高三数学上学期第一次月考试题 理-天津版高三数学试题

第一次月考数学理试题【天津版】一、选择题：1．已知是实数，是纯虚数，则等于A.；B.；C.；D.2．已知的展开式中的系数为,则 A． B． C． D．3．若实数满足且的最小值为，则实数的值为A.；B．；C.；D.4．执行如图所示的程序框图，输出的值是A．3 B．—6C．10 D．—155．如图所示,圆的直径，为圆周上一点，,过点作圆的切线，过点作的垂线，垂足为,则∠A.B.C.D.6．已知，，则使成立的一个充分不必要条件是 A． B． C． D．7．已知实数，的等差中项为，设，则的最小值为A．3 B．4 C．5 D．68．对于函数，若，为某一三角形的三边长，则称为“可构造三角形函数”，已知函数是“可构造三角形函数”，则实数的取值范围是A．B．C．D．二、选择题：9．已知有若干辆汽车通过某一段公路，从中抽取辆汽车进行测速分析，其时速的频率分布直方图如图所示，则时速在区间上的汽车大约有辆.80时速（km/h）001时速（km/h）001002003004组距4050607080频率O3336正视图侧视图俯视图10．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是18 11．在各项均为正数的等比数列中，若，则=．12．已知平面上的三个向量，满足，则的最大值是313．在中，角的对边分别为，且，若的面积为，则的最小值为1214．设函数若，则函数的零点个数有个.4三、解答题：15．已知函数，其中，.（Ⅰ）求函数的最大值和最小正周期；（Ⅱ）设的内角的对边分别是，且，，若，求的面积。解：（=1\*ROMANI）……………2分=……4分的最大值为0；最小正周期为.………6分（Ⅱ），又，解得…8分又，由正弦定理---------------①，…………9分由余弦定理，即-------------②…………10分由①②解得：，.…………………12分16．盒中装有个零件，其中个是使用过的，另外个未经使用.（Ⅰ）从盒中每次随机抽取个零件，每次观察后都将零件放回盒中，求次抽取中恰有次抽到使用过的零件的概率；（Ⅱ）从盒中随机抽取个零件，使用后放回盒中，记此时盒中使用过的零件个数为，求的分布列和数学期望.（Ⅰ）解：记“从盒中随机抽取个零件，抽到的是使用过的零件”为事件，则.………………2分所以次抽取中恰有次抽到使用过的零件的概率.……5分（Ⅱ）解：随机变量的所有取值为.………………7分；；.………………10分所以，随机变量的分布列为:………………11分.………………13分16．已知数列中，，前项的和是满足：都有：其中数列是公差为1的等差数列；（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求.都有：，令得：从而，又因为数列是公差为1，所以，得：，当时，，检验：时，不满足题设；故通项公式是：（Ⅱ）当时,，当时,，所以，符合，故.18．在四棱锥中，底面是直角梯形，∥，，，平面平面.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求平面和平面所成二面角（小于）的大小；（Ⅲ）在棱上是否存在点使得∥平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.（Ⅰ）证明：因为，所以.………1分因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.………3分（Ⅱ）解：取的中点，连接.因为，所以.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.………4分如图，以为原点，所在的直线为轴，在平面内过垂直于的直线为轴，所在的直线为轴建立空间直角坐标系．不妨设.由直角梯形中可得，，.所以，.设平面的法向量.因为所以即令，则.所以.………7分取平面的一个法向量n.所以.所以平面和平面所成的二面角（小于）的大小为.………9分（Ⅲ）解：在棱上存在点使得∥平面，此时.理由如下：………10分取的中点，连接，，.则∥，.因为，所以.因为∥，所以四边形是平行四边形.所以∥.因为，所以平面∥平面.………13分因为平面，所以∥平面.………14分19．（本小题满分14分）已知函数（1）当时，比较与1的大小；（2）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；（3）求证：对于一切正整数，都有解：（1）当时，，其定义域为…1分因为，所以在上是增函数…………3分故当时，；当时，；当时，…4分（2）当时，，其定义域为，令得，…………6分因为当或时，；当时，所以函数在上递增，在上递减，在上递增且的极大值为，极小值为…7分又当时，；当时，因为函数仅有一个零点，所以函数的图象与直线仅有一个交点。所以或…9分（3）方法一：根据（1）的结论知当时，即当时，，即…12分令，则有从而得，，…13分故得即所以…14分20．已知数列.如果数列满足，，其中，则称为的“衍生数列”.（Ⅰ）若数列的“衍生数列”是，求；（Ⅱ）若为偶数，且的“衍生数列”是，证明：的“衍生数列”是；（Ⅲ）若为奇数，且的“衍生数列”是，的“衍生数列”是，….依次将数列，，，…的第项取出，构成数列.证明：是等差数列.（Ⅰ）解：.………………3分（Ⅱ）证法一：证明：由已知，，.因此，猜想.………………4分①当时，，猜想成立；②假设时，.当时，故当时猜想也成立.由①、②可知，对于任意正整数，有.………………7分设数列的“衍生数列”为，则由以上结论可知，其中.由于为偶数，所以，所以，其中.因此，数列即是数列.………………9分证法二：因为，，，……，由于为偶数，将上述个等式中的第这个式子都乘以，相加得即，.………………7分由于，，根据“衍生数列”的定义知，数列是的“衍生数列”.………………9分（Ⅲ）证法一：证明：设数列,,中后者是前者的“衍生数列”.欲证成等差数列，只需证明成等差数列，即只要证明即可.……10分由（Ⅱ）中结论可知，，所以，，即成等差数列，所以是等差数列.………………13分证法二：因为，所以.所以欲证成等差数列，只需证明成等差数列即可.………………10分对于数列及其“衍生数列”，因为，，，……，由于为奇数，将