第28章 锐角三角形（能力挑战卷）（解析版）

第28章锐角三角形（能力挑战卷）（考试时间：90分钟试卷满分：100分）选择题：（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．在中，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：∵在中，，，∴，即，∴，∴，∴，故选：A．2．如图，已知中，，D是上一点，，则的值为（

）A． B． C． D．3【答案】C【详解】∵，，∴，∵，∴，∴，∴在中，，∴，故选：C．3．小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（

）A．米 B．12米 C．米 D．6米【答案】A【详解】解：如图，交延长线于点D，作于点E，在中，，米，米，米，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，，米，米，米，米，故选A．4．点关于y轴对称的点的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：∵，∴点，所以关于轴的对称点为，故选：A．5．锐角α满足，且，则α的取值范围为（）A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60° C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°【答案】B【详解】解：∵，且，∴45°﹤α﹤90°∵，且∴0°＜α＜60°∴45°＜α＜60°．故选：B．6．如图，在边长为1的的正方形网格中，为与正方形网格线的交点，下列结论中不正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意得，，，是直角三角形，，故B正确，不符合题意；，故A正确，不符合题意；，，，，，，，故C错误，符合题意；，故D正确，不符合题意；故选：C．7．如图，是某一景区雕像，雕像底部前台米，台末端点有一个斜坡长为米且坡度为，与坡面末端相距米的地方有一路灯，雕像顶端测得路灯顶端的俯角为，且路灯高度为米则，约为（）米．（精确到米，，）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：如图，作于，延长交于，作于，根据题意，，，，，，，∴四边形是矩形，四边形是矩形，和为直角三角形，∴，，，，∵斜坡长为米且坡度为，∴在中，，，∴，解得：或（不合题意，舍去），∴，在中，，∴，∴（米）．故选：B．8．如图，将矩形绕点A旋转至矩形的位置，此时的中点恰好与点重合，交于点．若，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：由旋转的性质可知：，为的中点，，是矩形，，，，∴，，，，根据旋转可知，，，∴，，，，，∴，，故B正确．故选：B．9．如图，工人师傅准备从一块斜边长为的等腰直角材料上裁出一块以直角顶点为圆心的面积最大的扇形，然后用这块扇形材料做成无底的圆锥接缝处忽略，则圆锥的底面半径为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：如图，作于点，∵是斜边长为的等腰直角三角形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴扇形的弧长，设底面半径为，则，解得：，∴圆锥的底面半径为．故选：A10．如图，这是某拦河坝改造前后河床的横断面示意图，，坝高，将原坡度的迎水坡面改为坡角为的斜坡，此时，河坝面宽减少的长度等于（

）（结果精确到，参考数据）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：过点作于点，过作于点，∵，，，∴，∵坡度，∴，解得：，∵，∴（），∴（）．故选：B填空题：（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．在中，，，，则的值是______；【答案】##0.6【详解】解：在中，，故答案为：12．在中，，如果，，那么___________．【答案】##4.5##【详解】如图：∵，，∴．故答案为：．13．在中，若，，则______．【答案】【详解】解：如图，，，∴，∴，故答案为：．14．如图，在直角坐标系中，点A是函数图象l上的动点，以A为圆心，1为半径作．已知点，连接，线段与x轴所成的角为锐角，当与两坐标轴同时相切时，的值为__________．【答案】或【详解】解：当圆A在第二象限时，∵点A是函数图象l上的动点，以A为圆心，1为半径作,∴当时，设与x轴切于点D，，，∴；当圆A在第四象限时，，设与x轴切于点E，，，∴；故答案为：或．15．如图．某同学为测量宣传牌的高度，他站在距离教学楼底部处9米远的地面处，测得宣传牌的底部的仰角为60°，同时测得教学楼窗户处的仰角为30°（、、、在同一直线上）．然后，小明沿坡度的斜坡从走到处，此时正好与地面平行．他在处又测得宣传牌顶部的仰角为45°，则宣传牌的高度___________（结果保留根号）．【答案】米【详解】解：过点F作于G，依题意知，，，∴四边形是矩形，∴，，在中，（米），∴，∵斜坡的坡度为．∴中，（米），∴．∵，，∴，在中，（米），∴（米）．答：宣传牌的高度为米．故答案为：米．16．如图，在中，，，半径为1的在内平移（可以与该三角形的边相切），则点A到上的点的距离的最大值为_____．【答案】【详解】解：当与都相切时，则为点A到上的点的距离的最大值，设与的切点分别为E、F，则，∵，∴，，∴，又，∴，∴，∴，∴，故答案为：．三、解答题（本大题共6题，满分52分）17．（6分）计算：．【答案】【详解】解：18．（6分）活动小组的同学为了测量某棵大树与建筑物间的距离，在大树A处测得建筑物B位于北偏东，他们向南走50到达D点，测得建筑物B位于北偏东．求大树与建筑物之间的距离AB的长（参B考数据：，结果精确到1）．【答案】【详解】如图，过点B作，垂足为C，∵，∴，设，则，∵，∴，∴，∴，解得，∴．答：大树与建筑物之间的距离AB的长约为137m．19．（8分）如图，是的中线，是锐角，，，．(1)求的长．(2)求的值．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：过点作于点，在中，，，，，，，在中，，，为等腰直角三角形，，；（2）解：为边上的中线，，，．20．（8分）如图，一楼房后有一假山，的坡度为，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山山脚与楼房水平距离米，与亭子距离米，小丽从楼房房顶A处测得E的俯角为．(1)求点E到水平地面的距离．(2)求楼房的高（精确到米．参考数据：，，）．【答案】(1)8米(2)米【详解】（1）解：如图，过点E作交延长线于点F，∵的坡度为，∴，∵，米，∴，解得：米，即点E到水平地面的距离8米；（2）解：过点E作于点G，则米，由（1）得：米，∴米，在中，，∴米，∴米，即楼房的高米．21．（10分）我校中学数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为，无人机沿水平线A方向继续飞行60米至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为，线段的长为无人机距地面的铅直高度，点M、C、D在同一条直线上．其中，米．(1)求无人机的飞行高度；（结果保留根号）(2)求河流的宽度．（结果精确到1米，参考数据：，）【答案】(1)米(2)河流的宽度约为642米【详解】（1）由题意可知，∴，即，解得：米．（2）解：如图，过点B作于点N．由题意可知米，米，，∴，即，解得：米．∴米，∴米，∴河流的宽度约为642米．22．（14分）如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高为5cm，长度均为20cm的连杆，与始终在同一平面上．(1)转动连杆，使成平角，，如图2，求连杆端点D高桌面l的高度．(2)将（1）中的连杆再绕点C