河北省2021年高考数学考试真题与答案解析

河北省2021年高考［数学］考试真题与答案解析

一、单项选择题

本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.设集合A={x|-2<x<4}.B={2,3,4,5},则AnB=

A.{2}B.{2,3}C.{3,4,}D.{2,3,4}

2.已知z=2-i,则(z(2+i)=

A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i

3.已知圆锥的底面半径为其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为

A.2B.2V2C.4D,4V2

.下列区间中，函数冈单调递增的区间是

4f=7sin(xO-3

A.(0,J)B.(J,%)C.(冗苫)D.(拳2冗)

5.已知%尸2是椭圆C:=+1=1的两个焦点，点M在C上，贝"IMF/•IMF2I的最大值为

94

A.13B.12C.9D.6

6.若tan0=2贝=

sin-4-cos-

A.--B.-三C.三D.-

5555

7.若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线，贝ij

A.eb<aB.ea<bC.0<a<ebD.0<b<ea

8.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球，甲表

示事件"第一次取出的球的数字是1"，乙表示事件"第二次取出的球的数字是2”，丙表示事

件"两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7"，则

A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立

C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立

二、多项选择题

本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.有一组样本数据X],X2,…,Xn，由这组数据得到新样本数据yi,丫2,…,yn，其中

yi=Xj+c(i=l,2,…,n),c为非零常数，则

A.两组样本数据的样本平均数相同

B.两组样本数据的样本中位数相同

C.两组样本数据的样本标准差相同

D.两组样本数据的样本极差相同

10.已知。为坐标原点，点Pi(cosa,sina),P2(cosB,-sin|3),P3(cos(a+B),sin(ci+a),A(1,0),

则

A.|oKl=ioK|

B.|获1=1可

0.立项=瓯碇

D.正屈=河福

11.已知点P在圆(％-5>+(y-5尸=16上，点A(4,0),B(0,2),则

A.点P到直线AB的距离小于10

B.点P到直线AB的距离大于2

C当NPBA最小时,|PB|=3V2

D.当NPBA最大时,|PB|=3>/2

12.在正三棱柱ABC』Bq中，AB=A&=1,点P满足丽=久前+〃西，其中入€[0,1],

[0,1],则

A.当人=1时，的周长为定值

B.当四=1时，三棱锥P-&BC的体积为定值

C.当入千时，有且仅有一个点P,使得/41PlBP

D.当四千时，有且仅有一个点P,使得&B1平面ABJ

三.选择题

本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数f(x)=x3(a•2*-2-x)是偶函数，则a=

14.已知。为坐标原点，抛物线C：/=2px(p〉0)的焦点为F,P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x

轴上一点，且PQ_LOP,若|FQ|=6,则C的准线方程为一

15.函数f冈=12x-l|-2lnx的最小值为

16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现此纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为

20dmXI2dm的长方形纸.对折1次共可以得到10dmX2clm.20dmX6dm两种规格的图形，

它们的面积之和5广240dm2,对折2次共可以得5dmXI2dm,iodmX6dm,20dmX3dm

三种规格的图形，它们的面积之和又=180drr)2以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形

n

Sk=dm2

Zk=1

四、解答题

本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.已知数歹！|｛%｝满足％=1,限心+：咤鬻

Qn+2,n为偶数

⑴记写出比,b2,并求数列｛“〕的通项公式；

⑵求｛%｝的前2。项和

18.某学校组织“一带一路"知识竞赛，有A,B两类问题•每位参加比赛的同学先在两类问题

中选择类并从中随机抽4又一个问题问答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另

一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每

个问题回答正确得20分，否则得。分：B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0

分。

己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6.且能正确回

答问题的概率与回答次序无关。

(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列：

(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由。

19.记aABC的内角A,B,C的对边分别为ci.,b.,c,已知b==ac,点D在边AC上，BDsin

ZABC=asinC.

(1)证明：BD=b:

⑵若AD=2DC.求cos/ABC.

20.如图，在三棱锥A-BCD中.平面ABDJL平面木

BCD,AB=ADQ为BD的中点.’

(1)证明：OA1CD:”口\/)

⑵若aOCD是边长为1的等边三角形.点E在棱'

AD上.DE=2EA.且二面角E-BCD的大小为45°,求三棱锥A-BCD的体积.

21.在平面直角坐标系xOy中，己知点&(717,0),&(47,0),点乂满足|乂印-|/^2|=点记乂

的轨迹为C.

⑴求C的方程；

⑵设点T在直线x=?上，过T的两条直线分别交C于A,B两点和P,Q两点，且|TA|・

|TB|=|TP|.|TQ|,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和

22.已知函数f(x)=x(1-lnx)

⑴讨论f(x)的单调性

⑵设a,b为两个不相等的正数，且blna-alnb=a-b证明：2(±+±<e

aD

答案解析

l.B2.C3.B4.A5.C6.C7.D8.B9.CD10.AC1l.ACD12.BD

13.a=l14.*=-；15.116.5;240(3-胃)

17.(1)解：由题意得0=。2=。1+1=2h2=。4=。3+1=5

,/bi=a2=ai+l,/.匕2=。4=。3+1=。2+3a4-a2=3.

同理a6-Q4=3

=_=

bna2nC12n-23.

叠加可知a2n-ai=l+3(n-l)」.a2n=3n-l.,.bn=3n-l.验证可得bi=a2=2,符合上式.

(2)解：2n=。2e+1

「•Cl2n-l=a2n-l=3n-2.二设｛ctn｝前20项和为S20，S20=(ai+Cl3+…+。19)+(。2+。4+…+。20)

=145+155=300

18.(1)解：

由题意得x=0,20,100.P(x=0)=0.2,P(x=20)=0.8x0.4=0.32,P(x=100)=0.48

X020100

p0.20.320.48

(2)解：小明先选择B,得分为y"0,80,1。。

P(y=0)=0.4,P(y=80)=0.6x0.2=0.12,P(y=100)=0.6x0.8=0.48

y080100

P0.40.120.48

Ex=54.4Ey=57.6二小明应先选择B.

19.

得一^=—^stn^ABC=-

sin^ABCsmcc

又由BDsm4BC=asinc,得BD比=asinc,

c

即B?：b=ac}=BD=b

b-=ac)

⑵由AD=2DC,将AD=2DC,即BD=：BA二BC

=|而12=；|而|2+：|祝：|2+河京

=b;=±c2+士a2+士ca"*

9992ac

=11斤：3”+6%=6*]]ac+3c;=0

&-=acJ

=>a=-c或a=ic

23

®fa=2C=炉=-c2n8S4Bc"K=

[?c22ac

Wr=ac

M+c-

2c1c12

②[。=为=b。nCOS/lBC「产=汹

5二=ac3",萨

综上

COS^ABC=—

20.

⑴证明：

由已知，AABD中AB=AD且。为BD中点

.-.AO1BD

又平面ABD1平面BCD

・•.AO1平面BCD且CDu平面BCD

.-.AO1CD

⑵由于4OCD为正三角形，边长为1

.-.OB=OD=OC=CD

ZBCD=90°

取OD中点H,连结CH,则CH1OD

以H为原点，HC,HD,HZ为x,y,z轴建立空间直角坐标系

由①可知，平面BCD的法向量沆=©0,1)

设C(4,0,0),B(O,-to),D(0,i,0)

■.-DE=2EA

一2一22

/.DE=-DA=(0.——,-4)

：.BE=DE-'DB=(0，*，)且就=(vz-o)

设五_L平面BECn=(x,y,z)

.后巫=。,即俨

墟・BE=0；3y+；3/iz=0

TL2

n=(V3.)

h

由于二面角E-BC-D为45°

2

cos45r=子=|cos(n•in)|=—====

Z4

3+1+-2

h=1

V三硬需A-B8=：SgCDX力=；X?X2X1.=F

21.(1)c=\17,2a=2,a=Lb=4

c表示双曲线的右支方程：炉-1=1。21)

XO

(2)设设直线AB的方程为丫=的(无一乡+m,/4(%1,y1),B(x2,y:)

xm

，="("-三)+,得16r-明(炉--+；)+2k1m(x-7)+m7=16

2

b16r-y=16

(16—k?)x2+(kf-2km)x--kf+km-m2-16=0

x41

•.\TA\\TB\=(1+月)[&-；)&-；)]

=(1+fci)[x1x2-1(x1+x2)+1]

k17n-—m2—1612klm-后1

=(1+fcf)+

16-k;216-kf4

-m2—12

=(1+月)

16-q

nt2+12

=(1+fcf)

kf-16

设kpQ=卜二，向理可得

ITPITQI=(1+医)警手

与­io

所以(1+限黄=(1+硬靛

得磔-16月=航一16kf

,L.2-lf2

••A,—n,c

v3hk2

••k]=—k二

即的+灯=0

22.(1)f(x)=x-xlnx

f(x)=1-Inx-1=—lnx(x>0)

令尸(x)>0,则Ovxvl,

令f'(x)<0,则x>l

・•.f(x)的单调增区间为(0,1),单调减区间为(1,+8).

/Q^lna_Inb_£_1

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