高二数学寒假讲义练习（人教B用 选择性必修三）第09讲 导数（教师卷）

第09讲导数【学习目标】1.通过实例分析，了解平均变化率、瞬时变化率，了解导数概念的实际背景.2.通过函数图像，理解导数的几何意义.3.了解利用导数定义求基本初等函数的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.5.能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数.【知识导航】1.导数的概念(1)称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)，即f′(x0)＝.(2)在f(x)的定义域内，f′(x)是一个函数，这个函数通常称为函数y＝f(x)的导函数，记作f′(x)(或y′，yx′)，即f′(x)＝y′＝yx′＝，导函数也简称为导数.2.导数的几何意义f′(x0)是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，从而在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0).3.基本初等函数的导数公式(1)C′＝0；(2)(xα)′＝α·xα－1；(3)(ax)′＝ax·lna；(4)(logax)′＝eq\f(1,xlna)；(5)(sinx)′＝cosx；(6)(cosx)′＝－sinx；(7)(ex)′＝ex；(8)(lnx)′＝eq\f(1,x).4.导数的运算法则如果f(x)，g(x)都可导，则有：(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq\f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,[g（x）]2)(g(x)≠0)；(4)[Cf(x)]′＝Cf′(x).5.复合函数的导数如果函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数为y＝h(x)＝f(g(x))，则复合函数的导数h′(x)与f′(u)，g′(x)之间的关系为h′(x)＝[f(g(x))]′＝f′(u)·g′(x)＝f′(g(x))·g′(x)，即yx′＝yu′·ux′.1.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,f（x）)))′＝－eq\f(f′（x）,[f（x）]2)(f(x)≠0).2.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.3.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.【知识预习】考点一：函数的平均变化率1．设函数在处的导数为2，则（

）A．2 B．1 C． D．6【答案】A【详解】因为函数在处的导数为2，所以.故选：A.2．已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为函数，所以该函数在区间上的平均变化率为，故选：A3．为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度c与时间t的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t变化的关系如下图所示．给出下列四个结论错误的是（

）A．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；B．在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同；C．在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；D．在，两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同．【答案】D【详解】A选项，根据图象可知，在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同，A选项结论正确.B选项，根据图象以及导数的知识可知，在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同，B选项结论正确.C选项，根据图象可知，在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同，C选项结论正确.D选项，根据图象可知，在这个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率为大于在这个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率D选项结论错误.故选：D考点二：导数及其几何意义4．曲线在点处的切线方程为，则a，b的值分别为（

）A．-1，1 B．-1，-1 C．1，1 D．1，-1【答案】C【详解】依题意，切点为，斜率为，，所以，解得.故选：C5．曲线在点处的切线方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】，故切点为，，即切线的斜率为，所以切线方程为，即.故选：A6．曲线在点（1，－2）处的切线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，所以，故所求切线的倾斜角为．故选：B．考点三：基本初等函数的导数7．设函数，，则（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【详解】∵，∴，解得.故选：B.8．已知函数，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由，得，令，则，解得，故选：B.9．函数的导数为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】根据导数的运算法则可知，.故选：B考点四：求导法则及其应用10．函数的导数为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】定义域为，故选：B11．下列求导运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】，A错误；，B错误；，C错误；，D正确.故选：D12．已知函数，则的值为（

）A．－2 B． C． D．－1【答案】D【详解】，则故选：D．【对点训练】一、单选题1．函数的导数为．则的值为（

）A．3 B．4 C．2 D．【答案】A【详解】，所以，解得，所以.故选：A2．若，则的解集为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由得，，令且，解得即的解集为故选：C.3．2022年2月，第24届冬季奥林匹克运动会在北京隆重举行，中国代表团获得了9金4银2铜的优异成绩，彰显了我国体育强国的底蕴和综合国力.设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则当时，该运动员的滑雪速度为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意，，故当时，该运动员的滑雪速度为.故选：B4．曲线在点的切线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意可得，∴，即，∴切线方程为．故选：B5．已知函数，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以故选：D6．函数的导函数为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】.故选：D.7．已知函数，则曲线在处的切线斜率为（

）A．0 B． C． D．【答案】D【详解】由，可知，所以，故选：D．8．若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】的导数为，由于存在垂直于轴的切线，可得有实数解，即有，即有，解得或．故选：B二、多选题9．下列说法正确的是（

）A．已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为30B．已知，在函数图象上，若函数从到平均变化率为，则曲线的割线的倾斜角为C．已知直线运动的汽车速度与时间的关系是，则时瞬时加速度为7D．已知函数，则【答案】BD【详解】由题意可知，，故A错误；根据平均变化率的概念可知若函数从到平均变化率即为割线的斜率，即的斜率，所以割线的倾斜角为，故B正确.因为，根据速度与加速的关系可知时瞬时加速度为，故C错误；函数在点处的导数，由极限的意义可知，当充分小时，，即，从而，又，所以，故D正确.故选：BD.10．下列导数运算错误的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【详解】对A，正确；对B，，B错误；对C，，C错误；对D，，D错误；故选：BCD三、填空题11．设函数的导函数为，若，则____________．【答案】##【详解】解：由题知，，所以故答案为：12．曲线在点处的切线方程为___________.【答案】【详解】∵，则，∴，即切点为，斜率，则切线方程为，即.故答案为：.四、解答题13．已知曲线在点处的切线方程为，求实数a、b的值.【答案】，.【详解】，所以，所以，，切点为，将代入，得，所以.故实数，.14．已知函数．求曲线在点处的切线方程.【答案】【详解】解：因为，所以，即切点坐标为，又，∴切线斜率∴切线方程为.15．已知函数的图象过点，且．(1)求a，b的值；(2)求曲线在点处的切线方程．【答案】(1)，；(2)【详解】（1）因为函数的图象过点，所以①．又，，所以②，由①②解得：，．（2）由（1）知，又因为，，所以曲线在处的切线方程为，即．【提升作业】一、单选题1．已知函数，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，所以，所以.故选：B.2．曲线在点处的切线方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】对函数求导得，则所求切线斜率为，且，因此，曲线在点处的切线方程为，即.故选：C.3．曲线（）在点处的切线与直线垂直，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】∵，∴，∴，即切线斜率为，又∵曲线（）在点处的切线与直线垂直，∴，即．故选：A．4．曲线在点处的切线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】，所以在点处的切线的斜率为-1，倾斜角为.故选：A.5．已知，则曲线在点处的切线方程为（

）A．3x－y－4＝0 B．3x＋y－2＝0C．4x＋y－3＝0 D．4x－y－5＝0【答案】B【详解】因为，所以．当x＝1时，，所以曲线在点处的切线方程为，即3x＋y－2＝0．故选：B．二、填空题6．如图，直线是曲线在点处的切线，则的值等于______．【答案】##5.5【详解】由函数的图像可得，直线过点和，则直线的斜率，又由直线是曲线在点处的切线，则，所以．故答案为：7．记函数的导函数为，且溥足，则＝______．【答案】##1.5【详解】由题意得，，∴，解得，∴，∴．故答案为：三、解答题8．（1）已知曲线，点是曲线上一点，求曲线在点处的切线方程.（2）已知抛物线，求过点且与抛物线相切的直线方程.【答案】（1）；（2）或【详解】（1）由可得，所以在点处的切线的斜率为，切线方程为，即；（2）设切线的斜率为，直线与抛物线相切的切点坐标为，则直线方程为，因为，所以，又点在切线上，所以，解得或