中考数学全面突破：第十一讲　三角形

第十一讲三角形命题点分类集训命题点1三角形的三边关系【命题规律】1.考查内容：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.2.考查形式：①已知三角形的两边，确定第三边的可能值；②判断所给的三条线段能否构成三角形．【命题预测】三角形三边关系是学习三角形的基础，也是判断能否构成三角形的重要方法，需掌握．1.若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是()A.6B.3C.2D.111.A2.下列长度的三根小木棒能构成三角形的是()A.2cm，3cm，5cmB.7cm，4cm，2cmC.3cm，4cm，8cmD.3cm，3cm，4cm2.D3.下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是()A.3，4，4B.3，4，5C.3，4，6D.3，4，73.C【解析】①∵32＋42＝52，∴三条线段3、4、5组成直角三角形，∴B选项不正确；②当把斜边5变成7时，3＋4＝7，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，∴D选项不正确；③当把斜边5稍微变小一点为4时，三条线段为3、4、4组成锐角三角形，∴A选项不正确；④当把斜边5稍微变大一点为6时，三条线段为3、4、6组成钝角三角形，∴C选项正确命题点2三角形的内角和及内外角关系【命题规律】1.考查内容：①三角形内角和为180°；②三角形的一个外角等于与其不相邻两个内角之和.2.考查形式：①结合平行线求角度(选题可见平行线性质部分)；②利用三角形内外角关系求角度．【命题预测】三角形内角和及三角形内外角关系是应用三角形求角度的重要方法，也是全国命题的方向．4.在△ABC中，∠A＝95°，∠B＝40°，则∠C的度数是()A.35°B.40°C.45°D.50°4.C5.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD∥AB，∠ACD＝40°，则∠B的度数为()A.40°B.50°C.60°D.70°5.B6.如图，已知∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC，且AD是∠EAC的平分线．若∠B＝71°，则∠BAC＝________．6.38°【解析】∵AD∥BC，∠B＝71°，∴∠EAD＝∠B＝71°.∵AD是∠EAC的平分线，∴∠EAC＝2∠EAD＝142°，∴∠BAC＝180°－∠EAC＝180°－142°＝38°.命题点3三角形中的重要线段【命题规律】1.考查内容：①三角形的角平分线；②三角形的中位线；③三角形边上的垂直平分线.2.考查形式：①利用三角形的角平分线结合内外角关系求角度；②利用三角形中位线与第三边的关系计算线段长；③利用角平分线性质计算三角形面积关系．【命题预测】三角形中的重要线段是利用三角形研究线段长度、角度等问题的工具之一，倍受命题人青睐7.到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的()A.三条高线的交点B.三条角平分线的交点C.三条中线的交点D.三条边的垂直平分线的交点7.D8.如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，DE、DF是△ABC的中位线，则四边形BEDF的周长是()A.5B.7C.8D.108.D【解析】∵DE、DF是△ABC的中位线，∴DE∥AB，DF∥BC，DE＝eq\f(1,2)AB，DF＝eq\f(1,2)BC，∴四边形BEDF是平行四边形，∵AB＝4，BC＝6，∴DE＝BF＝2，DF＝BE＝3，∴四边形BEDF的周长为：2(DE＋DF)＝10.第8题图第9题图9.如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若BC＝8，则DE的长为________．9.4【解析】∵点D、E分别是AB、AC的中点，∴由三角形的中位线定理可知DE＝eq\f(1,2)BC＝4.10.在△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是________．10.4∶3【解析】如解图，过D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，∵AD是∠BAC的平分线，∴DE＝DF(角平分线上的点到角两边的距离相等)，设DE＝DF＝h，则eq\f(S△ABD,S△ACD)＝eq\f(\f(1,2)AB·h,\f(1,2)AC·h)＝eq\f(4,3).命题点4等腰三角形的相关计算【命题规律】1.考查形式：①已知等腰三角形的一个角，求另外两个角(易错点，常因为没分类讨论导致漏解)；②已知等腰三角形的两条边长，求其周长(易错点，常因为没分类讨论导致漏解)；③等腰三角形等角对等边性质；④等腰三角形三线合一性质；2.三大题型均有设题，等腰三角形多在选填题中考查，也会在二次函数综合题中考查探究等腰三角形的存在性．【命题趋势】由于等腰三角形独具一些特殊性质，解题过程中常会用到分类讨论思想，因此倍受命题人青睐．11.如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E，若∠E＝35°，则∠BAC的度数为()A.40°B.45°C.60°D.70°11.A【解析】由AE∥BD，可得∠DBC＝∠E＝35°，由BD平分∠ABC可得∠ABC＝2∠DBC＝70°，由AB＝AC可得∠ABC＝∠C＝70°，由三角形内角和定理可得∠BAC＝180°－70°－70°＝40°.12.已知实数x、y满足|x－4|＋eq\r(y－8)＝0，则以x、y的值为两边长的等腰三角形的周长是()A.20或16B.20C.16D.以上答案均不对12.B【解析】∵|x－4|＋eq\r(y－8)＝0，∴x－4＝0，y－8＝0，解得x＝4，y＝8.分两种情况讨论：①当4为腰时，根据三角形三边关系知4＋4＝8，∴这样的等腰三角形不存在；②当8为腰时，则有4＋8>8，这样能够组成等腰三角形，∴此三角形的周长是8＋8＋4＝20.13.若等腰三角形的顶角为120°，腰长为2cm，则它的底边长为________cm.13.2eq\r(3)【解析】如解图，由已知得，∠B＝∠C＝eq\f(1,2)(180°－120°)＝30°，AB＝2，∴底边长为：BC＝2BD＝2AB·cos30°＝2eq\r(3)(cm)．命题点5直角三角形的相关计算【命题规律】1.考查内容：考查直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理.2.考查形式：①利用直角三角形性质计算；②利用勾股定理求边长；③含30°角的直角三角形的性质．【命题预测】直角三角形性质的考查变化性较强，常与勾股定理一起考查，此种命题方式势必经常出现，常在二次函数综合题中考查探究直角三角形的存在性问题．14.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是()A.eq\f(4\r(3),3)B.4C.8eq\r(3)D.4eq\r(3)14.D【解析】∵Rt△ABC中，∠B＝30°，AB＝8，∴AC＝eq\f(1,2)AB＝4，∴BC＝eq\r(AB2－AC2)＝eq\r(64－16)＝4eq\r(3).15.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E.若BC＝3，则DE的长为()A.1B.2C.3D.415.A【解析】∵AD是∠BAC的平分线，AC⊥BC，AE⊥DE,∴DC＝DE，AE＝AC.又∵DE是AB的垂直平分线，∴BE＝AE，即AB＝2AE＝2AC,∴∠B＝30°.设DE＝x，则BD＝3－x.在Rt△BDE中，eq\f(x,3－x)＝eq\f(1,2)，解得x＝1，∴DE的长为1.第14题图第15题图第16题图第17题图16.如图，在Rt△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，DE是AC的垂直平分线，DE交AB于点D，连接CD，则CD＝()A.3B.4C.4.8D.516.D【解析】∵DE垂直平分AC，∴∠AED＝90°，AE＝CE＝4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴DE∥BC，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝eq\f(1,2)BC＝3.在Rt△CED中，CD＝eq\r(CE2＋DE2)＝5.17.如图，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点，若∠A＝40°，则∠BCE＝________.17.50°【解析】∵E是Rt△ABC斜边AB的中点，∴EC＝eq\f(AB,2)＝AE，∴∠ECA＝∠A＝40°，∴∠BCE＝90°－40°＝50°.18.在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．18.解：如解图，过点A作AD⊥BC，垂足为点D，设BD＝x，则CD＝14－x，根据勾股定理可得：AD2＝AB2－BD2＝AC2－CD2，即152－x2＝132－(14－x)2，解得x＝9.∴AD2＝152－x2＝152－92＝144.∵AD>0，∴AD＝12.∴S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AD＝eq\f(1,2)×14×12＝84.命题点6与全等三角形有关的证明与计算【命题规律】1.考查内容：全等三角形的判定和性质应用，其中判定的类型有：SSS，SAS，AAS，ASA及直角三角形全等特有的判定定理HL.2.考查形式：①如图所示的几何图形中，共有全等三角形的对数；②请添加条件…，使两个三角形全等；③解答题中判断三角形全等或利用全等性质证明线段或角相等；④与四边形结合，利用四边形的性质证明三角形全等(具体选题见四边形部分)．【命题预测】全等三角形的性质和判定是研究多个图形之间关系的基本知识，也是全国命题的主流方向，另外也会与二次函数综合题结合考查全等三角形的存在性问题．19.如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD()A.∠B＝∠CB.AD＝AEC.BD＝CED.BE＝CD19.D20.如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点．若M、N是边AD上的两点，连接MO、NO，并分别延长交边BC于两点M′、N′，则图中的全等三角形共有()A.2对B.3对C.4对D.5对20.C【解析】由题意可知，△ABD≌△CBD，△MON≌△M′ON′，△DON≌△BON′，△DOM≌△BOM′共4对．21.如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B＝________.21.120°【解析】由于△ABC≌△A′B′C′，∴∠C＝∠C′＝24°，在△ABC中，∠B＝180°－24°－36°＝120°.22.如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE交于点H，请你添加一个适当条件：____________，使△AEH≌△CEB.22.AH＝CB(符合要求即可)【解析】∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D、E，∴∠BEC＝∠AEC＝90°，在Rt△AEH中，∠EAH＝90°－∠AHE，在Rt△HDC中，∠ECB＝90°－∠DHC，∵∠AHE＝∠DHC，∴∠EAH＝∠ECB，∴根据AAS添加AH＝CB或EH＝EB；根据ASA添加AE＝CE.可证△AEH≌△CEB.故答案为：AH＝CB或EH＝EB或AE＝CE均可．第19题图第20题图第21题图第22题图23.如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC＝BD，AC＝FD.求证：AE＝FB.23.证明：∵CE∥DF，∴∠ACE＝∠FDB，在△ACE和△FDB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(EC＝BD,∠ACE＝∠FDB,AC＝FD))，∴△ACE≌△FDB(SAS)，∴AE＝FB.24.已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD的中点，连接AE、CF，求证：△ADE≌△CDF.24.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD.又∵E、F分别为边CD、AD的中点，∴DE＝DF.在△ADE和△CDF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝CD,∠ADE＝∠CDF,DE＝DF))，∴△ADE≌△CDF(SAS)．25.如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BA至E，延长DC至F，使得AE＝CF，连接EF交AD于G，交BC于H.求证：△AEG≌△CFH.25.证明：∵在▱ABCD中，∠BAD＝∠BCD，AB∥CD，∴∠E＝∠F，180°－∠BAD＝180°－∠BCD，即∠EAG＝∠FCH，在△AEG和△CFH中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠E＝∠F,AE＝CF,∠EAG＝∠FCH))，∴△AEG≌△CFH(ASA)．26.如图，点B，F，C，E在直线l上(F，C之间不能直接测量)，点A，D在l异侧，测得AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC.(1)求证：△ABC≌△DEF；(2)指出图中所有平行的线段，并说明理由．26.(1)证明：∵BF＝EC，∴BF＋FC＝EC＋CF，即BC＝EF.在△ABC与△DEF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BC＝EF,AB＝DE,AC＝DF))，∴△ABC≌△DEF(SSS)．(2)解：AB∥DE，AC∥DF.理由如下：∵△ABC≌△DEF，∴∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE，∴AB∥DE，AC∥DF.27.如图，AD、BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°.(1)求证：△ACB≌△BDA；(2)若∠ABC＝35°，则∠CAO＝________°.27.(1)证明：在Rt△ACB和Rt△BDA中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BC＝AD,AB＝BA))，∴Rt△ACB≌△Rt△BDA(HL)．(2)20.【解法提示】∵∠ABC＝35°，∴∠CAB＝90°－35°＝55°，由(1)知∠DAB＝∠ABC＝35°，∴∠CAO＝∠CAB－∠DAB＝20°.28.杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语．其具体信息汇集如下．如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等．AC、BD相交于O，OD⊥CD，垂足为D.已知AB＝20米，请根据上述信息求标语CD的长度．28.解：∵AB∥CD，OD⊥CD，∴OB⊥AB，∵相邻两平行线间的距离相等，∴OB＝OD.在△ABO与△CDO中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ABO＝∠CDO,OB＝OD,∠AOB＝∠COD))，∴△ABO≌△CDO(ASA)，∴CD＝AB＝20(米)．29.如图，△ABC中，AB＝AC，E在BA的延长线上，AD平分∠CAE.(1)求证：AD∥BC；(2)过点C作CG⊥AD于点F，交AE于点G.若AF＝4，求BC的长．29.(1)证明：∵AB＝AC，AD平分∠CAE，∴∠B＝∠ACB，∠CAD＝∠EAD＝eq\f(1,2)∠CAE，又∵∠CAE＝∠B＋∠ACB，∴∠B＝∠EAD，∴AD∥BC.(2)解：∵CG⊥AD，∴∠CFA＝∠GFA＝90°，在△ACF和△AGF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠CFA＝∠GFA,AF＝AF,∠CAF＝∠GAF))，∴△ACF≌△AGF(ASA)，∴AC＝AG，CF＝GF，又∵AB＝AC，∴AB＝AG，∴AF是△BCG的中位线，∵AF＝4，∴BC＝2AF＝8.

中考冲刺集训一、选择题1.若a、b、c为△ABC的三边长，且满足|a－4|＋eq\r(b－2)＝0，则c的值可以为()A.5B.6C.7D.82.如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A＝50°，则∠BDC＝()A.50°B.100°C.120°D.130°第2题图第3题图3.如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为()A.1B.2C.eq\r(3)D.1＋eq\r(3)4.已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－6x＋8＝0的根，则该三角形的周长为()A.8B.10C.8或10D.125.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)，若线段AD长为正整数，则点D的个数共有()A.5个B.4个C.3个D.2个第5题图第6题图第7题图6.如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，则∠CDE的度数为()A.50°B.51°C.51.5°D.52.5°7.如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，点O是AB的中点，且AB＝eq\r(6)，将一块直角三角板的直角顶点放在点O处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与AC、BC相交，交点分别为D、E，则CD＋CE等于()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C.2D.eq\r(6)8.如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有()A.1个B.2个C.3个D.3个以上第8题图第9题图9.如图所示，底边BC为2eq\r(3)，顶角A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，则△ACE的周长为()A.2＋2eq\r(3)B.2＋eq\r(3)C.4D.3eq\r(3)10.已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(3\r(3),2)C.eq\f(3,2)D.不能确定二、填空题11.如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝110°.AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝________度．第11题图第12题图第13题图12.如图，已知直线a∥b，△ABC的顶点B在直线b上，∠C＝90°，∠1＝36°，则∠2＝________．13.如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为________．14.在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，点P为边BC的三等分点，连接AP，则AP的长为________．15.如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是________．三、解答题16.如图，已知AD＝BC，AC＝BD.(1)求证：△ADB≌△BCA;(2)OA与OB相等吗？若相等，请说明理由．17.如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E，F分别在AC，BC上，求证：DE＝DF.18.已知，如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点．(1)求证：△ACE≌△BCD；(2)求证：2CD2＝AD2＋DB2.答案与解析：第2题解图1.A2.B【解析】如解图，设AC上的点为E，∵DE垂直平分AC，∴AD＝DC,∴∠DCA＝∠A＝50°，∴∠BDC＝∠A＋∠DCA＝100°.3.A【解析】∵在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝1，∴AB＝2BC＝2×1＝2，∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×2＝1.4.B【解析】解一元二次方程x2－6x＋8＝0，得x1＝2，x2＝4.当三角形三边为2，2，4时，∵2＋2＝4，∴不符合三边关系，应舍去；当三角形三边为2，4，4时，∵2＋4>4，符合三边关系，∴三角形的周长为10，故选B.第5题解图5.C【解析】如解图，当AD⊥BC时，∵AB＝AC，∴D为BC的中点，BD＝CD＝eq\f(1,2)BC＝4，∴AD＝eq\r(AB2－BD2)＝3；又∵AB＝AC＝5，∴在BD和CD之间一定存在AD＝4的两种情况，∴点D的个数共有3个．6.D【解析】∵AC＝CD，∠A＝50°，∴∠ADC＝50°，∵DC＝DB，∠ADC＝∠B＋∠BCD＝50°，∴∠B＝∠BCD＝25°，∴∠BDC＝130°，∵BD＝BE，∴∠BED＝∠BDE＝77.5°，∴∠CDE＝∠BDC－∠BDE＝130°－77.5°＝52.5°，故答案为D.7.B【解析】如解图，连接OC，由已知条件易得∠A＝∠OCE，CO＝AO，∠DOE＝∠COA，∴∠DOE－∠COD＝∠COA－∠COD，即∠AOD＝∠COE，∴△AOD≌△COE(ASA)，∴AD＝CE，进而得CD＋CE＝CD＋AD＝AC＝eq\f(\r(2),2)AB＝eq\r(3)，故选B.第7题解图第8题解图8.D【解析】如解图，①当OM1＝2时，点N1与点O重合，△PMN是等边三角形；②当ON2＝2时，点M2与点O重合，△PMN是等边三角形；③当点M3，N3分别是OM1，ON2的中点时，△PMN是等边三角形；④当取∠M1PM4＝∠OPN4时，易证△M1PM4≌△OPN4(SAS)，∴PM4＝PN4，又∵∠M4PN4＝60°，∴△PMN是等边三角形，此时点M，N有无数个，综上所述，故选D.9.A【解析】如解图，过点A作AF⊥BC于点F，∵AB＝AC，BC＝2eq\r(3)，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，BF＝CF＝eq\r(3)，在Rt△ACF中，AC＝eq\f(CF,cosC)＝eq\f(\r(3),cos30°)＝2.∵DE垂直平分AB，∴BE＝AE，∴△ACE的周长＝AE＋CE＋AC＝BE＋CE＋AC＝BC＋AC＝2eq\r(3)＋2.第9题解图第10题解图10.B【解析】如解图，△ABC是等边三角形，AB＝3，点P是三角形内任意一点，过点P分别向三边AB，BC，CA作垂线，垂足依次为D，E，F，过点A作AH⊥BC于点H，则BH＝eq\f(3,2)，AH＝eq\r(AB2－BH2)＝eq\f(3\r(3),2).连接PA，PB，PC，则S△PAB＋S△PBC＋S△PCA＝S△ABC，∴eq\f(1,2)AB·PD＋eq\f(1,2)BC·PE＋eq\f(1,2)CA·PF＝eq\f(1,2)B