同济高数下册答案

未知驱动探索，专注成就专业同济高数下册答案目录第一章引言第二章二阶微分方程的解法第三章二重积分第四章曲线与曲面积分第五章向量场与基本积分定理第六章微分方程的应用与矩阵初值问题第一章引言本章为引言，没有具体的题目和答案。第二章二阶微分方程的解法2.14.求解二阶齐次线性微分方程：y″答案：特征方程为：${\\lambda}^2-3{\\lambda}+2=0$，解得${\\lambda}_1=1，{\\lambda}_2=2$。所以齐次方程的通解为：y=c1ex2.27.求解二阶非齐次线性微分方程：y″答案：特征方程为：${\\lambda}^2-5{\\lambda}+6=0$，解得${\\lambda}_1=2，{\\lambda}_2=3$。先求得齐次方程的通解y=c1e2x+c2e3第三章二重积分3.15.计算二重积分$I=\\iint_Dxy\\,dA$，其中D为由直线x=0，x=1，答案：将积分区域分割成无穷多个小矩形，每个小矩形面积dA为$dx\\,dy$。所以$I=\\int_0^1\\int_0^2xy\\,dy\\,dx=\\int_0^1\\frac{1}{2}x(2)^2\\,dx=\\int_0^2x\\,dx=\\frac{1}{2}x^2\\Big|_0^1=\\frac{1}{2}$3.26.计算二重积分$I=\\iint_D(y^2+x)\\,dA$，其中D为由曲线y=x2答案：将积分区域分割成无穷多个小矩形，每个小矩形面积dA为$dx\\,dy$。所以$I=\\int_0^1\\int_{x^2}^{2x}(y^2+x)\\,dy\\,dx=\\int_0^1\\left(\\frac{1}{3}y^3+\\frac{1}{2}xy\\right)\\Big|_{x^2}^{2x}\\,dx=\\int_0^1\\left(\\frac{8}{3}x^3+\\frac{3}{2}x^2-\\frac{1}{3}x^6\\right)\\,dx=\\frac{8}{12}+\\frac{1}{2}-\\frac{1}{3}=\\frac{7}{6}$第四章曲线与曲面积分4.13.计算曲线积分$I=\\int_C(xy^2\\,dx+x^2y\\,dy)$，其中曲线C为从点(0,0答案：参数方程为x=t，y=4.25.计算曲线积分$I=\\int_C(x^2+y^2)\\,ds$，其中曲线C为从点(1,0答案：参数方程为x=t,y=1−第五章向量场与基本积分定理5.14.计算环量$I=\\oint_C(x^2+y^2)\\,ds$，其中曲线C为单位圆周x2答案：参数方程为$x=\\cost，y=\\sint$，$0\\leqt\\leq2\\pi$。可得$\\frac{dx}{dt}=-\\sint，\\frac{dy}{dt}=\\cost$。积分化简为$I=\\int_0^{2\\pi}[(\\cos^2t+\\sin^2t)(-\\sintdt+\\costdt)]+\\int_0^{2\\pi}[(\\cos^2t+\\sin^2t)(-\\costdt-\\sintdt)]=0$。5.26.计算曲面积分$I=\\iint_S(x+y+z)\\,dS$，其中曲面S为上半球x2答案：参数方程为$x=\\sin\\phi\\cos\\theta，y=\\sin\\phi\\sin\\theta，z=\\cos\\phi$，$0\\leq\\phi\\leq\\frac{\\pi}{2}$，$0\\leq\\theta\\leq2\\pi$。可得$\\frac{\\partial(x,y,z)}{\\partial(\\phi,\\theta)}=-\\sin\\phi$。积分化简为$I=\\int_0^{\\frac{\\pi}{2}}\\int_0^{2\\pi}(\\sin\\phi\\cos\\theta+\\sin\\phi\\sin\\theta+\\cos\\phi)(-\\sin\\phi)\\,d\\theta\\,d\\phi=\\int_0^{\\frac{\\pi}{2}}(-\\cos\\phi\\sin^2\\phi-\\sin\\phi\\cos\\phi+1)\\,d\\phi=\\left[-\\frac{1}{3}\\cos^3\\phi-\\frac{1}{2}\\sin^2\\phi+\\phi\\right]_0^{\\frac{\\pi}{2}}=\\frac{\\pi}{2}$。第六章微分方程的应用与矩阵初值问题6.14.求解初值问题$\\begin{cases}y''+4y=x\\\\y(0)=1,y'(0)=2\\end{cases}$。答案：特征方程为${\\lambda}^2+4=0$，解得${\\lambda}_1=-2i，{\\lambda}_2=2i$。所以齐次方程的通解为$y=c_1\\cos(2x)+c_2\\sin(2x)$，对非齐次方程，设其特解为y=A，代入方程解得$A=\\frac{1}{5}$。所以非齐次方程的通解为$y=c_1\\cos(2x)+c_2\\sin(2x)+\\frac{1}{5}$。代入初值条件y(0)=1，得$c_1+\\frac{1}{5}=1$，解得$c_1=\\frac{4}{5}$。代入初值条件y6.27.解方程组$\\begin{cases}x'=2x+y\\\\y'=x+2y\\end{cases}$。答案：该方程组可表示为矩阵形式$\\begin{pmatrix}x'\\\\y'\\end{pmatrix}=\\begin{pmatrix}2&1\\\\1&2\\end{pmatrix}\\begin{pmatrix}x\\\\y\\end{pmatrix}$。求解矩阵$\\begin{pmatrix}2&1\\\\1&2\\end{pmatrix}$的特征值和对应的特征向量，得到特征方程$(\\lambda-3)(\\lambda-1)=0$，所以特征值为$\\lambda_1=3，\\lambda_2=1$。对应于特征值$\\lambda_1=3$的特征向量为$\\begin{pmatrix}1\\\\1\\end{pmatrix}$，对应于特征值$\\lambda_2=1$的特征向量为$\\begin{pmatrix}1\\\\-1\\end{pmatrix}$。由于特征值都为实数，所以基本矩阵为$X=\\begin{pmatrix}1&e^t\\\\1&-e^t\\end{pmatrix}$。将原方程组右边的向量$\\begin{pmatrix}2x\\\\2y\\end{pmatrix}$表示为基本矩阵的形式，得到$\\begin{pmatrix}e^t&-e^t\\\\e^t&e^t\\end{pmatrix}\\begin{pmatrix}2x\\\\2y\\end{pmatrix}=\\begin{pmatrix}2e^tx\\\\2e^ty\\end{pmatrix}$。所以方程组的解为$\\begin{pmatrix}x\\\\y\\end{pmatrix}=X\\begin{pmatrix}2e^tx\\\\2e^ty\\end{pmatrix}=\\begin{pmatrix}e^t&-e^t\\\\e^t&e^t\\end{pmatrix}\\begin{pmatrix}2e^tx\\\\2e^ty\\end{pmatrix}=\\begin{pmatrix}e^{2t}-e^{2t}x\\\\e^{2t}+e^{2t}x\\end{pmatrix}=\\