1第21讲多边形与平行四边形

第21讲多边形与平行四边形多边形与平行四边形多边形平行四边形命题点1平行四边形的判定(10年3考)1．(2014·宁夏)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝2，BC＝5，∠BAD的平分线交BC于点E，且AE∥CD，则四边形ABCD的面积为_______.体验宁夏中考真题

2．(2011·宁夏)如图，已知E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE＝CF，BE＝DF，BE∥DF.求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：∵DF∥BE，∴∠DFA＝∠BEC.∵CF＝AE，∴CF＋EF＝AE＋EF，即AF＝CE.在△ADF和△CBE中，∴△ADF≌△CBE(SAS)，∴AD＝BC，∠DAC＝∠BCA，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．3．(2020·衡阳)如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是() A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC C．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD延伸训练C命题点2平行四边形的性质(10年6考)4．(2017·宁夏)如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点A′处．若∠1＝∠2＝50°，则∠A′为_______.105°5．(2016·宁夏)如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，且BE＝3，若平行四边形ABCD的周长是16，则EC等于______.26．(2020·宁夏)如图，在▱ABCD中，点E是AD的中点，连接CE并延长，交BA的延长线于点F.求证：FA＝AB.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，AB∥DC，∴∠FAE＝∠D，∠F＝∠ECD.又EA＝ED，∴△AFE≌△DCE(AAS)．∴AF＝DC.∴FA＝AB.7．(2014·宁夏)如图，在平行四边形ABCD中，将△ABC沿AC对折，使点B落在B′处，AB′和CD相交于点O.求证：OA＝OC.证明：∵△AB′C是由△ABC沿AC对折得到的图形，∴∠BAC＝∠B′AC.在平行四边形ABCD中，∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，∴∠DCA＝∠B′AC，∴OA＝OC.8．(2015·宁夏)如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点．连接AE.(1)若AB＝AE，求证：∠DAE＝∠D；(2)若点E为BC的中点，连接BD，交AE于F，求EF∶FA的值．(1)证明：∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAE.∵AE＝AB，∴∠B＝∠AEB，∴∠B＝∠DAE.∵∠B＝∠D，∴∠DAE＝∠D.

C延伸训练10．(2020·重庆B)如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，交对角线BD于点E，F.(1)若∠BCF＝60°，求∠ABC的度数；(2)求证：BE＝DF.(1)解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°.∵CF平分∠DCB，∴∠BCD＝2∠BCF.∵∠BCF＝60°，∴∠BCD＝120°，∴∠ABC＝180°－120°＝60°.

焦点1平行四边形的判定样题1如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE＝CF.求证：四边形DEBF是平行四边形．重点难点素养拓展[解答]证明：连接BD，交AC于点O.∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵AE＝CF，∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF，∴四边形DEBF是平行四边形．1．(2020·河北)如图，将△ABC绕边AC的中点O顺时针旋转180°.嘉淇发现，旋转后的△CDA与△ABC构成平行四边形，并推理如下：点A，C分别转到了点C，A处，而B点转到了点D处．∵CB＝AD，∴四边形ABCD是平行四边形．小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵CB＝AD，”和“∴四边形……”之间作补充．下列正确的是() A．嘉淇推理严谨，不必补充 B．应补充：且AB＝CD， C．应补充：且AB∥CD， D．应补充：且OA＝OC，变式训练B

方法指导判定平行四边形的基本思路：(1)若已知一组对边平行，可以证这一组对边相等或另一组对边平行．(2)若已知一组对边相等，可以证这组对边平行或另一组对边相等．(3)若已知一组对角相等，可以证另一组对角相等．(4)若已知条件与对角线有关，可以证明对角线互相平分．焦点2平行四边形的性质及相关计算样题2如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC且交AD边于点E，AB＝6cm，BC＝10cm.(1)求▱ABCD的周长；(2)求线段DE的长．[分析]

(1)已知平行四边形的两邻边，根据平行四边形的性质，对边相等，即可求出▱ABCD的周长；(2)由平行四边形的性质及角平分线的定义可得出AB＝AE，进而利用题中数值即可求出DE的长．[解答]解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝6cm，BC＝10cm.∴▱ABCD的周长为2(AB＋BC)＝2×(6＋10)＝32(cm)．(2)在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE.∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠ABE＝∠AEB，∴AE＝AB＝6cm.又AD＝BC＝10cm，∴DE＝AD－AE＝10－6＝4(cm)，即线段DE的长为4cm.3．(2020·温州)如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作▱BCDE，则∠E的度数为() A．40° B．50° C．60° D．70°D变式训练4．(2020·天津)如图，▱ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG.若AD＝3，AB＝CF＝2，则CG的长为______.

5．(2020·广元)已知▱ABCD，O为对角线AC的中点，过O的一条直线交AD于点E，交BC于点F.(1)求证：△AOE≌△COF；(2)若AE∶AD＝1∶2，△AOE的面积为2，求▱ABCD的面积．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO.∵O是AC的中点，∴OA＝OC.在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF(ASA)．

∵△AOE的面积为2，∴△ADC的面积为8，∴S▱ABCD＝2×8＝16.利用平行四边形的性质进行有关计算的一般思路为：(1)运用平行四边形的性质转化角度或线段之间的等量关系：①对边平行可得相等的角，进而可得相似三角形；②对边相等、对角线互相平分可得相等的线段；③当有角平分线的条件时，可利用“平行＋角平分线可得等腰三角形”的结论得到等角、等边．方法指导(2)找到所求线段或角所在的三角形，若三角形为特殊三角形，则注意运用特殊三角形的性质求解；若三角形为任意三角形，可以利用某两个三角形全等或相似的性质进行求解，有时还可利用三角形的中位线等知识求解．1．(2020·宜昌)游戏中有数学智慧，找起点游戏规定：从起点走五段相等直路之后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行，成功的招数不止一招，可助我们成功的一招是() A．每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走 B．每段直路要短 C．每走完一段直路后沿向右偏108°方向行走 D．每段直路要长提升数学核心素养A2．小峰不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是() A．①，② B．①，④

C．③，④