加强初中数学建模教学 培养学生应用数学意识

加强初中数学建模教学培养学生应用数学意识

厦门前埔中学阮颖芳

九年义务教育《数学课程标准》中指出：数学可以帮助人们更好地探求客观世

界的规律，并对现代社会中大量纷繁复杂的信息作出恰当的选择与判断，同时为人

们交流信息提供了一种有效、简捷的手段。数学作为一种普遍适用的技术，有助于

人们收集、整理、描述信息，建立数学模型，进而解决问题，直接为社会创造价值。

数学教学要让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，

进而使学生获得对数学理解的同时.，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到

进步和发展。

近几年，不仅每年高考都出了应用题，中考也加强了应用题的考察，这些应用

题以数学建模为中心，以考察学生应用数学的能力，但学生在应用题中的得分率远

底于其他题，原因之一就是学生缺乏数学建模能力和应用数学意识。因此中学数学

教师应加强数学建模的教学，提高学生数学建模能力，培养学生应用数学意识和创

新意识，本文结合教学实践，谈谈初中数学建模教学的一些学习体会。

1.数学建模是建立数学模型的过程的缩略表示，可用下面的框图来说明这一过程：

1.1审题建立数学模型，首先要认真审题.实际问题的题目一般都比较长，涉及

的名词、概念较多，因此要耐心细致地读题，深刻分解实际问题的背景，明确建模

的目的；弄清问题中的主要已知事项，尽量掌握建模对象的各种信息；挖掘实际问

题的内在规律，明确所求结论和对所求结论的限制条件。

1.2简化根据实际问题的特征和建模的目的，对问题进行必要简化。抓住主要因

素，抛弃次要因素，根据数量关系，联系数学知识和方法，用精确的语言作出假设。

L3抽象将已知条件与所求问题联系起来，恰当引入参数变量或适当建立坐标

系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子、图形或表格等形式表达

出来，从而建立数学模型。按上述方法建立起来的数学模型，是不是符合实际，理

论上、方法上是否达到了优化，在对模型求解、分析以后通常还要用实际现象、数

据等检验模型的合理性。

2.具体的建模分析方法

①关系分析法：通过寻找关键量之间的数量关系的方法来建立问题的数学模

型方法。

②列表分析法：通过列表的方式探索问题的数学模型的方法。

③图象分析法：通过对图象中的数量关系分析来建立问题的数学模型的方

法。

3.掌握常见数学应用题的基本数学模型

在初中阶段，通常建立如下一些数学模型来解应用问题：

①建立儿何图形模型

②建立方程或不等式模型

③建立三角函数模型

④建立函数模型

案例

例1王小姐参加了某晚会，晚会中共有40人，若每两人均握手一次，问参加者

共握手多少次？

例2设计合适的包装方式。

⑴现有4盒磁带，有几种包装方式？哪种方式更省包装纸？

⑵若有8盒磁带，哪种方式更省包装纸？

例3已知a、b、c均为非负实数，求证：

Ja~b~+c-++a~+b+c).

前两个问题比较明显的须建立儿何图形模型来加以分析，第三个问题若用不等

式变形来解决则非常困难，但建立几何图形模型解决则轻而易举,

如下图。

例4甲、乙两厂分别承印八年级数学教材20万册和25万册，供应A、B两地使用，

A、B两地的学生数分别为17万和28万,已知甲厂往A、B两地的运费分别为200

元/万册和180元/万册；乙厂往A、B两地运费分别为220元/万册和210元/万册。

（1）设总运费为w元，甲厂运往A地x万册，试写出w与x的函数关系式；（2）

如何安排调动计划，能使总运费最少？

例5我们已经学会了一些测量方法，现在请你观察一下学校中较高的物体，如教学

楼、旗杆、大树等等，如何测量它们的高度呢？

本题显然要建立三角函数模型来分析解决

例6爸爸准备为小明买一双新的运动鞋，但要小明自己算出穿几“码”的鞋。小明

回家量了一下妈妈36码的鞋子长23厘米，爸爸41码的鞋子长25.5厘米。那么自

己穿的21.5厘米长的鞋是几码呢？

本题较合理的数学模型是一次函数。

例71997年11月8日电视正在播放十分壮观的长江三峡工程大江截流的实况。

截流从8：55开始，当时龙口的水面宽40米，水深60米。11：50时，播音员报

告宽为34.4米。到13：00时，播音员又报告水面宽为31米。这时，电视机旁的

小明说，现在可以估算下午几点合龙，从8：55到11：50,进展的速度每小时减

少1.9米，从11：50到13：00,每小时宽度减少2.9米，小明认为回填速度是越

来越快的，近似地每小时速度加快1米。从下午1点起，大约要5个多小时，即到

下午6点多才能合龙。但到了下午3点28分，电视里传来了振奋人心的消息：大

江截流成功！小明后来想明白了，他估算的方法不好，现在请你根据上面的数据，

设计一种较合理的估算方法（建立一种较合理的数学模型）进行计算，使你的计算

结果更切合实际。

建模合理性分析：本题建模合理性有以下两个评价点

⑴回填速度以每小时多少立方米填料计。这样，能否建立合理的回填速度计算

模型便成为第一个评价要点。

⑵注意到回填速度是逐渐加快的：水流截面越大，水越深，回填时填料被冲走

的就越多，相应的进展速度就越慢。反之就越快。在模型中对回填速度越来越快这

一点如何作出较合理的假设，这是第二个评价要点。

4.数学建模教学活动设计的体会

①鼓励学生积极主动地参与，把教学过程更自觉地变成学生活动的过程。

教师不应只是“讲演者”、“总是正确的指导者”而应不时扮演下列角色：模

特——他不仅演示正确的开始，也表现失误的开端和“拨乱反正”的思维技能。参

谋——提一些求解的建议，提供可参考的信息，但并不代替学生做出决断。询问者

一故作不知，问原因、找漏洞，督促学生弄清楚、说明白，完成进度。仲裁者和

鉴赏者——评判学生工作成果的价值、意义、优劣，鼓励学生有创造性的想法和作

法。

②注意结合学生的实际水平，分层次逐步地推进。

数学建模对教师、对学生都有一个逐步的学习和适应的过程。教师在设计数

学建模活动时，特别应考虑学生的实际能力和水平，起始点要低，形式应有利于

更多的学生能参与。在开始的教学中，在讲解知识的同时有意识地介绍知识的应

用背景。在应用的重点环节结合比较多的训练，如实际语言和数学语言，列方程

和不等式解应用题等。逐步扩展到让学生用已有的数学知识解释一些实际结果，

描述一些实际现象，模仿地解决一些比较确定的应用问题，到独立地解决教师提

供的数学应用问题和建模问题，最后发展成能独立地发现、提出一些实际问题，

并能用数学建模的方法解决它。

③重视知识产生和发展过程教学。

由于知识产生和发展过程本身就蕴含着丰富的数学建模思想，因此老师既要重

视实际问题背景的分析、参数的简化、假设的约定，还要重视分析数学模型建立的

原理、过程，数学知识、方法的转化、应用，不能仅仅讲授数学建模结果，忽略数

学建模的建立过程。

④注意数学应用与数学建模的“活动性”。

数学应用与数学建模的目的并不是仅仅为了给学生扩充大量的数学课外知识，

也不是仅仅为了解决一些具体问题，而是要培养学生的应用意识、数学能力和数学

素质。因此我们不应该沿用老师讲题、学生模仿练习的套路，而应该重过程、重参

与，更多地表现活动的特性。

参考文献

[1]全日制义务教育《数学课程标准》

[2]中学数学建模

数学建模在中学数学教学中的尝试

一一”函数的应用”课例及点评

执教：北京顺义城关第一中学茹玉兰

点评：北京教科院基教研中心郭立昌

［评者按语］当前，我们正在中学数学课堂教学中努力实施素质教育，其

中培养学生应用意识和创造精神是一个重要方面。北京顺义县城关一中

茹玉兰老师在“函数的应用”复习课上，把数学建模引入课堂教学，做

了一次有益的尝试，给传统的中学数学教学带来一股清新的空气，值得

研究。

—■、课例简介

(-)引言

教师：我们已经学习了一次函数、二次函数、幕函数、指数函数，它

们在实际生活、生产中有着广泛的应用。今天大家尝试一下，怎样从实

际问题入手，运用学过的知识，通过抽象概括、建立数学模型来解决问

题。

(-)新课

例：顺义县城关镇新建一个服装厂，从今年7月份开始投产，并且前

4个月的产量分别为1万件，1.2万件，1.3万件，1.37万件。由于产品

质量好，服装款式新颖，因此前几个月的产品销售情况良好。为了推销

员在推销产品时，接受定单不至于过多或过少，需要估测以后儿个月的

产量，假如你是厂长，将会采用什么办法？

1、引导分析

教师引导学生审题，把学生置于“厂长”的位置，调动他们的情趣和

积极性。然后采用师生交流的方式，明确要研究的内容，估测的依据和

方法，使学生认识到首先要把实际问题转化为数学问题。由“月份”和

“产量”的“数对”，想到要建立直角坐标系，描出各点位置，观察连

线接近的函数图象如图。“由数到形”，再“由形到数”，用几个点的

坐标找出与之相近的模拟函数，利用函数模型来解决问题。

产量

（万件）

6

4

2

0

08

06

04

02

01(7)2(8)3(9)4(10)5(11)月份

2、讨论模型

在学生独立思考的基础上，引导学生分组讨论，找出模拟函数。

学生1：一次函数：fW）=b+b（尸NO）；

学生2：二次函数：以外=3？+石+c（&N0）；

£

学生3：幕函数型：为00=收2+b；

学生4：指数函数型：/（x）=a"+c。

老师：很好，课下可以再考虑还有没有哪些函数图象更逼近这条曲线。

我们设月产量为y万件，月份数为”,建立直角坐标系，可得A(1,

1),B(2,1.2),C(3,1.3),D(4,1.37)。下面同学们分成四个

组，分别确定各个函数的解析式(允许用计算器)，然后每组选出一位

同学来板演过程，并计算出剩余点的误差。

(经过各小组学生的讨论，确定了各函数的解析式，并推选学生5、

学生6、学生7、学生8分别上台板演。)

学生5：直线〃%)=以+"(2=0),将B、C两点的坐标代入，

有J(2)=2上+6=1.2,/(3)=3k+b=1.3解得

方=0.1,b=l故/'(x)=O.Lx+1

将A、D两点的坐标代入，得F(D=L1,与实际误差为0.1,

/⑷=1.4,与实际误差为0.03。

学生6：二次函数以切=公2+庆+C(&N°),将A、B、C三点

的坐标代入，有

g(l)-a+b+c=\,g(2)=4(2+2Z?+c=1.2,

g(3)=9a+3b+c=1.3解得a=-0.05,6=0.35,c=0.7故

2

g(x)=-0.05x+0.35K+0.7。将D点的坐标代入，得

g(4)=-0.05x42+0.35x4+0.7=1,3,与实际误差为向。

学生7：基函数型“(式)=收2+b,将A、B两点的坐标代入，有

A(l)-a+b=\/z(2)=^2a+b=1.2,解得

工

a"0.48,6*0.52o故3)=0.48户+0.52。将&D两点的坐

标代入，得力⑶=048>5+0.52=1.35,与实际误差为0.05；

力⑷=0.48x2+0.52=1.48,与实际误差为°口。

学生8：指数函数型，将A、B、c三点的坐标代入，

得，⑴="6+c=]/(2)=ab2+c=1.2,

/(3)=ab3+c=1.3解得&=_0.8,b=0.5c=1.4故

x

/(x)--0.8x(0.5)+1.4o将D点的坐标代入，得

/⑷=-0.8X(0.5)4+1.4=1.35,与实际误差为0.02。

3、评价模型

教师引导学生比较上述4个模拟函数的优劣，指出既要考虑到剩余点

误差最小，又要考虑生产的实际问题，比如增产的趋势和可能性。经过

筛选，普遍认为,(X)最佳，一是误差值最小，二是由于新建厂，开始随

着工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量明显上升，但到一定

时期后，设备不更新，那么产量必然要趋于稳定，而,(X)恰好反映了这

种趋势，因此选用‘(x)~S8x(S5)'+L4比较接近客观实际。

4、师生小结

师生一起小结了上例建模的一般过程：

(1)调查实验得出原始数据对；

(2)建立直角坐标系，描出这些点；

(3)观察图象，确定用哪种函数模型；

(4)对模型进行分析评价。

(三)练习

投影打出在顺义县经委调查得来的1993~1998年县财政收入情况:

年度199319941995199619971998

收入(万元)258993050437997488986680085000

(1)请建立一个数学模型，预测顺义县以后几年的财政收入情况。

(2)计算顺义县财政收入的平均年增长率。

(3)由(1)、(2)分别预测1999年顺义县财政收入，并讨论哪种

预测结果更有可行性，假如你是县长，将会采用哪种模型？

经过师生讨论，得出二次函数、指数函数或幕函数等，由于时间关系,

只要求建立两个模型。

注：“年次”中第1年即1993年，其他依此类椎。

学生9：设八切=公2+/+。(4工0,工之1),将八、B、C三点

的坐标代入，得

/(I)=a+b+c=2.59,/(2)=4a+2b+c=3.05,

/(3)=9tz+3Z?+c=3.80

解得F(K)=0.145x?+0.025K+2.42。计算得〃4)=4.84,

/(5)=6.17"6)=7.79,与实际误差分别为o.05,0.51,0.71。

学生10：设将A、B、C三点的坐标代入，得

g(l)=ab+c=2.59g(2)=ab2+c=3.05

g(3)=ab3+c=3.80解得g(x)=0.448x(1.63)'+1.86计

算得，g⑷=5.02,g(5)=7.01,g⑹=10.26。与实际误差分

别为0.13,0.33,1.760

对两个函数模型进行评价，得F(x)=°-145^2+0.025X+2.42较

好。

对于(2),学生由1993、1998年财政收入，设平均年增长率为0,

有2.59x(l+a)5=8.5得a=26.83%

教师指出顺义县年增长率远远高于全国的年增长率8%,北京市的

9%,我们应为家乡感到骄傲。能不能从增长率的角度再建立一个财政收

入的数学模型呢？

学生得到力(幻=2.59•(1+26.83%)*,。

用/(X)和力G),分别预测1999年财政收入：

/(7)=0.145x72+0.025x7+2.42=9.76(亿)

/z(7)=2.59x(l+26.83%)6=10.78(亿)

分析顺义县经济发展形势，两种预测都有可行性，但是选择IS)比

较稳妥和留有余地，所以选用FG)较好。

（四）小结

在肯定了学生的应用意识和创造精神的基础上，归纳整理了数学建模

的概念和基本程序，鼓励学生自己尝试运用数学建模的方法去解决生活

和生产中的实际问题。

二、课例点评

在中学数学教学中开展数学建模的教学是一个新的尝试和探索。它是

指从实际问题入手，建立数学模型，求出数学模型的解并验证模型解的

全过程。把数学建模引入课堂教学，从教学目的、教学内容、教学模式、

教学手段上都将会给中学数学教学改革带来新的突破，在这方面没有什

么现成经验可以借鉴，需要进行多种形式的实验。

数学建模中的实际问题背景更加复杂，解答具有更大的综合性和多样

性，而结论还需要进行检验和优化，带有更大的挑战性和创造性。数学

建模的教学使学生走出课本，走出传统的习题演练；使他们进入生活、

生产的实际中，进入一个更加开放的天地；使学生体会到数学的由来、

数学的应用，体验到一个充满生命活力的教学，这对于培养学生应用意

识和创造精神显然是一个很好的途径。

茹玉兰老师这节课的教学中，按照教学进度安排在高一年级讲授事函

数、指数函数的内容以后进行，选用的实际问题经过教师加工简化，贴

近教材，便于学生在建模过程中综合应用基础知识，达到巩固提高的目

的，也便于通过简化的问题领会建模的过程，使数学建模带有更大的示

范性。

应用意识是一种观念，要通过对学生长期的渗透和学生的自身体验才

能形成，而这与学生的非智力因素密切相关。茹玉兰老师在提出问题以

后，让学生转换角色，“假如你是厂长”，“假如你是县长”，把他们

置于自主解决问题的地位，带有更大的责任感，激发了解决问题的动机,

调动了情感因素。教学中，对于学生建模、演算的结果，及时肯定和表

扬，并采用小组合作的形式，组织学生讨论，给他们展示学习成果的机

会，激发了探索精神。把培养非智力因素和智力因素有机地结合起来，

使数学建模的教学注入动力机制，有利于应用意识的培养。

分析一下数学建模的过程，大致由三部分组成:

数学建模教学成功的关键是要在这个过程中引导学生深层次的参与，

充分体现学生的主体地位，这就要在教学中留给学生充分的空间和时间,

尤其是②、③两个过程，更多地体现着数学建模教学的特色。可以看到,

要搞好数学建模教学，需要结合上述过程，对能力培养进行分解落实，

提高教学的意识性。在过程①中，要培养阅读和语言转化能力，这里包

括由普通语言抽象为数学文字语言，再抽象为数学符号语言。因为只有

出现了符号语言的形式，才能联想和应用相应的数学结构；要培养抽象、

概括能力，数学建模实质上也是一个去粗取精，去伪存真，抽象概括的

过程；还要培养数学检索能力，从已有的知识中认定相应的数学模型，

这与学生认知结构的好坏有关。在过程②中，不仅需要基本的数学能力,

而且带有更大的综合性和灵活性，在过程③中，要培养联系实际，全面

考虑问题的能力。教学中，只有对上述能力具体落实，才能取得较好的

效果。茹玉兰老师在教学中已注意到这点，但还需进一步改进。

在一个数学建模的课例中，由于学生知识水平和课时的限制，不可能

进行完全科学的建模过程。比如建立函数关系式由于已知点的选择不同

对数学模型的影响；怎样科学地比较各个模型的优劣；怎样调整数学模

型等，今后还可以进一步展开。在数学建模教学中，把课内教学与课外

活动结合起来是一条值得探索的途径，它将形成一个新的教学模式，这

也是我们正在研究的问题。

数学问题的模型求解

上海市田林三中陈爱华

在数学教学中，同一内容可以用不同的方法进行讲解，较为直观的

方法可以启发学生进行独立地思考，培养他们的逻辑推理能力，特别是

把握具体问题中数量之间的关系.数学是一门推理性很强的学科，我们不

能象语文和英语等课程那样要求学生去熟记这样的规则或那样的公式，

否则会使数学学习变得枯燥乏味。在我国小学年龄段的女生的数学成绩

往往高于男生，但随着年龄的增长，特别是到了高中阶段她们的数学成

绩却显得越来越差。究其原因，其实不在于他们的年龄，而是在于小学

时代女孩子通常较为顺从，记忆力强，这就足以应付加减乘除等少量的

规则和公式，然而到了初中和高中阶段，数学知识对于逻辑推理能力的

要求越来越高，光靠记忆力已远远不够。有的教师常感到困惑：某某学

生上一次考了90分，这一次怎么仅考了个60分，其中最为主要的原因

恐怕是“公式化”、“规则化”的教学方法。要改变这种状况，首先要

求不断更新我们的教材，其次要改变过时的教育观念，作为教师更为重

要的是在教学方法上下功夫：教师应以学生为中心，采用直观的教学方

法和手段，启发学生，逐步开发每一个学生的潜力，帮助他们提高分析、

推理和综合能力。

下面从一个具体的问题出发探讨一下中学数学教学中一个值得采用

的启发式教学方法一一条形图模型。

例1：小明和小刚共有苹果若干，小明的苹果数是小刚的5倍。若

小明给小刚36个苹果，他们两人的苹果就一样多，间他们共有多少个苹

果？

这一问题可用列二元一次方程组求解，若令X和了分别为小明和小

刚原有的苹果数，那么X和了满足下面的二元一次方程组:

x-36=y+36容易解得，x=90,V=18,从而X+y=i08,

即小明和小刚共有苹果108个。

这一问题可用条形图模型求解如下：将小刚原有的苹果数视为一个

单位，那么由题意，小明原有的苹果数为5个单位，由此得到模型：

起先后来

小明IIIIII小明III1-7-1

小刚[―]小刚|||1J

36

2个单位~36,6个单位f36+2X6=108。所以小明和小刚共有108

个苹果。

可见条形图可使数量之间的关系变得一目了然，然后的求解过程只

涉及简单的加减乘除运算（而不是解方程或方程组）。条形图方法具有:

（1）简单直观，富有启发性；（2）易于反映量与量之间的关系；（3）

易于反映量的变化（增加或减少）的过程；（4）易于教师讲解，特别是

进行多媒体教学；（5）易于学生提高逻辑推理能力，培养他们的创造性

思维能力。

下面进一步就初中数学中的儿类问题分别举例说明这种模型化解题

的具体应用。

一、分数问题

211

例2：某中学5的学生是女生，其余是男生。其中2的女生，2的

男生参加了校运动会。如果此中学共有570名学生没有参加校运动会，

问学校共有多少学生？

解：将学校的学生分成5个单位，则由题意，其中2个单位是女生,

3个单位是男生，由此可得下面的模型：

।।]I—।।।।।i

女生男生参加之女）未蓊加参加（男）

未参加运动会的共有1个单位+2个单位=2个单位,

2个单位一570,5个单位一1140。所以该学校共有1140个学生。

二、比例问题

例3：4月份小王与小李在银行的储蓄额是3:5,到了6月份小王的

储蓄额增加了28元，而小李的储蓄额却减少了14元，结果他们两位的

储蓄额正好相等，问小李4月份的储蓄额是多少？

解：由题意，可将4月份小王和小李的储蓄额分别视为3个单位和

5个单位，由此得到模型：

4月份6月份

小王_________<1、王一28元

1111

|=1>

小李小李14元

2个单位

2个单位一(28+14)元=42元，5个单位-42元+2X5=105元。

所以小李的储蓄额为105元。

三、百分比问题

例4：某中学80%的学生是男生，新学期开始时，学校共增加了320

名学生，男生增加了25%,而女生数正好翻一倍，问原来学校共有多少

学生？

解：按题意可将学校原来的女生数视为1个单位，男生数视为4个

单位(5个单位的80%),由此得到模型：

开学前开学后

男生男生25%X4个单位

一新男生

女生女生1个单位

□।।।

新女生

2个单位一320,5个单位―320+2X5=800。所以学校原来共有学

生800名。

四、面积问题

例5：有三个正方形X、Y、Z重叠在一起（见图）。X、Y和Z的面

积之比为1:2:3。正方形Y的40%被X所覆盖形成阴影，问非阴影部分

占多少百分比？

解：由于Y被X覆盖形成的阴影部分占整个图形的40%k,故可将

阴影部分视为4个单位，再根据正方形X、Y、Z的比例可列出下面的模

型：

x।।xmm

y|||=t>YIIIIIII「II

z।।।-iz11111111111irm

可见整个图形被分割成为15+1=16单位，所以非阴影部分占整个

12

图形的16X100%=75%o

五、收益问题

例6：一商人有一台电视机，如果以原价的10%打折出售，他还可

赢利150元，但如果打折30%出售，那么他要蒙受150元的损失，问电

视机的成本价是多少？

解：商品的价格有三种：成本价、销售价和原价之分。我们在解这

类题目时经常将商品的原价视为一个单位或100%。由此根据题意我们

可作出下面的模型：

h-------------------------------原价------------------H

k----------------------------销售价---------------H

H--------------------------成本价----------->1

赢利150

I[II

10%

30%

30%—10%=20%-150元+150元=300元，100%f300元

♦20X100=1500元（通常价格）。电视机的成本价=90%X1500元一

150元=1200元（或70%X1500元+150元=1200元）。

六、行程问题

例7：两城市A和B之间的距离为210公里。上午8点30分有一辆

轿车以平均速度60公里/小时从A出发驶向B,同时另有一辆公共汽车

以平均速度45公里/小时从B出发驶向A,问当轿车与公共汽车相遇时,

公共汽车行驶了多少路程？

解：公共汽车与轿车所行驶的距离之比等于两者的速度之比，即

60:45=4:3,因此我们可将A到B的整个路程分7个单位，进而得到下

面的模型：

怅----------210公里---------->|

AiIIIIIII*

'------轿车------普一公共汽车一

4个单位+3个单位=7个单位一210公里，3个单位一210公里

4-7X3=90公里。所以当轿车与公共汽车相遇时公共汽车行驶了90公

里。

上面的几类问题均可用设求未知数列方程的方式求解，例如上面的

例2至例5可用一元一次方程求解，例6和例7可用二元一次方程组求

解，请读者自己完成。

数学建模与初中数学教学

谈初一年级浓度问题的教学体会

福建省安溪县第六中学（362400）谢俊民

20世纪以来，科学技术得到了飞速发展，数学在这个发展过程中起

了非常重大的作用。今天，社会对数学的需求并不只是需要数学家，而

是大量善于运用数学知识和数学的思维方法来解决实际问题的各种人

才，把实际问题化成一个数学问题，这就称为数学模型。数学模型不同

于一般的模型，它是用数学语言模拟现实的一种模型，即把一个实际问

题中某些事物的主要特征、主要关系抽象成数学语言，近似地反映客观

事物的内在联系与变化过程。

列方程解浓度问题作为分数、百分数问题的实际应用题，不仅在工

农业生产中经常碰到，而且在以后学习等比数列、指数方程的课程也常

涉及，学生对理解和掌握这部分内容历来都比较困难，是初一年级数学

的难点之一。本文拟就我在多年来的教学中，如何利用数学建模来突破

初一年级浓度应用题这一难点教材的一些做法和体会。

・、建立数学模型，讲清浓度问题的概念和关系

在初一年级数学的教学中，针对初一年级学生年龄小，抽象思维能

力较弱的特点，采用直观演示的教学，建立数学模型，讲清溶液、溶质、

溶剂及浓度四个名词概念及其两个关系式。课前准备一只装有90克水的

玻璃杯和一只装有10克食盐的玻璃杯，上课时把90克的水倒入装有10

克食盐的玻璃杯中均匀搅拌后得到盐水100克。在这个问题中，引导学

生建立数学模型：溶液——100克盐水，溶质——10克食盐，溶剂——90

克水，浓度一一盐水中含盐的百分数（10%）.再引导学生建立它们之

间的两个关系的数学模型：

（1）溶液（盐水）重量=溶质（盐）重量+溶剂（水）重量。

(2)

溶质（盐）重量

浓度=XI00%“质翦第（水产。%

溶液（盐水）重量

又例如：浓度为75%的酒精溶液X克中，含纯酒精多少克？含水多

少克？

这个问题采用上面的数学模型，学生就可以得到：溶液一一酒精溶

液，溶质一一纯酒精，溶剂一一水。

纯酒精重量（溶质）=酒精溶液重量X浓度=XX75%=75%X

（克）。

水重量（溶剂）=酒精溶液重量一纯酒精重量（溶质）=（X-75%

X）克。

二、建立数学模型，寻找解题钥匙

在教学过程中，根据各种题型的解题过程中，启发引导学生，通过

观察、分析，弄清混合前后溶液、溶质、溶剂和浓度哪些量发生变化，

哪些量没有发生变化。然后引导学生紧紧抓住一个关键性相等关系建立

数学模型：

混合前溶质的重量=混合后溶质的重量

同时，强调它是解决浓度问题的一把共同钥匙，不管题型如何变化,

只要抓住这把钥匙总可以列方程解出应用题，下面就浓度问题的三种类

型分别作如下讲解：

1、稀释问题

例1：要把30克含盐16%的盐水稀释成含盐0.15%的盐水，需要

加水多少克？

（现行教材P.229例7）

分析：根据图示，引导学生通过观察、分析，并提出下列问题要学

生回答：（1）含盐16%的盐水30克中含盐多少克？（2）加上X克的

水后得到含盐0.15%的盐水溶液多少克？含盐多少克？（3）混合前含

盐量和混合后含盐量有没有变化？再引导学生列出下表：

混合前

|盐水'J水|=|盐水|16%的盐水水0.15

|16%||||0.阈重量30克X克(30

溶质罐）16%X30克00.19%

相等关系：混合前溶质的重量=混合后溶质的重量。

列出方程：16%X30+0=0.15%(30+X)。

2、加浓（浓缩）问题

例2：有含盐15%的盐水20千克，要使盐水含盐20%,需要加盐

多少千克？（现行教材P.232练习第3题）分析：根据下列图示，引导

学生通过观察、分析，并要求学生回答下列问题：（1）浓度15%的盐

水20千克含盐多少千克？（2）加X千克盐后成为含盐20%的盐水多少

千克？其中含盐多少千克？（3）混合前含盐量和混合后含盐量有没有变

化？再引导学生填写下表：

混合前环

盐水15%的盐水盐20

15%重量20千克X千克(20

溶质信）15%X20千克X千克20%(2

相等关系：混合前溶质的重量=混合后溶质的重量。

列出方程：15%X20+X=20%（20+X）。

例3：在含盐24%的盐水2000克，要使盐水含盐量变为30%,应

蒸发掉多少克的水份？

分析：根据下列图示，引导学生通过观察、分析，并要求学生回答

下列问题：（1）含盐24%的盐水2000克含盐多少克？（2）蒸发掉X克

的水份后成为含盐30%的盐水重多少克？其中含盐多少克？（3）蒸发

前含盐量与蒸发后含盐量有没有变化？再引导学生列出下表：

蒸发前我

盐水24%的盐水水30

24%-臼二圆重量2000克X克(20

溶质借）24%X2000克030%(2

相等关系：蒸发前溶质的重量=蒸发后溶质的重量。

列出方程：24%X2000=30%（2000—X）。

3、溶液与溶液混合问题

例4：在含盐20%的盐水30千克里，要加入含盐40%的盐水多少

千克，才会使盐水浓度变为30%?

分析：根据图示，引导学生通过观察、分析，并要求学生明确儿个

问题：（1）含盐20%的盐水30千克含盐多少千克？（2）加入含盐40%

的盐水X千克中含盐多少千克？（3）两种盐水混合后得到多少千克含盐

30%的盐水？其中含盐多少千克？（4）混合前含盐量与混合后含盐量有

没有变化？再引导学生列出下表：

混合前笠

|盐水||盐水|二|盐水|20%的盐水40%的盐水30

20%40%一130%|重量30千克X千克(30

溶质罐）20%X30千克40%XX千克30%(：

相等关系：混合前溶质的重量=混合后溶质的重量。

列出方程：20%X30+40%X=30%(30+x)

总之，对于某些实际问题，可以通过建立合理的数学模型作为桥梁

来解决，对于相同类型的问题，采用相同的数学模型，使学生的思维过

程形象化、公式化。这样，学生学起来不感到抽象、难懂，并能增强记

忆和理解，容易被学生所接受。同时，通过直观演示配合列表，把问题

中的已知条件、未知条件列入表中，使题目更加条理化，帮助学生透彻

理解题意，就容易找出相等关系列出方程，使教学的难点得以突破。一

个学生是否具有数学的创造能力的一个重要标志是他是否有建立并应用

数学模型的能力。因此在数学教学中应充分重视培养这种能力，鼓励他

们独立思考、勇于探索，发现前人尚未发现问题的新结论、新方法。

中学数学建模的教学构想与实践

四川省邻水二中数学建模教学与应用课题组冯永明、张启凡、刘凤文

为适应21世纪数学课程改革中加强应用性、创新性，重视联系学生

生活实际和社会实践的要求，我们开展了中学数学建模教学与应用的研

究和实践，目的是培养学生的创造能力和应用能力，把学生从纯理论解

题的题海中解放出来，把学生应用数学的意识的培养贯穿于教学的始终,

让学生学得生动活泼，使数学素质教育跃上一个新的高度。现将我们在

教学中的构想和实践作一个简介，并求教于广大同行。

1、中学数学建模教学的基本理念

1.1使学生体会数学与自然及人类社会的密切联系，体会数学的应用价

值，培养数学的应用意识，增进对数学的理解和应用数学的信心。

1.2学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活

中的问题，进而形成勇于探索、勇于创新的科学精神。

1.3以数学建模为手段，激发学生学习数学的积极性，学会团结协作，

建立良好人际关系、相互合作的工作能力。

1.4以数学建模方法为载体，使学生获得适应未来社会生活和进一步发

展所必需的重要数学事实（包括数学知识、数学活动经验）以及基本的

思想方法和必要的应用技能。

2、贯彻应用意识的课堂数学环节

数学素质教育的主战场是课堂，如何围绕课堂教学选取典型素材激

发学生兴趣，以润物细无声的形式渗透数学建模思想，提高建模能力呢？

根据我们的实践，采用知识的发生、形成过程与应用相渗透的教学模式

可以实现这个目标，以“问题情景一一建立模型一一解释、应用与拓展”

的基本叙述方式，使学生在朴素的问题情景中，通过观察、操作、思考、

交流和运用中，掌握重要的现代数学观念和数学的思想方法，逐步形成

良好的数学思维习惯，强化运用意识。这种教学模式要求教师以建模的

视角来对待和处理教学内容，把基础数学知识学习与应用结合起来，使

之符合“具体一一抽象--一具体”的认识规律。

其五个基本环节是：

2.1创设问题情景，激发求知欲

根据具体的教学内容，从学生的生活经验和已有的知识背景出发，

选编合适的实际应用题，让学生带着问题在迫切要求下学习，为知识的

形成做好情感上的准备，并提供给学生充分进行数学实践活动和交流的

机会。

2.2抽象概括，建立模型，导入学习课题

通过学生的实践、交流，发表见解，搜集、整理、描述，抽象其本

质，概括为我们需要学习的课题，渗透建模意识，介绍建模方法，学生

应是这一过程的主体，教师适时启发，介绍观察、实验、猜测、矫正与

调控等合情推理模式，成为学生学习数学的组织者、引导者、合作者与

共同研究者。

2.3研究模型，形成数学知识

对所建立的模型，灵活运用启发式、尝试指导法等教学方法，以教

师为主导，学生为主体完成课题学习，形成数学知识、思想和方法，并

获得新的数学活动经验。

2.4解决实际应用问题，享受成功喜悦

用课题学习中形成的数学知识解答开始提出的实际应用题。问题得

以解决，学生能体会到数学在解决问题时的实际应用价值，体验到所学

知识的用途和益处，成功的喜悦油然而生。

2.5归纳总结，深化目标

根据教学目标，指导学生归纳总结，拓展知识的一般结论，指出这

些知识和技能在整体中的相互关系和结构上的统一性，使学生认识新问

题，同化新知识，并构建自己的智力系统。同时体会和掌握构建数学模

型的方法，深化教学目标。此外，通过解决我国当前亟待解决的紧迫问

题，引导学生关心社会发展，有利于培养学生的主体意识与参与意识，

发挥数学的社会化功能。

3、中学数学建模教学的教学方式

根据我们的实践，数学建模教学应结合正常的数学内容进行切入，

把培养应用数学的意识落实在平时的教学过程中，以教材为载体，以改

革教学方法为突破口，通过对教学内容的科学加工、处理和再创造达到

在学中用，在用中学，让学生学习到数学的精神、思想和方法。

3.1从课本中的数学出发，注重对课本原题的改变

对课本中出现的应用问题，可以改变设问方式、变换题设条件，互

换条件结论，结合拓广类比成新的数学建模应用问题；对课本中的纯数

学问题，可以依照科学性、现实性、新颖性、趣味性、可行性等原则，

编拟出有实际背景或有一定应用价值的建模应用问题。按照这种方式开

展教学活动，可使学生受到如何将实际问题数学化、抽象为数学问题的

训练。

例1：如图，三个相同的正方形，求证：Zl+Z2+Z3=90°o

此问题多次出现在课本上（高中《代数》上册P.203的复习参考题9,

下册P.206的例4,初中《几何》第二册P.67的复习参考题21）,其重

要性可见一斑。以此问题为原型，可编拟如下一道应用问题：在距电视

塔底部100米，200米，300米的三处，观察电视塔顶，测得的仰角之和

为90°,那么电视塔高为多少？只要有课本题的基础，就一定得出电视

塔高为100米，否则三个仰角之和要么大于90°,要么小于90°。

只要教师做有心人，精心设计，课本中的数学问题大都可挖掘出生

活模型，选择紧贴社会实际的典型问题深入分析，逐渐渗透这方面的训

练，使学生养成自觉地把数学作为工具来用的意识。在这一过程中，既

培养了学生应用意识和应用能力的目的，又活跃了课堂教学活动，容易

引发学生的学习兴趣。

3.2从生活中的数学问题出发，强化应用意识

日常生活是应用问题的源泉之一，现实生活中有许多问题可通过建

立中学数学模型加以解决，如合理负担出租车资、家庭日用电量的计算、

红绿灯管制的设计、登楼方案、住房问题、投掷问题等，都可用基础数

学知识、建立初等数学模型，加以解决。

例2：某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱形土坑，挖出的土只

能沿AP、BP运到P处（如图），其中：AP=100米，BP=150米，ZAPB

=60°,请问怎样运土才能最省工？

分析：“省工”的数学语言是：到P的距离最近，，半圆中的点可

分为3类：（1）沿AP到P较近；（2）沿BP到P较近；（3）沿AP,

BP到P等距。其中第三类点集是（1）、（2）类点集的交集（分界线）。

设乂为分界线上的任一点，则|则十*|=|啊+跳|,二|瓶|一|啊

=|PB|-|PA|=50（定值），在以A,B为焦点的双曲线右支上，易

得|=175°°。以AB为“轴，AB中垂线为y轴建立直角坐标系，

得边界线为双曲线上弧：3750K2-625y2=625x3750（x>25）。

故运土时在双曲线弧左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处

最省工。

只要结合数学课程内容，适时引导学生考虑生活中的数学，会加深

对数学知识的理解和运用，恰当地将其融入课堂教学活动中，会增强数

学应用的信心，获得必要的应用技能。

3.3以社会热点问题出发，介绍建模方法

国家大事、社会热点、市场经济中涉及诸如成本、利润、储蓄、保

险、投标及股份制等，是中学数学建模问题的好素材.，适当的选取，融

入教学活动中，使学生掌握相关类型的建模方法，不仅可以使学生树立

正确的商品经济观念，而且还为日后能主动以数学的意识、方法、手段

处理问题提供了能力上的准备。

例3：广渝高速公路指挥部接到预报，24小时后将有一场超历史记

录的大暴雨，为确保万无一失，指挥部决定在24小时内筑一•道堤坝以防

山洪淹没正在紧张施工的华墓山隧道工程。经测算，其工程量除现有施

工人员连续奋战外，还需要20辆翻斗车同时作业24小时。但是，除了

有一辆车可立即投入施工外，其余车辆需从各处紧急抽调，每隔20分钟

能有--辆车到达并投入施工。已知指挥部最多可组织到25辆车，间24

小时内能否完成防洪堤坝工程？说明理由。

“可以设想，计算者感受到形势的危急和责任的重大，周围是热切

期盼的目光，数学与生命财产连在一起：必须尽快算出来，算准确。如

果几个小时后才算出来，那就没用了！算错了，其后果将是灾难性的。

当你断定：没问题！大家该会多么兴奋，多么感激。”儿句话，让学生

顿感学好数学的重要性，更多的人则拿起笔演算起来。但是，建立什么

模型，题目中没有任何暗示，要求较高。此时再详细介绍数学建模的方

法，无疑会收到事半功倍的效果。

解答一个应用问题重点过好三关：

（1）事理关：读懂题意，知道讲的是什么事件。

（2）文理关：需要将“问题情景”的文字语言转化为数学的符号语

言，用数学式子表达关系。

（3）数理关：在构建数学模型的过程中，要求学生有对数学知识的

检索能力，认定或构建相应的数学模型，完成由实际问题向数学问题的

转化，此后解答过程也需要比较扎实的基础知识和较强的数理能力。

解：（1）读题：分为读懂和深刻理解两个层次，把“问题情景”译

为数学语言，找出问题的主要关系（目标与条件的关系）：各车的工程

量之和不小于欲完成的工程总量20X24（车•小时）。

（2）建模：把问题的主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题。

设从第一辆车投入工作算起，各车的工作时间为小时，

d---

依题意，这些数组成一个公差为3（小时）的等差数列，且

%工24。⑴

（3）求解。把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解。

本题有两种方案：

方案1：由20辆车同时工作24小时可以完成全部工程知，每辆车、

1

每小时的工作效率为480,若在24小时内能完成全工程，则

刍_+刍_+…+马3

480480480⑵，即

124192%>23^

_(〃2+〃25)*25之480=24-—>

235,从而5,

23工<24

由于5,可见见的工作时间满足要求（1）,即工程可以在

24小时内完成。

方案2：当％=24时，应有/+%+-・+a25之20X24,即

25al3>480,将

<213=%一-=24-4=20

3代入得：25X202480,可见25辆车陆

续投入作业可以完成20辆车同时作业24小时的工程量。

（4）评价。对结果进行验证或评估，对错误加以调节（此为解题者

的自我调节），最后将结果应用于现实，作出解释或预测.本例上述两

种解决方案的最后一句话即为评价过程。

本例是我们在1999年学习数列、不等式后，结合正在我县修建的广

渝高速公路的瓶颈工程一一华整山隧道工程（为全国最长的公路隧道）

为背景，以1998年的抗洪斗争为实际编拟的，不仅使学生从中学到数学

建模的方法，也让学生受到德育教育，体现了数学的社会化功能。

3.4通过实践活动或游戏中的数学，从中培养学生的应用意识和数学建

模应用能力

利用课外活动时间开展实践活动课，把它作为建模教学不可分割的

部分。

例4：尽可能选择较多的方法测量学校或居住地的一座最高的建筑

物的高。（本文方法从略）

这是一道开放型的建模题，初看难度不大，但难于下手，经分析、

讨论，中学生会想出许多方法，教师应注意总结，与学生一起评价各个

模型是否切实可行，从而提高建模兴趣与能力。

喜爱游戏是青少年的天性，数学游戏有丰富的素材，如幻方、九连

环、称球、抢38、速算骰子等，还可结合教材内容适时提出游戏规则，

让学生在做游戏的过程中学到数学知识、数学方法和数学思想，从中引

导学生探寻数学模型，对数学学习的潜在影响很大。

3.5从其它学科中选择应用题，培养学生应用数学工具解决该学科难题

的能力

现代科学技术的发展，使数学敞开了一个又一个沉睡于定性分析的

科学大门，促进了各学科的数学化趋势。中学数学教学中，应注重适时

选取其它学科的应用题，通过构建模型，利用数学工具，解决其它学科

的难题。

例5图例6图

例5：重量为G牛顿的重物挂在杠杆上距支点。为0米处。杠杆质

量分布均匀，单位长度上的重量为q牛顿，问：杠杆应当多长，才能使

加在另一端用来平衡且与杠杆垂直的力F为最小（如图）。

分析：杠杆在三个力作用下平衡，即重物G的力矩、外力F的力矩、

L

杠杆自重的力矩。设杆长为L,则杆的重量G'=qL,其重心在2处，力

矩平衡方程为：

FL=G,--+Ga=-ql}+Ga

22，即

尸「"+生=叵

2LV2LV2（定值），当且仅当

更=%L=I-

2［即Y9时，F为最小。

由此例知，很多物理题目看上去很难做，但变成数学问题后就显得

简洁了。其实何止是物理，中学阶段的化学、生物等都离不开数学。

3.6探索数学应用于跨学科的综合应用题，培养学生的综合能力和创新

能力，提高学生的综合素质

针对3+X高考新模式，进行“综合科目”考试，数学建模教学无疑

将起重要作用。综合能力测试题知识交叉、渗透较广，但命题时往往以

某一学科为背景、交叉渗透其它学科的知识，具有多样性、复杂性、综

合性。利用建模的思想方法，在解题过程中，根据客观条件的发展和变

化，往往可机智灵活地寻找到解决问题的新方法和新途径，有利于创新

思维的培养。

例6：如图，一辆小车在轨道AB上行驶速度％=50km/h,在轨道以

外的平地上行驶的速度巧=40km/h,在离轨道垂直距离为PM=30km处

有一仓库P,有一辆小车从距离M点100km的A处行