专题12 三角恒等变换（重难点突破）解析版

专题12三角恒等变换1同角三角函数的基本关系式：，=，2正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）3和角与差角公式;;.=(由点的象限决定,).3二倍角公式及降幂公式..4三角函数的周期公式函数，(A,ω,为常数，且A≠0)的周期；函数，(A,ω,为常数，且A≠0)的周期.重难点题型突破1和差公式的化简及求值例1．（1）、（2022·辽宁·东港市第二中学高一阶段练习）的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由诱导公式及正弦和角公式求解即可.【详解】，则.故选：B.（2）、（2024·浙江台州·统考一模）若，则的取值可以为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据两角和的余弦公式，结合辅助角公式进行求解即可.【详解】由，得，即，所以，即，当时，.故选：C.【变式训练11】、（2022下·甘肃·高二统考学业考试）的值等于（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】直接利用两角和的正弦公式求解即可.【详解】.故选：A.【变式训练12】、（2023上·宁夏吴忠·高三吴忠中学校考阶段练习）已知为锐角，，则.【答案】【分析】先求出，再利用展开计算即可.【详解】，，又，，，.故答案为：例2．（1）、（2023上·重庆·高三西南大学附中校考期中）已知，，且，，则.【答案】【分析】先通过角所在象限求出，再利用展开计算即可.【详解】,,，，又当时，，，当时，，，，.故答案为：.（2）、（2023上·福建莆田·高三莆田一中校考期中）（多选题）下列化简结果正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】根据题意，由三角函数的和差角公式，代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】，所以A正确；，所以B正确；，所以C错误；，所以D错误．故选：AB．【变式训练21】、（2023·全国·模拟预测）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用同角三角函数的平方关系，结合正弦的差角公式计算即可.【详解】由题意得，，两式相加得，即，解得．故选：C【变式训练22】、（2023上·江苏连云港·高三校考阶段练习）（多选题）下列式子的运算结果为的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】利用两角和与差的正弦，余弦，正切公式化简及特殊角的三角函数求值，即可判断选项.【详解】对于A，，不符合题意；对于B，，符合题意；对于C，，不符合题意；对于D，，符合题意．故选:BD．重难点题型突破2二倍角公式与半角公式的顺用与逆用例3、（1）、（2023·山东·统考一模）已知角，且，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据余弦的二倍角公式即可求解.【详解】因为，所以，因为，所以.故选：.（2）、（2023下·福建泉州·高二校联考期末）若，则．【答案】【分析】根据余弦的二倍角公式即可计算.【详解】.故答案为：.【变式训练31】、（2023上·天津河西·高三天津市新华中学校考阶段练习）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由平方得到，再利用平方关系求解.【详解】解：因为，，所以，由两边平方得，即，所以，.故选：B.【变式训练32】、（2023下·广东深圳·高一深圳市建文外国语学校校考期中）已知，则．【答案】/【分析】根据余弦二倍角公式与平方公式结合求解即可.【详解】因为，所以.故答案为：.重难点题型突破3辅助角公式的应用与三角函数的图像之间的关系例4、（1）、（2023上·湖北·高三校联考阶段练习）将函数的图像向左平移个单位长度后，所得函数是奇函数，则的最小值为.【答案】【分析】先根据辅助角公式化简得，平移单位长度后函数是奇函数得出，计算出最值即可.【详解】,图像向左平移个单位长度后得到是奇函数，，的最小值为.故答案为：.（2）、（2022·河北保定·高三阶段练习）（多选题）已知函数，则（

）A．的最大值为2 B．的最小正周期为C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称【答案】BC【分析】将解析式经过恒等变换后化为，再结合正弦函数的性质对其性质逐一判断即可.【详解】因为，所以，所以，所以的最大值为，故A错误.的最小正周期，故B正确.令，，化简得，，取可得，所以函数的图像关于直线对称，故C正确.令，，化简得，，取可得，当时，，所以的图像关于点对称．故D错误.故选:BC.【变式训练41】、（2023·全国·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，且，则下列结论中正确的是（

）A．为奇函数B．当时，的值域是C．的图象关于点对称D．在上单调递减【答案】B【分析】根据三角函数的平移变换求出的表达式，然后依次判断各个选项即可．【详解】因为，所以，由，得，，则，，又，所以，所以，．对于A：，所以不是奇函数，A错误；对于B：当时，，，B正确；对于C：因为，所以的图像不关于点对称，C错误；对于D：当时，，根据函数的图像与性质可知，在上不单调，D错误．故选：B.【变式训练42】、（2023上·广东汕头·高二金山中学校考阶段练习）（多选题）设函数，则下列结论正确的是（）A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称C．的一个零点为 D．的最大值为【答案】AC【分析】根据二倍角公式以及辅助角公式，可得，进而即可得出函数的性质.【详解】由已知，.对于A项，，故A项正确；对于B项，因为，根据正弦函数的性质可知，直线不是的对称轴，故B项错误；对于C项，因为，所以，是的一个零点，故C项正确；对于D项，因为，所以，的最大值为2，故D项错误.故选：AC.重难点题型突破4应用三角公式化简求值的技巧例5、（1）、（2022·全国·高一课时练习），若，则（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】B【分析】根据题意代换化简分子，利用半角公式化简即可求解.【详解】由题：.故选：B【点睛】此题考查三角恒等变换，对基本公式考查比较全面，涉及半角公式化简，考查综合能力.（2）、（2023下·江苏连云港·高一统考期中）（多选题）下列各式的值为的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根据三角恒等变换逐个选项计算即可.【详解】对A，因为，故，故，故A正确；对B，，故B错误；对C，，故C正确；对D，，故D错误.故选：AC．（3）．（2018上·浙江台州·高一统考期末）求值：．【答案】1【分析】利用三角函数切化弦，辅助角公式与诱导公式求解即可.【详解】．故答案为：．【变式训练51】、（2022·全国·高一课时练习）=_________.【答案】##【分析】将化为，利用两角差的余弦公式结合诱导公式化简，即可求得答案.【详解】,故答案为：【变式训练52】、（2023上·辽宁朝阳·高三校联考阶段练习）已知，则.【答案】/【分析】利用平方关系、正余弦的二倍角公式化简，然后弦化切可得答案.【详解】因为，则，则.故答案为：.【变式训练53】、（2023下·浙江温州·高二统考学业考试）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，发现了“黄金分割”．“黄金分割”是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术门类中审美的要素之一，它表现了恰到好处的和谐，其比值为，这一比值也可以表示为．若，则．【答案】/【分析】利用三角函数的诱导公式，平方关系，辅助角公式与倍角公式化简求值即可.【详解】因为，所以，故.故答案为：.重难点题型突破5应用三角函数的性质求解参数问题例6、（1）、（2022·全国·模拟预测）已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先化简函数的解析式，再依据题意列出关于的不等式组，即可求得的取值范围.【详解】由，可得由在区间上恰好取得一次最大值，可得，解之得又在区间上是增函数，则，解之得综上，的取值范围是故选：B（2）、（2023上·山西运城·高三统考阶段练习）已知函数，现将该函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，且在区间上单调递增，则的取值范围为．【答案】【分析】根据给定条件，化简函数，结合图象平移求出函数，进而求出单调递增区间，再列出不等式求解作答.【详解】函数，因此，，由，解得，即函数在上单调递增，于是，即，解得，由，得，而，即或，当时，，当时，，所以的取值范围为.故答案为：（3）．（2023上·山东·高三山东省实验中学校考阶段练习）若函数在区间恰有2个零点，则的取值范围是．【答案】【分析】利用三角函数的性质计算即可.【详解】在时，，此时的图象关于直线对称，若，则，易知或时，，因为恰有两个零点，故，此时只能取到，如下图所示，符合题意；若，则，同上，有，此时只能取到，如下图所示，符合题意；综上.故答案为：.【点睛】本题关键在于对符号的讨论，还需要考虑到的对称性，取零点时通过数形结合注意端点即可.【变式训练61】、（2022·河南·高三阶段练习（理））已知函数的图象在内有且仅有2个最低点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用两角和的正弦公式和辅助角公式化简，根据，可得，结合在内有且仅有2个最低点分析即得解.【详解】由题意.当时，.∵在内有且仅有2个最低点，∴，∴.故选：D.【变式训练62】、（2021·天津·高一期末）已知函数，若在区间上单调递减，且函数图象关于对称，则的值是___________．【答案】【分析】由题可得，根据三角函数的性质结合条件即得.【详解】因为，又在区间上单调递减，∴，即，所以，，所以，，又，∴，又函数图象关于对称，∴，即，∴.故答案为：.【变式训练63】、（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知函数（）在内有且仅有3个零点，则的值可以是（

）A．3 B．5 C．7 D．9【答案】B【分析】根据条件将问题转化为与直线在内恰有三个交点，设令，进而将问题转化为与直线在（）内恰有三个交点，结合正弦函数的图象与性质得到，即可求解.【详解】由于（）在内有且仅有3个零点，所以方程（）在内恰有三个不相等的实数根，即与直线在内恰有三个交点.令，则，则与直线在（）内恰有三个交点.令，解得：（）或（），又，且满足条件的恰有三个值，则，解得：，故选：B.重难点题型突破6三角恒等变换（综合应用）例7、（2023上·山东泰安·高三统考期中）已知函数.(1)解不等式；(2)设，求在上的最值.【答案】(1)(2)最小值为，最大值为5【分析】（1）由两角和的正弦公式和倍角公式化简函数解析式，结合正弦函数的性质，解不等式；.（2）化简函数解析式，由定义域结合函数解析式求值域.【详解】（1）.∴即，，，，.不等式的解集为（2）.，，设，则.令，则，当时，.当时，.在上的最小值为，最大值为5.例8、（2023上·北京·高三北京四中校考期中）已知函数.(1)求的值；(2)求的对称轴；(3)若方程在区间上恰有一个解，求的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）代值计算可得出的值；（2）利用三角恒等变换化简函数解析式为，利用正弦型函数的对称性可求得函数的对称轴方程；（3）由可得，由可得出，由已知条件可得出关于的不等式，由此可解得实数的取值范围.【详解】（1）因为，则.（2）.由可得，所以，函数的对称轴方程为.（3）由，可得，当时，，因为方程在区间上恰有一个解，则，解得，因此，实数的取值范围是.1．（2023上·陕西汉中·高三西乡县第一中学校联考期中）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据诱导公式及倍角公式求解.【详解】，故选：B2．（2023上·浙江·高二校联考期中）已知为锐角，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据两角和差的正弦公式求解即可.【详解】因为所以，当时，，为锐角，不合题意，舍去；当时，，满足题意；所以.故选：C3．（2023上·上海松江·高三校考期中）已知函数，则下列结论不正确的是（

）A．的最大值为2B．在上有4个零点C．在上单调递增D．把的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于直线对称【答案】C【分析】根据给定条件，利用诱导公式化简函数，再逐项分析判断作答.【详解】依题意，，对于A，函数的最大值为2，A正确；对于B，当时，，由，得，则有，因此函数在上有4个零点，B正确；对于C，当时，，而函数在上不单调，因此函数在上不单调，C错误；对于D，把的图象向右平移个单位长度，得的图象，而当时，，即函数的图象关于直线对称，D正确.故选：C.4．（2023上·福建莆田·高三莆田二中校考阶段练习）（多选题）下列各式中，值为的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】诱导公式结合和角余弦公式计算判断A；诱导公式结合倍角余弦公式计算判断B;凑特殊角并结合差角的余弦计算判断C；切化弦并利用辅助角公式、二倍角公式计算判断D.【详解】对于A，，A是；对于B