云南省昆明市禄劝重点中学2023-2024学年高二上学期期末教学测评数学试卷（含答案）

䘵劝高中2023~2024学年上学期期末教学测评试卷高二数学本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷第1页至第3页，第II卷第3页至第6页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．第I卷（选择题，共60分）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．命题“，”的否定为A．， B．，C．， D．，2．已知直线，，若，则实数A． B． C．0 D．13．抛物线的焦点到准线的距离为A． B． C． D．4．已知空间向量，，若，则的值为A．4 B．2 C．1 D．无法确定5．已知集合，，则中的元素个数为A．1 B．2 C．0 D．1或26．要得到函数的图象，只要将函数的图象A．向右平移个单位 B．向左平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位7．红灯笼，起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围．如图甲，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面除去上下两个相同球冠剩下的部分．如图乙，球冠是由球面被平面截得的一部分，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球面的半径为，球冠的高为，则球冠的面积．如图甲，已知该灯笼的高为，圆柱的高为，圆柱的底面圆直径为，则围成该灯笼中间球面部分所需布料的面积为A． B． C． D．8．已知，（为自然对数的底数），比较，，的大小A． B． C． D．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．关于三角函数的性质，下列说法正确的是A．函数的最小周期为 B．函数的一个对称中心为C．函数的图象关于对称 D．函数在区间上单调10．设，，为两两不重合的平面，，，为两两不重合的直线，则下列命题中正确的是A．若，，，，则B．若，且，则C．若，，，，则D．若，，则11．下列说法正确的是A．若直线过点，且被两直线，截得的线段恰被点平分，则直线的方程为B．命题，若命题是假命题，则C．中，是的充要条件D．“”是“，的夹角为钝角”的充分不必要条件12．如图所示，四棱锥中，为的中点，，分别为线段，上的一动点；为等边三角形，底面为平行四边形，平面平面，，，下列说法正确的是A．存在点，使得平面B．若为的中点，则三棱锥的体积为C．为定值6D．若三棱锥与三棱锥的体积之比为，则线段长度的最小值为2第II卷（非选择题，共90分）注意事项：第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知复数，为虚数单位，则__________．14．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为__________．15．已知关于的不等式在上有解，则的取值范围为__________．16．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则周长的最小值为__________．四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）《青年大学习》是共青团中央组织的以“学习新思想，争做新青年”为主题的党史团课学习行动，2023年已开展到第9期．团县委为了解全县青年每周利用“青年大学习”了解国家动态的情况，从全县随机抽取1000名青年进行调查，统计他们每周利用“青年大学习”进行学习的时长（单位：分钟），根据调查结果绘制的频率分布直方图如图3所示：（I）求被抽取的青年每周利用“青年大学习”进行学习的时长的第75百分位数；（II）县宣传部门拟从被抽取青年中选出部分青年参加座谈会．办法是：采用分层抽样的方法从学习时长在和的青年中共抽取5人，且从参会的5人中又随机抽取2人发言，求学习时长在中至少有1人被抽中发言的概率．18．（本小题满分12分）已知圆经过，两点，且圆心在直线上，直线．（I）求圆的方程；（II）证明：直线与圆相交．19．（本小题满分12分）某学校有高中学生500人，其中男生300人，女生200人．有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：），计算得男生样本的均值为170，方差为17，女生样本的均值为160，方差为30．（I）根据以上信息，能够计算出总样本的均值和方差吗？为什么？（II）如果已知男、女样本量按比例分配，你能计算出总样本的均值和方差各为多少吧？20．（本小题满分12分）如图，已知底面是正方形，平面，，，点、分别为线段、的中点．（I）求证：平面；（II）求平面与平面夹角的余弦值．21．（本小题满分12分）在中，内角，，的对边分别为，，，已知，．（I）证明：；（II）求当面积取得最大值时，的周长．22．（本小题满分12分）已知椭圆，是椭圆的右顶点，是椭圆的上顶点，直线与椭圆交于、两点，且点位于第一象限．（I）若，证明：直线和的斜率之积为定值；（II）若，求四边形的面积的最大值．禄劝高中2023~2024学年上学期期末教学测评试卷高二数学参考答案第I卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号12345678答案DBCACABD【解析】4．因为，所以，使得，即对应坐标成比例，即，则，，所以，故选A．5．方法一：解方程组，联立方程，得，解得：或，当时，，此时，舍去；当时，，此时，舍去，所以为空集，故选C．方法二：如图1，两图象的交点在第一或第三象限，则，所以为空集，故选C．6．，故选A．7．由题意得：，所以，所以，所以两个球冠的面积为，则围成该灯笼中间球面部分所需布料的面积为：，故选B．8．由不等式，得，又函数为增函数，为减函数，则，所以，综上所述：，故选D．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）题号9101112答案ADBCACABD【解析】10．由，，为两两不重合的平面，，，为两两不重合的直线，知：A．若，，，，则与相交或平行，故A错误；B．若，，且，则由面面垂直的判定得，故B正确；C．若，，，，则由线面平行的性质定理得，故C正确；D．若，，则与相交、平行或，故D错误，故选BC．11．对于A，设两交点为，，在直线上，则，，由中点坐标公式得：，代入得，所以直线方程为，故正确；对于B，因为命题是假命题，所以为真命题，当时，不等式为恒成立；当时，需满足，解得，综上所述，的取值范围为，故不正确；对于C，若，由三角形中“大边对大角”可知，，由正弦定理可知，；若，由正弦定理可知，，从而，故“”是“”的充要条件，故正确，对于D，“，的夹角为钝角”的充要条件是“且不平行于”，所以“”是“，的夹角为钝角”的必要不充分条件，故不正确，故选AC．12．选项A，如图2，取的中点为，连接，当点为的中点时，为的中位线，则，即四边形为平行四边形，则平面，选项A正确；选项B，为的中点，则，由选项A可知，平面，平面平面，平面平面，当为的中点时，，点到平面的距离为，所以，选项B正确；选项C，以的中点为坐标原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，，，，，由得：，所以，选项C错误；选项D，，又，所以，即，由余弦定理得：，所以线段长度的最小值为2，选项D正确，综上所述：故选ABD．第II卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号13141516答案9【解析】13．方法一：，．方法二：．14．不妨设双曲线的一条渐近线为，圆的圆心为，半径，则圆心到渐近线的距离为，所以弦长，化简得：，即，解得，所以．15．原不等式等价于在有解，又函数在单增，则，所以．16．方法一：由余弦定理得：，又，则，所以，即，则，又两边之和大于第三边，即，所以的取值范围，所以周长的最小值为．方法二：（均值换元法）设，，，则由正弦定理和等比和定理得：，所以，由得，所以，所以周长的最小值为．四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）解：（I）由频率之和为1，即，解得，频率直方分布图中从左到右的6个小矩形面积面积依次记为，因为，，所以设第75百分位数为，由，解得，即第75百分位数为84．（II）学习时长在和的青年人数分别是200、300人．从中抽5人，则学习时长在的抽取2人，记为，，学习时长在的抽取3人，记为，，，从5人中随机再抽2人的方法为：，，，，，，，，，，共10种，其中学习时长在中至少有1人被抽中发言的有7种，故学习时长在中至少有1人被抽中发言的概率为．18．（本小题满分12分）（I）解：方法一：设所求圆的标准方程为，由已知条件得：，解得：，所以圆的方程为．方法二：设点为圆心，因为点在直线上，则可设，所以，即，解得，所以圆心，半径长，所以圆的方程为．方法三：由已知可得线段的中点坐标为，，所以弦的垂直平分线的斜率为，线段的垂直平分线方程为，则圆心是直线与的交点，由得：，即圆心坐标为，半径长，所以圆的方程为（II）证明：方法一：由直线的方程可知：直线恒过定点，所以点到圆心的距离为，所以点在圆内部，即直线与圆相交．方法二：直线，圆心到的距离，因为，所以，即，所以直线与圆相交．19．（本小题满分12分）解：（I）不能，因为题目没有给出男、女生的样本量．（II）总体样本的均值为，总体样本的方差为．20．（本小题满分12分）（I）证明：方法一：如图3，分别取、的中点、，连接、、，由题意可知点、分别为线段、的中点，所以，，因为，所以，所以点、、、四点共面，因为、分别为、的中点，所以，因为平面，平面，所以平面．又因为，平面，平面，所以平面，又因为，、平面，所以平面平面，因为平面，所以平面．方法二：因为为正方形，且平面，所以、、两两互相垂直，以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建立如图4所示的空间直角坐标系，则、、、、，，所以，易知平面的一个法向量，所以，所以，又因为平面，所以平面．（II）解：设平面的法向量，，，则，取，可得，所以平面的一