江苏省常熟市2021-2022学年高考冲刺数学模拟试题含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3,请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在zsABC中,。为8c边上的中点，且|AB|=l,AC|=2,NB4C=120。，贝!l|AO|=()

3

AGC.一D.且

244

2

X

2.已知双曲线。：彳1（。>0/>0）的右焦点为f,。为坐标原点，以"为直径的圆与双曲线C的一条渐近

a'

线交于点。及点A，则双曲线C的方程为（）

丫2>2.222

X--------=12菅WC.-/=]D.土-匕=1

3362

3.某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为1,则该几何体的体积是（）

3216

------1------n

33

4.已知三棱锥A6C的体积为2,△ABC是边长为2的等边三角形，且三棱锥D-ABC的外接球的球心。恰好

是CQ中点，则球。的表面积为（）

52万40乃25%一.

A.——B.——C.-----D.244

333

5.已知双曲线C的两条渐近线的夹角为60。，则双曲线C的方程不可能为（）

2.,222

ry2

L-匕=1C.上工=1I).

155515312217

6.已知a,5是两条不同的直线，a,“是两个不同的平面，且au，，a[}/3=h,贝是"a//b”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.如图所示，为了测量A、B两座岛屿间的距离，小船从初始位置C出发，已知A在C的北偏西45°的方向上，B在

C的北偏东15°的方向上，现在船往东开2百海里到达E处，此时测得8在E的北偏西30°的方向上，再开回C处，

由C向西开26百海里到达。处，测得A在。的北偏东22.5。的方向上，则A、3两座岛屿间的距离为（）

A.3B.3V2C.4D.472

V

8.已知正四面体的内切球体积为v,外接球的体积为匕则一=（）

v

A.4B.8C.9D.27

9.执行如图所示的程序框图，则输出的5=（）

2]_

A.2B.3C.一D.

32

10.已知集合4=卜卜=电（2—x）},集合B=<x*2Y4,,则（）

A.{x|x>-2}B.何-2Vx<2}C.2<x<2!D.{x|x<2}

11.如图，棱长为1的正方体ABC。-A£GA中，P为线段A片的中点，分别为线段AG和棱4G上任意

一点，则2PM+0MN的最小值为（）

A.旺B.V2C.V3D.2

2

2

12.设2=——+(l+，)2(i是虚数单位)，贝!||Z|=()

1+z

A.V2B.1C.2D.V5

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.记S*=l*+2*+3"+..+nk,当k=l,2,3.....时，观察下列等式：Si=—/?+—«,S2=—n3+—n2+—/»,

22326

S3=—n4+—n3+—n2,...Ss=Anf,+—n5+—n4+Bn2,…可以推测，A-B=____.

424212

14.已知平面向量4与B的夹角为。，2=(6,-1),|〃|=1,贝!||21-司=.

15.设xeR,则“d>8”是“x>2”的条件.

16.已知函数/(x)=aInx-云2图象上一点(2,/(2)处的切线方程为y=—3x+2In2+2,则a+。=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数/(x)=|2x—l|+|2x+l|,记不等式/(x)<4的解集为

(1)求M；

(2)设a/eM,证明：|而|一时-网+1>0.

18.(12分)已知AABC三内角A、B、C所对边的长分别为a,b,c,且3s加24+3$加W=4s加Asi"8+3sin2c.

(1)求cosC的值；

(2)若a=3,c=a,求AASC的面积.

19.(12分)等差数列｛%｝的前"项和为S“，已知q+4=2。，55=35.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

19

(2)设数列｛,0｝的前〃项和为T,,求使7；〉「成立的〃的最小值.

S+n+220

20.(12分)已知函数/(%)=6'-初2.

(D若〃=1,证明：当xzo时，y(x)>i；

(2)若/(X)在(o,*o)只有一个零点，求”的值.

21.(12分)已知函数丫=/(1)与丁=产的图象关于直线>=》对称.(e为自然对数的底数)

(1)若丁=/(幻的图象在点A(Xo，/(X。))处的切线经过点求毛的值；

(2)若不等式/(x)”go?—(1—。)》一1恒成立，求正整数〃的最小值.

22.(10分)在四棱锥尸一ABCD札底面ABCD是边长为2的菱形，NBAD=120°,PA=2,PB=PC=PD,E是PB

(1)证明：PD//平面A£C；

(2)设E是线段。。上的动点，当点E到平面距离最大时，求三棱锥P-AEE的体积.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

由。为BC边上的中点，表示出A方=g(A豆+^然后用向量模的计算公式求模.

【详解】

解：。为8。边上的中点，

Ab=^(AB+AC),

西=洒+时卜^

=心（而2+市,+2福•市）

+22+2xlx2xCOS120）

=是

-v

故选：A

【点睛】

在三角形中，考查中点向量公式和向量模的求法，是基础题.

2.C

【解析】

根据双曲线方程求出渐近线方程：y=，x，再将点A1|,等）代入可得。=¥。，连接E4,根据圆的性质可得

立［1=立，从而可求出C,再由02=/+从即可求解.

733

【详解】

22

由双曲线0：3—马=1（。＞0力＞0），

ab~

b

则渐近线方程：y=±-x,

连接E4’则J判=*=：=等'解得0=2,

所以02=/+6=4,解得/=322=].

2

故双曲线方程为r匕-尸=].

3-

故选：C

【点睛】

本题考查了双曲线的几何性质，需掌握双曲线的渐近线求法，属于中档题.

3.B

【解析】

该几何体是直三棱柱和半圆锥的组合体，其中三棱柱的高为2,底面是高和底边均为4的等腰三角形，圆锥的高为4,

底面半径为2,贝！J其体积为V=Lx4x4x2+Lx」x乃x4x4,

223

8

=I6d■—7T.

3

故选B

点睛：由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正

视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.

4.A

【解析】

根据。是CD中点这一条件，将棱锥的高转化为球心到平面的距离，即可用勾股定理求解.

【详解】

解：设。点到平面A8C的距离为〃，因为。是CO中点，

所以。到平面ABC的距离为4,

2

三棱锥O-A3C的体积V=；S.ABc/=；fx2x2xsin60"〃=2,解得h=2.6,

作OO'，平面ABC,垂足O'为△MC的外心，所以CO'=迈,且。0'="=6,

32

所以在中，OC=y/C02+002=,此为球的半径，

..1352乃

Sc=4/rR-=47r—=---.

33

故选：A.

D

【点睛】

本题考查球的表面积，考查点到平面的距离，属于中档题.

5.C

【解析】

判断出已知条件中双曲线。的渐近线方程，求得四个选项中双曲线的渐近线方程，由此确定选项.

【详解】

两条渐近线的夹角转化为双曲渐近线与x轴的夹角时要分为两种情况.依题意，双曲渐近线与x轴的夹角为30。或60。,

双曲线C的渐近线方程为y=士亭x或y=±JL;.A选项渐近线为＞=±且％,B选项渐近线为y=土由x,C选项

122

渐近线为y=，D选项渐近线为y=土百X.所以双曲线C的方程不可能为《一会=1.

故选:c

【点睛】

本小题主要考查双曲线的渐近线方程，属于基础题.

6.C

【解析】

根据线面平行的性质定理和判定定理判断alia与allb的关系即可得到答案.

【详解】

若alia,根据线面平行的性质定理，可得a〃b；

若W/b,根据线面平行的判定定理，可得a〃a.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了线面平行的性质定理和判定定理，属于基础题.

7.B

【解析】

先根据角度分析出NCBE,NACB,ND4c的大小，然后根据角度关系得到AC的长度，再根据正弦定理计算出3c的

长度，最后利用余弦定理求解出A3的长度即可.

【详解】

由题意可知：NACB=60°,ZADC=67.5°,ZACD=45°,ZBCE=75°,NBEC=60°,

所以/CBE=180。一75°-60。=45。，ZDAC=180。一67.5°-45°=67.5°,

所以ND4C=NADC,所以CA=CD=2瓜,

又因为「8fh°：所以BC=2夜x3=C，

sin/BECsmNCBE2

所以A8=7AC2+BC2-2ACBC-cosZACB=^24+6-2x276x76x1=372.

故选：B.

【点睛】

本题考查解三角形中的角度问题，难度一般.理解方向角的概念以及活用正、余弦定理是解答问题的关键.

8.D

【解析】

设正四面体的棱长为1,取8c的中点为O,连接AZ),作正四面体的高为首先求出正四面体的体积，再利用

等体法求出内切球的半径，在RfAAMN中,根据勾股定理求出外接球的半径，利用球的体积公式即可求解.

【详解】

设正四面体的棱长为1,取8c的中点为。，连接AO,

作正四面体的高为PA7,

A

233

PM=y/PA2-AM2=

设内切球的半径为r,内切球的球心为。,

则VP-ABC=4%-ABC=4X；X/r,

解得：r=——

设外接球的半径为R,外接球的球心为N,

贝！||肱V|=|PM-R|或AN=R,

在RtMMN中,由勾股定理得：

AM2+MN2=AN2,

.」+[如-R=片,解得/?=理，

3(3J]4

故选：D

【点睛】

本题主要考查了多面体的内切球、外接球问题，考查了椎体的体积公式以及球的体积公式，需熟记几何体的体积公式,

属于基础题.

9.B

【解析】

运行程序，依次进行循环，结合判断框，可得输出值.

【详解】

起始阶段有i=l,S=3,

第一次循环后5=占=-；，i=2,

_s=----=-

第二次循环后.13,1=3,

I4--

2

s=_L=i

第三次循环后।2一°,i=4,

3

第四次循环后S=」=—2，i=5,

1-32

所有后面的循环具有周期性，周期为3,

当i=2()19时，再次循环输出的S=3,i=2020,W2020>2019,循环结束，输出S=3,

故选：B

【点睛】

本题主要考查程序框图的相关知识，经过几次循环找出规律是关键，属于基础题型.

10.C

【解析】

求出集合的等价条件，利用交集的定义进行求解即可.

【详解】

解：•.•A={x|x<2},B={x|-2Wx42},

AcB={x|-2<x<2},

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了对数的定义域与指数不等式的求解以及集合的基本运算,属于基础题.

11.D

【解析】

取AC中点E,过M作叱，面4月G。，可得为等腰直角三角形，由AAPMnAAEM，可得=

当时，"N最小，由MF=—MN，故

2

(五、

2PM+6MN=2PM+—MN=2(EM+MF)22AA=2,即可求解.

<2)

【详解】

取AC中点E,过“作面44。。，如图:

则△APA/MAAEM，故PM=EM,

而对固定的点"，当MV_LBC1时，MN最小.

后

此时由ME，面4月GA，可知AMFN为等腰直角三角形，MF=—MN,

2

故2PM+6MN=2PM+—MN^2(EM+MF)>2AA]=2.

、2>

故选：D

【点睛】

本题考查了空间几何体中的线面垂直、考查了学生的空间想象能力，属于中档题.

12.A

【解析】

先利用复数代数形式的四则运算法则求出z,即可根据复数的模计算公式求出|z|.

【详解】

2_____

,••z=r+(l+i)2=l—i+2i=l+i,.•.|Z|=JF+12=万

故选：A.

【点睛】

本题主要考查复数代数形式的四则运算法则的应用，以及复数的模计算公式的应用,

属于容易题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13」

4

【解析】

观察知各等式右边各项的系数和为1,最高次项的系数为该项次数的倒数，据此计算得到答案.

【详解】

根据所给的已知等式得到：各等式右边各项的系数和为1,

最高次项的系数为该项次数的倒数，

A=—,AH1-----卜B=1,解得B=----,所以4-8=—I=—.

6212126124

故答案为：—.

4

【点睛】

本题考查了归纳推理，意在考查学生的推理能力.

14.V13

【解析】

根据已知求出|B|,利用向量的运算律，求出|22-秆即可.

【详解】

由£=（6，一1）可得I£=&厨+（7）2=2,

—*—*—*—*7/

则a-。=|a||。|COS1=1,

所以122一51=^（la-b）2=/疝-42.B+$=V13•

故答案为:、厄

【点睛】

本题考查向量的模、向量的数量积运算，考查计算求解能力，属于基础题.

15.充分必要

【解析】

根据充分条件和必要条件的定义可判断两者之间的条件关系.

【详解】

当—>8时,有x>2,故>8”是2”的充分条件.

当x>2时,有，>8,故“丁>8”是“x>2”的必要条件.

故“V>8”是“x>2”的充分必要条件，

故答案为：充分必要.

【点睛】

本题考查充分必要条件的判断，可利用定义来判断，也可以根据两个条件构成命题及逆命题的真假来判断，还可以利

用两个条件对应的集合的包含关系来判断，本题属于容易题.

16.1

【解析】

求出导函数，由切线方程得切线斜率和切点坐标，从而可求得。,以

【详解】

由题意f\x)=--2bx,

X

•・・函数图象在点(2J(2)处的切线方程为y=-3x+21n2+2,

——4Z?=—3[a=2

・・・<2，解得「「

b=1

aln2-4b=-6+21n2+21

a+b—3.

故答案为：1.

【点睛】

本题考查导数的几何意义，求出导函数是解题基础，

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1){x|-l<X<l}；(2)证明见解析

【解析】

(1)利用零点分段法将/(x)表示为分段函数的形式，由此解不等式求得不等式的解集M.

(2)将不等式坐标因式分解，结合(1)的结论证得不等式成立.

【详解】

-4x,x<~―

2

d2,-g<x<；,

(1)解:

4x,x>—

由/(x)<4,解得一

故知={x|-l<x<l}.

⑵证明：因为,所以同<1,例<1,

所以附一(同+同)+1=(同一1)(同一1)>0,

所以|闻一向一回+1>0.

【点睛】

本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，属于基础题.

18.(1)-；(2)立或正.

322

【解析】

(1)利用正弦定理对已知代数式化简，根据余弦定理求解余弦值；

(2)根据余弦定理求出6=1或b=3,结合面积公式求解.

【详解】

......4

(1)已知等式3s加为+3s加2B=4S加加5+3s加2G利用正弦定理化简得：3a2+3b2-3c2=4ab,即a2+62-c2=—ab,

3

.万。2+人2-。22

2ab3

(2)把。=3,c=y/6,代入3“2+3〃2-3。2=4°力得：0=i或力=3,

2

•:cosC=二,。为三角形内角，

3

:.sinC=y/\—cos2C———,

3

；・SAABC=—absinC=—x3xbxb,

2232

则△ABC的面积为好或为5.

22

【点睛】

此题考查利用正余弦定理求解三角形，关键在于熟练掌握正弦定理进行边角互化，利用余弦定理求解边长，根据面积

公式求解面积.

19.(1)a=2n+\;(2)〃的最小值为19.

【解析】

(1)根据条件列方程组求出首项、公差，即可写出等差数列的通项公式；

1

(2)根据等差数列前〃项和化简^———,利用裂项相消法求和，解不等式即可求解.

【详解】

⑴等差数列｛%｝的公差设为"，%+4=2(),55=35,

可得2al+7，/=20,5q+10d=35,

解得4=3,(1=0.,

则a=3+2(/1-1)=2n+1；

(2)Sn=g〃(3+2〃+1)=n(n+2),

]_]_]_J1

Sn+n+2n(n+2)+n+2(〃+1)(〃+2)〃+ln+2

1

前n项和为T=———+———+..H----

2334n+1n+2

11

~2~~n+2,

7>2即]_一—,

"202n+220

可得〃+2>20,即〃>18,

则”的最小值为19.

【点睛】

本题主要考查了等差数列的通项公式，等差数列的前”项和，裂项相消法求和，属于中档题

20.(1)见解析；(2)a=±

4

【解析】

分析：(1)先构造函数g(x)=(f+l)er—l,再求导函数，根据导函数不大于零得函数单调递减，最后根据单调性证

得不等式;(2)研究/(x)零点，等价研究〃(x)=l—必的零点，先求/z(x)导数：/?'(%)=tzx(x-2)6?-A,这里产生

两个讨论点，一个是a与零，一个是x与2,当时，/z(x)>0,/?(x)没有零点；当a>0时，〃(x)先减后增，

从而确定只有一个零点的必要条件，再利用零点存在定理确定条件的充分性，即得a的值.

详解：(1)当。=1时，/(力上1等价于(炉+1,-*-140.

设函数g(x)=任+-1,则g")=—(f-2了+=-(x-1)2

当xwl时,g'(x)<o,所以g(x)在(0,+8)单调递减.

而g(o)=o,故当“NO时,g(x)<0,gp/(x)>l.

(2)设函数〃(刀)=1一宙%-*.

/(x)在(0,+8)只有一个零点当且仅当〃(力在(0,+8)只有一个零点.

(i)当LW0时,h(x)>Q,〃(x)没有零点；

(ii)当a>0时，h'(x)=ax(x-2)e~x.

当xw(0,2)时，〃'(x)<0；当xe(2,+oo)时，/z'(x)>0.

所以〃(x)在(0,2)单调递减，在(2,”)单调递增.

故限)=1-*是2)在［0,+OO)的最小值.

2

①若力(2)>0,即网力在(0,+。)没有零点；

2

②若〃(2)=(),即4=(,M%)在(0,+。。)只有一个零点;

2

③若人(2)<0,即“〉?，由于〃(0)=1,所以〃(x)在(0,2)有一个零点，

,/.x.16a3.16a3,\6cr1.1_

由⑴知，当》>()时，/>/,所以"(4。)=1一*=1-7~^7>1-77^=一=>°.

e(2a)a

故/z(x)在(2,4a)有一个零点，因此/z(x)在((),+。)有两个零点.

2

综上，/(6在(0,+纥)只有一个零点时，〃=(♦

点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法

(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.

(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.

(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.

21.(1)e；(2)2.

【解析】

(D根据反函数的性质，得出f(x)=lnx,再利用导数的几何意义，求出曲线y=lnx在点A处的切线为

1,、

>-%=一瓮-%),构造函数"(x)=xlnx,利用导数求出单调性，即可得出玉)的值;

(2)设g(x)=lnx——ax2+(l-a)x+l,求导,,、,求出g(x)的单调性，从而得出最大值

2g(x)

为-ln"，结合恒成立的性质，得出正整数”的最小值.

\aJ2a

【详解】

（1）根据题意，、=/（幻与丁=6''的图象关于直线丁=%对称，

所以函数的图象与y=，互为反函数，则/（x）=lnx,,

设点4（%,%），%=用入0，又：/=,，

x

,1

当x=x0时，）'=一，

工0

1,\

曲线y=lnx在点A处的切线为）」％=一（X-%）,

即y—lnx0=一—1,代入点（一仇一1）,

得-1-ln无()=----1,即XolnXo=e,

X。

构造函数H(x)=xlnx,

当xw(0,1)时，H(x)<0,

当XG(1,+8)时，H(x)>0,

且"(x)=lnx+l,当x>l时，"'(x)>0,H(x)单调递增,

而"（e）=e,故/In/=e存在唯一的实数根.%=e.