辽宁名校联盟2021高三联考数学模拟试题含答案解析

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辽宁名校联盟2021高三联考数学模拟试题含答案解析

辽宁省名校联盟2021届高三3月份联合考试

数学

考生注意：

1.本这*宇选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分仲.

2.才士作平时,请将琴索茶在各题卡上.选择题每小题选出冬蜜后,用2B46笔把答题卡上对

应146）的整案标号涂黑，非选择题请用直径0.5皂米黑色&水签字笔在冬题卡上各题的答

题区域内作冬.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

3.本卷命题范围：击，点百。................................................

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小鹿给出的四个选项中，只有一项是

符合愿目要求的.

1.已知集合人=（工[1=工42）,B={y|p=2z+a,工6A},若AUB,则实数a的取值范围为

A.[1.2]B.0-2,-1]C.[-2,2]D.L-1.1]

2.已知复数z=者是纯虚数（其中i是虚数单位），则实数a的值为

A.1B.2C.3D,-2

3.为了更好地进行新冠肺炎的疫情防控，某社区安排6名工作人员到A,B,C三个小区讲解疫

情防控的注意事项，若每个小区安排两名工作人员，则不同的安排方式的种数为

A.90B.540C.180D.270

4.为了方便向窄口容器中注入液体，某单位设计一种圆锥形的漏斗，设计要求如下：该圆锥形漏

斗的高为10cm,且当窄口容器的容器口是半径为1cm的圆时，漏斗顶点处伸入容器部分的

高为2cm,则制造该漏斗所需材料面积的大小约为（假设材料没有浪费）

A.15V5xcm2B.20\/5itcm2C.255/5Kcm2D.3OV5xcm2

5.已知a为锐角，且cos（a+£）=g，则tana=

A.2B.3C.-j-D.-j-

6.唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中曾写道:“春江潮水连海平，海上明月共潮生.”潮水的涨落和

月亮的公转运行有直接的关系，这是一种自然现象.根据历史数据，已知沿海某地在某个季节中

每天出现大潮的概率均为"1■，则该地在该季节内连续三天内，至少有两天出现大潮的假率为

208「813

A-27RB-7C-27Dn-18

7.已知正三角形ABC的边长为4,D是BC边上的动点（含端点），则（加+61）•（DA+DC）

的取值范围是

A.[4,8]B.[8,24」C.[2,18]D.[4,20]

8.已知定义在(•.0)U(0.卜e)I的奇函收入，)住(0.十—)上单谭|递增,且y(2)=y.

/(I)I,则发的不等式“r'vj+'inn的解修为

A.(~c・I)U(I.>B.(1.0)U(0vl)

('.(-<».I)U(O.I)D.(1.0)Ua.4-oo)

二、•项选择■:本・共4小・，融小・S分.共20分.在每小■结出的选鹏中，肉各事符合■目

要求.全部选对的用S分,部分选对的得2分，有选1•的得0分.

9.巳知uTo%3.3,4.2<I。畋3+1,则F列结位正确的是

A.a<rB.ah^2C・a6c=a+】D.2bc=6+2

10.住平面自用坐标系vOy中•已知抛物线(入丁=4]，过点P(m,0)(m>0)作与*轴垂直的直

线.与地物线C交于A•〃网点•则F列说法正确的是

A.若IPAI>IPO\.则OVmV2

B.若△ABO为正三角形，则m=12

C.若抛物线C上存在两个不同的点E,F(异于A,B).使得|PE|=|PFI=^Lw)m>4

D.当〔AB也。PI取得最大值时,.1

Ivz/1I

11.对于正弦函数产/Cr)=sinx,当/£[一全日时心关于y的函数称为“反正弦函数”，记

作/7(i)=arcsinjr,如：广|怯)="1•，同样的，对于余弦函数y=g(z)=cosx,当工6[0,*]

时•“关于》的函数称为“反余弦函数”，记作gTQ)=arccosx,如:gT(/)=导则下列说

法正确的是

AJ反正弦函数”与“反余弦函数”的定义域均为

B.“反正弦函数”与“反余弦函数”的单调性相同

C.“反正弦函数”是奇函数，“反余弦函数”是偶函数

D.若Xi，工>0,且与+6=1,则arcsinxj=arccosx2

12.已知等差数列Q,｝的公差4#0,前n项和为S.,且S.=a.•5—1•，则

A.y

B.d|=1

C.数列中可以取出无穷多项构成等比数列

D.设儿=(一D"・4,数列怜力的前〃项和为T"，贝|]|八"=〃

三、填空题：本题共4小•，每小・5分，共20分.

13.已知随机变■X服从正态分布若P(X>»=P(X<0),则“=•

14.在平面直角坐标系工Oy中，双曲线M：y-^=1的一条渐近线被圆C,(x-4),+?=25

截得的弦长为_____•

15.巳知a>0,6>0,且/+〃=】，则彳芸的最小值为•

16.已知正方体入出GA的核K为3,。是通方体表面I：一动点，且PA=2PA一则点

P形成的轨迹的K度为

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步舞,

17.《本小发海分10分）

在①tanA-lnn"=l"=冬।②人=4c,sinA=gc中任选一个，补充到下面的横线中，并

Z4

求解.

在△A8C中，角A.8.C所对的边分别为a»,c.其面积S=4",且•求AABC的

周长.

注：加果选择多个条件分别解卷,按第一个解答计分.

18.（本小胭满分12分）

已知等比数列的各项均为正数,且5=l,a・+2=a・+i+2a..

《1）求数列匕.）的通项公式；

（2）记数列（W+-+京%”+J的前"项和为S.,求证：*《S.<3.

19.（本小题满分12分）

某刚开业的大型百货商场进行促销活动，统计得刚开始的五天内的客流量如下表:

天数第一天第二天第三天第四天第五天

客流破（千人）6.77.47.98.69.4

（1）求出日客流量）（千人）关于开业天数N（Z=1,2,3,4,5）之间的线性回归方程；

（2）根据市场经验，在促销活动期间，客流量增长速度遵循（1）中的线性回归方程.经过几天

的调研发现，每天约有志的人进行了饮食消费，约有件的人进行了购物消费，且在购物

消费的人中，约有慨•的人进行了饮食消费.若该商场计划将促销活动持续进行20天，试

判断能否实现第20天时商场内参与消费的人数超过1.5万人？

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为।

-nxy'）（y一歹）

&=—---------------=--------------------.a=y-bx.

力叶一J]（r,—x）2

20.1本小眶满分12分1

如图,圆。的半径为4.AB,CD是圆。的两条互相垂直的直径,P是。人的中点，EF〃CD.

将此图形沿*EF折起，在翻折过程中.点A对应的点为A»

(1)证明：A,BJ_CD,

⑵当NA,PB•4时，求二面角A.-BC-P的正弦值.

21.(本小题满分12分)

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：£+/=l(a>6>0)的离心率为耳，且过点

(1,g)，其左顶点为A,上顶点为B.直线人承=-2工+“，€10与H，y轴分别交于点M,N,

直线AN,BM分别与椭圆C交于点P,Q.(P异于点A,Q异于点B)

(1)求椭圆C的方程；

(2)若IAPI=|BQ|，求直线I的方程.

22.(本小题满分12分)

,已知函数/,(x)s=lnx—ax2+yi(a>0).

(1)当&=工时，求函数八H)在工=6处的切线方程；

e

(2)若f(外在工=工。(0<工。<石)处取得极值，且人工。)>0,求a的取值范围.

辽宁省名校联盟2021届高三3月份联合考试•数学

参考答案、提示及评分细则

1.B易知人=口.2:8=0+2血+41,因为八=从所以解得“£【一2•一]1.

oA(小陶加,

/•A：=万a+2赤i)(2的4-i)=-2-a----2--+5Q----+---4--)i，由题意可知.J/2+«4-工2=00.即”=L

3.ACJ-CJ=90.

4.C设底面半径为「,则:=磊•即/-5cm.则该圆锥的母线长/==5同cm,

所以侧面积S="r/=25V5xcm2.

5.I)因为a为锐角.所以。+孑£(•所以6由(。十彳-)>0.即sin(a+*^)=q^.

-Fy)-tan--1

所以tan(a+-T-)=2•则lana=〔an(a+子-手)=---

444,x\it3*

l+tan(a十丁J,tan—

4'4

6.AP=(y)+。信)・+=翁.

7.B以3('中点为原点•且令人在_\，轴正半轴•建立坐标系•则B(-2,O),C(2,O).A(O,25/3).

设£)(1・0)(—2段工〈2)・则凉=《一1・2四).防=(一2一1,0),说=(2—1,0)・

?

所以(示+法)・(DA+DC)=(-2-2x.2>/3)・(2-2x,2#)=4x+86[8.24j.

8.C设g(z)=：+simu,则内(力也为奇函数,且g(l)=l・

当.rC(0・1)时•：>1.sin?r.rZ>0.则g(>r)=:+sinKX>l>/(.r)

当工£(1・2)时，:Vl,sin*VO.则g(x)<\<f(x),

114

当/£(2.+。)时«—<•sinxa,^：1.则g(j)V弓•</(上)・

所以人工)〈小力的解集应为(一8,—1)^1(0，1).

9.IK'D因为”>1,所以2c=a+lV2<z,即A不正确：

因为6=logs4=21叫2=谭^=！•所以a〃=2,即B正确：

由上述过程可知・CiE确：

由C可知则2庆=〃+2,即D正确.

10.BCD对于A・易知PA=|yJ=解得0VmV4•即A错误；

对于B・易知伍PA=P6则伍=•解得，”=12•即B正确；

对于(,・易知怨=用•设抛物线上一点Q(?.y)•则Q产=(乎一〃)+炉=4加

整理得总+(11.)―+»»2—4〃?=0.即—+(16—8m)y:+16(〃产—4m)=0,

所以(y，-4//1)[y2—(4/w-16)J=0.

若关于y的方应有四个解•则加-16>0.解得〃>1•即CiE确：

对于D,设/AOP=0,则空皆£=2*in/?+c。但乔\当且仅当ian@=2时.等号成立.

(JA

此时tan^==2.解得m=1.即D正确.

P()m

11.AD对于A.因为正、余弦函数的值域均为【一】・1二所以••反正弦函数”与“反余弦函数”的定义域均为

[-1,口•即A正确：

对于B・因为正弦函数ksiu(i€[—£・合])单调递增•所以y增大时…也增大,即“反正弦函数”单谢

递增，同理可知•“反余弦函数”单调递破•即B错误；

对于C・由B可知•"反余弦函数”单潮递减.不可能是偶函数.即(,错误；

对于D.设arcsin.rt=a.arcco&r：=/?.则sina=xt.cos^?=.W为・n>0•所以a・西（0・£■）.乂+忌=1.则

sin'a+coS所=1•即sin：a=sin：/?•所以4na—si叩•则a=/?•即arcsiari=arccoKr..即I）正确.

12.AC因为S"=a“a.+i—•,所以S.+i=a.+ia.+：一十.两式相减•得%+i=a“+j（a.+二一%）=24+|,

因为4Ko，所以2d=1,4=}■•即A正确：

当〃=】时—।（川+十）一十,易解得«.=1或5=一1"•即B错误；

对于C.由AB可知，{「）可取遍所有正整敷•所以可取出无穷多项成等比数列•即C正确:

对于D・因为乐一1+g=-a吁i+“2*=5♦

所以72.=出+&）+（仇+仇）+・・・+（仇—+配）=勺・即D错误.

+0

2y2

13.-y由题意可知・〃=―—=彳~.

14.6#双曲线M的一条渐近线为丫=41•即-3y=0,

留心（,到此渐近线的距离.则弦长，=2"^F=2A=7=6/

/7+9

15.乌因为小+〃29：“=；・且a+Y/2（T+冷=V2•/II仅当.//，时•等弓友（7.•

444

所以仁衿枭土=冬

a-t-b2J24

16.苧+年分别以AB.AD.A.%为3・=轴.建立空间宜角坐标系•设P（7・i）・

1

则/+/+/=4[>+1/+（2—3〉二.整理得>+>/+仁-4）*=4.

即P在以（0.0.4）为球心.2为半径的球上.

易知P在面AB&A内的轨迹形成半径为2,且圈心角为g"的圆弧.弧长为学.

同理,尸在面AQQ小内的轨迹长度为条

P在面八出G0内的轨迹形成以行为半•径•且附心角为方•的圆弧.孤长为亨•

所以轨迹总长度为学+年.

17.解：选①.

由taaA•tanB=1sirv\sinB=cosAcosB.cos（A+B）=0.

由OVA+BVx•有A+B=£•可知C=母...................................................4分

(A=fa

又由彳•解得a=4,办=24...................................................................................................................8分

I2a6=4痣

c=y16+12=25/7

故△ABC的周长为4+2&+2Q..................................................................................................................10分

选②.

[1]$=十酎4仙=§^=4反有修=32.....................................................................................................2分

又由分=4c,有4/=32.有c=2・〃=8・sinA=§c=^....................................................................................4分

4L

有A=手或学..............................................................................6分

当A=q时.c=小4+6.1-2X2X8X9=27............................................................................................8分

当A=,时,c=j4+64+2X2X8x}=2g.........................................................................................9分

故△ABC的周长为10+2g或10+2，汀.................................................10分

18.解：（1）设等比数列（右}的公比为</（g>0）.因为a.+?=a.r+2al..所以/=，/+2">0）,解得，/=2・...........

................................................................................................................................................................................3分

所以4=2・一1...................................................................................................................................................4分

（_>iiE明：因为L7■,工----------=5^7+（□!1\=5^7+--------T7...................................................

aH（“十]"ogM+i2*（M4-1）n2*u〃十】

]—"L

所以S・=g+（—4+/-++…+1一击）=2一六+L击=3一4一击・……8分

因为对">1，0V^T41..........................................................................................................】。分

•即

--^~[V3J-&S.V3.......................................................................................................12分

.解：（）由表中数据“[知.1+2+*+56.7+7.4+7；+8.6+9.4

19I7==3,,==8.......................1分

=6.7+14.8+23.7+34.4+47=126.6.2月=1+4+9+16+25=55,................................2分

所以〃=----------=126；厂冷？8=066.则1=8一0.66X3=6.02.

X舅一”了，

所以回归蔚为力=0.661+6.021..................................................................................................................

6分

⑵由题意可知•进行消费的人所占总人数的比例为古+等一等><4=[>.............................................

8分

在促销活动第20天时.客流量y-0.66X20+6.02=19.22......................................................................10分

因为.故可以实现口标.............................................

19.22x[>18x[=1512分

Oo

20.解：（1>证明：闪为A氏LCQ,rD〃EF.

所以ZM±EF.

所以PA,±EF....................................................................................................................................................2分

因为EF〃CD.

所以PAt±CD............................................................................4分

因为PIi±CD.PBnPA|=P,P3・P.%U平面儿PB,所以CDJ_平面APB.

因为A,BU平面AiPB.所以AtB±CD；......................................................6分

（2）过O作百当/_1_平面BCD.在/上取点Q（异于点O）•设二而角A-BC-P为。.

以｛OD.OB.OQ1为I”.z轴•建立空间直角坐标系•

则（）以一。,）•且当争时,（伍）..................................

B0,4・0.30NA|PB=40,—3,8分

所以说=（一4・一4・0）,就=（（）•一7・々）・

m•IiC~-4x—4y=0

—>.、「...........................10分

Im•BA〕=-7^4-732=0

令.r=G•则yn-4・w=-7,所以m=（"・一G・一7）,

因为平面BCD的法向ht〃=（0,0,D.

,a,i,„i\m•n77y55^•八n-----------330

则coM=•5j-LT=-7千二l.=■■,.所以sin0=/I—cos-g=­.....................................12分

m\•lw|/3+3+495555

2】.解：（1）由题意可知,?=g・

因为椭网C过点(1.4).所以/+―=1・..................................................................................................2分

又因为d=护解得。=2为=1,

所以椭网C的方程为4+3=h......................................................................................................................

4分

4

(2)由(1)可知・A(—2・0).B(0・D.且M(5.O)•.、(()」)・

则k,\s—•knxt=~~----■•所以k.\\•kwa=11,..................................................................................5分

T

设AN的斜率为A.则AM尸Aa+2）・3M：尸一十工+l..................................................................6分

/=Mi+2)

将直线AN与阿圆「的方程联立彳£1+),：=]・

消去y・整理得(4代+lkr?+16公”+16/一4二0・

因为4=-2.且八・."=整V,所以。=三号孑•则I八尸1=5+2|厅彳1=%^1・..........

8分

将直线与楠圆(•的方程联立N,消去W整理得(公+4)/一8匕=0.

因为，，一什"1.八♦一广”1所以“=谭彳・

允-十4卡一十4

则IBQI=|xQIJ/+]=8・.....................................................................................................10分

由题意可知・=*亨•解得先=土窣・

4次十I火十4/

又因为4=恭所以/=土乌亘•则直线/的方程为k一21士号5...............................................12分

2