人教版八年级数学上册 第15章 重点突破训练：分式方程应用类型举例（解析版）

第15章重点突破训练：分式方程应用类型举例典例体系（本专题65题35页）考点1：分式方程有增根问题典例：（2020·广西百色·期末）增根是一个数学用语，其定义为在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根．对于分式方程：（1）若该分式方程有增根，则增根为________．（2）在（1）的条件下，求出的值．【答案】（1）或；（2）-4或6．【解析】解：（1）当分母值为0时，分式方程有增根，可得：，解得：或，即增根是：或，故答案为：或；（2）解：①若时，②若时，．方法或规律点拨本题考查分式方程的增根，注意掌握增根的求法即令最简公分母为0以及求有增根的方程中参数的值，应先求出可能的增根，再将其代入化简后的整式方程即可．巩固练习1．（2020·景泰县第四中学期末）若解方程时，出现增根，则增根是（）A． B． C． D．或【答案】C【解析】解：方程两边都乘x（x+1），

得2（x+1）=mx，整理得：（m-2）x=2，∴x≠0，

∵原方程有增根，

∴最简公分母x（x+1）=0，

解得x=0或-1，∵x≠0，∴增根可能是-1．

故选：C．2．（2020·辽宁灯塔·期末）已知方程有增根，则这个增根一定是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】分式方程的最简公分母为，∵分式方程有增根，，解得，故选：B．3．（2020·山东昌乐·期末）若解关于的方程时产生增根，那么的值为()A．1 B．2 C．0 D．-1【答案】A【解析】将原方程两边都乘（x-2）得:,整理得，∵方程有增根,∴最简公分母为0,即增根是x=2;把x=2代入整式方程,得m=1.故答案为:A.4．（2020·湖南鹤城·期末）若关于的分式方程有增根，则实数的值是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】去分母得：m=x-1-2x+6，由分式方程有增根，得到x-3=0，即x=3，把x=3代入整式方程得：m=2，故选：A．6．（2020·河北景县·初二期末）若关于x的方程=0有增根，则m的值是A．3 B．2 C．1 D．－1【答案】B【解析】若关于x的方程=0有增根，则x=1为增根．把方程去分母可得m-1-x=0，把x=1代入可得m-1-1=0，解得m=2.7．（2020·广西平桂·期末）如果方程无解，那么a的值为（）．A．±1 B．－1 C．0 D．1【答案】A【解析】对原方程进行化简：，，若此方程无解：（1）转换成整式方程，此方程无解，∴即时，原方程无解；（2）此方程的解为是原方程的增根，此时则原方程也无解；故答案选A．8．（2020·四川青白江·初二期末）关于x的分式方程有增根，则增根为（）A．x=1 B．x=－1 C．x=3 D．x=－3【答案】A【解析】当x＝1时，分母为零，没有意义，所以是增根．故选A．9．（2020·深圳市罗湖外语学校初中部月考）已知关于x的方程会产生增根，则k的值为___．【答案】6【解析】分式方程去分母得：，

由分式方程有增根，得到，即，

把代入整式方程得：．

故答案为：6．10．（2020·江苏丹阳·期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值为_______．【答案】1【解析】解：方程两边都乘，得∵原方程有增根，∴最简公分母，解得，当时，故m的值是1，故答案为111．（2020·河南遂平·期末）若分式方程有增根，则的值为________．【答案】-1【解析】解：分式方程去分母得：1+3（x-2）=-a，

由分式方程有增根，得到x-2=0，即x=2，

代入整式方程得：-a=1，

解得：a=-1．

故答案为：-1．考点2：分式方程无解问题典例：（2020·浙江东阳·初一期末）若关于x的分式方程无解，则a的值为_____．【答案】﹣1或0【解析】解：去分母，得ax+a＝2a+2，整理，得ax＝a+2，当a＝0时，方程无解；当a≠0时，x＝．∵当x＝﹣1时，分式方程无解，∴=﹣1，解得：a=﹣1．故答案为：﹣1或0．方法或规律点拨本题考查了分式方程无解的情况，解题的关键是既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形．巩固练习1．（2020·福建宁化·期末）若关于x的方程无解，则m的值是（）A．m=3 B． C．或3 D．或1【答案】D【解析】解：去分母得：3﹣2x+mx﹣2=﹣x+2，整理得：（m﹣1）x=1，当m﹣1=0，即m=1时，方程无解；当m﹣1≠0时，x﹣2=0，即x=2时，方程无解，此时=2，即，故选D．2．（2020·贵州织金·初二期末）已知：关于x的分式方程无解，则m的值为（）A．-4或6 B．-4或1 C．6或1 D．-4或6或1【答案】D【解析】解：两边都乘以(x+2)(x-2),得2(x+2)+mx=3(x-2)当m=1时，2(x+2)+mx=3(x-2)无解，分式方程无解；当x=2时，2(x+2)+mx=3(x-2)8+2m=0m=-4当x=-2时，2(x+2)+mx=3(x-2)0-2m=-12m=6故选D.3．（2020·福建南平·初三二模）如果关于x的方程无解，则m的值是（）A．2 B．0 C．1 D．–2【答案】A【解析】解：方程去分母得：m+1﹣x=0，解得x=m+1，当分式方程分母为0，即x=3时，方程无解，则m+1=3，解得m=2.故选A.4．（2020·树德中学都江堰外国语实验学校期中）若关于x的方程无解，则m的值为__．【答案】-1或5或【解析】去分母得：，可得：，当时，一元一次方程无解，此时，当时，则，解得：或.故答案为：或或.5．（2022·河南太康·期末）若关于x的分式方程无解，则m＝_____．【答案】6，10【解析】解：∵关于x的分式方程无解，∴x=，原方程去分母得：m（x+1）-5=（2x+1）（m-3）解得：x=，m=6时，方程无解．或是方程无解，此时m=10．故答案为6，10．6．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校期中）当m=_________________时，方程无解．【答案】-3【解析】解：分式方程去分母得：m＝2（x−1）－3，由分式方程无解，得到x－1=0，即x＝1，代入整式方程得：m＝-3．故答案为：-3．7．（2020·山东青岛·初二期末）小颖在解分式方程+2时，△处被污染看不清，但正确答案是：此方程无解．请你帮小颖猜测一下△处的数应是_____．【答案】1．【解析】解：去分母得：x﹣2＝△+2（x﹣3），由分式方程无解，得到x﹣3＝0，即x＝3，把x＝3代入整式方程得：△＝1．故答案为：1．8．（2022·张掖市育才中学期末）已知关于x的分式方程无解，则k的值是__________．【答案】1【解析】解：分式方程去分母得：x-2=k+2（x-3），

即x=4-k，

由分式方程无解得到x-3=0，即x=3，

代入整式方程得：3=4-k，

解得：k=1，

故答案为：1．9．（2020·湖北黄石·初二期末）关于x的分式方程无解，则m的值为_______．【答案】1或6或【解析】解：当时，显然方程无解，又原方程的增根为：当时，当时，综上当或或时，原方程无解．故答案为：1或6或．考点3：常规题型--行程问题典例：（2020·广东荔湾·初二期末）列方程解应用题：初二（1）班组织同学乘大巴车前往爱国教育基地开展活动，基地离学校有60公里，队伍12：00从学校出发，张老师因有事情，12：15从学校自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地，问：（1）大巴与小车的平均速度各是多少？（2）张老师追上大巴的地点到基地的路程有多远？【答案】（1）大巴的平均速度是40公里/小时，小车的平均速度是60公里/小时；（2）张老师追上大巴的地点到基地的路程有30公里．【解析】（1）设大巴的平均速度是x公里/小时，则小车的平均速度是1.5x公里/小时，根据题意得：，解得：x=40，经检验：x=40是原方程的解，1.5x=1.5×40=60．答：大巴的平均速度是40公里/小时，小车的平均速度是60公里/小时；（2）设张老师追上大巴的地点到基地的路程有y公里，根据题意得：，解得：y=30，答：张老师追上大巴的地点到基地的路程有30公里．方法或规律点拨本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目中蕴含的相等关系，并依据相等关系列出方程．巩固练习1．（2020·山西朔州·初二期末）自2019年11月20日零时起，大西高铁车站开始试点电子客票业务，旅客购票乘车更加便捷．大西高铁客运专线是国家《中长期铁路网规划》中的重要组成部分，它的建成将意味着今后山西人去西安旅行的路程与时间将大大缩短，但也有不少游客根据自己的喜好依然选择乘坐普通列车．已知高铁线路中从A地到某市的高铁行驶路程是400km，普通列车的行驶路程是高铁行驶路程的1.3倍，若高铁的平均速度（km/h）是普通列车平均速度（km/h）的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3.6h，求普通列车和高铁的平均速度．【答案】普通列车的平均速度是100km/h，高铁的平均速度是250km/h．【解析】解：普通列车的行驶路程为：400×1.3=520（km）．设普通列车的平均速度为xkm/h，则高铁的平均速度为2.5km/h，则根据题意得：，解得x=100，经检验，x=100是原分式方程的解，且符合题意．则高铁的平均速度是100×2.5=250（km/h）．答：普通列车的平均速度是100km/h，高铁的平均速度是250km/h．2．（2020·江苏泰州·中考真题）近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线为全程的普通道路，路线包含快速通道，全程，走路线比走路线平均速度提高，时间节省，求走路线的平均速度．【答案】75km/h【解析】解：设走线路A的平均速度为，则线路B的速度为，则，解得：，检验：当时，，∴是原分式方程的解；∴走路线的平均速度为：（km/h）；3．（2022·景泰县第四中学初三一模）某内陆城市为了落实国家“一带一路”战略，促进经济发展，增强对外贸易的竞争力，把距离港口420km的普通公路升级成了同等长度的高速公路，结果汽车行驶的平均速度比原来提高了50%，行驶时间缩短了2h，求汽车原来的平均速度．【答案】70km/h【解析】设汽车原来的平均速度是xkm/h，根据题意得：，解得：x=70．经检验：x=70是原方程的解．答：汽车原来的平均速度70km/h．4．（2020·江苏南京·初二期末）某地新修一条公路，甲、乙两个工程队承包此项工程，如果甲工程队单独施工，则刚好如期完成；如果乙工程队单独施工，就要超过6个月才能完成．现在由甲、乙两队先共同施工4个月，剩下的由乙队单独施工，则刚好如期完成．原来规定修好这条路需多少时间？【答案】原来规定修好这条路需12个月．【解析】解：设原来规定修好这条路需x个月．根据题意，得：＋=1解得：x=12经检验，x=12是原方程的解，答：原来规定修好这条路需12个月．5．（2022·浙江嘉兴·初一期末）如图1是某机场的平地电梯，电梯AB的长度为108米，如图2所示，若两人不乘电梯在地面匀速行走，小明每分钟的路程是小王的1.5倍，且2分钟后，小明比小王多行走36米．（1）求两人在地面上每分钟各行走多少米？（2）若两人在平地电梯上行走，电梯向前行驶，两人也同时从A出发，以他们原来的速度匀速在电梯上行走，当小明到达B处时，小王还剩24米．①求平地电梯每分钟行驶多少米？②当小明到达B处时，发现有一袋行李忘在A处，于是马上从地面返回A处，拿了行李后立即乘平地电梯(同时行走)去B处．求小王到达B处后在原地等待小明的时间．【答案】（1）小明在地面上每分钟行走54米，小王在地面上每分钟行走36米；（2）①平地电梯每分钟行驶27米；②小王到达B处后在原地等待小明的时间为分钟．【解析】（1）设小明在地面上每分钟行走x米，小王在地面上每分钟行走y米，依题意有，解得．答：小明在地面上每分钟行走54米，小王在地面上每分钟行走36米；（2）①设平地电梯每分钟行驶a米，依题意有，解得：a=27．经检验，a=27是原方程的解，即平地电梯每分钟行驶27米；②设小王从A到B的时间为m分钟，则(27+36)m=108，解得：m，设小明从A到B的时间为n分钟，从B到A的时间为t分钟，则(54+27)n=108，解得：n，54t=108，解得：t=2，22(分钟)．答：小王到达B处后在原地等待小明的时间为分钟．6．（2020·湖南怀化·初三其他）李老师家距学校1900米，某天他步行去上班，走到路程的一半时发现忘带手机，此时离上班时间还有23分钟，于是他立刻步行回家取手机，随后骑电瓶车返回学校．已知李老师骑电瓶车到学校比他步行到学校少用20分钟，且骑电瓶车的平均速度是步行速度的5倍，李老师到家开门、取手机、启动电瓶车等共用4分钟．（1）求李老师步行的平均速度；（2）请你判断李老师能否按时上班，并说明理由．【答案】（1）李老师步行的平均速度为76m/分钟，骑电瓶车的平均速度为380m/分；（2）李老师能按时上班．【解析】解：（1）设李老师步行的平均速度为xm/分钟，骑电瓶车的平均速度为5xm/分钟，由题意得：，解得：x=76，经检验，x=76是原分式方程的解，且符合题意，则5x=76×5=380，答：李老师步行的平均速度为76m/分钟，骑电瓶车的平均速度为380m/分；（2）由（1）得，李老师走回家需要的时间为：=12.5（分钟），骑车走到学校的时间为：=5，则李老师走到学校所用的时间为：12.5+5+4=21.5＜23，答：李老师能按时上班．考点4：常规题型--工程问题典例：（2020·湖北阳新·初三其他）某工程队（有甲、乙两组）承包一条路段的修建工程，要求在规定时间内完成．（1）已知甲组单独完成这项工作所需时间比规定时间多32天，乙组单独完成这项工程所需时间比规定时间多12，如果甲、乙两组先合作20天，剩下的由甲组单独做，则要误期2天完成，那么规定时间是多少天？（2）在实际工作中，甲、乙两组合做这项工作的后，工程队又承包了其他路段的工程，需抽调一组过去，从按时完成任务的角度考虑，你认为留下哪一组最好？请说明理由．【答案】（1）28天；（2）留下乙组最好．【解析】解：（1）设规定的时间是天，根据题意得:，解得，经检验是原方程的根，答：规定的时间是28天；（2）设甲、乙两组合作完成这项工作的用了天，根据题意得：，解得：，若甲组单独做剩下的工程所需时间为（天），∵，∴甲组单独做剩下的工程不能在规定的时间内完成，若乙组单独做剩下的工程所需时间为（天）∵，∴乙组单独做剩下的工程能在规定的时间内完成，∴留下乙组最好.方法或规律点拨此题考查了分式方程的应用，读懂题意，找出等量关系是解题的关键．路程问题一般用到路程=时间×速度．巩固练习1．（2022·广西玉林·期末）某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．（1）这项工程的规定天数是多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为5500元，乙队每天的施工费用为3000元，为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙合做来完成，则该工程施工费用是多少？【答案】（1）这项工程的规定时间是30天；（2）该工程的施工费用为153000元【解析】解：（1）设这项工程的规定时间是x天，根据题意得：，解得，经检验是方程的解，答：这项工程的规定时间是30天；（2）该工程由甲、乙合做完成，所需时间为；(天），则该工程的施工费用是：18×（5500+3000）=153000（元），答：该工程的施工费用为153000元．2．（2020·山东昌乐·期末）某县为落实“精准扶贫惠民政策”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成;若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1．5倍．如果由甲、乙队先合作施工15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．(1)这项工程的规定时间是多少天?(2)为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作完成．则甲、乙两队合作完成该工程需要多少天?【答案】（1）这项工程的规定时间是30天；（2）甲乙两队合作完成该工程需要18天．【解析】(1)设这项工程的规定时间是天，则甲队单独施工需要天完工，乙队单独施工需要天完工，依题意，得:．解得:，经检验，是原方程的解，且符合题意．答:这项工程的规定时间是30天．(2)由(1)可知:甲队单独施工需要30天完工，乙队单独施工需要45天完工，（天），答:甲乙两队合作完成该工程需要18天．3．（2020·黑龙江甘南·初二期末）在社会主义新农村建设中，某乡镇决定对一段公路进行改造，已知这项工程由甲工程队单独做需要40天完成；如果由乙工程先单独做10天，那么剩下的工程还需要两队合做20天才能完成．（1）求乙工程队单独完成这项工程所需的天数；（2）求两队合作完成这项工程所需的天数．【答案】（1）60（2）24【解析】解：（1）设乙工程队单独完成这项工程需要x天，根据题意得：解之得：x=60，经检验：x=60是原方程的解．所以乙工程队单独完成这项工程所需的天数为60天．（2）设两队合做完成这项工程所需的天数为y天，根据题意得：()y=1，解之得：y=24，所以两队合做完成这项工程所需的天数为24天．4．（2020·四川青羊·石室中学期中）在开任公路改建工程中，某工程段将由甲，乙两个工程队共同施工完成，据调查得知，甲，乙两队单独完成这项工程所需天数之比为2:3，若先由甲，乙两队合作30天，剩下的工程再由乙队做15天完成.（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？（2）此项工程由两队合作施工，甲队共做了m天，乙队共做了n天完成.已知甲队每天的施工费为15万元，乙队每天的施工费用为8万元，若工程预算的总费用不超过840万元，甲队工作的天数与乙队工作的天数之和不超过80天，请问甲、乙两队各工作多少天，完成此项工程总费用最少？最少费用是多少？【答案】（1）甲、乙两队单独完成这取工程各需60，90天；（2）甲、乙两队各工作20，60天，完成此项工程总费用最少，最少费用是780万元.【解析】（1）设甲、乙两队单独完成这取工程各需2x，3x天，由题意得：，解得：，经检验：是原方程的根，∴，，答：甲、乙两队单独完成这取工程各需60，90天；（2）由题意得：，令施工总费用为w万元，则．∵两队施工的天数之和不超过80天，工程预算的总费用不超过840万元，∴，，∴，∴当时，完成此项工程总费用最少，此时，元，答：甲、乙两队各工作20，60天，完成此项工程总费用最少，最少费用是780万元.5．（2020·陕西西安·初二期末）甲、乙两个筑路队共同承担一段一级路的施工任务，甲队单独施工完成此项任务比乙队单独施工完成此项任务多用15天．且甲队单独施工60天和乙队单独施工40天的工作量相同．（1）甲、乙两队单独完成此项任务各需多少天？（2）若甲、乙两队共同工作了4天后，乙队因设备检修停止施工，由甲队单独继续施工，为了不影响工程进度，甲队的工作效率提高到原来的2倍，要使甲队总的工作量不少于乙队的工作量的2倍，那么甲队至少再单独施工多少天？【答案】（1）甲队单独完成此项任务需45天，乙队单独完成此项任务需30天；（2）4天【解析】解：（1）设乙队单独完成此项任务需x天，则甲队单独完成此项任务需（x+15）天根据题意得经检验x＝30是原方程的解，则x+15＝45（天）答：甲队单独完成此项任务需45天，乙队单独完成此项任务需30天．（2）解：设甲队再单独施工y天，依题意，得，解得y≥4．答：甲队至少再单独施工4天．考点5：分式方程+代数计算典例：3．（2020·湖南雨花·其他）在抗击“新冠肺炎”战役中，某公司接到转产生产1440万个医用防护口罩补充防疫一线需要的任务，临时改造了甲、乙两条流水生产线．试产时甲生产线每天的产能（每天的生产的数量）是乙生产线的2倍，各生产80万个，甲比乙少用了2天．（1）求甲、乙两条生产线每天的产能各是多少？（2）若甲、乙两条生产线每天的运行成本分别是1.2万元和0.5万元，要使完成这批任务总运行成本不超过40万元，则至少应安排乙生产线生产多少天？（3）正式开工满负荷生产3天后，通过技术革新，甲生产线的日产能提高了50%，乙生产线的日产能翻了一番．再满负荷生产13天能否完成任务？【答案】（1）甲条生产线每天的产能是40万个，乙条生产线每天的产能是20万个；（2）至少应安排乙生产线生产32天；（3）再满负荷生产13天能完成任务．【解析】解：（1）设乙条生产线每天的产能是x万个，则甲条生产线每天的产能是2x万个，依题意有﹣＝2，解得x＝20，经检验，x＝20是原方程的解，2x＝2×20＝40，故甲条生产线每天的产能是40万个，乙条生产线每天的产能是20万个；（2）设安排乙生产线生产y天，依题意有0.5y+1.2×≤40，解得y≥32．故至少应安排乙生产线生产32天；（3）（40+20）×3+[40×（1+50%）+20×2]×13＝180+1300＝1480（万个），1440万个＜1480万个，故再满负荷生产13天能完成任务．方法或规律点拨本题考查了分式方程和一元一次不等式、代数计算的应用，根据题意列出分式方程和不等式是解答本题的关键．巩固练习1．（2021·浙江长兴·开学考试）某市文化宫学习十九大有关优先发展教育的精神，举办了为某贫困山区小学捐赠书包活动．首次用2000元在商店购进一批学生书包，活动进行后发现书包数量不够，又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元．(1)求文化官第一批购进书包的单价是多少？(2)商店两批书包每个的进价分别是68元和70元，这两批书包全部售给文化宫后，商店共盈利多少元？【答案】（1）第一批购进书包的单价为80元（2）商店共盈利1350元【解析】解：(1)设第一批购进书包的单价为x元.依题意,得,整理,得20(x+4)=21x,解得x=80.检验：当x=80时，x(x+4)≠0∴x=80是原分式方程的解.答:第一批购进书包的单价为80元.(2)=300+1050=1350答:商店共盈利1350元.2．（2020·山东青州·期中）某服装店用6000元购进一批衬衫，以60元/件的价格出售，很快售完，然后又用13500元购进同款衬衫，购进数量是第一次的2倍，购进的单价比上一次每件多5元，服装店仍按原售价60元/件出售，并且全部售完.（1）该服装店第一次购进衬衫多少件？（2）将该服装店两次购进衬衫看作一笔生意，那么这笔生意是盈利还是亏损？求出盈利（或亏损）多少元？【答案】（1）该服装店第一次购进衬衫150件.（2）这笔生意共盈利7500元.【解析】解：（1）设该服装店第一次购进衬衫x件．由题意得：解得：x＝150，经检验：x＝150是原方程的解．答：该服装店第一次购进衬衫150件．（2）第一次购进的单价为6000÷150＝40（元/件）第二次的购进数量为：150×2＝300（件）第二次购进的单价为：40＋5＝45（元/件）这笔生意的利润为：（60－40）×150＋（60－45）×300＝7500（元）答：这笔生意共盈利7500元．3．（2020·广东初三二模）某商场家电专柜购进一批甲，乙两种电器，甲种电器共用了10350元，乙种电器共用了9600元，甲种电器的件数是乙种电器的1.5倍，甲种电器每件的进价比乙种电器每件的进价少90元．（1）甲、乙两种电器各购进多少件？（2）商场购进两种电器后，按进价提高40%后标价销售，很快全部售完，求售完这批电器商场共获利多少元？【答案】（1）甲购进45件，乙购进30件；（2）7980元【解析】解：（1）设乙种电器购进件，则甲种电器购进件,依题意得，解得：x=30，经检验x=30是原方程的解，答：甲种电器购进45件，乙种电器购进30件．（2）售完这批电器商场共获利（10350+9600）×40%=7980元.答：售完这批电器商场共获利7980元.4．（2022·重庆梁平·初二期末）佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，并以每千克8元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购买的数量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果．（1）求第一次水果的进价是每千克多少元；（2）该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元.【答案】（1）6元；（2）盈利388元.【解析】解：（1）设第一次购买的单价为x元，则第二次的单价为1.1x元，根据题意得：，解得：x=6．经检验，x=6是原方程的解．答：第一次水果的进价为每千克6元．（2）第一次购水果1200÷6=200（千克），第二次购水果200+20=220（千克），第一次盈利为200×（8﹣6）=400（元），第二次盈利为100×（9﹣6.6）+120×（9×0.5﹣6×1.1）=﹣12（元），∴两次共赚钱400﹣12=388（元）．答：该老板两次卖水果总体上是盈利了，共赚了388元．5．（2020·山东长清·初三二模）为推进垃圾分类，推动绿色发展，某工厂购进甲乙两种型号的机器人用来进行垃圾分类，甲型机器人比乙型机器人每小时多分10kg，甲型机器人分类800千克垃圾所用的时间与乙型机器人分类600kg垃圾所用的时间相等．（1）两种机器人每小时分别分类多少垃圾？（2）现在两种机器人共同分类500kg垃圾，工作2小时后，甲型机器人因机器维修退出，求甲型机器人退出后，乙型机器人还需工作多长时间才能完成？【答案】（1）甲型机器人每小时分类40kg垃圾．乙型机器人每小时分类30kg垃圾；（2）甲型机器人退出后乙型机器人还需要工作12小时．【解析】解：（1）设甲型机器人每小时分类xkg垃圾．则乙型机器人每小时分类（x﹣10）kg垃圾，依题意，得：，解得：x＝40，经检验，x＝40是原方程的根，且符合题意，∴x﹣10＝40﹣10＝30．答：甲型机器人每小时分类40kg垃圾．乙型机器人每小时分类30kg垃圾．（2）[500﹣（40+30）×2]÷30＝12（小时）．答：甲型机器人退出后乙型机器人还需要工作12小时．6．（2020·江苏海州·初二期末）某书店老板去批发市场购买某种图书．第一次用1200元购书若干本，并按该书定价20元出售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本书批发价比第一次提高了25％，他用1800元所购该书数量比第一次多20本，又按定价售出全部图书．(1)求该书原来每本的批发价；(2)该老板这两次售书一共赚了多少钱?【答案】（1）12；（2）1400.【解析】解：（1）设该书原来每本的批发价为x元，由题意得：解得：x=12，经检验：x=12是原分式方程的解，答：该书原来每本的批发价为12元；（2）（1200÷12）×（20-12）+（1200÷12+20）×[20-12×（1+25％）]=100×8+120×5=1400（元），答：该老板这两次售书一共赚了1400元．7．（2020·浙江杭州·初一期末）商店常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：设甲种糖的单价为a元/千克，乙种糖的单价为b元/千克（a≠b），则m千克甲种糖和n千克乙种糖混合而成的什锦糖单价为元/千克．（1）当a＝25，b＝30时，求20千克的甲种糖和30千克的乙种糖混合而成的什锦糖单价．（2）在（1）的基础上，要把什锦糖单价降低2元，则需减少乙种糖多少千克？（3）现有A、B两种混合方案，A方案是由x千克甲种糖和x千克乙种糖混合而成，B方案是由y元甲种糖和y元乙种糖混合而成，你认为哪一种方案的单价低？请说明理由．【答案】（1）28元/千克；（2）需减少乙种糖25千克；（3）混合方案B的单价低，理由见解析【解析】解：（1）当a＝25，b＝30，m＝20，n＝30时，＝＝28．答：当a＝25，b＝30时，用20千克的甲种糖和30千克的乙种糖混合而成的什锦糖单价为28元/千克．（2）设需减少乙种糖z千克，依题意，得：＝28﹣2，解得：z＝25，经检验，z＝25是原方程的解，且符合题意．答：需减少乙种糖25千克．（3）混合方案B的单价低，理由如下：混合方案A的单价＝＝，混合方案B的单价＝＝．∵﹣＝＝＞0，∴混合方案B的单价低．8．（2020·安徽临泉·期末）节能环保的油电混合动力汽车，既可用油做动力行驶，也可用电做动力行驶，某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油做动力行驶，则费用为80元；若完全用电做动力行驶，则费用为30元，已知汽车行驶中每千米用油费用比用电费用多0.5元.(1)求汽车行驶中每千米用电费用是多少元？(2)甲、乙两地的距离是多少千米？【答案】(1)汽车行驶中每千米用电费用是0.3元；(2)甲、乙两地的距离是100千米.【解析】解：(1)设汽车行驶中每千米用电费用是x元，则每千米用油费用为(x+0.5)元，根据题意可得：＝，解得：x＝0.3，经检验得：x＝0.3是原方程的解，答：汽车行驶中每千米用电费用是0.3元；(2)甲、乙两地的距离是：30÷0.3＝100(千米).考点6：分式方程+方程（组）典例：（2020·甘肃平川区四中初二期末）为迎接省“义务教育均衡发展验收”，某广告公司承担了制作宣传牌任务，安排甲、乙两名工人制作，由于乙工人采用了新式工具，其工作效率比甲工人提高了20％，同样制作30个宣传牌，乙工人比甲工人节省了一天时间:(1)求甲乙两名工人每天各制作多少个宣传牌?(2)现在需要这两名工人合作完成44个宣传牌制作在务，应如何分配，才能让两名工人同时完成任务?【答案】(1)甲工人每天制作5个宣传牌，乙工人每天制作6个；(2)给甲分配制作20个，乙制作24个.【解析】解：(1)设甲工人每天制作x个宣传牌，则乙工人每天制(1+20%)x=1.2x个，由题意得解得x=5经检验x=5是原方程的解且符合题意∴1.2x=6答:甲工人每天制作5个宣传牌，乙工人每天制作6个.(2)设甲完成a个宣传牌，则乙完成（44-a）个宣传牌，

由题意得：，

解得：a=20，

44-a=24，

答：给甲分配制作20个，乙制作24个，才能让两名工人同时完成任务．故答案为(1)甲工人每天制作5个宣传牌，乙工人每天制作6个；(2)给甲分配制作20个，乙制作24个.方法或规律点拨本题考查分式方程的实际运用、一元一次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键.巩固练习1．（2020·福建省福州延安中学期中）新冠肺炎疫情期间，某小区计划购买甲、乙两种品牌的消毒剂，乙品牌消毒剂每瓶的价格比甲品牌消毒剂每瓶价格的3倍少50元，已知用300元购买甲品牌消毒剂的数量与用400元购买乙品牌消毒剂的数量相同．(1)求甲、乙两种品牌消毒剂每瓶的价格各是多少元？(2)若该小区从超市一次性购买甲、乙两种品牌的消毒剂共40瓶，且总费用为1400元，求购买了多少瓶乙品牌消毒剂？【答案】（1）甲品牌消毒剂每瓶的价格为30元；乙品牌消毒剂每瓶的价格为40元；（2）购买了20瓶乙品牌消毒剂【解析】（1）解：设甲品牌每瓶x元，则乙品牌每瓶3x-50元，根据题意得：，解得：x=30，则3x-50=3×30-50=40，则甲品牌消毒剂每瓶的价格为30元，乙品牌消毒剂每瓶的价格为40元；（2）设购买了乙品牌a瓶，则购买了甲品牌40-a瓶，根据题意得：，解得：a=20，则购买了20瓶乙品牌消毒剂.2．（2020·贵州织金·初二期末）小明准备购买笔和本子送给农村希望小学的同学，在市场上了解到某种本子的单价比某种笔的单价少元，且用元买这种本子的数量与用元买这种笔的数量相同．（1）求这种笔和本子的单价各是多少？（2）小明准备用自己的元压岁钱购买这种笔和本子，计划元刚好用完，并且笔和本子都买，请列出所有购买方案．【答案】（1）这种笔的单价为元，本子的单价为元；（2）有三种方案：方案一：购买这种笔支，本子本；方案二：购买这种笔支，本子本，方案三:购买这种笔支，本子本.【解析】（1）设这种笔的单价为元，则本子单价为元，由题意，得，解得:，经检验:是原分式方程的解，则，答:这种笔的单价为元，本子的单价为元；（2）设可购买这种笔只和本子本，由题意，得，整理得，∵m、n都是正整数，

∴①n=5时，m=9，②n=10时，m=6，③n=15，m=3；

∴有三种方案：

①购买这种笔9支，购买本子5本；

②购买这种笔6支，购买本子10本；

③购买这种笔3支，购买本子15本．3．（2020·四川锦江·学业考试）今年5月以来，四川多地松绑政策，点亮地摊经济．一夜市摊贩购买了两种布偶玩具，在夜市贩卖．已知每件布偶比布偶便宜2元，购买一定数量的布偶所用资金为3000元，购买相同数量的布偶所用资金为3300元．（1）求两种布偶的单价分别是多少元？（2）该摊贩计划将两种布偶混在一起销售，售价均定为每件30元，销售一半后，将售价下降促销．要使所有布偶销售完后盈利1800元，求的值．【答案】（1）A种布偶的单价是20元，B种布偶的单价是22元；（2）m＝20．【解析】（1）设A种布偶的单价是x元，则B种布偶的单价是（x＋2）元，由题意得，，解得，x＝20，经检验，x＝20是原分式方程的解，∴x＋2＝22，答：A种布偶的单价是20元，B种布偶的单价是22元；（2）购买布偶A的件数＝＝150＝购买布偶B的件数．由题意得，30×150＋30（1−m%）×150−（3000＋3300）＝1800，整理得，1−m%＝，解得m＝20．故所求m的值为20．4．（2020·河南初二期末）某班举行演讲比赛，准备购买毛笔和笔记本作为奖品．在商场上了解到要购买的笔记本的单价比毛笔的单价少4元，且用30元买这种笔记本的数量与用50元买这种毛笔的数量相同（1）求这种毛笔和笔记本的单价；（2）该班计划用100元购买这种毛笔和笔记本，毛笔和笔记本都买，且100元刚好用完，请求出所有购买方案．【答案】（1）这种毛笔每枝10元，本子每本6元；（2）有三种方案，详见解析．【解析】解：（1）设这种毛笔每枝x元，则本子每本为（x﹣4）元，由题意得：＝，解得：x＝10，经检验：x＝10是分式方程的解，则x﹣4＝6．答：这种毛笔每枝10元，本子每本6元；（2）设恰好用完100元，可购买这种毛笔m支和购买本子n本，由题意得：10m+6n＝100，整理得：m＝10﹣n，∵m、n都是正整数，∴n＝5时，m＝7；n＝10时，m＝4；n＝15，m＝1；∴有三种方案：①购买这种毛笔7支，购买本子5本；②购买这种毛笔4支，购买本子10本；③购买这种毛笔1支，购买本子15本．5．（2020·四川阿坝·初二期末）为响应“一带一路”国家倡议，某铁路货运集装箱物流园区正式启动了2期扩建工程一项地基基础加固处理工程由两个工程公司承担建设，已知工程公司单独建设完成此项工程需要180天，工程公司单独施工45天后，工程公司参与合作，两个工程公司又共同施工54天后完成了此项工程．（1）工程公司单独建设完成此项工程需要多少天？（2）由于受工程建设工期的限制，物流园区管委会决定将此项工程划分成两部分，要求两个工程公司同时开工，工程公司建设其中一部分用了天完成，工程公司建设另一部分用了天完成，其中均为正整数，且，，那么两个工程公司各施工建设了多少天？【答案】（1）工程公司单独建设完成此项工程需要120天；（2）45天，90天【解析】（1）设工程公司单独建设完成此项工程需要天，根据题意得，解得，经检验，是原分式方程的解，且符合题意，所以工程公司单独建设完成此项工程需要120天.（2）根据题意得，整理得.因为，，所以，解得.因为为正整数，所以或44或45.又因为为正整数，所以，．6．（2022·广东郁南·初二期末）为响应稳书记“足球进校园”的号召，某学校在某商场购买甲、乙两种不同足球，购实甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种是球数量是购类乙种足球数量的2倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元.（1）求这间商场出售每个甲种足球、每个乙种足球的售价各是多少元；（2）按照实际需要每个班须配备甲足球2个，乙种足球1个，购买的足球能够配备多少个班级?（3）若另一学校用3100元在这商场以同样的售价购买这两种足球，且甲种足球与乙种足球的个数比为2：3，求这学校购买这两种足球各多少个?【答案】（1）甲种足球需50元，乙种足球需70元；（2）20个班级；（3）甲种足球40个，乙种足球60个．【解析】解：（1）设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球需（x+20）元，可得：解得：x=50经检验x=50是原方程的解且符合题意答：购买一个甲种足球需50元，则购买一个乙种足球需70元；（2）由（1）可知该校购买甲种足球==40个，购买乙种足球20个，∵每个班须配备甲足球2个，乙种足球1个，答：购买的足球能够配备20个班级；（3）设这学校购买甲种足球2x个，乙种足球3x个，根据题意得：2x×50+3x×70=3100解得：x=20∴2x=40,3x=60答：这学校购买甲种足球40个，乙种足球60个．7．（2020·浙江慈溪·初一期末）为创建省文明卫生城市，某街道将一公园进行绿化改造．计划种植甲、乙两种花木，甲种花木每棵进价800元，乙种花木每棵进价3000元，共需107万元；每种植一棵甲种花木需人工费30元，每种植一棵乙种花木需人工费80元，共需人工费32000元．（1）求计划种植甲、乙两种花木各多少棵？（2）如果承包植树的老板安排28人同时种植这两种花木，每人每天能种植甲种花木20棵或乙种花木5棵，应分别安排多少人种植甲种花木和乙种花木，才能确保同时完成各自的任务？【答案】（1）计划种植甲种花木400棵，乙种花木250棵；（2）应安排种植甲种花木8人和乙种花木的20人．【解析】（1）解：设计划种植甲种花木x棵，乙种花木y棵，则由题意得解得答：计划种植甲种花木400棵，乙种花木250棵．（2）解：设安排种植甲种花木的a人，则种植乙花木的(28-a)人，则由题意得

解得a=8经检验，a=8是所列方程的根，且符合题意∴28-a=20(人)．答：应安排种植甲种花木8人和乙种花木的20人．8．（2020·浙江嘉兴·初一期末）某商场经销A，B两款商品，若买20件A商品和10件B商品用了360元；买30件A商品和5件B商品用了500元．（1）求A、B两款商品的单价；（2）若对A、B两款商品按相同折扣进行销售，某顾客发现用640元购买A商品的数量比用224元购买B商品的数量少20件，求对A、B两款商品进行了几折销售？（3）若对A商品进行5折销售，B商品进行8折销售，某顾客同时购买A、B两种商品若干件，正好用完49.6元，问该顾客同时购买A、B两款商品各几件？【答案】（1）A商品的单价是16元，B商品的单价是4元；（2）8折；（3）顾客购买A商品1件，B商品13件；或A商品3件，B商品8件；A商品5件，B商品3件【解析】解：（1）设A商品单价为x元，B商品单价为y元.根据题意，得：解得所以A商品的单价是16元，B商品的单价是4元.（2）设打折后A、B两款商品进的价格分别为16a和4a，则解得a=0.8经检验，a=0.8为原方程的解且符合题意所以A、B两款商品进行了8折销售（3）设顾客购买A商品m件，B商品n件.则∵m、n都为正整数∴①m=1,n=13②m=3,n=8③m=5,n=3所以顾客购买A商品1件，B商品13件；或A商品3件，B商品8件；A商品5件，B商品3件.9．（2020·河北怀安·初二期末）某火车站北广场将于2018年底投入使用，计划在广场内种植A、B两种花木共6600棵，若A花木数量是B花木数量的2倍少600棵.（1）A、B两种花木的数量分别是多少棵？（2）如果园林处安排26人同时种植这两种花木，每人每天能种植A花木60棵或B花木40棵，应分别安排多少人种植A花木和B花木，才能确保同时完成各自的任务？【答案】（1）A4200棵，B2400棵；（2）A14人，B12人.【解析】解：（1）设B花木数量为x棵，则A花木数量是（2x-600）棵，由题意得：x+2x-600=6600，解得：x=2400，2x-600=4200，答：B花木数量为2400棵，则A花木数量是4200棵；（2）设安排a人种植A花木，由题意得：，解得：a=14，经检验：a=14是原分式方程的解，26-a=26-14=12，答：安排14人种植A花木，12人种植B花木．10．（2020·内蒙古临河·初二期末）某校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批篮球和足球．其中篮球的单价比足球的单价多40元，用1500元购进的篮球个数与900元购进的足球个数相等．（1）篮球和足球的单价各是多少元？（2）该校打算用1000元购买篮球和足球，问恰好用完1000元，并且篮球、足球都买有的购买方案有哪几种？【答案】详见解析【解析】（1）设足球单价为x元，则篮球单价为（x+40）元，由题意得：，解得：x=60，经检验：x=60是原分式方程的解，则x+40=100，答：篮球和足球的单价各是100元，60元；（2）设恰好用完1000元，可购买篮球m个和购买足球n个，由题意得：100m+60n=1000，整理得：m=10-n，∵m、n都是正整数，∴①n=5时，m=7，②n=10时，m=4，③n=15，m=1；∴有三种方案：①购买篮球7个，购买足球5个；②购买篮球4个，购买足球10个；③购买篮球1个，购买足球15个．考点7：分式方程+不等式（组）典例：（2020·广西百色·期末）某单位为美化环境，计划对面积为平方米的区域进行绿化，现安排甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的倍，并且在独立完成面积为平方米区域的绿化时，甲队比乙队少用天．（1）甲、乙两工程队每天能绿化的面积分别是多少平方米？（2）若该单位每天需付给甲队的绿化费用为元，付给乙队的费用为元，要使这次的绿化总费用不超过元，至少安排甲队工作多少天？【答案】（1）乙队每天绿化面积为40平方米，甲队为60平方米；（2）至少安排甲队工作天．【解析】解：（1）设乙队每天绿化面积为平方米，甲队为平方米，于是得：解得：经检验，是原方程的解，，答：甲、乙两队每天绿化的面积分别是平方米、平方米；（2）设至少安排甲队工作天，于是得：解得：答：至少安排甲队工作天．方法或规律点拨本题考查分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程以及根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．巩固练习1．（2020·广东三模）某儿童品牌专卖店购进了A、B两种童装，其中A种童装的进价比B童装的进价每个多10元，经调查：用1000元购进A种童装的数量与用800元购进B童装的数量相同．（1）求A、B两种童装的进价分别是每个多少元？（2）该专卖店共购进了A、B两种童装共100套，若该店将每个A种童装定价为70元出售，每个B种童装定价为55元出售，且全部售出后所获得利润不少于1750元，则专卖店至少购进A种童装多少套？【答案】（1）50元；40元（2）50套【解析】（1）解：设A种童装的进价是x元/个，则B种童装的进价是元/个，由题意可列方程，

解得，经检验：是原分式方程的根．∴答：A、B两种童装的进价分别是每套50元和40元．（2）解：设购进A种童装m套，由题可知，解得，又∵m为正整数∴m的最小值为：50．答：专卖店至少购进A种童装50套．2．（2020·辽宁灯塔·期末）某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同．（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？（2）在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵，此时，甲种树苗的售价比第一次购买时降低了10%，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？【答案】（1）甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元；（2）他们最多可购买11棵乙种树苗．【解析】（1）设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是（x+10）元，依题意有，解得：x=30，经检验，x=30是原方程的解，x+10=30+10=40，答：甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元；（2）设他们可购买y棵乙种树苗，依题意有30×（1﹣10%）（50﹣y）+40y≤1500，解得y≤11，∵y为整数，∴y最大为11，答：他们最多可购买11棵乙种树苗．3．（2020·黑龙江哈尔滨·月考）中秋节前夕，某商家预测某种水果能够畅销，就用6000元购进了一批这种水果，上市后销售非常好，商家又用14000元购进第二批这种水果，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每千克进价多了5元．（1）该商家两批共购进这种水果多少千克？（2）由于储存不当，第二批购进的水果中有10%腐坏，不能售卖．该商家将两批水果按同一价格全部销售完毕后获利不低于8000元，求每千克这种水果的售价至少是多少元？【答案】（1）第一批购进600千克；（2）每千克这种水果售价至少为50元．【解析】（1）解：设第一批购进x千克，，x=200，经检验x=200是原方程的解，2x=400，200+400=600（千克），答：第一批购进600千克；（2）设每千克的售价为a元，，，答：每千克这种水果售价至少为50元．4．（2020·辽宁龙城·一模）某单位在疫情期间用元购进两种口罩个，购买种口罩与购买种口罩的费用相同，且种口罩的单价是种口罩单价的倍.求两种口罩的单价各是多少元？若计划用不超过元的资金再次购进两种口罩共个，已知两种口罩的进价不变，求种口罩最多能购买多少个？【答案】（1）A口罩单价为3元/个，B口罩单价为2.5元/个；（2）A种口罩最多能购进1000个．【解析】解：（1）设B口罩的单价为x元/个，则A口罩单价为1.2x元/个，根据题意得：解得：x＝2.5，经检验，x＝2.5是原方程的解，且符合题意，则1.2x＝3，答：A口罩单价为3元/个，B口罩单价为2.5元/个；（2）设购进A口罩m个，则购进B口罩（2600−m）个，依题意，得：3m＋2.5（2600−m）≤7000，解得：m≤1000，答：A种口罩最多能购进1000个．5．（2020·安徽省安庆市外国语学校期末）安庆外国语为创建书香校园，去年购进一批图书，经了解，科普书的单价比文学书的单价多4元，用12000元购进的科普书与用8000元购进的文学书本数相等．（1）文学书和科普书的单价各多少钱？（2）今年文学书和科普书的单价和去年相比保持不变，该校打算用10000元再购进一批文学书和科普书，问购进文学书550本后至多还能购进多少本科普书？【答案】（1）文学书的单价为8元，科普书的单价为12元；（2）至多还能购进466本科普书【解析】（1）解：设文学书的单价为x元．根据题意，得解得x=8．

经检验，x=8是原方程的解，且符合题意．

x+4=12，则科普书的单价为12元，

答：文学书的单价为8元，科普书的单价为12元．（2）设购进文学书550本后还能购进y本科普书．依题意得

550×8+12y≤10000，解得：∵y为整数，

∴y的最大值为466

∴至多还能购进466本科普书．6．（2020·陕西横山·期末）为提升青少年的身体素质，深圳市在全市中小