四川省眉山市永寿高级中学2023-2024学年数学高一上期末检测试题含解析

四川省眉山市永寿高级中学2023-2024学年数学高一上期末检测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．幂函数f（x）的图象过点（4，2），那么f（）的值为（）A. B.64C.2 D.2．下列函数中，在区间上为增函数的是（）A. B.C. D.3．如图，①②③④中不属于函数，，的一个是（）A.① B.②C.③ D.④4．若，，，，则，，的大小关系是A. B.C. D.5．设函数f（x）=asinx+bcosx，其中a，b∈R，ab≠0，若f（x）≥f（）对一切x∈R恒成立，则下列结论中正确的是（）A.B.点是函数的一个对称中心C.在上是增函数D.存在直线经过点且与函数的图象有无数多个交点6．幂函数在区间上单调递增，且，则的值（）A.恒大于0 B.恒小于0C.等于0 D.无法判断7．函数在区间上的最大值为A.2 B.1C. D.1或8．若点在角的终边上，则（）A. B.C. D.9．为了得到函数的图象，只需将的图象上的所有点A.横坐标伸长2倍，再向上平移1个单位长度B.横坐标缩短倍，再向上平移1个单位长度C.横坐标伸长2倍，再向下平移1个单位长度D.横坐标缩短倍，再向下平移1个单位长度10．将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为A. B.C. D.11．边长为的正四面体的表面积是A. B.C. D.12．用二分法求函数零点时,用计算器得到下表：1.001.251.3751.501.07940.1918-0.3604-0.9989则由表中数据,可得到函数的一个零点的近似值（精确度为0.1）为A.1.125 B.1.3125C.1.4375 D.1.46875二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．已知过点的直线与轴，轴在第二象限围成的三角形的面积为3，则直线的方程为__________14．已知，若方程有四个根且，则的取值范围是______.15．已知扇形的弧长为2cm，圆心角为1rad，则扇形的面积为______.16．已知圆心为（1,1），经过点（4,5），则圆标准方程为_____________________.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知函数，且.（1）求实数及的值；（2）判断函数的奇偶性并证明.18．已知为奇函数，为偶函数，且.（1）求及的解析式及定义域；（2）如果函数，若函数有两个零点，求实数的取值范围.19．已知函数，.（1）若不等式的解集为，求不等式的解集；（2）若函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围20．（1）求值：；（2）已知集合，，求①，②.21．已知集合，.（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围.22．已知函数（1）求函数的定义域，并判断函数的奇偶性；（2）对于，不等式恒成立，求实数的取值范围

参考答案一、选择题（本大题共12小题，共60分）1、A【解析】设出幂函数，求出幂函数代入即可求解.【详解】设幂函数为，且图象过点（4，2），解得，所以，，故选：A【点睛】本题考查幂函数，需掌握幂函数的定义，属于基础题.2、B【解析】利用基本初等函数的单调性可得出合适的选项.【详解】函数、在区间上为减函数，函数在区间上为增函数，函数在区间上不单调.故选：B.3、B【解析】根据对数函数图象特征及与图象的关于轴对称即可求解.【详解】解：由对数函数图象特征及与的图象关于轴对称，可确定②不已知函数图象.故选：B.4、D【解析】分析：利用指数函数与对数函数及幂函数的行贿可得到，再构造函数，通过分析和的图象与性质，即可得到结论.详解：由题意在上单调递减，所以，在上单调递则，所以，在上单调递则，所以，令，则其为单调递增函数，显然在上一一对应，则，所以，在坐标系中结合和的图象与性质，量曲线分别相交于在和处，可见，在时，小于；在时，大于；在时，小于，所以，所以，即，综上可知，故选D.点睛：本题主要考查了指数式、对数式和幂式的比较大小问题，本题的难点在于的大小比较，通过构造指数函数与一次函数的图象与性质分析解决问题是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题有一定难度，属于中档试题.5、D【解析】根据f（x）≥f（）对一切x∈R恒成立，那么x=取得最小值．结合周期判断各选项即可【详解】函数f（x）=asinx+bcosx=周期T=2π由题意x=取得最小值，a，b∈R，ab≠0，∴f（）=0不正确；x=取得最小值，那么+=就是相邻的对称中心，∴点（,0）不是函数f（x）的一个对称中心；因为x=取得最小值，根据正弦函数的性质可知，f（x）在是减函数故选D【点睛】本题考查三角函数的性质应用，排除法求解，考查转化思想以及计算能力6、A【解析】由已知条件求出的值，则可得幂函数的解析式，再利用幂函数的性质判断即可【详解】由函数是幂函数，可得，解得或当时，；当时，因为函数在上是单调递增函数，故又，所以，所以，则故选：A7、A【解析】利用同角三角函数的基本关系化简函数f（x）的解析式为﹣（sinx﹣1）2+2，根据二次函数的性质，求得函数f（x）的最大值【详解】∵函数f（x）＝cos2x+2sinx＝1﹣sin2x+2sinx＝﹣（sinx﹣1）2+2，∴sinx≤1，∴当sinx＝1时，函数f（x）取得最大值为2，故选A【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，正弦函数的定义域和值域，二次函数的性质，属于中档题8、A【解析】利用三角函数的定义可求得结果.【详解】由三角函数定义可得.故选：A.9、B【解析】由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论【详解】将的图象上的所有点的横坐标缩短倍（纵坐标不变），可得y＝3sin2x的图象；再向上平行移动个单位长度，可得函数的图象，故选B【点睛】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，熟记变换规律是关键，属于基础题10、B【解析】得到的偶函数解析式为，显然【考点定位】本题考查三角函数的图象和性质，要注意三角函数两种变换的区别，选择合适的值通过诱导公式把转化为余弦函数是考查的最终目的.11、D【解析】∵边长为a的正四面体的表面为4个边长为a正三角形，∴表面积为：4×a=a2，故选D12、B【解析】根据二分法的思想,确定函数零点所在区间,并确保精确度为0.1即可.【详解】根据二分法的思想,因为,故的零点在区间内,但区间的长度为,不满足题意,因而取区间的中点,由表格知,故的零点在区间内,但区间的长度为,不满足题意,因而取区间的中点,可知区间和中必有一个存在的零点,而区间长度为,因此是一个近似解,故选:B.【点睛】本题考查二分法求零点问题,注意满足题意的区间要满足两个条件:①区间端点的函数值要异号;②区间长度要小于精确度0.1.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13、【解析】设直线l的方程是y=k（x-3）+4，它在x轴、y轴上的截距分别是﹣+3，-3k+4，且﹣+3<0,-3k+4>0由已知，得（-3k+4）（﹣3）=6，解得k1=或k2=所以直线l的方程为：故答案为14、【解析】作出函数的图象，结合图象得出，，得到，结合指数函数的性质，即可求解.【详解】由题意，作出函数的图象，如图所示，因为方程有四个根且，由图象可知，，可得，则，设，所以，因为，所以，所以，所以，即，即的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中作出函数的图象，结合图象和指数函数的性质求解是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力.15、2【解析】首先由扇形的弧长与圆心角求出扇形的半径，再根据扇形的面积公式计算可得；【详解】解：因为扇形的弧长为2cm，圆心角为1rad，所以扇形的半径cm，所以扇形的面积；故答案为：16、【解析】设出圆的标准方程，代入点的坐标，求出半径，求出圆的标准方程【详解】设圆的标准方程为（x-1）2+（y-1）2=R2，由圆经过点（4,5）得R2=25，从而所求方程为（x-1）2+（y-1）2=25，故答案为（x-1）2+（y-1）2=25【点睛】本题主要考查圆的标准方程，利用了待定系数法，关键是确定圆的半径三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、（1），；（2）是奇函数，证明见解析.【解析】（1）根据，代入计算可得的值，即可求出函数的解析式，再代入计算可得；（2）首先求出函数的定义域，再计算即可判断；【详解】解：（1）因为，且.所以解得，所以所以（2）由（1）可得.因为函数的定义域为，关于原点对称且，所以是奇函数.18、（1），（2）【解析】（1）根据是奇函数，是偶函数，结合，以取代入上式得到，联立求解；（2）易得，，设，转化为，，根据时，与有两个交点，转化为函数，在有一个零点求解.【小问1详解】解：因为是奇函数，是偶函数，所以，，∵，①∴令取代入上式得，即，②联立①②可得，，【小问2详解】，，，可得，∴，.设，∴，，∵当时，与有两个交点，要使函数有两个零点，即使得函数，在有一个零点，（时，只有一个零点）即方程在内只有一个实根，∵，令，则使即可，∴或.∴的取值范围.19、（1）；（2）【解析】（1）根据二次函数与对应一元二次不等式的关系，求出a的值，再解不等式即可；（2）根据二次函数的图象与性质，列出不等式组，求出解集即可.【详解】（1）因为不等式的解集为，则方程的两个根为1和2，由根与系数的关系可得，，所以.由，得，即，解得或，所以不等式的解集为；（2）由题知函数，且在区间上有两个不同的零点，则，即，解得，所以实数的取值范围是【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，也考查了不等式(组)的解法与应用问题，综合性较强，属中档题.20、（1）；（2）①，②或【解析】（1）利用指数的运算性质和对数的运算性质求解，（2）先求出集合A的补集，再分别由并集、交集的定义求解、【详解】（1）原式；（2）因为，，所以或因此，或.21、（1）；（2）.【解析】(1)求出集合A和B，根据并集的计算方法计算即可；(2)求出，分B为空集和不为空集讨论即可.【小问1详解】，当时，，∴；【小问2详解】{或x＞4}，当时，，，解得a＜1；当时，