28.2 解直角三角形及其应用 人教版九年级数学下册导学案

28.2解直角三角形及其应用学习目标：1）解直角三角形的概念，理解直角三角形中除直角以外的五个元素之间的关系。2）能综合运用勾股定理、直角三角形两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。3）通过解直角三角形解决实际问题的过程，让学生加深对属性结合、方程、转化等数学思想。学习重点：直角三角形中除直角以外的五个元素之间的关系。学习难点：通过解直角三角形解决实际问题。学习过程1）知识点回顾∠A的正弦值：sinA=∠A所对的边斜边=∠A的余弦值：cosA=∠A所邻的边斜边∠A的正切值：tanA=∠A所对的边邻边=a30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值填入下表：2）课堂探究一、解直角三角形一般地，直角三角形中，除直角外共有五个元素，即三条边和两个锐角。由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫解直角三角形。【问题】在直角三角形中，除直角外的五个元素之间有哪些关系？直角三角形五个元素：边：a、b、c边与边之间的关系：勾股定理（a2角：∠A、∠B角与角之间的关系：A+∠B=90°边与角之间的关系：sinA=∠A所对的边斜边=acsinB=∠B所对的边cosA=∠A所邻的边斜边tanA=∠A所对的边邻边二、解直角三角形的应用举例【情景一】2012年6月18日“神舟”九号载人航天飞船与“天宫一号”目标飞行器成功实现交会对接．“神舟”九号与“天宫一号”在离地球表面343km的圆形轨道上运行．如图，当组合体运行到地球表面上P点的正上方时，从中能直接看到的地球上表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6400km，π取3.142，结果取整数）解：设∠POQ=α，而AQ是⊙O的切线，则△AOQ是直角三角形∵cosα=OQAO=64006400+343≈0.9491∴∴弧PQ的长为α

πr180=18.36×3.142×6400180【情景二】热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）。解：∵a=30°，β=60°，AD＝120．∴tana=BDAD，tanβ=CD∴BD=AD•tana=403CD=AD•tanβ=1203则BC=BD+DC=1603≈277m答：楼高277【情景三】如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i＝1∶1.5，则坝底AD的长度为_____________∵坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，∴AE=1.5BE=18米，∵BC=10米，∴AD=2AE+BC=2×18+10=46米【练一练】1．如图，O为跷跷板AB的中点．支柱OC与地面MN垂直，垂足为点C，当跷跷板的一端B着地时，跷跷板AB与地面MN的夹角为20°，测得AB=1.6m，则OC的长为（

）A． B． C． D．【详解】解：∵O为AB的中点，AB=1.6，∴OB=AB=0.8，在Rt△OCB中，sin∠OBC=，∴OC=OB•sin∠OBC=0.8sin20°，故选：B．2．如图，从热气球A看一栋楼底部C的俯角是(

)A． B． C． D．【详解】解：根据俯角的定义，朝下看时，视线与水平面的夹角为俯角，∴∠DAC为对应的俯角，故选D．3．如图，AB表示一条跳台滑雪赛道，在点A处测得起点B的仰角为35°，底端点C与顶端点B的距离为50米，则赛道AB的长度为（

）米．A． B． C． D．【详解】解：在Rt△ABC中，∵∠A=35°，BC=50米，∴sin35°=，∴AB=(米)．故选：C．4．如图，一把梯子AB长4米，靠在垂直水平地面的墙上，若梯子与地面的夹角为，则梯子底端A到墙面的距离为（

）A． B． C． D．【详解】解：∵∠ACB=90°，∴cosa=，∴AC=4cosa米，故选：A．5．如图，点C在以AB为直径的圆上，则BC＝（

）A． B． C． D．【详解】解：连接AC，∵AB是⊙的直径，∴∠ACB=90°，∵sinB=，cosB=，tanB=，∴AC=AB•sinB，BC=AB•cosB，AC=BC•tanB，观察四个选项，选项B正确，故选；B．6．在Rt△ABC中，C90，AB5，AC4．下列四个选项，正确的是（

）A．tanB B．cotB C．sinB D．cosB【详解】解：如图：∵C90，AB5，AC4∴∴，故选项A错误，不符合题意；，故选项B错误，不符合题意；，故选项C正确，符合题意；，故选项D错误，不符合题意；故选：C．7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则（

）A． B． C． D．【详解】解：在△ABC中，∠C=90°，∵设BC=3x，则AC=4x，根据勾股定理可得：，故选：B8．在中，，，，则的（

）A．3 B．4 C．6 D．8【详解】解：如图，在中，，，，在中，．故选D．9．《城市交通管理条例》规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正前方30米的C处，过了2秒后，小汽车行驶至B处，若小汽车与观测点间的距离AB为50米，请通过计算说明：这辆小汽车是否超速？【详解】解：根据题意：∠ACB=90°由勾股定理可得：BC=米40米=0.04千米，2秒=小时；0.04÷=72千米/时>70千米/时；所以超速了．10．如图所示，在Rt