆柱的正视图是矩形，.♦.选A.

27.D【解析】由三视图画出几何体的直观图，如图所示，则此几何体的表面积

S=S「s正方形+S2+2s3+S斜面，其中S1是长方体的表面积，

S2是三棱柱的水平放置的一个侧面的面积，53是三棱柱的一个底面的面积,

可求得S=138(C，〃2),选D.

28.C【解析】由题意可知由面面垂直的性质定理可得AT),平面。AG,

又AZ)=2-sin60=百，所以匕=-ADS^=-XA/3X!X2X73=1,

/i-£Bj|ZDyC|3zA£>|DZyC(_13<2

故选c.

29.A【解析】圆柱的底面半径为1,母线长为1,S侧=2〃*lxl=2万.

30.B【解析】直观图为棱长为2的正方体割去两个底面半径为1的！圆柱，所以该几何体

4

的体积为23-2x乃xFx2x^=8—万.

4

31.C【解析】由几何体的形成过程知所得几何体为圆柱，底面半径为1,高为1,其侧面

积S=2兀rh=2兀.

32.B【解析】由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组成.从上往下看,

外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接的两个三角形.

33.A【解析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2高为4,上边放一个

长为4宽为2高为2长方体，故其体积为’》x22x4+4x2x2=16+8乃，故选A.

2

34.A【解析】还原后的直观图是一个长宽高依次为10,6,5的长方体上面是半径为3高

为2的半个圆柱.

35.C【解析】几何体是圆柱与圆锥叠加而成它的体积为

V-71x3x5+—^-x3-xJ52-32=57万

3

36.B【解析】由三视图可知该几何体的体积：V=%XFX2+'X乃XFX2=3).

2

37.D【解析】通过正视图及俯视图可看出该几何体为半个圆锥和一个三棱锥的组合体，故

侧视图可以为D.

38.C【解析】由三视图可知该几何体是底面为等腰梯形的放倒的一个直四棱柱，如图，所

以该四棱柱的表面积

S=2x』x(2+4)x4+4x4+2x4+2xJl+16x4=48+8而.

39.D【解析】选项A正确，•••SD_L平面ABC。，而AC在平面ABC。内，所以

AC_LS£>.因为A3CD为正方形，所以而8。与SO相交，所以AC,

平面S3。，所以AC，S3；选项B正确，因为ABCD,而CD在平面SCO内，AB

不在平面SCD内，所以AB平面SCD；选项C正确，设AC与80的交点为

连结SO,则S4与平面SBO所成的角NA5O,SC与平面SBO所成的角NCSO,易

知这两个角相等；选项D错误，与SC所成的角等于NSC。，而。C与S4所成

的角等于NS48,易知这两个角不相等.

40.C【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面

长方体的4个侧面积之和.5=2(10x8+10x2+8x2)+2(6x8+8x2)=360.

41.B【解析】该几何体上半部是底面边长为4cm,高为2cm,的正四棱柱，其体积为

4x4x2=32(c/??)；下半部分是上、下底面边长分别为4cm,8cm,高为2cm的正四

1224224320

棱台，其体积为：x(16+4x8+64)x2=(,故其总体积为32+子=子.

\【解析】连接CD,BA,B]C,AC,因为E,H分别为AQ,CQ的

42.}}

中点，所以£H〃AC,EH=^AC,因为F,G分别为gA,4c的中点，

所以FG〃AC,FG=-AC,所以EH〃FG,EH=FG,所以四边形为

2

平行四边形，又EG=HF,EH=HG,所以四边形石”G尸为正方形，又点M到平

面EHGF的距离为:，所以四棱锥M—EFGH的体积为gx吟丫*；=卷.

43.-【解析】正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体是正八面体，其中正

3

L]=4

八面体的所有棱长都是及，则该正八面体的体积为§X(0)2x2=§.

44.4V15【解析】如图连接OE交AC于G,由题意O£_LAC,设等边三角形ABC的

边长为x(0<x<5),则0G=3X,GE=5-—X.

66

由题意可知三棱锥的高h=^GEr-OG2=J(5-

底面SMBC=¥X2，

三棱锥的体积为丫=！乂@

x2x25-—x

34V3

设〃(%)=5/一日/，则“(幻=20%3一毛丁(0〈尤<5),

令"(x)=0,解得x=4百，当xe(0,4百)时，〃'(x)〉0,〃(x)单调递增;

r

当工£(4A反5)时,h(x)<0,/?(%)单调递减，

所以x=4石是/?(%)取得最大值力(4百)=(4百六

所以匕皿=普乂7^3?=普乂(46)2=4后.

Qjr

45.—【解析】设正方体边长为a,由6/=18,得〃=3,

2

/-4c4279

外接球直径为2R-y/ici=3,V=—TIR3=—兀x—=—兀.

3382

7T

46.2+-【解析】由三视图可知，长方体的长、宽、高分别为2,1,1,圆柱的高为1,底面圆半

2

7TX127T

径为1,所以V=2xlxl+2x----xl=2+-.

42

47.-【解析】设球的半径为r,则匕=吟巨=3.

2匕72

3

48.2【解析】根据三视图可知该四棱锥的底面是底边长为2m,高为1m的平行四边形，四

棱锥的高为3m,故其体积为，x2xlx3=2(m3).

3

Q

49.—7【解析】由三视图可知，该儿何体是中间为一个底面半径为1,高为2的圆柱，两

3

端是底面半径为1,高为1的圆锥，所以该几何体的体积

V=l2x^-x2+2x-xl2x^-xl=-^-.

33

50.12【解析】由题意知，该六棱锥是正六棱锥，设该六棱锥的高为力,

则!x6x亚x22x/?=2j^,解得力=1,底面正六边形的中心到其边的距离为百，

34

故侧面等腰三角形底边上的高为行仃=2,该六棱锥的侧面积为12x2=12.

2

51.2V2【解析】由题意可知直观图如图所示，结合三视图有平面A8C,24=2,

AB=BC=近,C4=2,所以~B=+=瓜，

PC=y]PA2+AC2=272,...三棱锥最长棱的棱长为2a.

3

52.-【解析】设甲、乙两个圆柱的底面半径分别是不弓，母线长分别是

S9r3

则由五=一，可得_L=2.又两个圆柱的侧面积相等，即2乃科=2万为6,

$24弓2

53.V3【解析】设正方体的棱长为。，则正方体的体对角线为直径，即、危=2r,即球

半径r=@a.若球的体积为也，即d旗正“)3=也，解得。=百.

22322

54.1：24【解析】三棱锥E-ADE与三棱锥4-A5C的相似比为1：2,

故体积之比为1：8.又因三棱锥A-A5C与三棱柱A4G—A8C的体积之比

为1：3.所以，三棱锥尸—ADE与三棱柱A|B|G-ABC的体积之比为1：24.

另：^=1sAD^=lxlsAfiCxl/22=-L^,所以匕：匕=：.

55.38【解析】由三视图知，此几何体为一个长为4,宽为3,高为1的长方体中心，去除

一个半径为1的圆柱，所以表面积为2x(4x3+4xl+3xl)+24-2k38.

56.92【解析】该几何体是底面是直角梯形，高为4的直四棱柱几何体的表面积是

S=2x；x(2+5)x4+(2+5+4+j42+(5—23)x4=92.

57.G【解析】V^^PA-SMIIC=1-3-1-2-2-sin60=JL答案应填百.

58.1-【解析】由圆锥底面面积是这个球面面积3的三，得7TK~方3=±,所以r—-=y/3则

3164兀R?16R2

小圆锥的高为四，大圆锥的高为羽，所以比值为

223

59.【解析】(I)证明：。。，平面反⑺/^匚^四一二平面产皿,平面？^。。，

平面PCDCl平面ABCD=CD,MDu平面ABC。，MDLCD,

:.MD_L平面PCD,

CFu平面PCD,：.CF±MD,又CF±MF,MD,MFu平面MDF,

MZX=CFJ•平面MDF.

(II)CF±平面CF±OF,又易知NPCO=60°,;.ZCDF=30°,

Arfffcr=-cz)=-,

22

1

口口〃M.DECFmDE_2.nc,_V3,口口_3上

DPCP6244

S.CDE=-CDDE^—,

CDE=-S^CDE-MD=~~~^—

VMM-CDE3ACDE38216

60•【解析】(I)由已知得△ABCM&DBC,因此AC=Z)C,又G为AO的中点，

CGJ_AD；同理BGJ_AD；因此AD_L平面BCG,又£F〃AD,£F_L平面BCG.

A

E

(II)在平面ABC内，做AOJ_C6,交CB的延长线于O,由平面ABC1平面BCD,

知AO,平面BCD,又G为40的中点，因此G到平面8CO的距离〃是AO的一半，

在AACZB中，AO=AB-sin60=>/3,所以匕>_BCG=VG-BCD=彳'^M)BGX•

61•【解析】(I)连结AG，交AC于点0,连结。。，则。为AG的中点，因为。为A3

的中点，所以0£>〃BG，又因为OOu平面A。。，BC|(Z平面A。。，

所以BQ〃平面A。。；

(II)由题意知8,平面A8四4.

再由A4,=AC=CB=2,AB=20得

ZACB=90,CD=y/2,4。=&，DE=6,9=3.

故4。2+。£：2=4£；2,即OEJ.A。

所以％

C-/A.jDZJF/i=—3X—2Xy/6Xy/3XV2=1.

62.【解析】

(I)证明：连接AC,交于8。于。点，连接PO.因为底面ABCD是菱形，所以

AC±BD,BO=DO,由PB=PD知,POA.BD.再由POcAC=O知,

3O_L面APC,因此即_LPC.

（H）解：因为E是出的中点，所以匕iCE=%g=g3c

由依=PZ）=AB=AD=2知，.ABD^.PBD

因为NBA。=60,

所以PO=AO=瓜AC=273,BO=\.

又PA=#,PO2+AO2=幺2,即PO_LAC.

故SQC=；PO・AC=3.

由（1）知，BOL面APC,因此/_scE=g匕-APc=g・；・BO・S.c=；.

63.【解析】（1）由已知可得AE=3,BF=4,则折叠完后EG=3,GF=4,又因为EF=5,所以

可得EGLGb,又因为b,底面EGF,可得CFLEG,即后6_1面。f6所以平

面£>EG_L平面CFG.

（2）过G作GO垂直于EF,GO即为四棱锥G-EFCD的高，

1112

所以所求体积为§S8£kG0=§x4x5xw=16.

64.【解析】（I）由条件知PD4Q为直角梯形因为QAL平面ABCD,所以平面PD4QJ"平

ABCD,交线为AO.

又四边形ABC。为正方形，DC1AD,所以。C_L平面PD4Q,可得PQ_LOC.

在直角梯形PDAQ中可得OQ=PQ=《-P。，则PQ1QD

所以PQL平面DCQ.

（II）设AB=a

由题设知AQ为棱锥Q—ABCD的高，所以棱锥Q—ABCD的体积乂

由（I）知PQ为棱锥产一。CQ的高，而PQ=6a,△。。。的面积为乎足,

所以棱锥尸一OC。的体积为匕=：/.

故棱锥Q—ABCD的体积与棱锥P-DCQ的体积的比值为1.

第二十三讲空间中点、直线、平面之间的位置关系

2019年

1.解析如图所示，联结BE，BD.

因为点N为正方形ABC。的中心，△£（，£＞为正三角形，平面反力_1平

面ABC。，M是线段££）的中点，所以®Wu平面BOE，ENu平面

BDE,因为是中OE边上的中线，EN是ABDE中BD边

上的中线，直线EN是相交直线，设=则缶，

BE^J-a2+-a2=0a,

V44

所以BM=』&a，EJV=J-a2+-a2=a

2V44

所以BMWEN.故选B.

2.解析：对于A,a内有无数条直线与月平行，则a与夕相交或a〃/，排除;

对于B,a内有两条相交直线与夕平行，则a〃尸；

对于C,a,夕平行于同一条直线，则a与夕相交或a〃4，排除;

对于D,a,夕垂直于同一平面，则a与夕相交或a〃万，排除.

故选B.

3.证明：（1）因为。，E分别为BC,AC的中点，

所以ED//AB.

在直三棱柱A8C-A山Ci中，AB//A\B\,

所以4B|〃ED

又因为EQu平面QEG,4sz平面DEG,

所以48〃平面OEG.

（2）因为A2=8C,E为AC的中点，所以BEL4c.

因为三棱柱ABC-AIBIC,是直棱柱，所以CG_L平面ABC.

又因为BEu平面ABC,所以CGL8E.

因为CiCu平面AiACCi,ACu平面AJACCI,CiCOAC=C,

所以BE_L平面AiACG.

因为CiEu平面4ACG,所以BELGE.

4.解析：由/,〃，是平面a外的两条不同直线，知：

由线面平行的判定定理得：若/_La,lA.m,则mPa.

由线面平行、垂直的性质定理得mPa,

2010-2018年

1.A【解析】记该正方体为ABCD—AB'C'D,正方体的每条棱所在直线与平面a所成的

角都相等，即共点的三条棱AA,AB',AO'与平面a所成的角都相等，如图，

连接AB',AD',BU,因为三棱锥4—49'。是正三棱锥，所以AA,A'B',AD'

与平面所成的角都相等，分别取CD,B'C,BB',AB,AD,的中

点、E,F,G,H,I,J,连接EF,FG.GH,IH,IJ,IE,易得E,F,

G,H,I,J六点共面，平面EFGHIJ与平面AB'U平行，且截正方体所得截面

的面积最大，又EF=FG=GH=IH=IJ=JE=、一,所以该正六边形的面积为

2

6净净考，所以0截此正方体所得截面面积的最大值为苧,故选A.

2.C【解析】解法一

补上一相同的长方体COEF-G2gK，连接O片,片片.

易知//DE「则NBQE]为异面直线AD,与。片所成角.

因为在长方体A5CO-AgG。中，AB=BC^\,胡=6，

所以。&=JQI+EE；=J『+(®2=2,DB]=712+12+(^)2=75,

4g=4AB；+AE；=Vl2+22=V5,

在A4。耳中，由余弦定理，得cosNBQE]=2一+(逐厂一^厂=旦,

即异面直线AR与。片所成角的余弦值为故选C.

解法二以。为坐标原点，DA,DC,OR所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立

空间直角坐标系，如图所示.

由条件可知。（0,0,0）,A（I,O,O）,。（（）,（）,6）,4（1,

所以的=(-1,(),8)，DB]=(1,1,我,

则由向量夹角公式，得cos<AD|,Oq〉=AR*=占=旦,

|AD,||DB]|2V55

即异面直线A。与。所成角的余弦值为或，故选C.

3.A【解析】若/wa,naa,m//n,由线面平行的判定定理知“〃a.若〃z〃a,

maa,〃ua,不一定推出，？J〃”，直线加与〃可能异面，故"加〃""是"加〃

a”的充分不必要条件.故选A.

4.D【解析】由题意知四棱锥S-ABC。为正四棱锥，如图，

连接3。，记连接SO,则SO_L平面ABC。，取43的中点M,

连接SM,OM,OE,易得ABJ.SW,则/=NSEO,仇=NSMO,易知名力劣•

因为。M〃BC,BC±AB,SM±AB,所以%也为与平面S48所成的角,

即与平面S4B所成的角，再根据最小角定理知，产国,所以aWqWa，故

选D.

5.C【解析】如图所示，把三棱柱补成四棱柱，异面直线人用与Bq所成角为/与AA

BR=+CQ：-25cxeQCOS60

AD]=C，M=后,

4.+AD；—BQ：=(石尸+(夜》一(6)2二回选c

:.cosZBjADj

2xAB}xAD}2x6x05

6.B【解析】设。为三角形ABC中心，底面如图2,过。作。EJ.RP,OF±PQ,

__.±DOcODOD

OGXRQ,由题后可知tantz=-----，tanB------，tany»

OEOFOG

由图2所示，以P为原点建立直角坐标系，不妨设A3=2,则4(—1,0),5(1,0),

C（0,G）,010与，♦：AP=PB，缁=好=2,••・Q（；，¥），刈-咨），

3C/Cxi\j\3333

则直线RP的方程为y=-亨尤，直线PQ的方程为＞=2百X，直线RQ的方程为

也x+述，根据点到直线的距离公式，知。后=2叵，0F=^,OG=L

3921393

OF<OG<OE,tan«<tany<tan(3,

因为a,p,/为锐角，所以选B

7.A【解析】因为过点A的平面a与平面。瓦2平行，平面A88〃平面AgGA，所

以m//BQ//BD,又AQ〃平面CgR,所以“〃/B,则8D与所成的角为

所求角，所以机，〃所成角的正弦值为电，选A.

2

8.B【解析】由“加_La且/_Lm”推出“lucM/la”,但由“机，。且/〃。”可

推出所以是“/〃a”的必要而不充分条件，故选B.

9.B【解析】解法一设NA0C=e,AB=2,则由题意知AO=6D=AD=1.

在空间图形中，连结A8,设AB=f.

AZ^+M-A的l2+l2-r22-t2

在△AD?中,cosZA'DB=

2A'DxDB2xlxl-2

过A作ANJ.DC,过6作®垂足分别为N、M.

过N作NP^B,使四边形8PNM为平行四边形，则NPLOC,

连结AP,8P,则NA'NP就是二面角A—CO—B的平面角，所以NA'NP=a.

在汝A4ND中，DN=ADcosZADC=cos0,AN=A'DsinZA'DC=sin.

同理，BM=PN=sin0,DM=cos0,故BP=MN=2cos®.

显然3PL平面ANP,故

在RMBP中，A'P2=A!B—8尸2=/一(2cos6)2=/一4cos?6.

T，、小」小A'V+Np2-A'p2

在AANP中，cosa=cosNANP=------------------

2A'NxNP

22

-si-na-6-+-s-i-n-?--4-c-o-s-2-6)=-2-+-2-co-s-0---t2=-2---r-1-co-s-0-

2sin*2sin2^2sin26>sir?。

1"CDcos?。

——：—cosNADB+——；—

sin*sii?。

iCOS2Q

所以cosa-cosZArDB=——-—cosZArDB+—-----cosZArDB

sir?。sin?6

1-sin2^cos20=^co_s?^0(]+cosNAOB)20,

cosNA'DB+

sii?。sin*sin-0

TT

所以cosaNcosNA'OB（当。=—时取等号），

2

因为a,ZA'DBe[0,7r],而y=8sx在[0,万]上为递减函数,

所以aWNA'OB,故选B.

解法二若C4wCB,则当a=万时，ZACB<K,排除D；

当a=0时，ZACB>0,ZADB>0,排除A、C,故选B.

10.D【解析】利用正方体模型可以看出，4与乙的位置关系不确定.选D.

11.C【解析】选项中加均可能与平面a平行、垂直、斜交或在平面a内，故选C.

12.B【解析】对于选项A,若m//a,〃//a,,则机与〃可能相交、平行或异面，A错误;

显然选项B正确；对于选项C,若加_La,mLn,则〃ua或n//a,C错误；对

于选项D,若ml/a,m±n,则〃〃。或〃ua或〃与a相交，D错误.故选B.

13.D【解析】作垂足为H,设P"=x,则。”=瓜，由余弦定理

AH=j625+3x2-406，

tan6=tanNPAH=里=1=(->0),

AH6254073°%

\-------------+3

Vxx

故当_L=迪时，tan。取得最大值，最大值为迪.

x1259

14.B【解析】直线OP与平面4BO所成的角为e的取值范围是

NCQA，由于sinZAC>4=^，

sinZC.O^=2—•—=-^>—,sin-=l

।“33332

所以sina的取值范围是

15.D【解析】作正方形模型，a为后平面，尸为左侧面

可知D正确.

16.D【解析】A中加,〃可能平行、垂直、也可能为异面；B中佻“还可能为异面；C中加

应与夕中两条相交直线垂直时结论才成立，选D.

17.B【解析】利用排除法可得选项B是正确的，a,iLp,则如选项A：

I//a,/〃,时，a工§或a〃B；选项C：若a_L尸,l±a,/〃夕或/u,；

选项D：若a工0,l±a,I〃（3或I工f3.

18.B【解析】过点A作A£_LBZ）,若存在某个位置，使得AC_LB。，则3。_1面4。后，

从而有BD上CE,计算可得BD与CE不垂直，则A不正确；当翻折到AC_LCD时，

因为3CLCZ）,所以。>_1面48。，从而可得43_LCD；若AD_L3C,因为

BCA.CD,所以BC_L面ACO,从而可得5CJ.AC,而AB=1<&=BC,所以

这样的位置不存在，故C不正确；同理，D也不正确，故选B.

19.D【解析】对于D,若平面a_L平面?，则平面a内的