重庆市主城区2024届高三上学期第一次学业质量检测数学试题 答案

高2024届学业质量调研抽测（第一次）数学试卷（数学试题卷共6页，考试时间120分钟，满分150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考号填写在答题卡指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡指定位置上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数满足，其中i为虚数单位，则等于（）A.i B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用复数除法运算求出，再结合共轭复数的意义求解即得.【详解】依题意，，则，所以.故选：C2.已知集合，，则的真子集个数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出集合、，可求出集合，可得出集合的元素个数，即可得出的真子集个数.【详解】因为，，则，所以，的真子集个数为.故选：C.3.2023年10月31日，神州十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，激发了学生对航天的热爱.某校组织高中学生参加航天知识竞赛，现从中随机抽取100名学生成绩的频率分布直方图如图所示，设这组样本数据的75%分位数为x，众数为y，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】首先，再根据百分位数和众数的计算方法即可.【详解】由题意得，解得，因为，，则，则样本数据的75%分位数位于，则，解得，因为样本数据中位于成绩之间最多，则众数为，故选：D.4.英国著名数学家布鲁克·泰勒（TaylorBrook）以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，泰勒级数用无限连加式来表示一个函数，如：，其中．根据该展开式可知，与的值最接近的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】观察题目将其转化为三角函数值，再将弧度制与角度制互化，结合诱导公式判断即可.【详解】原式，故选：C.5.已知某社区居民每周运动总时间为随机变量（单位：小时），且，．现从该社区中随机抽取3名居民，则至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率为（）A.0.642 B.0.648 C.0.722 D.0.748【答案】B【解析】【分析】根据正态分布的对称性结合概率的乘法公式即可.【详解】由题意得，则，则，则至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时概率为,故选：B.6.已知定义在R上的函数满足：，且时，，则关于的不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数单调性和奇偶性则得到不等式，解出即可.详解】任取，则，而时，，则，，所以在上单调递减，，，取，则，令，得，所以为上的奇函数，，即，则，解得故选：A7.过点作圆的两条切线，切点分别为，若为直角三角形，为坐标原点，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，求出点的轨迹，再利用圆的几何性质求解即得.【详解】圆的圆心，半径，由切圆于点，且为直角三角形，得，连接，则，即四边形正方形，，因此点在以点为圆心，为半径的圆上，而，于是，所以的取值范围为.故选：D8.2023年杭州亚运会吉祥物组合为“江南忆”，出自白居易的“江南忆，最忆是杭州”，名为“踪琮”、“莲莲”、“宸宸”的三个吉样物，是一组承载深厚文化底蕴的机器人为了宣传杭州亚运会，某校决定派5名志愿者将这三个吉祥物安装在学校科技广场，每名志愿者只安装一个吉祥物，且每个吉祥物至少有一名志愿者安装，若志愿者甲只能安装吉祥物“宸宸”，则不同的安装方案种数为（）A.50 B.36 C.26 D.14【答案】A【解析】【分析】按照和分组讨论安排.【详解】（1）按照分3组安装，①若志愿者甲单独安装吉祥物“宸宸”，则共有种，②若志愿者甲和另一个人合作安装吉祥物“宸宸”，则共有种，（2）按照分3组安装，①若志愿者甲单独安装吉祥物“宸宸”，则共有种，②若志愿者甲和另两个人合作安装吉祥物“宸宸”，则共有种，故共有种，故选：A.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根据指对互化与运算以及指数函数、对数函数单调性即可判断ABC，利用基本不等式即可判断D.【详解】由题意得，，，，则，则，对A，根据对数函数在上单调递增，则，故A正确；对B，因为，即，则，故B正确；对C，因为，根据指数函数在上单调递减，则，故C错误；对D，因为，，，当且仅当时等号成立，而显然，则，故D正确；故选：ABD.10.已知函数，则在有两个不同零点的充分不必要条件可以是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】将问题转化为，令，利用导数讨论的单调性，求出，由在有2个不同零点的充要条件为，从而作出判断.【详解】因为，令，则，令，则，注意到，令，解得，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，则，且当趋近于或时，都趋近于，若在有2个不同零点的充要条件为函数与图象在第一象限有2个交点，所以，即有2个零点的充要条件为，若符合题意，则对应的取值范围为的真子集，结合选项可知：A错误，BCD正确；故选：BCD.11.已知抛物线的焦点为为坐标原点，其准线与轴交于点，经过点的直线与抛物线交于不同两点，则下列说法正确的是（）A.B.存在C.不存在以为直径且经过焦点的圆D.当的面积为时，直线的倾斜角为或【答案】AD【解析】【分析】设直线的方程为，将其与抛物线方程联立，得到韦达定理式，将其整体代入即可判断ACD，求解直线与抛物线相切时的情况即可判断B.【详解】对A，由题意得，准线方程，则，显然当直线的斜率为0，即直线的方程为，此时不合题意，设直线的方程为，联立抛物线方程，得，，解得或，，，，，则，，则，，，则，A正确；对B，当直线与抛物线相切时，最大，则，解得，根据抛物线对称性取分析：此时直线方程为，此时直线斜率为1，则，因此不存在，B错误；对C，假设存在以为直径且经过焦点的圆，则，，则，即，,即，即，，满足或，即存在以为直径且经过焦点的圆，C错误；对D，，，此时直线斜率为，则直线的倾斜角为或，故D正确.故选：AD.12.如图，在边长为1的正方体中，是的中点，是线段上的一点，则下列说法正确的是（）A.当点与点重合时，直线平面B.当点移动时，点到平面的距离为定值C.当点与点重合时，平面与平面夹角的正弦值为D.当点为线段中点时，平面截正方体所得截面面积为【答案】ACD【解析】【分析】对A，根据平行线确定一个平面即可判断，对BC建立空间坐标系进行判断，对D作出截面图形，并求出相关长度，利用面积公式即可求出.【详解】对A，因为，所以点四点共面，当点与点重合时，直线平面，故A正确；对B，以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，因为为中点，则设，，，，则，，，设平面的方向量为，则，即，令，则，所以，则点到平面的距离，显然不是定值，故B错误；对C，当点与点重合时，由B知此时，，平面的法向量，设平面与平面夹角为，，则，故C正确；对D，连接，并在上底面内将直线沿着的方向平移，直至该直线经过点，交于点，交于点，因为，，所以四边形为平行四边形，所以，因为，所以，因为点，所以平面截正方体所得的图形为四边形，不妨以为坐标原点，在上底面内建立如图所示平面直角坐标系，则，因为为线段中点，则，根据直线，则，设直线的方程为，代入点坐标得，解得，则，则点位于线段的四分之一等分点处，且靠近点，点位于线段的四分之一等分点处，且靠近点，则，，，结合，则四边形为等腰梯形，则其高为,则，故D正确.故选：ACD.【点睛】关键点睛：本题BC选项的关键是建立合适的空间直角坐标系，利用点到平面的距离公式和面面角的空间向量求法进行计算判断，对D选项的关键是作出截面图形，并求出相关长度，得出其截面为等腰梯形，最后计算面积即可.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量满足，则________．【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律计算即得.【详解】由，得，而，则，所以.故答案为：14.已知的部分图象如图所示，当时，的最大值为________．【答案】【解析】【分析】由图象求出函数的解析式，然后利用正弦型函数的基本性质可求得函数在上的最大值.【详解】因为，设，由图可知，函数的最小正周期为，则，又因为，则，因为，可得，所以，，则，则，当时，，故.故答案为：.15.已知点为椭圆的右焦点，过坐标原点作一条倾斜角为的直线交椭圆于两点，，则该椭圆的离心率为________．【答案】##【解析】【分析】分析得四边形为矩形，则得到为正三角形，再利用椭圆定义和离心率定义即可.【详解】令椭圆的左焦点为，半焦距为，分别连接，，由，得四边形为矩形，而，则为正三角形，所以，，，则椭圆离心率为，故答案为：.16.已知数列的前项和为，且，记，则________；若数列满足，则的最小值是________．【答案】①.②.【解析】【分析】由与的关系推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列的通项公式，利用等比数列求和公式可求得的表达式，分析数列的单调性，找出数列所有非正数项，即可求得的最小值.【详解】因为数列的前项和为，且，当时，则，解得，当时，由可得，上述两个等式作差可得，则，所以，数列是首项为，公比为的等比数列，则，所以，，则，且，所以，，，则，当时，，即，当时，，则，故数列从第二项开始单调递增，因为，且，所以，的最小值为.故答案为：；.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.在梯形中，为钝角，，．（1）求；（2）设点为的中点，求的长．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）在中利用余弦定理求出，再利用二倍角的余弦公式计算即得.（2）利用（1）的结论，借助向量数量积求出的长.【小问1详解】在梯形中，由为钝角，得是锐角，在中，，则，由余弦定理得，即为等腰三角形，所以.【小问2详解】由，得，由点为的中点，得，所以.18.已知首项为正数的等差数列的公差为2，前项和为，满足．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和．【答案】（1）（2）当为偶数时，，当为奇数时，.【解析】【分析】（1）根据等差数列前和公式即可求出，则得到其通项公式；（2）分为奇数和偶数讨论并结合裂项求和即可.【小问1详解】由题意得是公差为2的等差数列，且，即，又因为，所以，所以数列的通项公式.【小问2详解】由（1）知，当为偶数时，，当为奇数时，，经检验，时，满足，综上，当为偶数时，，当为奇数时，.19.实现“双碳目标”是党中央作出的重大战略决策，新能源汽车、电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用．为了解某市电动汽车的销售情况，调查了该市某电动汽车企业近6年产值情况，数据如下表所示：年份201820192020202120222023编号x123456产值y/百万辆91830515980（1）若用模型拟合y与x的关系，根据提供的数据，求出y与x的经验回归方程（精确到0.01）；（2）为了进一步了解车主对电动汽车的看法，从某品牌汽车4S店当日5位购买电动汽车和3位购买燃油汽车的车主中随机选取4位车主进行采访，记选取的4位车主中购买电动汽车的车主人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望，参考数据：，其中．参考公式：对于一组数据，其经验回归直线的斜率截距的最小二乘估计分别为．【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）令，利用最小二乘法求出，即可得解；（2）分析可知，利用超几何分布可得出随机变量的分布列，利用超几何分布的期望公式可求【小问1详解】令，，则，，所以，所以【小问2详解】由题意得，，，，，分布列为：1234数学期望20.如图，四棱锥中，底面，四边形中，，．（1）若为的中点，求证：平面平面；（2）若平面与平面所成的角的余弦值为．（ⅰ）求线段的长；（ⅱ）设为内（含边界）的一点，且，求满足条件的所有点组成的轨迹的长度．【答案】20.证明见解析；21.（ⅰ）2；（ⅱ）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质、判定，再结合面面垂直的判定推理即得.（2）以点A为原点，建立空间直角坐标系，设，利用面面角的向量求法结合已知求出，再求出并确定轨迹求解即得.【小问1详解】在四棱锥中，底面，平面，则，而平面，于是平面，又平面，则，由，为的中点，得平面，因此平面，而平面，所以平面平面.【小问2详解】（ⅰ）由（1）知，直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，过作于，由，得，令，则，，设平面的法向量，则，令，得，由平面，得平面的一个法向量，依题意，，整理得，而，解得，所以线段的长为2.（ⅱ）显然平面，而平面，则，又，于是，解得，因此点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆的，所以点的轨迹的长度为.21.已知点为圆上任意一点，，线段的垂直平分线交直线于点．（1）求点的轨迹方程；（2）设过点的直线与点的轨迹交于点，且点在第一象限内．已知，请问是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2），证明见解析.【解析】【分析】（1