理解集合中的有关概念

第一章集合与简易逻辑、推理证明：

一、理解集合中的有关概念

1、集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性。

2、能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法、描述法）描述不同的具体问题。

注意：区分集合中元素的形式。如：A={xI=-Jx2-2x-3}；B={y\y=Vx2-2x-3]；C={（x,y）I=-Jx2-2x-3}

3、常用数集的符号表示：自然数集N；正整数集N*、N+；整数集Z；有理数集。；实数集R；复数集C

4、集合与元素的关系用符号e,e表示。

5、空集是指不含任何元素的集合。（{Oh①和{①}的区别；。与三者间的关系）

二、集合间的关系及其运算（能利用数轴或韦恩图表表达集合的关系及运算。）

1、符号“e,e”是表示元素与集合之间关系的，在立体儿何中的有来描述点与直线（面）的关系；

符号“=、是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的1、W体现面与直线（面）的关系。

2,ACl8={xIxeA且xe8}；AU8={xIxeA或xe团；CvA-{x\x&USixA}

3、①交换律：AU8=8UA；An8=8nA；

②结合律：（AUB）UC=AU（BUC）；MnB）nC=/in（BAC）

③分配律：AU（8nc）=（AUB）n（AUc）；An（BUc）=（/inB）u（Anc）

④A=（AUB）；（AnB）=4：（4nB）=（AUB）：AC\BA^B；

AUB=A=B=A；CuA）UB=U=4=8；（C04）fl8=①=B=A；

⑤（CuA）n（C*）=Cu（AU8）；（CUA）\J（CUB）=CU（AC\B）

三、集合中元素的个数的计算：

1、若集合4中有“个元素，则集合A的所有不同的子集个数为2”,所有真子集的个数是2"—1,所有非空真子集的个数是7—2

2、AU8中元素的个数的计算公式为：C〃d(AU8)=CardA+CardB-Card(AAB)；

例：50名学生做物理、化学实验，已知物理实验做得正确的有40人，化学实验做得正确的有31人，两种实验都做得错误的有41人,

问这两种实验都做对的有儿人。

四、全称量词V：“所有的”、“任意一个”、“一切”、“每一个”、“任给”（含有全称量词的命题叫做全称命题）

存在量词三：“存在一个”、“至少一个”、“有些”、“有一•个”、“对某些”、“有的”（含有存在量词的命题叫做特称命题）

全称命题的否定p：Txe例，P（x）的否定一1p：eM,—iP（x）

特称命题的否定p：HreM,P（x）的否定一1p：VxeA/,—,P（x）

五、原命题、逆否命题、否命题、逆命题的关系如图

原命题与逆否命题等价，否命题与逆命题等价

否命题和命题的否定不是同概念，如果原命题是“若p则q"，那么命题的否定是“若p则「4表示命题，即只否定结论。

六、简单命题和复合命题

逻辑连结词“或v”、“且人”、“非」”（“或”、“且”、“非”与集合的“并”、、“交”、“补”有联系）

对于“pvq”、“p/\q"、“「p”形式的复合命题用口诀：“有真或为真、两真且才真、真非假、假非真”

七、充分条件、必要条件、充要条件的概念（判断步骤：“p能否推出q”以及“q能否推出p”、区分出p和q是条件还是结论）

A={xIx满足条件p},B-{x\x满足条件q},

若p=>q且q力p,则〃是q的充分非必要条件（从集合与集合的关系上看A£B）；

若qnp且p*q,则〃是g的必要非充分条件（从集合与集合的关系上看A。8）；

若qnpUp=>q,则〃是g的充要条件（从集合与集合的关系上看A=B）；

若4»p且p4q,则〃是q的既非充分又非必要条件（从集合与集合的关系上看A生BH.B0A%

八、合情推理与演绎推理

1、归纳推理是由部分到整体、由个别到•般的推理

2、类比推理是由特殊到特殊的推理

3、归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们统称为合

情推理。

4、演绎推是由•般到特殊的推理（其模式是“三段论”）

九、直接证明与间接证明

1、综合法：执因索果

2、分析法：执果索因（在使用分析法时，要注意表达“要证……，只须证明……”）

3、在解决具问题时，分析法与综合法要结合起来使用，也就是说“两头凑”会使问题轻易解决。

4、反证法：当证明“若p，则q”感到困难时，改证它的等价命题“若则”成立

步骤：假设结论反面成立：从这个假设出发，推理论证，得出矛盾；由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确。

矛盾的来源：与原命题的条件矛盾；导出与假设相矛盾的命题；导出一个恒假命题。

十、数学归纳法：

1、数学归纳法是用来证明关于正整数命题的一种方法，若是起始值〃°,则〃0是使命题成立的最小正整数。〃=〃o

2、用数学归纳法证明题目时，其步骤如下：

①归纳奠基：当〃="0时，验证命题成立；

②归纳递推：假设当w=k（kN〃okwN*）时，命题成立，推证〃=左+1时，命题也成立，从而推出对于所有“2〃0的正整数

命题均成立。（在证明过程中，•定要用到归纳递推，否则就不是数学归纳法

例：数学归纳法证明贝努利不等式：（l+x）n>l+nx（x>—1、x/0,〃为大于1的正整数）

第二章函数

一、映射与函数：

1、映射的概念：设A、8是两个集合，如果按照某种对应法则/,对于集合4中的元素，在集合8中都有唯一的元素和它对应，这样

的对应叫做映射，记作/:A->6

①映射的三要素：集合4、B,以及从A到的对应法则了,三者缺一不可。

②映射是一种特殊的对应，映射中的集合A、8可以是数集也可以是点集或其它集合，这两个集合有先后次序，从A到8的映射与从

B到A的映射是截然不同的。

③只有“多对一”或“一对一”的对应，能够成映射，一对多对应不能构成映射。

2、函数的概念：函数是由个非空数集到另•个非空数集的映射。

二、函数的三要素：定义域、值域、对应法则。

1、相同函数的判断方法：①相同的定义域；②相同的对应法则(两点必须同时具备)

2、分段函数：在函数的定义域内，对于自变量X的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。

3、函数的表示法：图象法、列表法、解析法

4、函数解析式的求法：①定义法(拼凑)；②换元法：③待定系数法；④赋值法；⑤消去法；⑥利用函数的性质

例(1)已知/(、6+l)=x+2«,求/(x)的解析式。

(2)如果/(x)为一次函数且=2x-l,求/(x)的解析式

(3)设/(x)是R上的函数，满足/(0)=1,对任意实数x、y,有/(x-y)=/(x)-y(2x-y+1),求/(x)

(4)设/(x)是定义在(l,+o))上的一个函数,且有=—求/(x)

(5)已知函数/(X)是以2为周期的偶函数，当XW(0,1)时，/(x)=x+l,求/(X)在(1,2)的解析式。

(6)已知函数/(X)是奇函数，且当xNO时，/(x)=x2-2x,求当x<0时，/,(X)的解析式。

5、函数定义域的求法:

①当函数y=/(x)用解析式给出时，函数的定义域是使解析式有意义的实数的集合：分式的分母不等于零；偶次方根的被开方数不小

于零：对数的真数大于零；指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1

②当函数y=/(x)用图象给出时，函数的定义域是指图象在x轴投影所覆盖的实数的集合

③当函数y=/(x)用表格给出时，函数的定义哉是指表格中实数x的集合

④对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定;

⑤已知原函数的定义域求复合函数的定义域：

@已知复合函数的定义域求原函数的定义域：

⑦已知一复合函数的定义域求另一复合函数的定义域：

⑧已知函数定义域求参数的取值范围；

例(1)已知函数y=/(x)的定义域是[0,4],求00)=/(》+1)+/(》一1)的定义域。

(2)已知/(x?-3)=lg—；——，求/(x)的定义域

x-6

(3)已知函数,=/(3*)的定义域是[1,2],求函数y=/(k>g2X)的定义域

(4)已知函数/(x)=；x——的定义域是R,求实数。的取值范围。

ax+ax-3

6、函数值域的求法：

①观察法：即通过观察函数式直接得出函数的值域，此时经常需要运用如下结论：

%2>0yj~x>01x1>0Q'〉0(QW0)x2+a>a&w0(女w0)

x

②其本不等式法：转化成型如：y=x+V(A>0),利用平均值不等式a+622j法求值域；

X

2V-2_%+]

例：求函数y=-----:---的值域

x-1

③利用函数的单调性：若函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。

x2+5

例：求函数/=的值域

例：/(x)是定义H在上的函数，且满足下列两个条件：

(I)对于任意的x、yeR,有/(x+y)=/(x)+/(y)

(II)当x>0时，f(x)<0,且/(1)=—2,求函数/(x)在[—3,3]上的最大值和最小值。

ex+dB

④分离常数法：对于形如丁=------的函数，我们常采用将其分离出一个常数，即函数式变形为：y=A+------(A、B为常

ax+bax+b

数)，故函数的值域为{yIyeR且y*A}

2r-1

例：求函数y=-----的值域

2*+1

⑤配方法：对于含二次三项式的函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：/(x)=ax2+bx+cxe(〃?,")的形式来求

值域。

例：(1)求函数y=X?-4X+6xe[l,5)的值域：

(2)求函数y=^5+4x-x2的值域

⑥换元法：对一些无理函数或超越函数，通过代换把它化成有理函数，然后利用有理函数求值域的一些方法可间接地把原函数的值域求

出。(实质上是通过变量代换转化为能求值域的函数，采用化归思想)

例：y=x-j2x—4的值域

⑦三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；

例：求函数y=cos?x+J3cosx-sinx+1的值域

⑧方程法(判别式法)：利用•元二次方程根的判别式求函数值域的方法。

我们知道函数的值域是由函数的定义域与对应法则所确定的，根据这一道理，我们可将函数式看作关于x的方程，再由方程有解的

条件求出y的范围；或解出x再由函数的定义对x的限制条件，建立关于y的不等式，从而可求出函数的值域，这种方法称之为方程法。

+3

例：求函数y=-；---------的值域

x-4.X+5

⑨数形结合：根据函数的儿何图形，利用数形结合的方法来求值域。

例(1)求函数y=yjx~+2,x+2+1x~-2x+2的值域。

(2)实数x、y满足，+>2-2X-4>+1=o,求二_及>一工

x+2

⑩导函数法:

1,

例：求函数/(x)=ln(x+l)——x2(xw［0,2］)的值域

4

01)已知函数值域求参数取值范围

例：已知函数>=/-2》+3在区间［0,〃力上有最大值3,最小值2,则机的取值范围

例：已知函数y=怆［(f-V)x2+(a+l)x+1］,

(I)若函数的定义域为R,求实数a的取值范围。

(ID若函数的值域为R,求实数a的取值范围。

三、函数的性质：函数的单调性、奇偶性、周期性

1、单调性：(注意定义是相对于某个具体的区间而言。)

①定义：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个变量为、x2,当玉</时，都有/(再)</(》2)，则称/(x)在这个区

间上是增函数。

如果对于属于定义域1内某个区间上的任意两个变量X1、x2,当X1<》2时，都有/(X1)>/(x2),则称/(X)在这个区间

上是减函数。

②函数/(x)在区间上是单调递增函数，且/S)</(a),贝

函数/(x)在区间［机,〃］上是单调递减函数，且/(b)</(a),则加

③判定方法有：

(i)定义法(作差比较和作商比较)步骤：取值——作差一变形一定号——判断

例：证明/(X)=-2x在区间(1,+8)内是增函数

(ii)导数法

b

例：试讨论函数/(x)=ax+—(。〉0、6〉0)的单调性

x

(iii)复合函数法(同增异减)

例：求函数/(x)=lg(x2-2x-8)的单调减区间

(iv)对于函数/(x)=/(x)+g(x)的单调性：增+增=增，减+减=减

(v)图像法。

例：如果奇函数/(x)在区间［Q,/?］(b〉a>0)上是增函数，且最小值为〃？，那么f(x)在区间［一》,一。］上是()

A.增函数且最小值为一〃2B.增函数且最大值为一根C.减函数且最小值为一加D.减函数且最大值为一根

2、奇偶性：(注意先判别定义域是否关于原点对称，后再考察/(X)与/(一X)的关系。)

①定义：如果对于函数/(X)的定义域内任意一个x,都有/(—x)=/(x),则函数/(x)就叫偶函数。(图象关于y轴对称)

如果对于函数/(x)的定义域内任意•个x,都有/(-x)=—/(x)，则函数/(x)就叫奇函数。(图象关于原点对称)

②/(x)为偶函数，则/(x)-/(-x)=0；函数/(x)为奇函数，则/(x)+/(-x)=0

③奇函数在关于原点对称的两区间(一仇一。)和(a,b)上的单调性相同，(图象关于原点对称)；偶函数在关于原点对称的两区间

(一七一。)和(a,b)上的单调性相反(图象关于y轴对称)

④如果奇函数在x=0处有定义，则/(0)=0

⑤奇函数+奇函数仍是奇函数，奇函数X奇函数是偶函数，偶函数+偶函数是偶函数、偶函数又偶函数是偶函数

⑥构造奇(偶)函数的简单方法：

设/(x)是定义域关于原点对称的函数，则F](x)=1[/(x)+f(-x)]是偶函数，而F2(x)=是奇函数。

⑦判别方法：

(i)定义法：步骤：先考查定义域是否关于原点对称，后判断/(—x)=/(x)或/(一%)=一/(%)是否成立。

(ii)图像法

(iii)复合函数法

例：判断下列函数的奇偶性:

c'—1.x+lI~27、

(1)y=——(2)y=lg--(3)y=lg(Vx-+l+x)

e+1x-1

A2

(4)y=ln(e+1)-1(5)f(x)=^x2-1+Vl-x(6)f(x)=lg(x-2)+lg(x+2)

x—\

77T(x〉°)

.1,11._,.Vl—x~

(7)/(%)=-(----)(8)/(X)="————⑼f(x)=<0(x=0)

X3x+\2lx-21-2X+1

-二(x<0)

x-1

3、周期性:

①定义：若函数/(x)对定义域内的任意x满足：/(x+T)=/(x),则T为函数/(x)的周期。

②若函数/(x)对定义域内的任意x满足：/(x+a)=/(x-/?),则a+b为函数/(x)的周期。

(区分：函数对定义域内的任意x满足/(x+a)=/(b-x),则其图象关于直线x=9?对称)

③若函数/(x)在定义域内对任意x满足：/(x+a)=—,则/(x)是周期函数，且2a为函数/(x)的周期

④若函数/(x)(xwR)满足/(x+a)=-/(x)(a〉0),则/(x)是周期函数，且2a是它的个周期

⑤若函数/(x)(xwR)的图象关于直线x=a、x=8都对称，则/(x)是周期函数，且21匕一。1是它的•个周期

特例：偶函数/(X)(xeR)的图象关于直线x=a对称，则/(x)是周期函数，且2a是它的一个周期

⑥若函数/(x)(xeR)的图象既关于x=a,又关于点(b,c)对称，则/(x)是周期函数，且41。一村是它的一个周期

特例：奇函数/(x)(xeR)的图象关于直线x=a对称，则/(x)是周期函数，且4a是它的一个周期

©若函数/(》)(》€/?)满足/。)=/(》+。)+/(%一。)(。＞0),则/(3)是周期函数，且6a是它的一个周期

4、抽象函数的单调性和奇偶性、周期性问题。

例：定义在R上的函数/(x),对任意的a、beR,有f(a+b)=f(a)•f(b),且/(0)H0,当x>0时，f(x)>1,

(1)证明：/(0)=l

(II)证明：对任意的xeR,恒有/(x)>0

(111)证明：y=/(x)是R上的增函数

(IV)若/(X)―/(2X—X2)>1,求x的取值范围。

例：定义在实数集上的函数/(x),对任意a、beR,有/(a+瓦)+/(a-8)=2/(a),/(b),且/(0)中0。

(1)求证：/(0)=1；(2)求证：y=/(x)是偶函数

例：设/(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=l对称，对任意/、々e［0，；］都有/(~+々)=/(再>/(X2)，且

/(l)=a>0,(1)求/(g)、/(；)；(2)证明/(x)是周期函数，并求出它的•个周期。

四、图形变换：

对函数图像变换要求掌握常见基本函数的图像，掌握函数图像变换的一般规律；注意平移变化能够用向量的语言解释。

1、平移变换：

①将>=/(x)的图象沿x轴向左平移a个单位(a>0)得到函数y=/(x+a)的图象(用x+a代替x)

②将)'=/0)的图象沿x轴向右平移a个单位(a>0)得到函数丁=/(x-a)的图象(用x-a代替x)

③将y=/(x)的图象沿y轴向上平移〃个单位(〃>0)得到函数y=/(x)+6的图象(用y—b代替y)

④将y=/(%)的图象沿y轴向下平移〃个单位(6>0)得到函数y=/(x)—8的图象(用y+b代替y)

注意：(i)有系数，要先提取系数。如：把函数y=/(2x)经过得到函数y=/(2x+4)的图象。

(ii)会结合向量的平移，理解按照向量>=(〃,％)平移的意义。udg2、对称变换：

①函数y=/(x)的图象关于y轴对称的图象是函数y=/(—X)(用一x代替x)

②函数y=/(x)的图象关于x轴对称的图象是函数y=-/(x)(用一y代替y)

③函数y=/(x)的图象关于原点轴对称的图象是函数y=-/(—x)(用一x代替x、用一y代替y)

④函数y=/(x)的图象关于直线y=x对称的图象是函数y=/T(x)(交换x、y,反解)［涉及反函数，了解即可］

⑤函数y=/(x)的图象关于直线x=对称的图象是函数y=(用2m-x代替x)

⑥函数y=/(x)的图象关于点(a,b)对称的图象是函数2b—y=/(2a-x)(用2a-x代替x、2b-y代替y)

⑦若函数y=/(x)满足/(x)+/(a-x)=b,则>=/(x)的图象关于点(1,g)对称

3、翻折变换

①函数y=l/(x)l的图象是将函数丁=/(x)的图象x轴及x轴上方的图象保留，x轴下方的图象关于x轴对称

②函数y=/(IxI)的图象是将函数y=/(x)的图象y轴及y轴右边的图象保留，并且将y轴右边部分关于y轴对称

4、伸缩变换：

①将>'=/(x)的图象上各点的纵坐标变为原来的。(。〉0)倍，而横坐标不变，得到函数y=a-/(x)的图象(用上代替y)

a

②将y=/(x)的图象上各点的横坐标变原来的b(b〉0)倍，而纵坐标不变，得到函数y=/(.的图象(用楙代替x)

®y=A-+的图象可由y=/(x)经伸缩及平移得到，具体参照三角函数的图象变换。

五、反函数：(了解即可)

指数函数y=a、(a>0且awl)与对数函数y=logflx(a>0且aw1)互为反函数：它们的图象关于直线y=x对称;

x

具有相同的单调性；指数函数y=a的定义域与值域分别是对数函数y=logBx的值域与定义域。

六、常用的初等函数：

I,一元一次函数：f(x)=ax+b(a/0),当a〉0时，是增函数；当“<0时，是减函数。

为使/(x)=ax+b在区间［〃［,n］上的值恒为正，则只要保证了(加)〉0和/(〃)>0同时成立即可

2、•元二次函数：

2

“、2,八bzb4ac-bx

,般式：f(x)=QX~4-bx+c(awO)；对称轴方程是x=-----、顶点为(-----,---------)；

2a2a4。

顶点式：f(x)=a(x-h)2+k；对称轴方程是x=/z、顶点为(九左)；

X+X

两点式：/(x)=a(x-x,)(x-x2)：对称轴方程是x二।22：与1轴的交点为(为,0)、(々，°)；

①一元二次函数的单调性：/(x)=ax2+/?x+c(〃w0)

bbbb

当〃>0时，(-8,----)为减区间、(-----,4-00)为增区间；当。<0时，(-8,-----)为增区间、(-----,4-00)为减区间

2a2a2a2a

b4-cicZ>2

②求二次函数/(x)=ax2+bx+c在区间［〃?,〃］的最值问题：先采用配方法，化为y=a(x+—)2+丝匚一的形式

2a4a

b

I、若顶点的横坐标在给定的区间上，即——,则

2a

当a>0时：在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；

当a<0时：在顶点处取得最大值，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；

II、若顶点的横坐标不在给定的区间上，即-2任［相,”］,则

2a

当。>0时：最小值在距离对称轴较近的端点处取得，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；

当a<0时：最大值在距离对称轴较近的端点处取得，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；

有三个类型题型：

(1)顶点固定，区间也固定。例：求y=82+x+ixe［-1,1］的最值

(2)顶点含参数(即顶点变动)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外。

例：已知函数/(x)=-2工2+(2a—l)x-3在区间［―/,2］上的最大值为1,求实数。的值。

(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数。例：求y=》2+x+ixe［a,a+l］的最值

③对形如：y="(x)『+"(x)+c,求最值，应想到二次函数给定区间求最值

④：次方程实数根的分布问题：设实系数一元二次方程/(x)=a?+bx+c=0(a>0)的两根为芯、x2；则:

根的情况*、x2G、X2G(-00,A7?)X}>X2G(m,+8)

/、y/7

)mH_________jL

图象x

____小x—:"―*x2x

.hhb

n<-----<m-----<m----->m

2a2a2a

充要条件A—b~-4ac>0=/?2-4ac>0<A=Z?2-4^C>0

/(m)>0/(m)>0f(m)>0

f(n>0

根的情况X}e(-00,n)、x2G(772,-1-00)G(小p)、x2e(p,m)x}6(-oo,m)、x2G(m,+oo)

/w✓、y/7

_[m

n(PJm

图象---—>x

"(〃)>0

7(«)<o

充要条件V</(p)<o/(⑼<0

J(⑼<0

J(⑼>0

根的情况

x}G(n,m)或/w(〃，加)

\y/7

-4_____ni)、___{n)m

图象一'xx'

充要条件/(〃)•/(〃?)<()

b

从三个方面考虑：（1）判别式的正负；（2）区间端点函数值的正负；（3）对称轴X=——与区间端点的位置关系。

2a

若在闭区间讨论方程f（X）=O有实数解的情况，可先利用在开区间（机,〃）上实根分布的情况，得出结果，再令元=〃和

%=加检查端点的情况。

八CI八

3、反比例函数：/（%）=—（元W0）,当。>0时，在区间（—00,0）和（0,+00）上是减函数；当。<0时，区间（一8,0）和（0,+8）是

X

增函数。（注意：切不能说在区间（一8,0）U（0,+8）上是增（减）函数，

对于函数），=竺士可能通过分离常数，结合平移知识得到其图象

cx-d

4、指数函数：y=。>0且aw1）

指数运算法则及根式与指数式的互化:

①〃'"♦〃〃=am+n②暧=「"(〃*(),〃?>〃)③("")'=武

⑤⑶=《"w0)m__

④(«/?)"^a"-b"⑥a"=>0,7%,〃£N*,且72>1)

“Jbn

——I।[

⑦a"=----(a>EN*,且〃>1)⑧=a

a"

(。叫

⑨当〃为偶数时：y/=时=<当〃为奇数时：4/=a

(a<0)

指数函数：y=cix（。>0且。。1）

a>10<〃<1

/四i四

44

3/

图3

72

11

__----------------

像12Lx

123)x-3-2-1

-3-2-1

-1

-1

1、定义域是R2、值域（0,+8）3^过点（0,1）,即x=0时，y=l

性

4、在&上是增函数4、在7?上是减函数

质

当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<l当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>l

5、对数函数：y=logqx(a>0,〃w1)

对数运算法则及换底公式:

M

①log”MN=logaM+logflN②log“万=kg,M—log”N

og,1且

@lognM"-nlogaM(”eR)④a'*=N(a>0awl)

logN

⑦换底公式：log.N=&n,

⑤logfl1=0@log,,a=1

log,,,a

以e=2.71828…为底的对数记为：Inx,称为自然对数；以10为底的对数记为；Igx,称为常用对数

对数函数：y=logax（。>0且。工1）

a>10<a<l

4y卜y

33

图22

1/1

像00

/1234、

-1-11234x

/

-1-1

/

-2

-2

-3

-3

1、定义域：（0,+8）2、值域：R3、当x=l时，y=0,即过定点（1,0）

性

质4,当x>l时，y>0；当0<x<l时，y<04,当x>l时，y<0；当0<x<l时，y>0

5、在（0,+8）上是增函数5、在（0,+8）上是减函数

比较两个指数或对数的大小的基本方法是构造相应的指数或对数函数，若底数不相同时转化为同底数的指数或对数，还要注意与।比

较或与o比较。

6、辕函数：y=x"（ae7?）

性质：①所有的事函在（0+8）都有意义，并且图象都通过点3,1）

②暴函数的图象：''正抛负双、大坚小横”

③若a>0,则将函数的图象过点（0,0）,并且在区间［0,+8）上为增函数,

④若a<0,帮函数在区间［0,+oo）上为减函数，并且其图象无限接近坐标轴，但不与坐标轴相交。

练习：（1）求函数y=（g）--+2*的递增区间。

（2）求函数/（x）=log02（x-l）（x+2）的递增区间。

（3）求函数f（x）=log］（X、-6x+17）的值域。

2

（4）求函数/（x）="2x-3七’+2（a〉0且。工1）的最小值。

（5）若0Wx42,求函数y=4、”一3-2*+5的最大值和最小值。

（6）已知关于x的方程=2"3有实根，求的a的取值范围。

⑶5-a

1—X

（7）判断函数y=1g----的奇偶性和单调性。

1+X

b

7、函数/（x）=ax+—（〃〉0、/?>0）

X

定义域：（一8,0）U（0,+8）；值域：（一8,—2]U[2J拓,+8）；

奇偶性：奇函数;

单调性:增区间为（-8,一渐近线:y=ax>x=0

8、三次函数：/(x)=ax3+bx2+ex+J(〃。0)

求导得：=3«x2+2bx+c；计算△=4/-12ac=4(〃一3〃c)

a>0a<0

A=4(从-3oc)>0△=4(/-3ac)<0△=4(/-3ac)>0A=402-3ac)<0

9、三角函数参见第五章三角函数

七、函数与方程的关系

1、结合二次函数的图象，知道函数的零点和方程根的联系。

2、根的存在性定理：如果函数y=/（x）在区间[。,切上的图象是连续不断的一条曲线，并且有/（。）・/出）<0，那么函数y=/（x）

在区间（。/）内有零点，即存在c£（a/）,使得/（c）=0,这个c也就是方程/（x）=0的根。

3、根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解

八、函数模型及其应用

1、要知道指数函数、对数函数以及黑函数的增长特征，知道直线上升，指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义

2、了解函数模型（如指数函数、对数函数、基函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。

九、凹凸函数：通常我们把图向下凸的函数称为凸函数，把图形向上凸的函数称为凹函数。

1、设线段所对应的函数为y=g(x)若当/日项也］时，总有/(玉))=g(x()),则称函数/(X)为凸函

数；若当玉,时，总