高二数学寒假讲义练习（人教B用 选择性必修三）第08讲 等比数列及其求和（学生卷）

第08讲等比数列及其求和【学习目标】1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式3.了解等比数列与指数函数的关系．【知识导航】1.等比数列的概念(1)定义：如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数q，即eq\f(an＋1,an)＝q恒成立，则称{an}为等比数列，其中q称为等比数列的公比.数学语言表达式：eq\f(an,an－1)＝q(n≥2，q为非零常数).(2)等比中项：如果x，G，y是等比数列，则称G为x与y的等比中项，且G2＝xy.2.等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；通项公式的推广：an＝amqn－m.(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).3.等比数列的性质已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.(1)若正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则as·at＝apaq，特别地，如果2s＝p＋q，则aeq\o\al(2,s)＝ap·aq.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.1.若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{aeq\o\al(2,n)}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))也是等比数列.2.三个数成等比数列，通常设为eq\f(x,q)，x，xq；四个符号相同的数成等比数列，通常设为eq\f(x,q3)，eq\f(x,q)，xq，xq3.【知识预习】考点一：等比数列1．在等比数列中，则（

）A．16 B．16或－1C．32 D．32或－322．设是等比数列，且，则（

）A．4 B．8 C．16 D．323．已知等比数列，，则（

）A．1 B．2 C．4 D．84．在等比数列中，且，则（

）A．16 B．8 C．4 D．25．在各项均为正数的等比数列中，若，则等于（

）A． B． C． D．考点二：等比数列的前n项和6．已知等比数列的前项和为，若，则（

）A．83 B．108 C．75 D．637．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯.”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，问塔的顶层灯的盏数为（

）A．1 B．2 C．3 D．48．记为等比数列的前项和.若，则（

）A．1 B．2 C．4 D．79．已知是各项均为正数的等比数列的前n项和，若，，则（

）A．2 B．3 C．6 D．910．集合论是德国数学家康托尔于十九世纪末创立的，希尔伯特赞誉其为“数学思想的惊人产物，在纯粹理性范畴中人类活动的最美表现之一”.取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留下的两段分割三等分，各去掉中间一段，留下更短的四段，……，将这样操作一直继续下去，直至无穷.由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段的数目越来越多，长度越来越小，在极限情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集.若在前次操作中共去掉的线段长度之和不小于，则的最小值为（

）（参考数据：，）A．9 B．8 C．7 D．6【对点训练】一、单选题1．在数列中，且，则（

）A． B． C． D．2．与的等差中项和等比中项分别是（

）A． B． C． D．3．在正项等比数列中，，则数列的前5项之和为（

）A．3 B．4 C．5 D．64．已知数列是各项均为正数的等比数列，是它的前项和，若，且，则（

）A．128 B．127 C．126 D．1255．已知正项等比数列前项和为，且，，则等比数列的公比为（

）A． B．2 C． D．36．已知等比数列的前项积满足，则（

）.A． B． C． D．7．若数列为等比数列，且是方程的两根，则的值等于（

）A． B．1 C． D．8．已知数列是等比数列，若，且数列的前n项乘积，n的最大值为（

）A．10 B．11 C．20 D．21二、多选题9．下列说法中正确的是（

）A．若b2=ac，则a，b，c成等比数列B．等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数C．数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有D．若一个常数列是等比数列，则这个数列的公比是110．设数列的前项和为，若，则下列说法正确的是（

）A． B．为等比数列C． D．三、填空题11．已知各项均为正数且单调递减的等比数列满足，，成等差数列，则______．12．《九章算术》叙述了一个老鼠打洞的趣事：今有垣厚十尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠亦一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.问：何日相逢？各穿几何？意思就是说，有一堵十尺厚的墙，两只老鼠从两边向中间打洞.大老鼠第一天打一尺，小老鼠也是一尺.大老鼠每天的打洞进度是前一天的2倍，小老鼠每天的进度是前一天的一半.第3天结束后，两只老鼠相距______尺.四、解答题13．在数列中，，，．(1)设，求证：数列是等比数列；(2)求数列的前项和．14．已知等差数列满足，前4项和．(1)求的通项公式；(2)设等比数列满足，，数列的通项公式．15．已知是等差数列，是首项为1、公比为3的等比数列，且，．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．【提升作业】一、单选题1．设正项等比数列的前n项和为，若，则公比（

）A．2 B． C．2或 D．2或2．若成等差数列；成等比数列，则等于（

）A． B． C． D．3．等比数列前项和为.若，则数列前项和的最小值为（

）A． B． C． D．4．已知数列满足，，数列的前项和为，若对任意的正整数，都有，则的最小值为（

）A． B． C． D．5．已知数列的前n项和为，，且，则下列说法中错误的是（

）A． B．C．是等比数列 D．是等比数列二、填空题6．已知等比数列的公比成等差数列，则公比____________．7．已知数列的各项均为正数，，，则数列前10项的和为______