高二数学寒假讲义练习（人教B用 选择性必修一）第02讲 直线和圆（教师卷）

第02讲直线和圆【易错点总结】1.直线与圆的位置关系设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x－a）2＋（y－b）2＝r2，,Ax＋By＋C＝0))消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.位置关系相离相切相交图形量化方程观点Δ<0Δ＝0Δ>0几何观点d>rd＝rd<r2.圆与圆的位置关系已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝req\o\al(2,1)，C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝req\o\al(2,2)，则圆心距d＝|C1C2|＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2).则两圆C1，C2有以下位置关系：位置关系外离内含相交内切外切圆心距与半径的关系d>r1＋r2d<|r1－r2||r1－2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2|d＝r1＋r2图示公切线条数402131.圆的切线方程常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.2.直线被圆截得的弦长的求法(1)几何法：运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2eq\r(r2－d2).(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，求出xM＋xN和xM·xN，则|MN|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(（xM＋xN）2－4xM·xN).【重难点剖析】考点一：直线及其方程1．无论为何实数值，直线总过一个定点的坐标为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】当时，，故直线总过定点.故选：D．2．直线与直线的位置关系是（

）A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直【答案】C【详解】直线可化为，所以直线与直线的位置关系是重合.故选：C3．经过两点，的直线的倾斜角是钝角，则实数m的范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】直线的倾斜角是钝角，则直线斜率，解得或．故选：D．4．若直线与直线平行，则的值为（

）A． B．3 C．3或 D．或6【答案】B【详解】直线：与直线：平行，所以，解得：或，①当时，：，：，，符合题意；②当时，：，：，均为，此时，重合，舍去，故，故选：B5．过坐标原点作直线：的垂线，垂足为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】依题意，，直线l的方向向量，则有，解得，因此，，因当时，取最小值，则有，所以的取值范围是.故选：D考点二：圆及其方程6．已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系为（

）A．相离 B．相交 C．外切 D．内切【答案】C【详解】圆的圆心坐标是，半径，圆的圆心坐标是，半径，,所以圆心距，所以两圆相外切.故选：C7．已知直线l经过点，且被圆截得的弦长为4，则直线l的方程是

（

）A． B．或C． D．或【答案】B【详解】圆的标准方程为：，由题意圆心到直线l的距离（1）当直线的斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离，符合题意，（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，解得，则直线方程为，综上，直线l的方程为或．故选：B．8．过点引圆的切线，其方程是（

）A． B．C． D．和【答案】D【详解】解：根据题意，圆，即，其圆心为，半径r＝1；过点引圆的切线，若切线的斜率不存在，切线的方程为x＝2，符合题意；若切线的斜率存在，设其斜率为k，则有，即kx－y＋3－2k＝0，则有，解得，此时切线的方程为，即12x－5y－9＝0．综上：切线的方程为x＝2和12x－5y－9＝0．故选：D．9．已知直线与圆相交于点A，B，点P为圆上一动点，则面积的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为圆，所以圆心为，半径为，如图，所以圆心到直线的距离，则，又点P到直线的距离的最大值为，所以面积的最大值．故选：A..10．直线与圆相交于两点，则的最小值为（

）A．6 B．4 C． D．【答案】D【详解】因为可化为，令，解得，所以直线恒过定点，该点在圆内，因为，所以要求的最小值，即求圆心到直线的最大距离，显然当时，最大，最小，又因为圆，所以圆心，，则，故此时.故选：D.【基础过关】一、单选题1．直线的倾斜角（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题，将直线方程转化为斜截式方程可得，所以直线的斜率，因为，所以，故选:C.2．已知直线相互垂直，则值是（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【详解】由可得∵故选：C3．若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】的圆心为,半径，因为为圆的弦的中点，所以圆心与点确定的直线斜率为，因为圆心和弦的中点的连线与弦所在的直线垂直，所以弦所在直线的斜率为，所以弦所在直线的方程为：，即.故选：A.4．圆与圆的位置关系为（

）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切【答案】D【详解】因为圆的圆心,半径为,圆的圆心,半径为，,则两圆的圆心距为,而，则圆与圆的位置关系为内切.故选:D.5．过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则m的值为（

）A．2 B． C．-2 D．【答案】D【详解】∵点在圆上，圆心为，∴直线的斜率为，且直线与切线垂直，∵切线与直线垂直，所以直线与斜率相等，∴，∴．故选：D．6．两条直线与的距离为（

）A． B． C． D．1【答案】D【详解】直线即，所以与的距离为，故选：D.7．对于直线，下列选项正确的为（

）A．直线l倾斜角为 B．直线l在y轴上的截距为C．直线l不过第二象限 D．直线l过点【答案】C【详解】将直线改写成斜截式方程为由斜截式方程的几何意义可知，斜率为，所以直线倾斜角满足，即，故A错误；易知，直线l在y轴上的截距为，所以B错误；画出直线l的图象如下：由图象可知，直线l不过第二象限，故C正确；将点代入直线方程得，所以直线l不过点，即D错误.故选：C.8．直线被圆截得的弦长为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由，所以圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，所以弦长为，故选：C二、多选题9．已知直线l在x轴，y轴上的截距分别为1，，O是坐标原点，则下列结论中正确的是（

）A．直线l的方程为B．过点O且与直线l平行的直线方程为C．若点到直线l的距离为，则D．点O关于直线l对称的点为【答案】ABD【详解】对A，直线l在x轴，y轴上的截距分别为1，，直线l的方程为，即，A对；对B，直线l斜率为1，故过点O且与直线l平行的直线方程为，即，B对；对C，点到直线l的距离为，故或0，C错；对D，点O关于直线l对称的点满足，解得，故该点为，D对.故选：ABD10．已知直线：和圆：，则（

）A．直线恒过定点 B．存在使得直线与直线：垂直C．直线与圆相离 D．若，直线被圆截得的弦长为【答案】BD【详解】直线，即，则直线恒过定点，故A错误；当时，直线与直线垂直，故B正确；∵定点在圆O：x2+y2=9内部，∴直线l与圆O相交，故C不正确：当时，直线l化为，即x+y+2=0，圆心O到直线的距离，直线l被圆O截得的弦长为，故D正确，故选：BD.三、填空题11．已知直线，直线，若直线与的交点在第一象限，则实数的取值范围为___________．【答案】【详解】由题意得两直线不平行，即，得，由得，由于直线与的交点在第一象限，所以，解得，则实数的取值范围为，故答案为：.12．圆心在直线上，且过两圆，交点的圆的标准方程为_____________.【答案】【详解】由解得交点坐标分别为，设圆心坐标为，半径为，则，解得，所以该圆的标准方程为，故答案为：四、解答题13．设直线的方程为.(1)已知直线在轴上的截距为，求的值；(2)已知直线的斜率为1，求的值．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意知，即且，令，则，即，得或(舍去)．∴.（2）由题意知，，即且，由直线l化为斜截式方程得，则，得或(舍去)．∴.14．已知圆C的圆心为，半径为3，l是过点的直线．(1)判断点P是否在圆上，并证明你的结论；(2)若圆C被直线l截得的弦长为，求直线l的方程．【答案】(1)点P不在圆上，证明见解析(2)x＝0或3x＋4y－8＝0．【详解】（1）点P不在圆上．证明如下：∵，∴由圆的定义可知点P是在圆C的内部，不在圆上；（2）由直线与圆的位置关系可知，圆心C到直线l的距离，①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，此时，满足题意；②当直线l的斜率存在时，设直线l为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0，又∵，解得，此时直线l为3x＋4y－8＝0，综上所述：直线l的方程为x＝0或3x＋4y－8＝0．15．已知圆与圆.(1)若圆与圆相外切，求实数的值；(2)在（1）的条件下，若直线被圆所截得的弦长为，求实数的值.【答案】(1)(2)或【详解】（1）圆的方程可整理为：，圆心，半径；其中,由圆方程知：圆心，半径；圆与圆相外切，，解得：.（2）由（1）知：圆心，半径，圆心到直线的距离，，解得：或.【能力提升】一、单选题1．已知直线和互相平行，则实数m的取值为（）A．﹣1或3 B．-3或﹣1 C．﹣1 D．3【答案】C【详解】当时，不存在，，不平行.当时，，，因为平行，所以，解得或.当时，，，重合，舍去.当时，，，.综上.故选：C2．点为轴上的点，，，以，，为顶点的三角形的面积为8，则点的坐标为（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】A【详解】设，直线的方程为，点到直线的距离，，所以，解得：或，所以点的坐标为或.故选：A3．如图，圆内有一点，为过点且倾斜角为的弦，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】直线AB的斜率为，又直线AB过点，所以直线AB的方程为：，即.圆心到直线AB：的距离为，则．故选：B4．设m为实数，直线和圆相交于P，Q两点，若，则m的值为（

）A．或 B． C． D．【答案】A【详解】解：圆，即，所以圆心，半径，所以圆心到直线的距离为，由弦长公式得，则，即，解得，所以，即，即，解得或.所以m的值为或．故选：A．5．古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A，B的距离为2，动点Р满足，若点Р不在直线AB上，则面积的最大值为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【详解】以点A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，如图，则，设点，由得：，即，整理得：，因此点P的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，则P到直线AB距离的最大值为，所以面积的最大值为.故选：B二、填空题6．已知圆与圆相交于两点，则_________.【答案】【详解】解：因为圆与圆相交于两点，所以直线AB的方程为：，即，圆心到弦AB的距离，所以，故答案为：.7．已知圆与圆，则圆与圆的公切线方程是___________________．【答案】【详解】圆，即，圆心为，半径.圆，即，圆心为，半径.圆心角，所以两圆相内切.由解得，所以两圆切点的坐标为，，所以公切线的斜率为，所以公切线的方程为.故答案为：三、解答题8．已知圆，直线．(1)求圆的圆心坐标和半径；(2)若直线与圆相切，求实数的值．【答案】(1)圆心的坐标为，半径为2．(2)【详解】（1）圆，圆的标准方程为．圆的圆心的坐标为，半径为2．（2）直线与圆相切，圆心到直线的距离，解得．实数的值为．9．已知，圆.(1)若圆与圆外切，求实数的值；(2)当在中任意取值时，求圆心的轨迹方程；(3)是否存在定直线，使得：动圆截直线所得的弦长恒为?若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.【答案】(1)或(2)(3)存在，且的方程为或.【详解】（1）圆，，所以圆的圆心为，半径.圆的圆心为，半径为，由于圆与圆外切，所以，解得或.（2）由（1）得，即，消去得，所以圆心的轨迹方程为.（3）设直线交圆于两点，设到直线的距离为，则，假设存在符合题意的定直线，则，即圆心与直线的距离恒为，而圆心的轨迹方程为，所以可设直线的方程为，且，解得或，所以存在符合题意的定直线，且定直线的方程为或.10．已知圆：，直线：．圆与圆关于直线对称．(1)求圆的方程；(2)