华师一附中2024届高三《圆锥曲线大题 每日一题》试题含答案

2024华师一高三上每日一题（圆锥曲线）一、解答题1．已知为椭圆的左､右焦点，点为其上一点，且.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线与椭圆相交于两点，与轴交于点，若存在，使得，求的取值范围.2．已知椭圆的焦距，且过点（1）求椭圆的方程；（2）若斜率存在且不经过原点的直线交椭圆于两点异于椭圆的上、下顶点），当的面积最大时，求的值.3．已知椭圆C：的离心率为，上顶点为，下顶点为，，设点在直线上，过点的直线分别交椭圆于点和点，直线与轴的交点为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若的面积为的面积的2倍，求t的值.4．设双曲线：的一个焦点坐标为，离心率，，是双曲线上的两点，的中点．（1）求双曲线的方程；（2）求直线方程；(3)如果线段的垂直平分线与双曲线交于、两点，问、、、四点是否共圆？若共圆证之，若不共圆给予充分理由．5．已知椭圆过和两点.（1）求椭圆C的方程；（2）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A，B，当动点M在定直线上运动时，直线，分别交椭圆于两点P和Q（不同于B，A）.证明：点B在以为直径的圆内.6．已知双曲线的左顶点为，不与x轴平行的直线l过C的右焦点F且与C交于M，N两点.当直线l垂直于x轴时，.（1）求双曲线C的方程；（2）若直线，分别交直线于P，Q两点，求证：A，P，F，Q四点共圆.7．已知在平面直角坐标系中，动点到的距离与它到直线的距离之比为，的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）过点作直线与曲线交于不同的两点、（、在轴右侧），在线段上取异于点、的点，且满足，证明：点恒在一条直线上.8．已知双曲线与双曲线有共同的渐近线，且过点.（1）求双曲线的标准方程；（2）已知为直线上任一点，过点作双曲线的两条切线，切点分别为，过的实轴右顶点作垂直于轴的直线与直线分别交于两点，点的纵坐标分别为，求的值.9．已知双曲线的左、右焦点分别为，，是的左顶点，的离心率为2.设过的直线交的右支于、两点，其中在第一象限.（1）求的标准方程；（2）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；否则，说明理由.10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过，，，四点中的两点.（1）求抛物线的方程；（2）若直线与抛物线交于两点，与抛物线交于两点，在第一象限，在第四象限，且，求的值.11．已知F为抛物线C的焦点，过F的直线交C于A，B两点，点D在C上，使得的重心G在x轴的正半轴上，直线，分别交轴于Q，P两点.O为坐标原点，当时，.（1）求C的标准方程.（2）记P，G，Q的横坐标分别为，，，判断是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.12．已知抛物线T的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过，，，四点中的两点.（1）求抛物线T的方程：（2）已知圆，过点作圆的两条切线，分别交抛物线T于，和，四个点，试判断是否是定值?若是定值，求出定值，若不是定值，请说明理由.13．如图3所示，点，分别为椭圆的左焦点和右顶点，点为抛物线的焦点，且（为坐标原点）.

（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线交椭圆于，两点，连接，并延长交抛物线的准线于点，，求证：为定值.14．已知抛物线，为的焦点，过点的直线与交于，两点，且在，两点处的切线交于点，当与轴垂直时，．（1）求的方程；（2）证明：．15．过抛物线焦点，斜率为的直线与抛物线交于、两点，．（1）求抛物线的方程；（2）过焦点的直线，交抛物线于、两点，直线与的交点是否在一条直线上．若是，求出该直线的方程；否则，说明理由．华师一高三上每日一题（圆锥曲线）参考答案：1．(1)(2)【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，设，由可得，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，代入计算，即可得到结果.【详解】（1）由题意设椭圆的标准方程为，因为点为椭圆上一点，且，所以，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）设又，由得，，联立可得，即，，且，又，则，，，代入得，，解得.的取值范围是.2．(1)(2)【分析】（1）法一：由焦距，得到，再根据过点求解；法二：，然后利用椭圆的定义求解；法三：易证，，再求得，然后利用椭圆的定义求解；（2）设直线的方程为，，，与椭圆方程联立，利用韦达定理，然后求得原点到的距离，法一：由，由，的面积最大求解；

法二：，利用基本不等式求解；然后由求解.【详解】（1）法一解：由已知可得，，因为椭圆过点，，解得，椭圆的方程为；法二解：设椭圆的左右焦点分别是、，由已知可得，，则，，，，，椭圆的方程为；法三解：设椭圆的左右焦点分别是、，由已知可得，，则因为椭圆过点，因为，，所以，则，即，，，椭圆的方程为；（2）解：如图所示：，设直线的方程为，，，将代入椭圆方程整理得，，

，由韦达定理得：，，异于椭圆的上、下顶点，则，又原点到的距离为，法一：故，

，当时，且，的面积最大

法二：故，当且仅当时取等号，，且，的面积最大..故，.3．(1)(2)或【分析】（1）根据离心率为，，即可计算得出，，求出椭圆标准方程；（2）利用的坐标可求出直线方程，与椭圆方程联立即可解得点和点坐标，求出直线方程可得，分别写出和的面积表达式，解方程即可得.【详解】（1）如下图所示：

由题可知，可得，即；又离心率，所以，解得；所以椭圆标准方程为.（2）由（1）可知，又所以直线的斜率为，直线方程为；同理可得直线的斜率为，直线方程为；联立直线与椭圆方程，消去整理可得；设直线分别交椭圆于点和点，易知，即可得；同理直线与椭圆方程，消去整理可得；即得，即可得；可得；所以直线的方程为，即，即直线与轴的交点为定点,所以；此时的面积为；的面积为；又的面积为的面积的2倍，即，可得；解得，所以t的值为或.4．(1)(2)(3)共圆，证明过程见解析【分析】（1）利用离心率定义以及双曲线中的关系式即可求得双曲线方程；（2）设出，直线方程为，联立方程，再结合中点坐标即可求得直线的方程；（3）假设、、、四点共圆，且圆心为，只需证的中点满足即可得到、、、四点共圆.【详解】（1）由题知，，又，则，所以，则双曲线的方程为.（2）设，直线方程为，联立得，又的中点为，所以，即，解得，此时满足，故直线方程为.（3）假设、、、四点共圆，且圆心为，为圆的弦，圆心在垂直平分线上，又为圆的弦且垂直平分，圆心为中点，下面只需证的中点满足即可.由，得，，由（1）得直线方程为，由，得，的中点，，,，，，即、、、四点在以为圆心，为半径的圆上.5．(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）把给定点的坐标代入椭圆方程，求出即得.（2）设出点的坐标，求出直线的方程，分别与椭圆方程联立求出点坐标，再借助向量数量积求解即得.【详解】（1）依题意，将点和的坐标代入椭圆，得，解得，所以椭圆方程为（2）由（1）知，显然点不在x轴上，设，，直线斜率分别为，直线的方程为，的方程为，由，消去得，显然，于是，解得，则，由，消去得，显然，于是，解得，则，因此，，则，则有为钝角，所以点B在以为直径的圆内.6．(1)；(2)证明见解析【分析】（1）由题设有，求出椭圆参数，即可得椭圆方程；（2）讨论直线l斜率存在性，设直线l的方程为，联立椭圆，应用韦达定理得，，写出直线，求P，Q两点坐标，结合韦达公式求出，判断是否成立即可证结论.【详解】（1）由题意，解得，所以双曲线C的方程为；（2）当直线l斜率存在时，设直线l的方程为，由，得，,整理得，设，，所以，，所以，直线，所以，同理可得，记直线交x轴于点G，所以，又，所以，

当直线l斜率不存在时，不妨设，，则，，所以，

所以A，P，F，Q四点共圆.7．(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用距离公式结合已知条件化简可得出曲线的方程；（2）设，则，设点、、，利用向量的坐标运算可得出，，结合平方差公式以及双曲线的方程计算出，即可证得结论成立.【详解】（1）解：由题意可得，整理可得.所以，曲线的方程为.（2）证明：如下图所示：因为，设，则，设点、、，由可得，即，所以，，由可得，即，所以，，所以，，，所以，，即，所以，点在定直线上.【点睛】方法点睛：本题使用向量方法得到若干方程后，将这些方程进行整体处理，已达到消元的目的，这个方法比联立方程的计算量要小，不失为一中巧妙的方法.8．(1)；(2)【分析】（1）设双曲线，将点代入计算即可求解；（2）设，，求出m、n的表达式并分别联立双曲线方程，利用可得、，即是方程的解，根据韦达定理表示出，代入化简计算即可求解.【详解】（1）设双曲线，过点，代入坐标可得，所以双曲线C的标准方程为；（2）设，，所以，即，则，化简可得：，同理可得：；所以均是方程的解；所以，，，故.

9．(1)(2)存在，【分析】（1）根据离心率，以及，结合，即可求得曲线方程；（2）求得直线不存在斜率时满足的，当斜率存在时，将所求问题，转化为直线斜率之间的关系，结合点的坐标满足曲线方程，求解即可.【详解】（1）由题可得，故可得，则，故的标准方程为.（2）当直线斜率不存在时，对曲线，令，解得，故点的坐标为，此时，在三角形中，，故可得，则存在常数，使得成立；当直线斜率存在时，不妨设点的坐标为，，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则，，假设存在常数，使得成立，即，则一定有：，也即；又；；又点的坐标满足，则，故；故假设成立，存在实数常数，使得成立；综上所述，存在常数，使得恒成立.10．(1)(2)【分析】（1）根据抛物线的对称性，利用代入法进行求解即可；（2）设出直线，，根据直线与抛物线的位置关系得到，，再结合题目条件利用平面向量共线的性质转化，可得到，从而解出.【详解】（1）由抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴可知，点和点不可能同时在抛物线上，点和点不可能同时在抛物线上，点和点不可能同时在抛物线上，点和点也不可能同时在抛物线上，，两点分别位于第二、四象限，这样的抛物线不存在，所以抛物线只能过，，根据两点位置可设，代入点，则，得，所以，抛物线过点，满足题意．综上，抛物线的方程为．（2）设直线，，根据题意可知：，且，联立，得，则，同理联立，得，则，由得，即，所以，即，整理得，又因为，所以，由，得，联立，所以，故.

【点睛】关键点睛：本题的关键是由得到平面向量表达式.11．(1)(2)【分析】（1）先判断焦点在x轴，再根据抛物线的定义，结合即可.（2）设直线：，设，与抛物线联立，结合韦达定理，根据题意，，用表示，计算即可.【详解】（1）依题的重心G在x轴的正半轴上，因为三角形的重心一定在三角形内，则抛物线的焦点在轴上，设抛物线方程为：，当时，，则，则抛物线方程为：.（2）依题知直线的倾斜角不为0，则设直线：，设，由，得，，则，则，因为三点共线，，则，，当时，重心G不会落在x轴上，所以，解得：，同理可得：，又，则，则该定值为12．(1)(2)是定值16．【分析】（1）由题意，根据对称性可知点和点不可能同时在抛物线T上，点和点也不可能同时在抛物线T上，分别设抛物线的方程为和，再进行检验即可求解；（2）设出直线AB的方程，根据点到直线的距离公式求出的表达式，同理得到的表达式，易知是方程的两个根，利用韦达定理得到和，将直线AB与抛物线联立，利用结合韦达定理得到关于的表达式，同理得到关于的表达式，再代入式子进行求解即可．【详解】（1）抛物线T的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过，，，四点中的两点，由对称性，点和点不可能同时在抛物线T上，点和点也不可能同时在抛物线T上，则抛物线只可能开口向上或开口向右，设，若过点，则，得，∴，抛物线过点，∴符合题意；设，若过点，则，得，∴，但抛物线不过点，不合题意．综上，抛物线T的方程为．（2），设直线，即，由AB与圆相切得，∴，

设，同理可得，∴是方程的两根，．联立，消y得，∴，同理，∴所以为定值16．【点睛】方法点睛：解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．13．(1)(2)证明见解析【分析】（1）由抛物线的方程求出的长，再由求出的值；（2）设直线为，联立直线与椭圆的方程，由韦达定理结合三点共线可求出，同理求出，由向量的数量积求出，即可证明.【详解】（1）因为点为抛物线的焦点，所以，即，因为，所以，，所以，，，所以椭圆的方程为.（2）证明：由（1）可知：，，设，，，，显然直线的斜率不为0，故可设为.由得：，，，.，，三点共线，.同理：，，，故，即：.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．14．(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用抛物线过的点求抛物线方程；（2）方法一：利用导函数求出抛物线的切线方程，再根据韦达定理以及三角形的全等关系证明，方法二：利用导函数求出抛物线的切线方程，再根据韦达定理以及两点间的距离该公司证明.【详解】（1）由题意知，将代入，解得，所以当与轴垂直时，，所以，故抛物线的方程为．（2）

证明：法一：根据题意知直线的斜率存在，，设直线的方程为，，，联立得，所以，，．对求导，得，所以，所以．