数学八年级下册专题17.8 勾股定理章末测试卷（拔尖卷）（人教版）（教师版）

第17章勾股定理章末测试卷（拔尖卷）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2021春•黔南州期末）已知△ABC的三边长分别为a，b，c，由下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．∠A＝2∠B＝3∠C B．∠A＝∠C﹣∠B C．a：b：c＝3：4：5 D．a2＝（b+c）（b﹣c）【解题思路】根据三角形的内角和定理求出∠A的度数，即可判断选项A；根据三角形内角和定理求出∠C的度数，即可判断选项B；根据勾股定理的逆定理判定选项C和选项D即可．【解答过程】解：设△ABC中，∠A的对边是a，∠B的对边是b，∠C的对边是c，A．∵∠A＝2∠B＝3∠C，∴∠B=12∠A，∠C=1∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A+12∠A+1解得：∠A＝（108011∴△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；B．∵∠A＝∠C﹣∠B，∴∠A+∠B＝∠C，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；C．∵a：b：c＝3：4：5，∴a2+b2＝c2，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；D∵a2＝（b+c）（b﹣c），∴a2＝b2﹣c2，即a2+c2＝b2，∴∠B＝90°，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；故选：A．2．（3分）（2021春•金寨县期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，AC＝3，则BD的长是（）A．2 B．3.5 C．3 D．2.5【解题思路】过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理可得BC，根据角平分线性质可得DE＝DC，根据三角形面积公式求出CD，即可求出BD．【解答过程】解：如图，过D作DE⊥AB于E，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，∴BC=A∵AD平分∠BAC，∴DE＝DC，∵S△ABC=12AC•BC=12AC•CD+12AB•DE，即12×解得CD＝1.5，∴BD＝4﹣CD＝4﹣1.5＝2.5．故选：D．3．（3分）（2021春•平定县期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝4．四边形ADEC是正方形，则正方形ADEC的面积是（）A．8 B．12 C．18 D．20【解题思路】在△ABC中，通过勾股定理得AC2＝20，从而解决问题．【解答过程】解：在△ABC中，∠B＝90°，由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2＝22+42＝20，∵四边形ADEC是正方形，∴S正方形ADEC＝AC2＝20，故选：D．4．（3分）（2021•迁西县模拟）如图，快艇从A地出发，要到距离A地10海里的C地去，先沿北偏东70°方向走了8海里，到达B地，然后再从B地走了6海里到达C地，此时快艇位于B地的（）A．北偏东20°方向上 B．北偏西20°方向上 C．北偏西30°方向上 D．北偏西40°方向上【解题思路】由AC＝10海里，AB＝8海里，BC＝6海里得AC2＝AB2+BC2，根据勾股定理的逆定理得到∠ABC＝90°，再利用平行线的性质和互余的性质得到∠1，求得∠2．【解答过程】解：如图，过点B作BD∥AE，∵AC＝10海里，AB＝8海里，BC＝6海里，∴AC2＝AB2+BC2，∴△ABC为直角三角形，即∠ABC＝90°，又∵B点在A的北偏东70°方向，∴∠1＝90°﹣70°＝20°，∴∠2＝∠1＝20°，即C点在B的北偏西20°的方向上．故选：B．5．（3分）（2021•河南模拟）如图所示是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案，现在有五种正方形纸片，面积分别是2，3，4，5，6，选取其中三块（可重复选取），按如图所示方式组成图案，使所围成的三角形是直角三角形，则选取的三块纸片的面积不可以是（）A．3，4，5 B．2，2，4 C．3，3，6 D．2，4，6【解题思路】如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．依据三角形各边的平方是对应的各个正方形的面积进行判断即可．【解答过程】解：由题意可得，三角形各边的平方是对应的各个正方形的面积，∵所围成的三角形是直角三角形，∴斜边对应的正方形的面积＝两直角边对应的正方形的面积和，又∵3+4≠5，2+2＝4，3+3＝6，2+4＝6，∴选取的三块纸片的面积不可以是3，4，5，故选：A．6．（3分）（2021春•西城区校级期中）如图，在4×4的正方形网格中，每一格长度为1，小正方形的顶点称为格点，A，B，C，D，E，F都在格点上，以AB，CD，EF为边能构成一个直角三角形，则点F的位置有（）A．1处 B．2处 C．3处 D．4处【解题思路】先利用勾股定理求出AB的长，再根据勾股定理的逆定理，如果满足AB2+CD2＝EF2或CD2+EF2＝AB2，即为直角三角形，解出EF的长，进而得出点F的位置．【解答过程】解：由题意可得，CD＝2，AB=2∵以AB，CD，EF为边能构成一个直角三角形，∴AB2+CD2＝EF2或CD2+EF2＝AB2，即13+4＝EF2或4+EF2＝13，解得EF=17F点的位置如图所示．故选：D．7．（3分）（2021春•钦州期末）《九章算术》提供了许多整勾股数，如（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）等，并把一组勾股数中最大的数称为“弦数”．后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若m是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么m与这两个整数构成组勾股数；若m是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1得到两个整数，那么m与这两个整数构成组勾股数．由上述方法得到的勾股数称为“由m生成的勾股数”．根据以上规律，“由8生成的勾股数”的“弦数”为（）A．16 B．17 C．25 D．64【解题思路】直接根据题意分别得出由8生成的勾股数”的“弦数”进而得出答案．【解答过程】解：∵由8生成的勾股数”的“弦数”记为A，∴（82）2故A＝17，故选：B．8．（3分）（2020秋•偃师市期末）如图，有一个圆柱，底面圆的直径AB=16πcm，高BC＝12cm，P为BC的中点，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱的表面爬到A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm【解题思路】把圆柱的侧面展开，连接AP，利用勾股定理即可得出AP的长，即蚂蚁从A点爬到P点的最短距离．【解答过程】解：已知如图：∵圆柱底面直径AB=16πcm、母线BC＝12cm，P为∴圆柱底面圆的半径是8πcm，BP＝6cm∴AB=12×2×8在Rt△ABP中，AP=AB2∴蚂蚁从A点爬到P点的最短距离为10cm，故选：B．9．（3分）（2021•长沙模拟）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”根据题意，可得秋千的绳索长为（）A．10尺 B．14.5尺 C．13尺 D．17尺【解题思路】设绳索有x尺长，根据勾股定理列方程即可得到结果．【解答过程】解：设绳索有x尺长，则102+（x+1﹣5）2＝x2，解得：x＝14.5，即绳索长14.5尺，故选：B．10．（3分）（2021春•梁山县期末）如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNPQ的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝45，则S2的值是（）A．12 B．15 C．20 D．25【解题思路】设每个小直角三角形的面积为m，则S1＝4m+S2，S3＝S2﹣4m，依据S1+S2+S3＝45，可得4m+S2+S2+S2﹣4m＝45，进而得出S2的值．【解答过程】解：设每个小直角三角形的面积为m，则S1＝4m+S2，S3＝S2﹣4m，∵S1+S2+S3＝45，∴4m+S2+S2+S2﹣4m＝45，即3S2＝45，解得S2＝15．故选：B．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2020秋•武侯区校级月考）如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），则xy＝22.5．【解题思路】根据勾股定理列出方程，进而利用各图形面积的关系列式解答即可．【解答过程】解：根据勾股定理可得：x2+y2＝49，（x﹣y）2＝4，可得：49﹣2xy＝4，解得：xy＝22.5，故答案为：22.5．12．（3分）（2021春•广安期末）如图，已知四边形A，B，C，D，E都是正方形，图中所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，D的面积依次为4，6，15，则正方形C的面积为5．【解题思路】由题意可知：SA+SB＝SE，SC+SE＝SD，代入计算即可．【解答过程】解：由题意可知：SA+SB＝SE，SC+SE＝SD，∵正方形A，B，D的面积依次为4，6，15，∴SC＝SD﹣SA﹣SB＝15﹣6﹣4＝5，故答案为：5．13．（3分）（2021春•保山期末）在直角三角形ABC中，若AB＝8，AC﹣BC＝2，则三角形ABC的面积为15或60．【解题思路】①当AB＝8是斜边时，根据勾股定理得到AC2+BC2＝AB2＝64，求得AC•BC＝30，根据三角形的面积公式即可得到结论；②当AC为斜边时，由已知条件得到AC＝BC+2，根据勾股定理得到BC＝15，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答过程】解：①当AB＝8是斜边时，则AC2+BC2＝AB2＝64，∵AC﹣BC＝2，∴（AC﹣BC）2＝AC2+BC2﹣2AC•BC＝4，∴AC•BC＝30，∴三角形ABC的面积=12AC•②当AC为斜边时，∵AC﹣BC＝2，∴AC＝BC+2，∵AC2＝AB2+BC2，∴（BC+2）2＝82+BC2，∴BC＝15，∴三角形ABC的面积=12AB•BC综上所述，三角形ABC的面积为15或60，故答案为：15或60．14．（3分）（2021春•环江县期末）如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推6m至C处时，水平距离CD＝6m，踏板离地的垂直高度CF＝4m，它的绳索始终拉直，则AC的长是m7.5．【解题思路】设秋千的绳索长为xm，根据题意可得AC＝（x﹣3）m，利用勾股定理可得x2＝62+（x﹣3）2．【解答过程】解：设秋千绳索AB的长度为xm，由题意可得AC＝AB＝xm，四边形DCFE为矩形，BE＝1m，DC＝6m，CF＝4m，DE＝CF＝4m，∴DB＝DE﹣BE＝3m，AD＝AB﹣BD＝（x﹣3）m，在Rt△ADC中，AD2+DC2＝AC2，即（x﹣3）2+62＝x2，解得x＝7.5，即AC的长度为7.5m，故答案为：7.5．15．（3分）（2021春•平定县期末）如图所示的网格是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，则∠DAB+∠CAB的度数是45度．【解题思路】作C点关于AB的对称点E，连接DE，利用勾股定理得出AD，DE，AE的长，进而利用勾股定理的逆定理解答即可．【解答过程】解：作C点关于AB的对称点E，连接AE，DE，如图所示：∴∠CAB＝∠EAB，由勾股定理得：AD=22+32=13∴AD2+DE2＝AE2，∴△AED是直角三角形，∵AD＝DE，∴∠DAE＝45°＝∠DAB+∠BAE＝∠DAB+∠CAB，故答案为：45．16．（3分）（2021春•睢阳区期末）如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽40cm，长50cm．一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是130cm．【解题思路】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．【解答过程】解：如图所示，∵它的每一级的长宽高为20cm，宽40cm，长50cm，∴AB=502答：蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程是130cm．故答案为：130cm．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（2021春•泸州期末）如图，已知△ABC中，AB＝AC，BC＝5，D为AB上一点，CD＝4，BD＝3．（1）求证：∠BDC＝90°；（2）求AC的长．【解题思路】（1）根据勾股定理的逆定理判断即可；（2）根据勾股定理求出AC即可．【解答过程】（1）证明：∵BC＝5，CD＝4，BD＝3，∴42+32＝52，∴∠BDC＝90°；（2）解：在Rt△ADC中，∠ADC＝180°﹣90°＝90°，依题意有AC2＝（AB﹣3）2+CD2，即AC2＝（AC﹣3）2+42，解得AC=25故AC的长为25618．（6分）（2021春•南昌期末）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的俯视示意图），今推开双门，门框上点C和点D到门槛AB的距离DE为1尺（1尺＝10寸），双门间的缝隙CD为2寸，求门宽AB的长是多少寸？【解题思路】取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理解答即可得到结论．【解答过程】解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，则AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE=12∴AE＝（r﹣1）寸，在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，解得：r＝50.5，∴2r＝101（寸），∴AB＝101寸，答：门宽AB的长是101寸．19．（8分）（2021春•阳东区期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为ts．（1）求BC边的长；（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值．【解题思路】（1）由勾股定理求解即可；（2）①由题意得：BP＝tcm，分两种情况：①当∠APB＝90°时，点P与点C重合，则BP＝BC＝4cm，得t＝4；②当∠BAP＝90°时，CP＝（t﹣4）cm，在Rt△ACP和Rt△ABP中，由勾股定理得：AP2＝AC2+CP2＝BP2﹣AB2，即32+（t﹣4）2＝t2﹣52，求解即可．【解答过程】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC=AB2（2）由题意得：BP＝tcm，分两种情况：①当∠APB＝90°时，如图1所示：点P与点C重合，∴BP＝BC＝4cm，∴t＝4；②当∠BAP＝90°时，如图2所示：则CP＝（t﹣4）cm，∠ACP＝90°，在Rt△ACP中，由勾股定理得：AP2＝AC2+CP2，在Rt△ABP中，由勾股定理得：AP2＝BP2﹣AB2，∴AC2+CP2＝BP2﹣AB2，即32+（t﹣4）2＝t2﹣52，解得：t=25综上所述，当△ABP为直角三角形时，t的值为4s或254s20．（8分）（2020秋•南海区期末）在△ABC中，（1）如图1，AC＝15，AD＝9，CD＝12，BC＝20，求△ABC的面积；（2）如图2，AC＝13，BC＝20，AB＝11，求△ABC的面积．【解题思路】（1）已知△ADC三边的长度，运用勾股定理的逆定理首先证出CD⊥AB，然后在直角△DCB中，应用勾股定理求出BD，则AB＝AD+BD，最后根据三角形的面积公式得出△ABC的面积；（2）过C作CD⊥BA的延长线于点D，利用勾股定理得出AD的长，进而得出CD的长解答即可．【解答过程】解：（1）∵CD2+AD2＝144+81＝225，AC2＝225，∴CD2+AD2＝CA2，∴△△ADC是直角三角形，∴∠ADC＝90°，∴CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴BD=B∴AB＝AD+DB＝16+9＝25，∴△ABC的面积=1（2）过C作CD⊥BA的延长线于点D，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，设AD为x，DB＝（x+11），由勾股定理得：CD2＝AC2﹣AD2，CD2＝BC2﹣DB2，即AC2﹣AD2＝BC2﹣DB2，则132﹣x2＝202﹣（x+11）2，解得：x＝5，∴CD=A∴△ABC的面积=12•AB•CD21．（8分）（2021春•巩义市期末）如图，学校操场边有一块四边形空地ABCD，其中AB⊥AC，AB＝8m，BC＝17m，CD＝9m，AD＝12m．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．（1）求需要绿化的空地ABCD的面积；（2）为方便师生出入，设计了过点A的小路AE，且AE⊥BC于点E，试求小路AE的长．【解题思路】（1）由勾股定理求出AC＝15m，再由勾股定理的逆定理证出△ACD是直角三角形，∠D＝90°，然后由三角形面积公式求解即可；（2）由三角形的面积公式求解即可．【解答过程】解：（1）∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∴AC=BC2∵CD＝9m，AD＝12m，∴AD2+CD2＝122+92＝225＝AC2，∴△ACD是直角三角形，∠D＝90°，∴需要绿化的空地ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD=12AB×AC+12AD×CD=12（2）∵∠BAC＝90°，AE⊥BC，∴S△ABC=12BC×AE=12∴17×AE＝8×15，解得：AE=12017（即小路AE的长为12017m22．（8分）（2020秋•项城市期末）勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图拼图：两个全等的直角三角板ABC和直角三角板DEF，顶点F在BC边上，顶点C、D重合，连接AE、EB．设AB、DE交于点G．∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝a，AC＝DF＝b（a＞b），AB＝DE＝c．请你回答以下问题：（1）填空：∠AGE＝90°，S四边形ADBE＝12c2（2）请用两种方法计算四边形ACBE的面积，并以此为基础证明勾股定理．【解题思路】（1）根据全等三角形的性质得到∠EDF＝∠CAB，求得∠ACE+∠CAB＝90°，得到∠AGC＝90°，根据垂直的定义得到DE⊥AB，根据三角形的面积公式即可得到结论；（2）根据三角形的面积和梯形的面积公式用两种方法求得四边形ACBE的面积，于是得到结论．【解答过程】解：（1）∵△ABC≌△DEF，∴∠EDF＝∠C