河南省驻马店市、天宏2021年大联考中考数学一模试卷(含解析)

2021年河南省驻马店市、天宏大联考中考数学一模试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的.

1.（3分）下列各数中，比-2小的数是（）

A.-3B.-1C.0D.2

2.（3分）如图所示的圆锥，下列说法正确的是（）

A.该圆锥的主视图是轴对称图形

B.该圆锥的主视图是中心对称图形

C.该圆锥的主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形

D.该圆锥的主视图既不是轴对称图形，又不是中心对称图形

3.（3分）一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都随机选择一条

路径，则它获得食物的概率是（）

6432

4.（3分）2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网.其

中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，己实现规模化应

用.22纳米=0.000000022米，将0.000000022用科学记数法表示为（）

A.2.2X108B.2.2X10-8c.0.22XIO-7D.22X10”

5.（3分）如图，从笔直的公路/旁一点产出发，向西走6hw到达/：从P出发向北走6%加

也到达/.下列说法错误的是（)

A.从点P向北偏西45°走3h”到达/

B.公路/的走向是南偏西45°

C.公路/的走向是北偏东45°

D.从点尸向北走弘山后，再向西走弘，〃到达/

6.（3分）如图，函数yi=x+l与函数*=2的图象相交于点M（1,机），N（-2,n）.若

A.x<-2或OVx<lB.x<-2或x>l

C.-2<x<0或0cx<1D.-2<x<0或x>l

7.（3分）如图，根据图中的信息，可得正确的方程是（）

22

B.nX(―)2JC=TTX(2)2X(x+5)

22

C.nX82x=TTX62X(x+5)

D.nX82x=nX62X5

8.（3分）如图，RtZXABC中，ZC=90°,利用尺规在8C,BA上分别截取BE,BD,使

BE=BD；分别以。，E为圆心、以大于』OE的长为半径作弧，两弧在/CBA内交于点

2

产;作射线8尸交AC于点G.若CG=I,P为48上一动点，则GP的最小值为（）

A.无法确定B.AC.ID.2

2

9.（3分）已知二次函数y=（a-2）x2-（a+2）x+1,当x取互为相反数的任意两个实数

值时，对应的函数值y总相等，则关于x的一元二次方程（4-2）（a+2）x+l=0的

两根之积为（）

A.0B.-1C.-AD.-A

24

10.（3分）在平面直角坐标系xOy中，RtZ\AOB的直角顶点B在y轴上，点A的坐标为（1,

遍），将RtAAOB沿直线y=-x翻折，得到RtAA'OB',过A'作A'C垂直于04交），轴

于点C,则点C的坐标为（）

A.（0,-273）B.（0,-3）C.（0,-4）D.（0,-4后

二、填空题（每小题3分，共15分）

11.（3分）己知：y/18-V2=«V2_V2=^V2'则.

12.（3分）对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果（单位：〃如）9.9,10.1,10.0,

若用“作为这条线段长度的近似值，当10.0〃⑺时，最小.对另一条线段的长度进行了〃

次测量，得到〃个结果（单位：mm）XI,%2,…物，若用x作为这条线段长度的近似值,

当尤=/ran时，（x-xi）2+（x-X2）2+--+（x-x»）?最小.

13.（3分）在平面直角坐标系X。），中，直线），=x与双曲线）=典交于A,B两点.若点A,

B的纵坐标分别为＞,i,则）“+”的值为.

14.（3分）如图，已知△A8C之△£＞（?£：丝△GEF,三条对应边8C、CE、EF在同一条直线

上，连接BG,分别交4C、DC、DE于点P、Q、K,其中SVQC=3,则图中三个阴影部

分的面积和为____.

15.（3分）如图，正方形ABCD的边长为小点E在边AB上运动（不与点A,B重合），

/D4M=45°,点尸在射线4M上，且Cf与AO相交于点G,连接EC、

EF、EG.则下列结论：①/EC尸=45°；②△4EG的周长为（1+返）a；③BE^+DG2

=EG2；④△E4F的面积的最大值是工2；⑤当时BE=L,G是线段AO的中点.其中

83

正确的结论是.

\G

BC

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）

2

16.（8分）先化简，再求代数式.X的值,其中x=4cos30°-1.

2x+2

17.（9分）境外许多国家的疫情尚在继续蔓延，疫情防控不可松懈.如图是某国截止5月

31日新冠病毒感染人数的扇形统计图和折线统计图.

根据上面图表信息，回答下列问题：

（1）截止5月31日该国新冠肺炎感染总人数累计为万人，扇形统计图中40-59

岁感染人数对应圆心角的度数为°；

（2）请直接在图中补充完整该国新冠肺炎感染人数的折线统计图；

（3）在该国所有新冠肺炎感染病例中随机地抽取1人，求该患者年龄为60岁或60岁以

上的概率；

（4）若该国感染病例中从低到高各年龄段的死亡率依次为1%,2.75%,3.5%,10%,20%,

求该国新冠肺炎感染病例的平均死亡率.

18.（9分）如图，--艘船由A港沿北偏东65°方向航行34加到8港，然后再沿北偏西42°

方向航行至C港，已知C港在A港北偏东20°方向.

（1）直接写出NC的度数；

（2）求A、C两港之间的距离.（结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可）

19.（9分）某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为10万

元/件.

（1）如图，设第X（0<x〈20）个生产周期设备售价Z万元/件，Z与x之间的关系用图

中的函数图象表示.求z关于x的函数解析式（写出x的范围）.

（2）设第x个生产周期生产并销售的设备为y件，y与x满足关系式y=5x+40（0<xW

20）.在（1）的条件下，工厂第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？（利

润=收入-成本）

20.（9分）小云在学习过程中遇到一个函数y=2|x|（x2-x+1）（x2-2）.

6

下面是小云对其探究的过程，请补充完整：

（1）当-2Wx<0时，对于函数yi=|x|,即yi=-x,当-2Wx<0时，川随x的增大

而，且yi>0；对于函数y2=/-x+l,当-2Wx<0时，*随x的增大而,

且">0；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数》当-2Wx<0时，y随x的增大

结合上表，进一步探究发现，当时，y随x的增大而增大.在平面直角坐标系xOy

中，画出当x20时的函数），的图象.

（3）过点（0,皿）（相>0）作平行于x轴的直线/,结合（1）（2）的分析，解决问题:

若直线/与函数产三小』-x+1）（x2-2）的图象有两个交点，则m的最大值是

21.(10分)古希腊数学家毕达哥拉斯认为：''一切平面图形中最美的是圆”.请研究如下美

丽的圆.如图，线段A8是。。的直径，延长AB至点C,使BC=OB,点E是线段08

的中点，OE_LAB交。。于点。，点P是。0上一动点(不与点A,8重合)，连接CD,

PE,PC.

(1)求证：CD是。。的切线；

(2)小明在研究的过程中发现患是一个确定的值.回答这个确定的值是多少？并对小

PC

明发现的结论加以证明.

22.(10分)希腊数学家帕普斯给出了一种“三等分锐角”的方法，具体如下：

①建立平面直角坐标系，将已知锐角NAOB的顶点与原点。重合，角的一边OB与x轴

正方向重合；

②在平面直角坐标系中，绘制函数)，=上的图象，图象与已知角的另一边OA交于点P；

X

③以P为圆心，2OP为半径作弧，交函数y=1的图象于R点；

X

④分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两线相交于点“、Q；

⑤连接OM,得到NMOB,这时

3

根据以上材料解答下列问题：

(1)设点P的坐标为(a,1)，点R的坐标为(b,—),则点M的坐标为；

ab

(2)求证：点Q在直线OM上；

(3)求证：ZMOB=^ZAOB.

3

23.（11分）请完成下面的几何探究过程：

（1）观察填空

如图1,在Rt^ABC中，NC=90°,AC=BC=4,点。为斜边48上一动点（不与点A,

3重合），把线段CZ）绕点C顺时针旋转90°得到线段CE,连DE,BE,则

①NCBE的度数为；

②当BE=时，四边形CDBE为正方形.

（2）探究证明

如图2,在RtZ\ABC中，ZC=90Q,8c=2AC=4,点。为斜边AB上一动点（不与点

A,8重合）,把线段CD绕点C顺时针旋转90。后并延长为原来的两倍到线段CE,连

DE,BE,则：

①在点。的运动过程中，请判断NCBE与N4的大小关系，并证明；

②当CCAB时，求证：四边形CDBE为矩形

（3）拓展延伸

如图2,在点力的运动过程中，若△8。恰好为等腰三角形，请直接写出此时AO的长.

2021年河南省驻马店市、天宏大联考中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的.

1.（3分）下列各数中，比-2小的数是（）

A.-3B.-1C.0D.2

【分析】先根据正数都大于0,负数都小于0,可排除C、D,再根据两个负数，绝对值

大的反而小，可得比-2小的数是-3.

【解答】解：根据两个负数，绝对值大的反而小可知-3<-2.

故选：A.

2.（3分）如图所示的圆锥，下列说法正确的是（）

A.该圆锥的主视图是轴对称图形

B.该圆锥的主视图是中心对称图形

C.该圆锥的主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形

D.该圆锥的主视图既不是轴对称图形，又不是中心对称图形

【分析】圆锥的主视图是等腰三角形，是轴对称图形，但不是中心对称图形，从而得出

答案.

【解答】解：圆锥的主视图是等腰三角形，是轴对称图形，但不是中心对称图形，

故选：A.

3.（3分）一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都随机选择一条

路径，则它获得食物的概率是（）

A.AB.Ac.AD.A

6432

【分析】由一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机的

选择一条路径，观察图可得：它有6种路径，且获得食物的有2种路径，然后利用概率

公式求解即可求得答案.

【解答】解：由一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随

机的选择一条路径，

观察图可得：第一次选择，它有3种路径；第二次选择，每次又都有2种路径；

两次共6种等可能结果，其中获得食物的有2种结果，

获得食物的概率是2=工，

63

故选：C.

4.（3分）2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网.其

中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应

用.22纳米=0.000000022米，将0.000000022用科学记数法表示为（）

A.2.2X108B.2.2X10-8C.0.22X107D.22X109

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为4X10”,与较大

数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数累，指数由原数左边起第一个不为零

的数字前面的0的个数所决定.

【解答】解：将0.000000022用科学记数法表示为2.2X108.

故选：B.

5.（3分）如图，从笔直的公路/旁一点尸出发，向西走6h"到达/；从P出发向北走6面?

也到达I.下列说法错误的是（）

A.从点P向北偏西45°走3版到达/

B.公路/的走向是南偏西45°

C.公路/的走向是北偏东45°

D.从点P向北走后，再向西走弘〃?到达/

【分析】先作出图形，根据勾股定理和等腰直角三角形的性质即可求解.

【解答】解：如图，

由题意可得△勿3是腰长6km的等腰直角三角形，

则AB=6&h”，

如图所示，过尸点作A8的垂线PC,

则PC=3近km,

则从点P向北偏西45°走3/5M”到达/,选项A错误；

则公路/的走向是南偏西45°或北偏东45°,选项B,C正确；

则从点P向北走3km后到达BP中点D,此时CD为△办B的中位线，故CD=」MP=3,

2

故再向西走3h”到达/,选项。正确.

故选：A.

6.(3分)如图，函数yi=x+l与函数”=2的图象相交于点M(1,m),N(-2,ri').若

A.x<-2或0<x<lB.x<-2或x>l

C.-2<x<0或0<x<lD.-2<xV0或x>l

【分析】观察函数yi=x+l与函数y，的图象，即可得出当yi>”时，相应的自变量X

2X

的取值范围.

【解答】解：由一次函数和反比例函数的图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象

之上时，所对应的x的取值范围为-2Vx<0或x>1,

故选：D.

22

B.TTX(A)2x=nX(且)2X(x+5)

22

C.7rX82%=TtX62X(x+5)

D.TrX82x=nX62X5

【分析】根据圆柱体的体积计算公式结合水的体积不变，即可得出关于x的一元一次方

程，此题得解.

【解答】解：依题意，得：TTX(A)2x=nX(A)2X(x+5).

22

故选：B.

8.(3分)如图，RtZXABC中，ZC=90°,利用尺规在8C,8A上分别截取BE,BD,使

BE=BD；分别以Q,E为圆心、以大于』。E的长为半径作弧，两弧在NCBA内交于点

2

F;作射线8尸交4c于点G.若CG=1,P为AB上一动点，则GP的最小值为()

G,

E

A.无法确定B.AC.1D.2

2

【分析】如图，过点G作GHLAB于，.根据角平分线的性质定理证明GH=GC=\,

利用垂线段最短即可解决问题.

【解答】解：如图，过点G作G，_LA8于H.

由作图可知，GB平分/ABC,

'：GH±BA,GC±BC,

：.GH=GC=l,

根据垂线段最短可知，GP的最小值为1,

故选：C.

9.(3分)已知二次函数y=(a-2)x2-Ca+2)x+l,当x取互为相反数的任意两个实数

值时，对应的函数值)，总相等，则关于x的一元二次方程(a-2)X2-(a+2)x+l=0的

两根之积为()

A.0B.-1C.-AD.-A

24

【分析】根据题意可得二次函数图象的对称轴为)，轴，从而求出a值，再利用根与系数

的关系得出结果.

【解答】解：•.•二次函数y=(a-2)x2-(a+2)x+l,

当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，

可知二次函数图象的对称轴为直线x=0,即y轴，

解得：。=-2,

则关于x的一元二次方程(a-2)x2-(a+2)x+1=0为-47+1=0,

则两根之积为」，

4

故选：D.

10.（3分）在平面直角坐标系xOy中，RCA08的直角顶点B在y轴上，点A的坐标为（1,

遍），将RtAAOB沿直线＞•=-x翻折，得至IJ8△4。8,过A'作A'C垂直于0A咬），轴

于点C,则点C的坐标为（）

A.（0,-2后B.（0,-3）C.（0,-4）D.（0,-4加）

【分析】依据轴对称的性质可得。B'=OB=A'B'=AB=1,OA'=OA=2,进而

通过证得△?!'OB's*cO及,求得OC=4,即可证得C的坐标为（0,-4）.

【解答】解：•••点A的坐标为（1,b），

'•AB—1,—

04=缶292={F+（忖2=2,

将RtAAOB沿直线y=-%翻折，得到Rt/XA'OB',

：.OB=OB=M，A'B'=AB=1,OA'=04=2,

（-A/3）-1），

,/过A作A,C垂直于04,交y轴于点C,

：.ZA'OC+ZA'CO=90°,

VZA'OB'+/A'OC=90°,

.'.NA'CO=ZA'OB',

B'O=NOA'C=90°,

.•.△A'OB's/\ocN,

.OCOA'BnOC2

OA'A'B'21

・•・0C=4,

：.C（0,-4）,

故选：c.

二、填空题（每小题3分，共15分）

II.（3分）已知：M=b版,则ab=6.

【分析】直接化简二次根式进而得出。，人的值求出答案.

【解答】解：原式=3血-血=〃我-血=以内，

故a=3,b=2,

贝！］ab=6.

故答案为：6.

12.（3分）对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果（单位：mm）9.9,10.1,10.0,

若用。作为这条线段长度的近似值，当10.0〃"〃时，最小.对另一条线段的长度进行了〃

次测量，得到八个结果（单位：加〃?）X1,X2,…沏，若用X作为这条线段长度的近似值，

Xxx

当％=———------时,（x-xi）2+（x-X2）2+・・・+（x-初）2最小.

n

【分析】构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题.

【解答】解：设丁=（4/-9.9）2+Ca-10.1）2+（a-10.0）2=3a2-60.0^+300.02,

,.,。=3>0,当10.0相加时，（X-XI）2+（X-X2）2+…+（x-Xn）之最小，

.•.当x=-W2_=10.0时，y有最小值，

2X3

设W=（JC-XI）2+（JC-X2）2+-"+（X-Xn'）2=-2（X1+X2+…+X"）x+Cx\2+X22,+'"+Xr^'）,

Vn>0,

,-2（xi+x+-->+x.）x<+x+-->+x„,._,

，当X=----------5------9-----------y-=—-----9-----------巴时，W有最小值.

2nn

―—立X1+Xn+---+x

故答案为：—i~-----------n

n

13.（3分）在平面直角坐标系xOy中，直线y=x与双曲线》=四交于A,B两点.若点A,

x

8的纵坐标分别为户，”，则W+V2的值为0.

【分析】联立方程组，可求），1,”的值，即可求解.

【解答】解：方法一、；直线），=x与双曲线y=如交于A,B两点,

X

y=x

.•.联立方程组得：

y=—

x

xi=Vin乂2=-近

解得：

yi=VinY2=-Vm

.,.yi+y2=0.

方法二、：直线y=x与双曲线＞=&交于A,3两点,

x

.•.点4,点8关于原点对称,

•*.yi+y2=0,

故答案为：0.

14.（3分）如图，已知△A8C之△QCEgZXGEF,三条对应边BC、CE、EF在同一条直线

上，连接BG,分别交AC、DC、DE于点、P、Q、K,其中Sg℃=3,则图中三个阴影部

分的面积和为39.

【分析】根据全等三角形对应角相等，可以证明AC〃力E〃GF,再根据全等三角形对应

边相等BC=CE=ER然后利用平行线分线段成比例定理求出GF=3PC,KE=2PC,所

以PC=DK,设△QQK的边。K为x,QK边上的高为江表示出△QQK的面积，再根据

边的关系和三角形的面积公式即可求出三部分阴影部分的面积.

【解答】解：,:△AB8XDCE沼XGEF,

：.ZACB=NDEC=ZGFE,BC=CE=EF,

：.AC//DE//GF,

•PCPCBC.1

,•加下而怎而‘

：.KE=2PC,GF=3PC,

又,：DK=DE-KE=3PC-2PC=PC,

.".^DQK^^CQP（相似比为I）

设△QQK的边DK为x,DK边上的高为儿

则L〃=3,整理得X〃=6,

2

SABPC=—.r,2h=xh=6,

2

SnaiKCEKQ=—X3x,2h-3=3xh-3=3X6-3=18-3=15，

2

S^EFH=—X3x,2h=3xh=18,

2

，三个阴影部分面积的和为：6+15+18=39.

故答案为：39

15.（3分）如图，正方形48。的边长为m点E在边4B上运动（不与点A,B重合），

ZDAM=45°,点F在射线AM上，KAF=yp2fiE,CF与A。相交于点G,连接EC、

EF、EG.则下列结论：①/ECF=45°；②△AEG的周长为（1+返）a；（3）BE2+DG2

2

=EG2；④△E4F的面积的最大值是L?；⑤当时BE=L,G是线段A。的中点.其中

83

正确的结论是①⑷⑤.

【分析】①正确.如图1中，在BC上截取B4=BE,连接EH.证明AaiE附△E〃C（SAS）

即可解决问题.

②③错误.如图2中，延长40到H,使得DH=BE,则△CBE丝△C£）H（SAS）,再证

明AGCE丝△GC”（SAS）即可解决问题.

④正确.设BE=x,贝ijAE=a-x,AF=Q,构建二次函数，利用二次函数的性质解决

最值问题.

⑤正确.当8E=L时，设£>G=x,则EG=X+L,利用勾股定理构建方程可得x=0.5a

33

即可解决问题.

【解答】解：如图I中，在BC上截取连接EH.

,:BE=BH,NEBH=90°,

:.EH=\[QBE,

•:AF=®BE,

:.AF=EH,

*：ZDAM=ZEHB=45°,NBAD=90°,

；・NFAE=NEHC=135°,

VBA=BCfBE=BH,

:・AE=HC,

:•△FkEQXEHC(SAS),

；・EF=EC,NAEF=NECB,

•：/ECH+NCEB=90°,

AZAEF+ZCEB=90°,

ZFEC=90Q,

：.ZECF=ZEFC=45°,故①正确，

如图2中，延长4。到“，使得则△CBE四△CD"(SAS),

:・/ECB=NDCH,

:・NECH=NBCD=9U0,

；・NECG=NGCH=45°,

"：CG=CG,CE=CH,

・••△GCE会/\GCH(SAS),

：・EG=GH,

":GH=DG+DH,DH=BE,

:,EG=BE+DG,故③错误，

/\AEG的周长=AE+EG+AG=AE+A”=AO+OH+AE=AE+E3+AO=A3+AQ=2zb故②

错误，

设则AE=a-羽AF=g,

AS^AEF=—(a-x)Xx=--^+―or="—(x2-ax-^—a1-L』)=-A(x-

222244228

-A<o,

2

.,.X=L时，△■£：产的面积的最大值为12.故④正确，

28

当BE=L时，设DG=x,则EG=X+L,

33

在RtZXAEG中，则有（x+工）2=（a-x）2+（区）2

33

解得x=A,

2

：.AG=GD,故⑤正确，

故答案为：①④⑤.

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）

2

16.（8分）先化简，再求代数式（1--2_）的值，其中x=4cos300-1.

x+12x+2

【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算，把x的值代入得

出答案.

［解答］解：原式=二1・，2（£1）

x+1（xT）（x+1）

=2

x+T

Vx=4cos30°-1=4X喙-1=2«-1,

原式=厂2------=返.

2V§-1+13

17.（9分）境外许多国家的疫情尚在继续蔓延，疫情防控不可松懈.如图是某国截止5月

31日新冠病毒感染人数的扇形统计图和折线统计图.

新冠病毒感染人数统计图

新冠病毒感染大数扇形统计图

根据上面图表信息，回答下列问题：

(1)截止5月31日该国新冠肺炎感染总人数累计为20万人,扇形统计图中40-59

岁感染人数对应圆心角的度数为72°；

(2)请直接在图中补充完整该国新冠肺炎感染人数的折线统计图；

(3)在该国所有新冠肺炎感染病例中随机地抽取1人，求该患者年龄为60岁或60岁以

上的概率；

(4)若该国感染病例中从低到高各年龄段的死亡率依次为1%,2.75%,3.5%,10%,20%,

求该国新冠肺炎感染病例的平均死亡率.

【分析】(1)由60-79岁人数及其所占百分比可得总人数，用360。乘以40-59岁感染

人数所占比例即可；

(2)根据各年龄段人数之和等于总人数求出20-39岁的人数，从而补全图形；

(3)用患者年龄为60岁或60岁以上的人数除以总人数即可；

(4)根据加权平均数的定义列式计算即可.

【解答】解：(1)截止5月31日该国新冠肺炎感染总人数累计为9・45%=20(万人)，

扇形统计图中40-59岁感染人数对应圆心角的度数为360°X_£=72°,

20

故答案为：20、72；

(2)20〜39岁的人数为20-(0.5+4+9+4.5)=2(万人),

补全折线图如下：

新冠病毒感染人数统计图

（3）该患者年龄为60岁或60岁以上的概率为史£至=2工；

2040

（4）该国新冠肺炎感染病例的平均死亡率为

0.5X1%+2X2.75%+4X3.5%+9X10%+4.5X20葭100%=10%

~20°°'

18.（9分）如图，--艘船由A港沿北偏东65°方向航行34加到8港，然后再沿北偏西42°

方向航行至C港，已知C港在A港北偏东20°方向.

（1）直接写出NC的度数；

（2）求A、C两港之间的距离.（结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可）

南

【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等即可得出答案；

（2）由题意得，ZCAB=f>5°-20°=45°,ZACB=420+20°=62°,AB=34,过

8作8EJ_AC于£解直角三角形即可得到答案.

【解答】解：（1）如图，由题意得：

ZACB=2O°+42°=62°；

(2)由题意得，ZCAB=65°-20°=45°,/ACB=62°,AB=34,

过8作8E_LAC于E,如图所示：

:.NAEB=NCEB=9Q°,

在RtZ\A8E中，:NEAB=45°,

.'.△ABE是等腰直角三角形，

；AB=34,

:.AE=BE=^£AB=\2,

2

在Rtz^CBE中，VZACB=62°,tan/AC8=些，

CE

CE=BE=17M

tan620tan620

；.4C=AE+CE=17«+_"强

tan620

C两港之间的距离为⑴扬17近）km.

tan620

19.（9分）某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为10万

元/件.

（1）如图，设第x（0VxW20）个生产周期设备售价z万元/件，z与x之间的关系用图

中的函数图象表示.求z关于x的函数解析式（写出x的范围）.

（2）设第x个生产周期生产并销售的设备为y件，y与x满足关系式y=5x+40（0<xW

20）.在（1）的条件下，工厂第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？（利

润=收入-成本）

，售价

Z万元/件

16'

14

每个

1220周期

【分析】(1)分别得出当0<xW12时和当12<xW20时，z关于x的函数解析式即可得

出答案；

(2)设第x个生产周期工厂创造的利润为卬万元，①当0<xW12时，可得出卬关于x

的一次函数，根据一次函数的性质可得相应的最大值；②当12<xW20时，可得出卬关

于x的二次函数，根据二次函数的性质可得相应的最大值.取①②中较大的最大值即可.

【解答】解：(1)由图可知，当0<xW12时，z=16,

当12VxW20时，z是关于x的一次函数，设2=履+6,

则］12k+b=16,

I20k+b=14,

解得：，

b=19,

；.z=--kr+19,

4

16,（0<x<12）

...z关于x的函数解析式为z=4

-T-X+19,（12<x<20）.

(2)设第x个生产周期工厂创造的利润为w万元，

①当0<xW12时，w=(16-10)X(5x+40)=30x+240,

，由一次函数的性质可知，当x=12时，卬最大值=30X12+240=600(万元);

②当12VxW20时，

卬=(-AVC+19-10)(5x+40)

=-旦（X-14）2+605,

4

因为-5<0,

4

・••当x=14时，卬城大值=605（万元）.

综上所述，工厂第14个生产周期创造的利润最大，最大是605万元.

20.（9分）小云在学习过程中遇到一个函数y=』x|（/-x+l）（X》-2）.

6

下面是小云对其探究的过程，请补充完整：

（1）当-2Wx<0时，对于函数yi=pc|,即yi=-x,当-2Wx<0时，>1随x的增大而

减小，且yi>0；对于函数-x+1,当-2«0时，V2随x的增大而减小，

且”>0；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数）♦,当-2Wx<0时，y随x的增大

结合上表，进一步探究发现，当时，y随x的增大而增大.在平面直角坐标系X。），

中，画出当x20时的函数y的图象.

（3）过点（0,m）（nt>0）作平行于x轴的直线/,结合（1）（2）的分析，解决问题:

若直线/与函数产和/7+［）（注.2）的图象有两个交点，则m的最大值是乌

【分析】（1）利用一次函数或二次函数的性质解决问题即可.

（2）利用描点法画出函数图象即可.

（3）观察图象可知，x=-2时，〃］的值最大.

【解答】解：⑴当-2Wx<0时，对于函数小=园，即yi=-x,当-2Wx<0时，yi

随x的增大而减小，且,yi>0；对于函数*=7-x+1,当-2Wx<0时，y2随x的增大而

减小，且*>0；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y,当-2Wx<0时，y随x

的增大而减小.

故答案为：减小，减小，减小.

(2)函数图象如图所示:

(3)•.•直线/与函数尸散|(?-x+1)(x2-2)的图象有两个交点，

观察图象可知，x=-2时，小的值最大，最大值〃?=」X2X(4+2+1)=工，

63

故答案为：—.

3

21.(10分)古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”.请研究如下美

丽的圆.如图，线段AB是的直径，延长AB至点C,使BC=08,点E是线段OB

的中点，交。。于点。，点P是。。上一动点(不与点4,B重合)，连接CD,

PE,PC.

(1)求证：CD是OO的切线；

(2)小明在研究的过程中发现患是一个确定的值.回答这个确定的值是多少？并对小

PC

明发现的结论加以证明.

【分析】(1)连接O。、DB,由已知可知。E垂直平分08,则。8=。0,再由圆的半径

相等，可得DB=DO=OB,即△OOB是等边三角形，则/3。。=60°,再由等腰三角形

的性质及三角形的外角性质可得NC£>8=30°,从而可得/ODC=90°,按照切线的判

定定理可得结论；

(2)连接OP,先由已知条件得OP=O3=BC=2OE,再利用两组边成比例，夹角相等

来证明△OEPS^OPC,按照相似三角形的性质得出比例式，则可得答案.

【解答】解：(1)如图1中，连接O。、DB,

:点E是线段08的中点，OELAB交。。于点£）,

；.£>£'垂直平分0B,

：.DB=DO,0E=BE.

解法一：

•.,在。0中，D0=0B,

：.DB=D0=0B,

...△0。8是等边三角形，

:.NBDO=NDBO=60°,

•:BC=0B=BD,且/。BE为△BDC的外角，

ZBCD=/BDC=L/DB0.

2

：/。30=60°,

：.ZCDB=30Q.

：.ZODC^ZBDO+ZBDC=600+30°=90°,

.••CD是。。的切线；

解法二：

,:BC=OB,OB=OD,

-0E_0D_OB_1

0D0COC2

又,：NDOE=4C0D,

:.△EODsXDOC,

；.NCDO=NDEO=9G°,

.♦.8为圆。的切线；

（2）答：这个确定的值是上.

2

连接OP,如图2中:

由已知可得：0P=0B=BC=20E.

.OE=OP=1

*'OPocT

又,：匕COP=4P0E,

：.40EPs丛OPC,

.PE=OP=1

PCOC2

22.（10分）希腊数学家帕普斯给出了一种“三等分锐角”的方法，具体如下：

①建立平面直角坐标系，将已知锐角N4OB的顶点与原点O重合，角的一边。8与x轴

正方向重合；

②在平面直角坐标系中，绘制函数丫=工的图象，图象与已知角的另一边OA交于点P；

X

③以P为圆心，20P为半径作弧，交函数丫=上的图象于R点；

X

④分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两线相交于点〃、Q；

⑤连接0M,得到/MOB,这时/MOB=」/AO8.

3

根据以上材料解答下列问题：

（1）设点P的坐标为（“，工），点R的坐标为（b,工），则点M的坐标为（示工）；

aba

（2）求证：点。在直线OM上；

（3）求证：ZMOB=^ZAOB.

3

【分析】（1）由PM〃x轴，MR〃y轴，P（a,1）,R（b,-1）,即可得出M点的坐标;

ab

（2）先求出直线0M解析式和点Q的坐标，将点。的坐标代入解析式即可判断点。是

否在直线OM上；

（3）连接尸/?,交OM于点S,由矩形的性质和平行线的性质即可得到结论.

【解答】解：（1）轴，MR〃y轴，P（a,工），R（b,工），

:.M(b,工),

故答案为：（b,1）；

（2）由（1）得：Q（“，』）,

设OM的解析式为y=kx,