湖南省名校2023届普通高等学校招生全国统一考试考前演练一数学试题

2023年普通高等学校招生全国统一考试考前演练一

数学

满分150分时量120分钟

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1,已知集合A4"』叫,8={x[-l<x<2},则（）

A.{x|-l<x<4}B.{x|0<x<2}

C.{x|-l<x<0}D.[x\2<x<4}

【答案】B

【解析】

【分析】先计算A={x|0WxW4},再进行交集运算即可.

【详解】A={X|X2-4X<0}={%|0<X<4},8={x|-l<x<2},

AnB={x|0<x<2},

故选：B.

2.已知i是虚数单位，复数Z]=1-21,22=2。+1（。€1^）在复平面内对应的点为/\Q,若OP_LO0

（。为坐标原点），则实数。=（）

A.-2B.-1C.OD.1

【答案】D

【解析】

【分析】根据已知得出产Q（2a,l）,根据向量垂直的坐标运算得出答案.

【详解】复数4=1-2i/2=2a+i,

则尸（1,一2）,e（2a,l）,

则OP=（1,—2）,OQ=（2a,l）,

OP±OQ,

..247-2=0,解得a=l,

故选：D.

3.洞庭湿地保护区于长江中游的湖南省，面积公顷，为了保护该湿地保护区内的渔业资源和生物多样

性，从2003年起全面实施禁渔期制度.该湿地保护区的渔业资源科学研究培殖了一批珍稀类银鱼鱼苗，从

中随机抽取1。0尾测量鱼苗的体长（单位：毫米），所得的数据如下表：

分组（单位：毫米）[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)[95,100)

频数1010tn3515n

若依上述6组数据绘制的频率分布直方图中，［95,100）分组对应小矩形的高为0.01,则该样本中的90%

分位数的银鱼鱼苗的体长为（保留一位小数）（）

A.87毫米B.88毫米C.90.5毫米D.93.3毫米

【答案】D

【解析】

【分析】先根据直方图中［95,100）分组对应小矩形的高为0.01,计算频率，从而可得，然后由百分位数

概念直接计算可得.

【详解】由题意可知，［95,100）内的频率为0.05,所以"=100x0.05,

加=100—1（）—10—35—15—5=25，鱼苗体长在［70,90）内的频率为0.80,在［70,95）内的频率为

0.95,所以90%分位数在区间［90,95）内，大小为90+5x§k93.3.

故选：D

4.函数丁=2/一那在［-2,2］的图象大致为（）

【答案】D

02/27

【解析】

【详解】试题分析：函数/'（x）=2/-e网在［-2,2］上是偶函数，其图象关于）轴对称,

因为/（2）=8-e2,0<8-e2<l,

所以排除A5选项;

当xe［0,2］时，V=4x—e*有一零点，设为%,当了€（0,%）时，/⑸为减函数,

当xe（x（）,2）时，f（x）为增函数.

故选：D.

5.在三棱锥A-8CO中，AB1平面88,BCVCD,CD=2AB=23C=4,则三棱锥A-BCD

的外接球的表面积与三棱锥A—BCD的体积之比为（）

3兀3兀一日八

A.—B.—C.27rD.9兀

42

【答案】D

【解析】

【分析】证明.ABO,ACD为直角三角形后可得的中点。为外接球的球心，为半径，分别计

算外接球的表面积与三棱锥A-BCD的体积即可.

取的中点0,连接OB,OC,

因为A3工面BCD,BDu面BCD,8u面BCD,

所以?W_L8D,AB_LCD,

所以03=04=0。，

所以BD=JBC、CD2=亚，AD=yjAB2+BD2=74+20=276-

因为C£>_LBC,ABcBC=8,ABu面ABC,BCu面ABC,

所以CDJ•面ABC,

又因为ACu面ABC,

所以CDLCA,

所以OC=Q4=OD,所以。A=08=0C=0£>=LA£>=6,

2

所以。为三棱锥A—BCD的外接球的圆心,半径R=#，

所以球的表面积为S=4TIR2=2471，

11Q

三棱锥A-BCD的体积为V=gSsc。•AB=-x—x2x4x2=一,

323

S24兀八

—=------=yjr

故V8

3

故选：D

71sin4。sina…a

6.已知a£0,，则tan—=)

2/1+cos4acosa-22

B亚「V15

Vx.-----D

315f

【答案】A

【解析】

［分析】由已知利用二倍角公式和两角差的正弦公式，化简已知等式可得tana=岳，结合

a

利用二倍角公式可求出tan—.

2

sin4asina

【详解】a0,—I,------------------------,

I2)1+cos4acosa-2

2sin2acos2a_sina

2cos22acosa-2

sin2asin。

得——=------

cos2acosa-2

得sin2acosa-cos2asina=2sin2a,

可得sina=4sinacosa，

cosa=^-,sina=—,tana=V15，

44

-2tana-

又tana=---------=V15,

li-tan~2—a

2

04/27

得JBtan24+2tan4-岳=0,

22

解得tan^=姮.

25

故选：A

7.希腊着名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A,B的距离之比

为定值2(2*1)的点的轨迹是圆''.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿

氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，A(-4』),B(T,4),若点P是满足X=’的阿氏圆上的任意一点，

2

点Q为抛物线C:V=16%上的动点，Q在直线x=-4上的射影为R,贝11P81+21PQ|+21QH|的最小

值为()

/77

A.4逐B.8X/5C.江D.2765

2

【答案】D

【解析】

【分析】先求出点尸的轨迹方程，再结合阿波罗尼斯圆的定义及抛物线的定义可得

\PB\+2\PQ\+2\QR\=2\PA\+2\PQ\+2\QF\,从而可得出答案.

【详解】设尸(%,)，)，

|PA|_J(x+4)2+(y—l)2_1

IPBIJ(x+4『+(y_4)22

化简整理得(x+4y+y2=4,

所以点P的轨迹为以(-4,())为圆心2为半径的圆，

抛物线C:y2=16》的焦点尸(4,0),准线方程为x=T,

^\PB\+2\PQ\+2\QR\^2\PA\+2\PQ\+2\QF\

=2(\PA\+\PQ\+\QF\)>2\AF\=2y[65,

当且仅当AP,Q,尸(P,Q两点在AF两点中间)四点共线时取等号，

所以||+21P。|+21的最小值为2屈.

x+4e,x<0

8.已知函数/(x)==ex(e是自然对数的底数)，若存在西<0,々>0,使得

—y,x>。

X

/(%)=■/■(%),则王/(9)的取值范围是()

(16-2(16-e)e3

A.[*2,0]B.C.nD.[0,4e2]

16’16

【答案】A

【解析】

.v>2

【分析】由/⑷=〃力得到%=第-4e’再研究函数，3的单调性‘得到-

表示出来，然后利用换元法转化为二次函数求最值即可.

d0e"

【详解】:/(%)=/(々)，,・%+4e=—-,/.Xj=---4e,

x2x2

e*

Q玉40,——W4e,

X2

e*•ex-x1-ev-2xe'(x-2)

当x>0时，/(x)=-T，/(%)=

x4x3

由/'(x)>0得x〉2,由八无)<0得()<x<2,所以/(x)在(2,+w)上递增，在(0,2)上递减,

e2e2

丁./(x)在x=2处取得最小值一v，.二二W——<4e,

44考

06/27

，内/（工2）=

人e*

令t=F,则,.“"(/心/-4ef=«-2e)2-4e)

X2

当，=2e时，西/（々）取得最小值一/2,当f=4e时，取得最大值。，

所以xj（*2）的取值范围是[Te[,。].

故选：A

【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造

的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和

放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.以下说法正确的是（）

A.命题p:Hx（）e[l,+8）,e~+l的否定是：VxG[l,+oo）,er<x+l

B.若VXG（0,+8）,OX<X2+1,则实数ae（-oo,2]

C.已知a,Z?eR,是aIaI〉切切的充要条件

D.“函数y=tanx的图象关于（天）,O）中心对称”是“sin.q=0”的必要不充分条件

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据命题的否定可判断A,根据恒成立以及基本不等式可判断B,根据不等式的性质可判断C,

根据正切函数以及正弦函数的性质可判断D.

v

【详解】对于A,命题〃：丸w[l,+8）,e*>x0+l的否定是:Vxs[l,+oo）,e<x+l,故A正确,

对于B,VXG(0,+QO),OX＜X2+1,则＜7＜上土=》+^■对Vxe(0,M)恒成立，故”卜+3,由于

XXI”)min

X＞0,Xd--22,故。＜2,因此B错误,

X

对于C,a,。e4,若a>Z?NO,则。|4|="2>加加=/，若o?a。，此时

a\a\=-a2>b\b\=-b2,若a>0>b,则a|a|=/>川切=_/,因此对任意的。>6,都有

a\a\>b\b\,充分性成立，若a|a|>b|6|,如果。<0/<0,则由

a\a\>b\b^-a2>-b2^a2<b2^0>a>b,如果a>0/>0,则由

a\a\>b\b\=^>a2>b2a2>b2a>b>0,若。>0,匕<0,显然满足aIa|>切。I,止匕时

a>0>b,如果a<0<。，不满足a|a|>口。I，综合可知：a>h,所以必要性成立，故是

a|a|>勿的充要条件,故C正确，

对于D,y=tanx的对称中心为1万,0>&eZ,所以sin；■不一定为0,sinx0=0,则

玉)=E,Z:eZ,此时tanE=(),故(E,0),ZcZ是y=tanx的对称中心，故函数y=tanx的图象关于

(xo,O)中心对称”是“sin/=0”的必要不充分条件，故D正确，

故选：ACD

10.已知0<c<l,log,.a<log,6<0,则下列结论正确的是()

A.ca<cb<\B.abc<bac

C.3"+3>>3"+3。D.«log/?c</?log„c

【答案】ACD

【解析】

【分析】由0<。<1［。8,.4<1。8<功<0可得。>。>1,进而可借助导数、指数函数的单调性及不等式的基

本性质对选项逐一进行分析.

【详解】0<c<l,log,.a<k>g,2<0可得a>b>\,

0<c<l时;y=c”为递减函数，故c"<c"<l，故A正确；

取a=4/=2,c=；,则4X2；>2X，，故B错误；

令y=3*-3x,y'=3'ln3-3,尤>1时，y'=3"n3—3>0恒成立，

故y=3、-3x在(1,+8)上单调递增，

a>b>l时,有3"—3。>3”—38，故3“+3》>3"+3。，故C正确；

08/27

0<c<La>b>\,则log〃c<log“c<0,

则一108〃0—108〃0。，又。＞匕＞1＞0

贝i]-alog,,c>-blog“c,故alogfcc<blog„c,故D正确;

故选：ACD.

11.如图1,在一ABC中，NACB=90。，AC=26CB=2,的中位线，沿QE将

VAOE进行翻折，连接A8,AC得到四棱锥A-BCED（如图2）,点F为A8的中点，在翻折过程中下

列结论正确的是（）

A.当点4与点。重合时，三角形AOE翻折旋转所得的几何体的表面积为百

3

B.四棱锥A-BCED的体积的最大值为彳

2

若三角形ACE为正三角形，则点F到平面ACD的距离为亚

C.

2

A

若异面直线AC与3。所成角的余弦值为"2,则4、C两点间的距离为⑺

4

【答案】ABD

【解析】

【分析】A项，分析点A与点C重合时三角形AOE翻折旋转所得的几何体类型，即可得到几何体的表面

积；B项，通过/AEC表达出A-BCEO的体积，即可求出四棱锥A—BCE。的体积的最大值；C项，

通过三角形的等面积法即可求出点F到平面ACD的距离；D项，通过C项的三角形ACE为正三角形时，

由余弦定理得到异面直线AC与8。所成角的余弦值为立，即可求出异面直线AC与8。所成角的余弦值

4

为正时，A、C两点间的距离.

4

【详解】由题意,

在-ABC中，ZACB=90°,AC=2瓜CB=2,OE是的中位线，

/.tanA=—=^-,DE=-BC=l,AE=CE^-AC^yf3,AC=2^3

AC322

A=3Q°,AD=BD=~AB=--2BC=2,

22

对于A项，

当点A与点C重合时，三角形AOE翻折旋转所得的几何体为以2为半径高为1的半个圆锥，

...三角形ADE翻折旋转所得的几何体的表面积为：

S=g（兀”+兀产）+：AC-DE=gx]兀X6,JF+（可+71XJ+-^x2-^3x1=V3+^-^-+A/3^71

故A正确；

对于B项，

设ZA£C=e,则。«0,可，

设点A到CE的距离为万，

则h=AEsin6=石sin0>

二四棱锥A-3CED的体积为：

匕——叫区星瓜n"为e

71-33232"2

在丁=5皿。中，ye[-1,1],

3「33"

^A-BCDE=-sine,

3

.••四棱锥A—BCE。的体积的最大值为一，故B正确；

2

对于C,D项，

当三角形ACE为正三角形时，ZAEC=60°,AC=AE=CE=也,

过点产作EGAAC,连接DG,

取BC的中点H,连接FH,EH,EG

10/27

B

A

在△ABO中，A0=BD,点F为AB的中点，

由几何知识得，FG人DF,AC1BC

在，ACD中，AO=CO=2,

•••AG=CG=』AC=3，G为AC的中点，AGVAC

22

在中，G为AC的中点，，点F为A3的中点，AC1BC

AFGAAC,ABy]AC2+BC2=,AF=BF=-AB=—

22

在△4X7中，DG=VAD2-AG2=J22=与

在四边形。EGR中，由几何知识得，DE1EG,DEBCFG,

於

...四边形。EGR是矩形，DG=EF=-，

设点F到平面ACD的距离为%,

在一。FG中，DG%=DFFG,即巫./?=3、1，解得：九=独1,故c错误,

212"13

由几何知识得，EH//BD,FH//AC,

尸”=!AC=且，此时N/77E即为异面直线AC与BD所成的角，

22

由余弦定理，

EF2=FH2+EH2-2FH•EHcosZFHE，

代入数据，解得：cosNFHE=®，

.•.异面直线AC与80所成角的余弦值为且，则4、C两点间的距离为G，

4

故D正确;

故选：ABD.

【点睛】本题考查儿何体的表面积，体积，空间点到平面的距离，异面直线所成的角，余弦定理等，具

有极强的综合性。

22

12.己知椭圆：r：=+±=l(a>G)的左、右焦点分别为不入，右顶点为A,点例为椭圆「上一

a3

点,点/是△加耳工的内心，延长交线段于M抛物线y2=[(a+c)x(其中c为椭圆下的半焦

8

距)与椭圆「交于B,C两点，若四边形是菱形，则下列结论正确的是()

A.|8。|=芈B.椭圆「的离心率是更

2

149D扇\IN\的值呜i

c西+麻j的最小值为了

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于A,利用椭圆与抛物线的对称性得到根=/(a-c),从而将3(/耳〃)代入抛物线方程得到

〃=乎，进而得以判断；对于B,将3(〃?,〃)代入椭圆「的方程得到a=2c,由此得以判断；对于C,

利用椭圆的定义与基本不等式“1”的妙用即可判断；对于D,利用三角形内心的性质与三角形角平分线的性

质，结合比例的性质即可判断.

22

【详解】对于A,因为椭圆r：「+L=l(a>6)的左、右焦点分别为耳、K，右顶点为A,则

a~3

A（a,0）,4（一。,0）,鸟（一c,0）,从=3,

12/27

因为抛物线y2="(a+c)x(其中c为椭圆下的半焦距)与椭圆「交于B,C两点,

8

所以由椭圆与抛物线的对称性可得，氏C两点关于x轴对称，不妨设C(m-n),/7>0,

因为四边形是菱形，所以3c的中点是A6的中点，

所以由中点坐标公式得2〃2=Q-C，则m=g(Q-C),

将代入抛物线方程V="m+c)x得，n2=—(df+c)m=—(«+c)(tz-c)=—(tz2-c2),

881616v7

所以/=—b~——,则几=3后,所以13cl=2〃=当叵，故A正确；

161642

对于B,由选项A得茎］,再代入椭圆方程得=

(24)4a216x3

化简得("一0=L则巴==',故q=2c,所以e=£=』，故B错误；

°24a2a2

对于C,由选项B得a=2c,所以62=a2—c2=3c2=3,则c=l,a=2,

所以|叫|+|Mg|=2a=4,不妨设|叫|=s,|"g|=/,则s+f=4,且s>0,/>0,

当且仅当工=史且S+1=4,即s=g,r=g,即|叫|=今四用=：时，等号成立,

StjJJJ

14Q

所以TT而1+%3I的最小值为一，故c正确；

附耳|\MF2\4

对于D,连接口和/鸟,如图,

因为的内心为/,所以用为的平分线，则有需=瑞，

四=幽\MF\\MI\

同理:2=

EM|w|'所士（

N|\F2N\|W|'

所以叩I归“+泥N|2c''^\MI\2故D正确.

故选：ACD.

【点睛】关键点睛：本题的关键点是利用椭圆与抛物线的对称性，可设用C的坐标，再由菱形的性质与

中点坐标公式推得根=g（a-c）,从而求得，的值，由此得解.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分.

13.（2x+l）fx-->|的展开式中含/项的系数为_________.

IX）

【答案】-10

【解析】

【分析】先求（x—工］展开式中/项，然后乘以2x可得.

kxj

【详解】（尤一^）展开式的通项为4M=C"5-1—=（_I）'C05Q,

令5-2厂=4或5-2r=3,得r=g（舍去），r=l，n=

所以（2X+1）［X-L）展开式中含/的项为2XX（—5/）=一IO/.

故答案为：-10

14.已知的非零数列｛%｝前n项和为S.，若％=2吗=3,。,£川=25„+2,则Sl0的值为.

14/27

【答案】65

【解析】

【分析】根据S“,凡的关系可得a,.一%=2,进而根据等差数列的求和公式以及分组求和即可求解.

【详解】由的,用=2S“+2得：an+ian+2=2Sn+i+2,

aaa

故两式相减得On+\n+2~nn+\=2s,用+2-（2S“+2）=2<1,I+|=>«„+1（。”+2-4,）=〃+1，

由于｛凡｝为非零数列，故4+2一。"=2,所以｛。,,｝的奇数项成等差数列，偶数项也成等差数列，且等差

均为2,

=5x4ecu5x4c

所以$10=+%+《+”8+4o）+（4+tZj+tz5+tz7+）2x5+----x2+3x5+x2=65,

2-----------2

故答案为：65

15.已知双曲线E:：•-3=l(a〉0,b>0)的右焦点/(3,0),点A是圆(x+3>+(y+4)2=8上一个动

ab"

点，且线段AF的中点3在双曲线E的一条渐近线上，则双曲线E的离心率的取值范围是.

【答案】［0,+8)

【解析】

【分析】先表示出点B的坐标，然后代入双曲线的渐近线方程，可得2的范围，然后可得结果.

a

【详解】因为点A是圆(x+3)2+(y+4)2=8上一个动点，所以设碓亚cos。—3,2夜sin，—4),

则3"cos6,及sin”2),不妨设双曲线的一条渐近线方程为y=勺，

因为点B在双曲线的一条渐近线上，所以&sin。—2=^x0cose,即sin6-2cose=&；

aa

因为sin6-2cos6=J1+2rsin(。-0)=夜，其中tan°=2,

a\aa

因为sin(e-e)<l,所以J1+Q&,即离心率6=£='1+y2及.

故答案为：［啦,+8)

16.若函数卜=/与丁=6"。11%+。)的图像有两个不同的公共点，则。的取值范围为.

【答案】(l,+oo)

【解析】

【分析】令〃力=6'-6"(111%+4)E>0,根据题意了(%)在(0,+8)有两个零点，求导借助导数研究单调

性分析得，/(x)的极小值/(/)<0,其中/eM=e",进而转化为能成立问题，借助基本不等式求解即

可.

【详解】令f(x)=eA-ea(Inx+tz),x>0,

函数丁=©*与y=e"(lnx+〃)的图像有两个不同的公共点，

等价于/(x)在(0,+8)有两个零点，

//(x)=et-—,x>0,

令r(x)=o,则xe*-e"=0，

令g(x)=xe*-e",x>0,g'(x)=e*+xe*,x>0,易得g'(x)>0恒成立，

故g(x)在(0,+oo)单调递增，易得Jimg(x)<0,Jimg(x)>0,

故存在与w(0,+oo),使得g(Xo)=O,即/'(40)=0，即x()e*=e",

当兀€(0,%)时，g(x)<0,等价于/'(x)<0,则/(x)在(0,%)上单调递减，

当时，g(x)>0,等价于用x)>0,贝i"'(x)在(毛,+。。)上单调递减，

故/(小)为极小值，因为/(力在(0,+8)有两个零点，

则/(%o)<。,即e"—e"(InX。+“)<。,

b

因为尤oe*=e",则x0=e"7,lnx0=a-x0,

1c

则e”>-Xoe%(2a-Xo)<O,即一+x0<2a,解得1<。

故答案为：(l,+oo).

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚.

17.已知正项等比数列｛4｝的的前"项和为S“，且满足：4=2,S4=3(q+a,)，

(1)求数列｛%｝的通项；

(2)已知数列出｝满足b„=(2〃-1)凡,求数列也｝的前〃项和T„.

【答案】(1)a„=2"

16/27

（2）7；,=（2M-3）2,,+I+6

【解析】

【分析】（1）求等比数列的通项公式用公式法，基本量代换；

（2）由⑴可得2=（2〃一1卜2",利用错位相减法即可求得数列也｝的前〃项和小

【小问1详解】

设｛4｝的公比为4，“＞（）,

：S4=3（4+%）,q+/+q+g=3（4+%），

+%），即

a2+a4=2（（/（qq+%q=2（q+q）,

：.q=2,又％=2,.•.为=22'T=2".

【小问2详解】

••・2=（2〃—l）q,=（2〃f-2",

1r

：.Tn^l-?!+3-2+5-^+7-^++（2〃-1）・2",

/.27；=1-22+3•23+5•24+7•25++（2n-l）-2n+1,

相减得，一＜=2+23+24+25+.+2"|—（2〃-1）-2日，

23（1-2"叫

7H,,+IH+I

•--Tn=2+2-（2-1）-2=-6-（2-3）-2"＞

所以7；=（2〃—3）2用+6.

18.已知函数/（x）=26sinxcosx-2cos

（1）求函数y=log2/（x）的定义域和值域；

（2）已知锐角_A3C的三个内角分别为A,B,C,若/［万）=0,求丁的最大值.

/JTJTA

【答案】（1）\-+kTt,-+kTt\,k&7..（-oo,0］

（2）2

【解析】

【分析】（1）先化简f（x）,然后利用真数大于0可得sin（2x-当］＞?，即可求出定义域，继而求出值域;

(2)先利用(1)可得A=g,结合锐角三角形可得四<8〈工，然后利用正弦定理进行边变角即可求出答

362

案

【小问1详解】

/(x)=2>/3sinxcosx-2cos2x=>/3sin2x-cos2x-l=2sin(2x-^)-1,

所以要使y=log2〃x)=log22sin(2x-^卜有意义，

只需2sin(2x-e)-l>0,即sin^2x--^-j>g,

JlTT)TTTVTT

所以一+2kn<2x—<--F2kn,keZ,解得一•\-kn<x<—+kn,keZ

66662

，兀71、

所以函数y=log2/(x)的定义域为17+也,万+也卜462,

由于0<2sin(2x+E)-141,所以log2/(x)<log?1=0,

所以函数y=log27（x）值域为（Y）,。］;

【小问2详解】

由于，［3)=2sin(A-F)T=。，所以sin(A_.)=；,

因为0<A<¥,所以---<A---<—,所以A---=—即A=巴,

2663663

由锐角..ABC可得:2，所以7:1〈Bv771,

八"2兀n兀62

0<C=----B<—

32

,.工4『b+csinB+sinC2「.八.（n八、

由正弦定理可得-----------------——尸sinB+sin—I-B

asinA。3|_\3）_

=^r\sinB+^'CosB=V3sinB+cosB=2sin（3+^）,

「、，兀c71”…兀c712K,r-力+C/C

因为一<8<一,所以一<8+—v—，所以J3v----<2,

62363a

所以如上的最大值为2.

a

19.2022年12月15至16日，中央经济工作会议在北京举行.关于房地产主要有三点新提法，其中“住房改

18/27

善”位列扩大消费三大抓手的第一位.某房地产开发公司旗下位于生态公园的楼盘贯彻中央经济工作会议精

神，推出了为期10天的促进住房改善的惠民优惠售房活动，该楼盘售楼部统计了惠民优惠售房活动期间

到访客户的情况，统计数据如下表：（注：活动开始的第i天记为七，第，天到访的人次记为必，

i=l,2,3,•）

（单位：天）1234567

（单位：人次）12224268132202392

（1）根据统计数据，通过建模分析得到适合函数模型为y=（c,d均为大于零的常数）.请根据统

计数据及下表中的数据，求活动到访人次y关于活动开展的天次x的回归方程，并预测活动推出第8天售

楼部来访的人次;

177

参考数据：其中匕=馆v,"=彳X匕=L84,2XM=58.55,10°84«6.9；

7i=i/=i

参考公式：对于一组数据（%,巧）,（〃2，口），，（〃"，匕），其回归直线£=0+6〃的斜率和截距的最小二乘

n

2（%一1）（4一/）_〃而

估计公式分别为：p=J------------=V---------,6=v-pu.

E（»,-W）2小；_.2

1=11=1

（2）该楼盘营销策划部从有意向购房的客户中，随机通过电话进行回访，统计有效回访发现，客户购房

意向的决定因素主要有三类：A类是楼盘的品质与周边的生态环境，B类是楼盘的品质与房子的设计布

局，C类是楼盘的品质与周边的生活与教育配套设施.统计结果如下表：

类别A类B类C类

频率0.40.20.4

从被回访的客户中再随机抽取3人聘为楼盘的代言人，视频率为概率，记随机变量X为被抽取的3人中A

类和C类的人数之和，求随机变量X的分布列和数学期望.

【答案】（1）y=6.9xlOO25\690

（2）分布列见解析，数学期望为装

【解析】

【分析】（1）将^=八"'转换为lgy=lgd?xIge,由最小二乘法求回归直线方程，再换回y=c-d'形

式;

（2）,结合二项分布的概率公式及期望公式即可求.

【小问1详解】

由y=c-d'得Igy=lgd?xIge,

[77

由匕=lg%"=5工匕=L84,2玉匕=58­55,x=4,

7；=1/=]

7

^x,2=l2+22+32+42+52+62+72=140,

/=1

苍匕-7xv

a58.55-7仓也1.84

二Igdi=l________

2

J9-2140-7?4

ax；-7%

/=i

lgc=v-lgJ?x1.84-0.25?4=0.84,Igy0.25x+0.84.

则所求回归方程为：y=10°-84+0-25x=6.9xlOo25x.

当x=8时，y=6.9x10°25x8=690,故预测活动推出第8天售楼部来访的人次为690；

【小问2详解】

由题意得，A类和C类被抽取得概率为0.4+04=0.8,X可取0,1,2,3,且乂~83,1

3

...P（X=0）=C；，P（X=1）=C；

P（X=2）=需

15蔡尸”I需

7

.•.X的分布列为

X0123

1124864

P

125125125125

412

X的数学期望为E（X）=3X1=M.

20.如图，在四棱锥P—A8CD中，底面ABC。是直角梯形，ABJ.BC,AD//BC,

AD^DC-IBC,NADC=60°,侧面是等腰三角形，PA=PD.

20/27

p

（2）若侧面BAD，底面ABC。，侧棱PB与底面ABCD所成角的正切值为》，M为侧棱PC上的动

2

点，且PM=义/＞。（/16[0』]）.是否存在实数;1,使得平面R4。与平面M4O的夹角的余弦值为g?若

存在，求出实数4若不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析

2

（2）存在，2=-.

3

【解析】

【分析】（1）通过证明线面垂直，即可证明BC_LPC：

（2）建立平面直角坐标系，得到各点的坐标，设出点M坐标，求出平面B4Q与平面的法向量，通

过两平面夹角的余弦值即可求得实数A的值.

【小问1详解】

由题意，

在四棱锥P—ABCD中，取的中点为E，连接PE,CE,

在等腰.24。中，PA=PD，：.PE_LAD,

在直角梯形A8CD中，

ABJ.BC,AD//BC,AD=DC=2BC,ZADC=60。，

:.BC上PE,BC=AE=DE,AB〃CE,四边形A3CE是矩形,

BC±CE,CE_LAD,AB-CE>BC-AE=DE=—CD,

2

，NDCE=30°,ZCDE=60°,AB=CE=43DE=-J3AB,

•••BCz面PCE,PEu面PCE,CEu面PCE,PECE=E,

：.BC上面PCE,

'：PCu面PCE,

BC1PC.

小问2详解】

由题意及（1）得，PE人AD，CEA.AD,AB=CE,BC=AE,

在四棱锥P-A3CD中，侧面P4D_L底面ABC。，面P4Dc底面A8CD=4）,

PEICE,

•.•侧棱P8与底面ABC。所成角的正切值为立，A5=CE=垂,DE=乖1AB

2

设PE=6a，

二由几何知识得，BE=2a,四边形8CDE是平行四边形，

BE//CD,ZAEB=NCDE=60°,

在直角_ABE中，AE=BEcosZAEB=a,AB=BEsinZAEB-s[3a>

AB=CE=也a,BC=AE=DE=a

建立空间直角坐标系如下图所示，

.•.£（（）,0,0）,A（0,-4Z,0）,B16a,-a,0）,C（岛,0,0b0（O,a,O）,尸（0,0,岳）,

：M为侧棱PC上的动点，且PM=e[0,1]）,

设M(X”,0,z”)

由几何知识得，为■二PE-3%=型=几,解得：M(5la,0,G(l—X”),

PEP

u

在面PAD中，其一个法向量为4=(1,0,0),

22/27

在面MW中，AD=（O