湖南省湘西州三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-解答题

湖南省湘西州三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-解答题

一.实数的运算（共3小题）

1.（2022•湘西州）计算:V16-2tan45°+|-3|+（ir-2022）0,

2.（2021•湘西州）计算：（-2）0-V8-I-5|+4sin45°.

3.（2020•湘西州）计算：2cos45°+（K-2020）°+|2-V2I.

二.分式的混合运算（共1小题）

4.（2020•湘西州）化简：（招2--4-1）

a2-l

三.一元二次方程的应用（共1小题）

5.（2020•湘西州）某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然

暴发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩

大产能，3月份平均日产量达到24200个.

（1）求口罩日产量的月平均增长率；

（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？

四.一元一次不等式的应用（共1小题）

6.（2022•湘西州）为了传承雷锋精神，某中学向全校师生发起“献爱心”募捐活动，准备

向西部山区学校捐赠篮球、足球两种体育用品.已知篮球的单价为每个100元，足球的

单价为每个80元.

（1）原计划募捐5600元，全部用于购买篮球和足球，如果恰好能够购买篮球和足球共

60个，那么篮球和足球各买多少个？

（2）在捐款活动中，由于师生的捐款积极性高涨，实际收到捐款共6890元，若购买篮

球和足球共80个，且支出不超过6890元，那么篮球最多能买多少个？

五.解一元一次不等式组（共2小题）

7.（2022•湘西州）解不等式组：［3x46+x①

Ix-l43（x+1）②

请结合题意填空，完成本题的解答.

（I）解不等式①，得.

（II）解不等式②，得.

（III）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

-4-3-2-10234

(IV)所以原不等式组的解集为.

’3(x-1)>x①

8.(2021•湘西州)解不等式组：|、x-3-，并在数轴上表示它的解集.

l-2x>号②

IIIII1111II.

-5-4-3-2-1012345

六.一次函数的应用(共1小题)

9.(2021•湘西州)2020年以来，新冠肺炎的蔓延促使世界各国在线教育用户规模不断增

大.网络教师小李抓住时机，开始组建团队，制作面向A、B两个不同需求学生群体的微

课视频.已知制作3个A类微课和5个B类微课需要4600元成本，制作5个A类微课

和10个B类微课需要8500元成本.李老师又把做好的微课出售给某视频播放网站，每

个A类微课售价1500元，每个8类微课售价1000元.该团队每天可以制作1个4类微

课或者1.5个B类微课，且团队每月制作的B类微课数不少于A类微课数的2倍(注：

每月制作的A、8两类微课的个数均为整数).假设团队每月有22天制作微课，其中制作

A类微课。天，制作A、B两类微课的月利润为卬元.

(1)求团队制作一个A类微课和一个B类微课的成本分别是多少元？

(2)求卬与。之间的函数关系式，并写出a的取值范围；

(3)每月制作A类微课多少个时，该团队月利润卬最大，最大利润是多少元？

七.反比例函数与一次函数的交点问题(共1小题)

10.(2022•湘西州)如图，一次函数y=ar+l(a#0)的图象与x轴交于点A,与反比例函

数y=K的图象在第一象限交于点8(1,3),过点B作8CJ_x轴于点C

x

(1)求一次函数和反比例函数的解析式.

(2)求△ABC的面积.

八.二次函数综合题(共3小题)

11.(2022•湘西州)定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围

成的封闭曲线称为“月牙线”,如图①，抛物线Ci：y=/+2x-3与抛物线C2：y=aj?+2ax+c

组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线。和抛物线C2与x轴有着相同的交点A(-3,

0)、B(点2在点A右侧)，与y轴的交点分别为G、H(0,-1).

(1)求抛物线C2的解析式和点G的坐标.

(2)点M是x轴下方抛物线Ci上的点，过点“作施7，》轴于点N,交抛物线C2于点

D,求线段MN与线段。M的长度的比值.

(3)如图②，点E是点”关于抛物线对称轴的对称点，连接EG,在x轴上是否存在点

F,使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请

说明理由.

12.(2021•湘西州)如图，已知抛物线y=o?+bx+4经过A(-1,0),B(4,0)两点，交

y轴于点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)连接8C,求直线8c的解析式；

(3)请在抛物线的对称轴上找一点P,使AP+PC的值最小，求点尸的坐标，并求出此

时AP+PC的最小值；

(4)点/为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N,使得以4、C、M、N四点为

顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

备用图

13.（2020•湘西州）已知直线），=丘-2与抛物线y=7-Zzx+c（〃，c为常数，*>0）的一个

交点为A（-1,0）,点MCm,0）是x轴正半轴上的动点.

（1）当直线y=Ax-2与抛物线y=/-bx+c（b,c为常数，b>Q）的另一个交点为该抛

物线的顶点E时，求鼠尻c•的值及抛物线顶点E的坐标；

（2）在（1）的条件下，设该抛物线与y轴的交点为C,若点。在抛物线上，且点。的

横坐标为b,当S^EQM=^S^ACE时，求m的值；

（3）点。在抛物线上，且点。的横坐标为〃+工，当&AM+2QM的最小值为空反时，

24

求6的值.

九.矩形的性质（共1小题）

14.（2022•湘西州）如图，在矩形4BCZ）中，E为4B的中点，连接CE并延长，交D4的

延长线于点F.

（1）求证：△AEMABEC.

一十.正方形的性质（共1小题）

15.（2020•湘西州）如图，在正方形ABCC的外侧，作等边三角形ADE,连接BE,CE.

（1）求证：AB/IE^ACDE；

（2）求NAEB的度数.

一十一.四边形综合题（共1小题）

16.（2020•湘西州）问题背景：如图1,在四边形4BCD中，/B4£>=90°,ZBCD=90°,

BA=BC,NA8C=l20°,NMBN=60°,NMBN绕B点旋转,它的两边分别交A。、

DC于E、F.探究图中线段4E,CF,E尸之间的数量关系.

小李同学探究此问题的方法是：延长尸C到G,使CG=AE,连接BG,先证明aBCG丝

△BAE,再证明△BFG丝△BFE,可得出结论，他的结论就是；

探究延伸1：如图2,在四边形A8C3中，ZBAD=90°,NBCO=90°,BA=BC,Z

ABC=2/MBN,NMBN绕B点、旋转.它的两边分别交A。、DC于E、F,上述结论是否

仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由；

探究延伸2：如图3,在四边形A3CD中，BA=BC,ZBAD+ZBCD=180°,NABC=2

NMBN,NMBN绕B点、旋转.它的两边分别交A。、OC于E、F.上述结论是否仍然成

立？并说明理由；

实际应用：如图4,在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处.舰

艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令

后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以

100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、尸处.且

指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°.试求此时两舰艇之间的距离.

一十二.切线的性质（共1小题）

17.(2021•湘西州)如图，AB为。。的直径，C为OO上一点，AO和过点C的切线互相

垂直，垂足为D

(1)求证：AC平分NZMB；

(2)若AO=8,tanNCAB=3,求：边AC及AB的长.

一十三.切线的判定与性质(共1小题)

18.(2020•湘西州)如图，AB是。。的直径，AC是。。的切线，BC交。。于点E.

(1)若。为AC的中点，证明：OE是00的切线；

(2)若C4=6,CE=3.6,求。0的半径。4的长.

一十四.旋转的性质(共1小题)

19.(2021•湘西州)如图，在△ABC中，点。在A8边上，CB=CD,将边CA绕点C旋转

到CE的位置，使得/ECA=/Z)C8,连接OE与AC交于点/，且/B=70°,/A=10°.

(1)求证：AB=ED；

(2)求NAFE的度数.

一十五.解直角三角形(共1小题)

20.（2022•湘西州）如图，在Rt/XABC中，NB=90°,AE平分NBAC交BC于点E,O

为AC上一点，经过点A、E的。。分别交A8、AC于点£）、F,连接。。交AE于点

（1）求证：8c是。。的切线.

(2)若Cr=2,sinC=A,求AE的长.

5

一十六.解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）

21.（2021•湘西州）有诗云：东山雨霁画屏开，风卷松声入耳来.一座楼阁镇四方，团结一

心建家乡.1987年为庆祝湘西自治州成立三十周年，湘西州政府在花果山公园内修建了

一座三层楼高的“一心阁”民族团结楼阁.芙蓉学校数学实践活动小组为测量“一心阁”

C”的高度，在楼前的平地上A处，观测到楼顶C处的仰角为30°,在平地上B处观测

到楼顶C处的仰角为45°,并测得A、8两处相距20〃?，求“一心阁”C”的高度.（结

果保留小数点后一位，参考数据：72^1.41,73^1.73）

一十七.频数（率）分布直方图（共1小题）

22.（2020•湘西州）为加强安全教育，某校开展了“防溺水”安全知识竞赛，想了解七年级

学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，现从七年级学生中随机抽取50名学生进行竞赛,

并将他们的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析.部分信息如下：

a.七年级参赛学生成绩频数分布直方图（数据分成五组：50Wx<60,60<x<70,70W

x<80,80Wx<90,90WxW100）如图所示

b.七年级参赛学生成绩在70Wx<80这一组的具体得分是：7071737576

767677777879

.七年级参赛学生成绩的平均数、中位数、众数如下:

年级平均数中位数众数

七76.9m80

”.七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分为79分.

根据以上信息，回答下列问题：

（1）在这次测试中，七年级在75分以上（含75分）的有人；

（2）表中m的值为;

（3）在这次测试中，七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分排名年级第名；

（4）该校七年级学生有500人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数

76.9分的人数.

一十八.扇形统计图（共1小题）

23.（2022•湘西州）4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活

力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气”.某校响应号召，开展了“读红色经典，传

革命精神”为主题的读书活动，学校对本校学生五月份阅读该主题相关书籍的读书量进

行了随机抽样调查，并对所有随机抽取的学生的读书量（单位：本）进行了统计.根据

调查结果，绘制了不完整的统计表和扇形统计图.

（1）本次调查共抽取学生多少人？

（2）表中〃的值为,扇形统计图中“3本”部分所对应的圆心角p的度数

为.

（3）已知该校有3000名学生，请估计该校学生中，五月份读书量不少于“3本”的学生

人数.

读书量1本2本3本4本5本

人数10人25人30人15人

一十九.条形统计图（共1小题）

24.（2021•湘西州）为庆祝中国共产党成立100周年，光明中学筹划举行朗诵、合唱等一系

列校园主题庆祝活动（活动代号如下表），要求每位学生自主选择参加其中一个活动项

目.为此，学校从全体学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查.根据统计的数据，绘

制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）.

（1）该校此次调查共抽取了名学生；

（2）请补全条形统计图（画图后标注相应的数据）；

（3）若该校共有2000名学生，请根据此次调查结果，估计该校有多少名学生参加舞蹈

活动.

活动名称朗诵合唱舞蹈绘画征文

活动代号ABCDE

活动代号

湖南省湘西州三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-解答题

参考答案与试题解析

实数的运算（共3小题）

1.（2022•湘西州）计算：A/16-2tan45°+|-3|+（it-2022）°.

【解答］解:原式=4-2X1+3+1

=4-2+3+1

=6.

2.（2021•湘西州）计算：（-2）0-V8-I-5|+4sin45°.

【解答】解：原式=1-2&-5+4X亚=1-272-5+272=-4.

2

3.（2020•湘西州）计算：2cos45°+（n-2020）°+|2-721.

【解答】解：原式=2*近+1+2_亚

=V2+l+2-V2

=3.

二.分式的混合运算（共1小题）

4.（2020•湘西州）化简：

2

a-1a-l

22

【解答】解：原式=（招--三二1）一叁__

a-la-1（a+1）（a-1）

=1•（a+1）（a-1）

a-l2a

=a+1

~2T'

三.一元二次方程的应用（共1小题）

5.（2020•湘西州）某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然

暴发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩

大产能，3月份平均日产量达到24200个.

（1）求口罩日产量的月平均增长率；

（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？

【解答】解：（1）设口罩日产量的月平均增长率为x,根据题意，得

20000（1+x）2=24200

解得xi=-2.1（舍去），%2=0.1=10%,

答：口罩日产量的月平均增长率为10%.

（2）24200（1+0.1）=26620（个）.

答：预计4月份平均日产量为26620个.

四.一元一次不等式的应用（共1小题）

6.（2022•湘西州）为了传承雷锋精神，某中学向全校师生发起“献爱心”募捐活动，准备

向西部山区学校捐赠篮球、足球两种体育用品.已知篮球的单价为每个100元，足球的

单价为每个80元.

（1）原计划募捐5600元，全部用于购买篮球和足球，如果恰好能够购买篮球和足球共

60个，那么篮球和足球各买多少个？

（2）在捐款活动中，由于师生的捐款积极性高涨，实际收到捐款共6890元，若购买篮

球和足球共80个，且支出不超过6890元，那么篮球最多能买多少个？

【解答】解：（1）设原计划篮球买x个，则足球买y个，

根据题意得：（、切也，

I100x+80y=5600

解得：卜=40.

ly=20

答：原计划篮球买40个，则足球买20个.

（2）设篮球能买a个，则足球（80-a）个，

根据题意得：1004+80（80-a）W6890,

解得：aW24.5,

答：篮球最多能买24个.

五.解一元一次不等式组（共2小题）

7.（2022•湘西州）解不等式组：［3x<6+x①

Ix-l43（x+1）②

请结合题意填空，完成本题的解答.

（I）解不等式①，得后3.

（II）解不等式②，得在-2.

（III）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

-4-3-2-101234

（IV）所以原不等式组的解集为-2WxW3.

【解答】解：科<f+x①

\x-l43(x+1)②

(I)解不等式①，得后3,

(II)解不等式②，得x2-2,

(III)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来:

(IV)所以原不等式组的解集为-2<xW3,

故答案为：(I)启3；

(II)-2；

(III)数轴表示见解答；

(IV)-2Wx<3.

।______।।_____।_______।______।।A

-4-3-2-101234

’3(x-1)〉x①

8.(2021•湘西州)解不等式组：|、x-3-，并在数轴上表示它的解集.

l-2x>^•②

III111IIIII.

-5-4-3-2-1012345

【解答】解：解不等式①，得

2

解不等式②，得xWl,

在数轴上表示不等式的解集为：

--------------111LI-I「1L-L---------->

-5-4-3-2-10132345

2,

所以不等式组无解.

六.一次函数的应用(共1小题)

9.(2021•湘西州)2020年以来，新冠肺炎的蔓延促使世界各国在线教育用户规模不断增

大.网络教师小李抓住时机，开始组建团队，制作面向A、B两个不同需求学生群体的微

课视频.已知制作3个A类微课和5个B类微课需要4600元成本，制作5个A类微课

和10个B类微课需要8500元成本.李老师又把做好的微课出售给某视频播放网站，每

个A类微课售价1500元，每个B类微课售价1000元.该团队每天可以制作1个A类微

课或者1.5个B类微课，且团队每月制作的8类微课数不少于A类微课数的2倍(注：

每月制作的A、8两类微课的个数均为整数).假设团队每月有22天制作微课，其中制作

A类微课。天，制作A、B两类微课的月利润为卬元.

(1)求团队制作一个A类微课和一个B类微课的成本分别是多少元？

(2)求w与。之间的函数关系式，并写出”的取值范围；

(3)每月制作A类微课多少个时，该团队月利润卬最大，最大利润是多少元？

【解答】解：(1)设团队制作一个A类微课的成本为x元，制作一个B类微课的成本为

y元，根据题意得：

r3x+5y=4600

|5x+10y=8500，

解得卜=700,

]y=500

答:团队制作一个A类微课的成本为700元，制作一个B类微课的成本为500元；

(2)由题意,得卬=(1500-700)a+(1000-500)X1.5(22-a)=50a+16500；

1.5(22-a)22a,

解得aW也,

7

又；每月制作的4、8两类微课的个数均为整数，

二。的值为0,2,4,6,8.

(3)由(2)得w=50a+16500,

V50>0,

；.卬随a的增大而增大，

.•.当a=8时，w有最大值，w最大=50X8+16500=16900(元).

答：每月制作4类微课8个时，该团队月利润w最大，最大利润是16900元.

七.反比例函数与一次函数的交点问题(共1小题)

10.(2022•湘西州)如图，一次函数y=ar+l(aWO)的图象与x轴交于点A,与反比例函

数y=K的图象在第一象限交于点B(1,3),过点B作BC_Lx轴于点C.

x

(1)求一次函数和反比例函数的解析式.

(2)求△A8C的面积.

【解答】解：(1)•一次函数y=ox+l(aWO)的图象经过点B(1,3),

.•.4+1=3,

**•n=2.

一次函数的解析式为y=2x+],

•反比例函数)，=K的图象经过点8(1,3),

X

・》=1X3=3,

...反比例函数的解析式为y=l.

X

(2)令y=0,则2x+l=O,

.".x=-A.

2

AA(-A,0).

2

：.OA=k.

2

：8C_Lx轴于点C,B(1,3),

：.OC=1,BC=3.

AC=-^-+1——.

22

，△A8C的面积=[XAC・BC=9.

24

A.二次函数综合题(共3小题)

11.(2022•湘西州)定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围

1

成的封闭曲线称为“月牙线”,如图①，抛物线C\：y=x+2x-3与抛物线C2：y=a^+2ax+c

组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线Ci和抛物线C2与x轴有着相同的交点A(-3,

0)、B(点B在点A右侧)，与y轴的交点分别为G、H(0,-1).

(1)求抛物线C2的解析式和点G的坐标.

(2)点M是x轴下方抛物线Ci上的点，过点M作轴于点N,交抛物线C2于点

D,求线段MN与线段。M的长度的比值.

(3)如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG,在x轴上是否存在点

F,使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点尸的坐标；若不存在，请

说明理由.

.\9a-6a+c=0

Ic=-l

解得《三，

c=-l

.•.y=_kx2+&-1,

33

在丁=7+21-3中，令x=0,则y=-3,

：.G(0,-3)；

(2)设M(Z,尸+2-3),贝IjD(t,A/2+.2/-1),N(60),

33

：.NM=-z2-2f+3,DM=^+^t-1-(?+2z-3)=--A/+2,

3333

...则=《2+253)一包

DI-4(t2+2t-3)2

(3)存在点凡使得是以EG为腰的等腰三角形，理由如下：

由(1)可得y^+2x-3的对称轴为直线x=-1,

点与H点关于对称轴x=-1对称，

：.E(-2,-1),

设尸(x,0),

①当EG=E尸时,

,:G(0,-3),

AEG=272，

2近=V(X+2)2+1'

解得x=W-2或x=-V7-2,

：.F(V7-2,0)或(-V7-2,0)；

②当EG=FG时，2&=Jg+x2,

此时x无解；

综上所述：F点坐标为(曲-2,0)或(-五-2,0).

12.(2021•湘西州)如图，已知抛物线＞=012+云+4经过A(-1,0),B(4,0)两点，交

y轴于点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)连接BC,求直线8c的解析式；

(3)请在抛物线的对称轴上找一点尸，使AP+PC的值最小，求点P的坐标，并求出此

时AP+PC的最小值；

(4)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N,使得以A、C、M.N四点为

备用图

【解答】解：(1)把A(-1,0),B(4,0)代入＞=/+^+4,得到fa-b+4=0,

I16a+4b+4=0

解得卜=T,

lb=3

.•・y=-/+3x+4；

(2)在y=-/+3x+4中，令x=0,贝Uy=4,

：.C(0,4),

设BC的解析式为y=kx+b,

*：B(4,0),C(0,4),

.(b=4

14k+b=0，

・fk=-l

,lb=4T

・,・直线BC的解析式为y=-x+4.

3对称,

2

连接8c交直线x=3于点P,连接以，此时以+PC的值最小，最小值为线段BC的长

2

=V42+42=4V2,

此时p(2,5).

22

(4)如图2中，存在.

观察图象可知，满足条件的点N的纵坐标为4或-4,

对于抛物线y=-/+3x+4,当y=4时，x2-3x=0,解得x=0或3,

:.N\（3,4）.

当y=-4时，x2-3%-8=0,解得工=2±341,

2

:.N[-4）,Na（3-741,-4）,

22__

综上所述，满足条件的点N的坐标为（3,4）或（亚叵，-4）或（昱恒，-4）.

22

13.（2020•湘西州）已知直线2与抛物线了=/-fer+c（〃，c为常数，b>0）的一个

交点为A（-1,0）,点M（根，0）是x轴正半轴上的动点.

（1）当直线y=Ax-2与抛物线y=7-bx+c（/?,c为常数，b>0）的另一个交点为该抛

物线的顶点E时，求攵，4c的值及抛物线顶点E的坐标；

（2）在（1）的条件下，设该抛物线与y轴的交点为C若点。在抛物线上，且点。的

横坐标为b,当SAEQM=^S^ACE时，求机的值；

（3）点。在抛物线上，且点D的横坐标为b+1,当J5AM+2O例的最小值为生反时，

24

求b的值.

【解答】解：（1）二•直线-2与抛物线y=f-Z?x+c（b,c为常数,b>0）的一个

交点为A（-1,0）,

-k-2=0,l+b+c=0,

:・k=_2,c=-b-\f

：.直线y=kx-2的解析式为y=-2x-2,

2

•••抛物线y=/-bx+c的顶点坐标为E（上，4c-b）,

24

：.E（2-4b-4-b2）,

24

•.•直线y=-2x-2与抛物线y=/-6x+c（6,c为常数，Z>>0）的另一个交点为该抛物

线的顶点E,

2

A-4b-4-b^,2XA-2,

42

解得，b=2,或8=-2（舍），

当b=2时,c=-3,

：.E(1,-4),

故左=-2,b=2,c=-3,E(1,-4)；

(2)由(1)知，直线的解析式为y=-2x-2,抛物线的解析式为y=7-2x-3,

：.C(0,-3),Q(2,-3),

如图1,设直线y=-2x-2与y轴交点为M则N(0,-2),

图1

:.CN=\,

SAACE=SAACN+SAECN4X1X1+2X1X1=1'

.1

,,SAEQMV

设直线EQ与x轴的交点为。，显然点M不能与点。重合,

设直线EQ的解析式为y=dx+n（dWO）,

则(2d*3,

Id+n=-4

解得，(d=l,

ln=-5

直线EQ的解析式为y=x-5,

：.D(5,0),

：.S^EQM=SAEDM-SADM=1X|-4|-yDMX|-3|=yDM-y|5-m|*

0乙DM乙乙乙乙

解得，777=4,或加=6；

(3)•.•点。(加工，”))在抛物线y=7-fev-1上，

2

A21

yD=(b-^)-b(b-*y)-b-l=--|-

可知点。(加工，工工)在第四象限，且在直线x=b的右侧，

224

vV2AM+2DM=2(^AM+DM)-

二可取点N(0,1),则NO4V=45°,

2

则此时点"满足题意，

过。作。轴于点H,则点“(。+2，0),

2

在中，可知NOM/7=NM£)H=45°,

：.DH=MH,DM=®MH,

•点M(m,0),

AO-（上•口=（b+」）-m,

242

解得，=--A,

24

VV2AM+2DM=-^T^-）

4

,•V2[e―）-（-1）]+242[（b-ty）-]=?，?'

解得，6=3,

此时，相=31=»>0,符合题意，

244

：.b=3.

九.矩形的性质（共1小题）

14.（2022•湘西州）如图，在矩形ABC。中，E为4B的中点，连接CE并延长，交D4的

延长线于点F.

（1）求证：AAEF会ABEC.

（2）若CZ）=4,ZF=30°,求CF的长.

【解答】（1）证明：四边形ABC。是矩形,

：.AD//BC,

：.NF=NBCE,

YE是A8中点，

；.AE=EB,

NAEF=ABEC,

：./\AEF^/\BEC(.AAS)；

(2)解：..•四边形43C£>是矩形,

AZD=90°,

VCD=4,ZF=30°,

.•.CF=2C£>=2X4=8,

即CF的长为8.

一十.正方形的性质（共1小题）

15.(2020•湘西州)如图，在正方形ABCO的外侧，作等边三角形ADE,连接BE,CE.

(1)求证：ABAE冬ACDE；

(2)求NAEB的度数.

【解答】(1)证明：•••△AOE为等边三角形，

：.AD=AE=DE,ZEAD=ZEDA=60°,

•••四边形A8C。为正方形，

：.AB=AD=CD,NBA£)=NCD4=90°,

.../E4B=/E£)C=150°,

在△BAE和△«>£：中

rAB=DC

■ZEAB=ZEDC>

AE=DE

/.ABAEVACDE(SAS)；

(2)'：AB=AD,AD=AE,

：.AB=AE,

：.NABE=NAEB,

,.•/E4B=150°,

，NAEB=-1(180°-150°)=15°.

2

一十一.四边形综合题(共1小题)

16.(2020•湘西州)问题背景：如图1,在四边形ABC。中，ZBAD=90°,ZBCD=90°,

BA=BC,ZABC=120°,NMBN=60°,NMBN绕B点、旋转,它的两边分别交A。、

£>C于E、F.探究图中线段AE,CF,EF之间的数量关系.

小李同学探究此问题的方法是：延长尸C到G,使CG=AE,连接8G,先证明ABCG四

△BAE,再证明△BFG四△BFE,可得出结论，他的结论就是EF=AE+CF;

探究延伸1：如图2,在四边形ABCO中，NBA£>=90°,ZfiCD=90°,BA=BC,Z

ABC=2NMBN,/MBN绕B点、旋转.它的两边分别交A。、0c于E、F,上述结论是否

仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由;

探究延伸2：如图3,在四边形48co中，BA=BC,ZBAD+ZBCD=\SO°,NABC=2

ZMBN,/MBN绕B点、旋转.它的两边分别交A。、OC于E、F.上述结论是否仍然成

立？并说明理由；

实际应用：如图4,在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（0处）北偏西30°的A处.舰

艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令

后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以

100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、尸处.且

指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°.试求此时两舰艇之间的距离.

【解答】解：问题背景：

如图1,延长尸C到G,使CG=AE,连接8G,先证明△BCGgABAE,再证明48尸G

生△BFE,可得出结论：EF=AE+CF；

故答案为：EF=AE+CF；

探究延伸1：

上述结论仍然成立，即EF=AE+CF,理由如下:

如图2,延长FC到G,使CG=AE,连接3G,

VCG=AE,N8CG=/A=90°,BC=BA,

」.△BCG丝△BAE(SAS),

：.BG=BE,/ABE=NCBG,

NABC=2NEBF,

：.NABE+NCBF=NEBF,

艮|JZCBG+ZCBF=NEBF,

：・NGBF=NEBF,

又.；BF=BF,

：./\BFG^/\BFE(SAS),

:.GF=EF,

BPGC+CF=EF,

：.AE+CF=EF

J可得出结论：EF=AE+CF；

上述结论仍然成立，即Er=AE'+CE理由：

如图3,延长OC到“，使得C〃=AE,连接8”,

VZBAD+ZBCD=180°,ZBCH+ZBCD=180°,

・・・/BCH=NBAE,

♦；BA=BC,CH=AE,

：./\BCH^/\BAE(SAS),

:,BE=HB,ZABE=ZHBC,

：.NHBE=/ABC,

又•:NABC=2NMBN,

:.NEBF=NHBF,

,：BF=BF,

.♦.△HBF注AEBF(SAS'),

：.EF=HF=HC+CF=AE+CF；

实际应用：

如图4,连接EF,延长BF交AE的延长线于G,

图4

因为舰艇甲在指挥中心（。处）北偏西30°的A处.舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B

处，所以/AOB=140°,

因为指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70。，所以NEOF=70°,所以408=2

AEOF.

依题意得，0A=08,ZA=60°,Zfi=120°,所以NA+NB=180°,

因此本题的实际的应用可转化为如下的数学问题：

在四边形G4O8中，OA=O8,ZA+ZB=180°,NAOB=2NEOF,/EOF的两边分别

交AG,BG于E,F,求E尸的长.

根据探究延伸2的结论可得：EF=AE+BF,

根据题意得，AE=75X1.2=90（海里），BF=100义1.2=120（海里），

所以EF=90+120=210（海里）.

答：此时两舰艇之间的距离为210海里.

一十二.切线的性质（共1小题）

17.（2021•湘西州）如图，AB为。。的直径，C为。。上一点，A。和过点C的切线互相

垂直，垂足为£>.

（1）求证：AC平分ND4B；

(2)若AQ=8,tan/C48=3,求：边AC及AB的长.

4

【解答】(1)证明：连接0C,如图，

,.•C£)为。。的切线，

二OCLCD,

'."ADLCD,

：.OC//AD,

二ZDAC^ZOCA,

"：OA=OC,

：.AOAC=AOCA,

：.ZDAC^ZOAC,

，AC平分/D4B；

(2)解：连接BC,如图，

'：ZDAC=ZOAC,

tanZDAC=tanZCAB=—,

4

在Rt^ZMC中，"：tanZDAC=^-=^-,

AD4

.*.CD=AX8=6,

4

*',AC=VCD2+AD2=:,\/62+82=10,

'：AB为直径，

AZACB=90°,

...tanNCAB=坨=旦，

AC4

：.BC=^-X10=至，

42

一十三.切线的判定与性质（共1小题）

18.（2020•湘西州）如图，AB是。。的直径，AC是。。的切线，BC交。。于点E.

（1）若。为AC的中点，证明：OE是00的切线；

（2）若C4=6,CE=3.6,求。。的半径。4的长.

【解答】（1）证明：连接AE,OE,

「AB是。。的直径，且E在。。上,

/.ZAEB=90°,

/.ZAEC=90a,

♦.•。为AC的中点,

：.AD=DE,

：.ZDAE=ZAED,

：AC是。。的切线，

/.ZCAE+ZEAO=^ZCAB=90°,

•：OA=OE,

：.ZOAE^ZOEA,

：.ZDEA+ZOEA=90°，

即N£>EO=90°,

是。。的切线；

(2)解：：/AEC=NC4B=90°,NC=NC,

，△4ECS/\8AC,

•••A-C二EC,

BCAC

\'CA=6,CE=3.6,

•■•63.6,

BC6

.•.2C=10,

,.,/CAB=90°,

.,.AB2+AC2=BC2,

-'­AB-,\/102-62—8,

：.OA=4,

即00的半径OA的长是4.

一十四.旋转的性质(共1小题)

19.(2021•湘西州)如图，在aABC中，点。在A8边上，CB=CD,将边C4绕点C旋转

到CE的位置，使得NEC4=NOC8,连接£>£与AC交于点F,且NB=70°,NA=10°.

(1)求证：AB=ED-,

(2)求/AFE的度数.

ZECA+ZACD^ZDCB+ZACD,

即NECO=NBC4,

由旋转可得CA=CE,

在ABCA和△QCE中，

'CB=CD

■ZBCA=ZDCE-

AC=EC

:.△BC2XDCE(SAS).

：.AB=ED.

(2)由(1)中结论可得NCDE=NB=70°,

又CB=CD,

:.NB=NCDB=10°,

AZ£DA=180°-ZBDE=180°-70°X2=40°,

AZAFE=ZEDA+ZA=400+10°=50°.

一十五.解直角三角形(共1小题)

20.(2022•湘西州)如图，在RtZXABC中，ZB=90",AE平分NBAC交BC于点E,O

为AC上一点，经过点A、E的。。分别交48、AC于点。、F,连接OO交AE于点

(1)求证：BC是的切线.

(2)若Cr=2,sinC=3,求AE的长.

5

方法一：平分NBAC交BC于点E,

ZBAC=2