静定结构的位移计算

n

，第六章静定结构的位移计算

本章提要

第一，变形体的虚功原理。

第二，利用变形体的虚功原理，建立虚拟的

力状态，根据叠加原理，得出结构在荷载作用下

的位移计算的一般公式。

第三，利用变形体的虚功原理，得出静定结

构在支座位移时位移的计算公式。

第四，线性变形体系的互等定理。

本章内容

6.1概述

6.2变形体的虚功原理

6.3位移计算的般公式单位荷载法

6.4静定结构在荷载作用下的位移计算》

6.5图乘法

6.6静定结构温度变化时的位移计算

6.7静定结构在支座移动时位移计算

6.8功的互等定理

I4返回

JI6.1概述

6.1.1结构的位移

结构在荷载作用、温度变化、支座移动、制造

误差与材料收缩等因素影响下，将发生尺寸和形状

的改变，这种改变称为变形。

结构变形后，其上各点的位置会有变动，这种

位置的变动称为位移。

ACBACB

4c^4cc%

次

3)

支座移动产生的位移——刚体位移

荷载作用产生的位移——变形体位移

制造误差产生的位移——刚体位移

温度改变产生的位移——变形体位移

，■结构的位移通常有两种：即截面移动和截面转动。

截面移动称线位移，截面形心的直线移动距离

截面转动称角位移，截面的转角,用杆轴上该点

切线方向的变化来表示。

图6.1所示刚架，在荷载作用下产生虚线所示变形。

图6.2所示结构在荷载P作用下发生如虚线所示变形

绝对位移

广义位移

相对位移

A点的线位移△A

水平线位移△AH

〔竖向线位移

S)截面A的角位移（PA

c、D两点的水平相对线位移

心CD)H=Ac+AD

A、B两个截面的相对转角"AB=9+0B

A

6.1.2计算结构位移的目的

(1)为了验算结构的刚度，即保证结构的位移不

超过允许的位移限值。

(2)为计算超静定结构打下基础。在计算超静定

结构时，单用静力平衡条件不能得到惟一确定解，

还必须考虑位移条件。

(3)在结构的施工、制作、架设、养护等过程中,

往往需要预先知道结构的变形情况，以便采取一定

的施工措施，因而也需要进行位移计算。

(4)为结构动力计算和稳定计算服务。

形体的虚功原理

6.2.1刚体体系的虚功原理及应用

结构力学的位移计算依据变形体的虚功原理。刚体虚功原理是其

特殊（简单）情况。

一、实功

1、常力实功

功功与力和位移两个因素有关，它等于物体上作

用力和沿力方向的相应位移的乘积。

例如图6.3(a)中，力P的相应位移A=AA，cosa,力

P所做的功T=P・AAlosao

图6.3⑷

又如图6.3(b)所示一转盘受力偶M=P.D作用，设转盘

在力偶作用平面内沿力偶转动方向有微小转角d。，则

此力偶所做的功应为

dT=PAAr+PBB^P(AAr+BBr)

其中：AAr=0Ad9

BF-OBdO

AAr+BB^(OA+OB)dO^Dd9

所以dT=PDdO=MdO

图6.3(b)

T=^dT=(a)

式(a)说明，力偶所做的功等于力偶矩M与角位

移。的乘积。

可以用一个公式来统一表达力或力偶做功：

T=PA(6.1)

2、静力实功（变力实功）

在静外力Fp［作用下，变形体在力的作用点沿力的方向发生位移o

静力实功为：

FPI

1、/2

Au

当静力加载时，即：Fp1由0增力口至FR

△11由0增加至

Wj=FpA/2

静力荷载，即从零到最后值有一个加载过程的荷载。静力荷载在由于自己的原因引起的相

应位移上所作的功叫静力功（实功）。对于线弹性变形体，其变形（或位移）与外力是成正

比的。所以，在线弹性体上静力荷载所作的静力功可表示为上式

—=»、虚功

在简支梁上先加载Fpi,使力Fp|作用点的位移达到终值△中再加

载Fp2,使力Fp】的作用点发生位移,力Fpi在位移上作的功叫虚

功，即：

FpiFP2

=:

W12FplA12

虚功中的力和位移两个要素不相

关。即无因果关系。虚功具有常匕「二告―一三

力功的形式

Fp2

FPi

一1—g11✓、、孑2

一峰、T一割

AllA12A22

▲虚功——力在由其它原因产生的位移上所做的功。

其中：叱2二b”品——虚功

，刚体虚功原理

▲虚功原理

［变形体虚功原理

三、刚体的虚功原理及应用

1、刚体的虚功原理

在具有理想约束的刚体体系中，若力状态中的力系满足静力平衡

条件，位移状态中的刚体位移与约束几何相容，则该力在该相应的刚

体位移上所作的外力虚功之和等于零，即w12=0.

利用虚功原理和虚功的力和位移不相关的特性，可虚设位移（或力）

状态，求实际的力（或位移）。因此，虚功原理有两种应用。

例6-27用虚位移原理求图示简支梁的B支座的反力FBy

分析:梁在荷载作用下其

支座反力有静定解，即荷

载与支座反力组成满足静

力平衡条件的力状态。若

再有一个恰当的与支座约

束相容的刚体位移状态，

就可由虚功原理求支座反

力

（实际）力状态

（虚）位移状态

解；1）切断B支座链杆，使由此得到的机构发生沿Fby方向的刚体虚

位移Q

2）令实际力系在刚体位移的虚位移上作虚功，代入Wi2=0得虚功

方程:

国AB=Fp△p=0

由虚位移图的几何关系可知△/△B=H//得:

FB、=FFa/l（t）

说胡：本例应用虚功原理求结构支座反力的方法叫虚位移法。为简单

起见，可设虚位移△B=1，则本题求解过程如下：

FByX1-Fp§p=0即，F8厂Fp6p=0

由”二"/得，FBy=Fpa//(f)

这样处理后的方法叫虚单位位移法(简称单位位移法)

单位位移法步骤:

1）去掉与拟求力相应的约束,并代以拟求力（力的方向是先假定

的），并使得到的体系（机构）沿拟求力的方向发生单位虚位移；

3）令所有外力在体系的虚位移上作虚功，建立虚位移方程并求解。

4）结果为正，所得力的方向与假定的方向相同；结果为负，所得力

的方向与假定的方向相反。

2、静定结构在支座移动时的位移计算

例6-2-2图示简支梁在B支座有沉陷b,用虚力原理求梁C点的竖

向位移Dev。

/-/b

T-

-------------------

分析：图示梁由于支座B的位移而发生如图示满足约束的实际刚体位

移状态°若再有一个恰当的满足平衡条件的力状态，就可利用虚功原

理求位移。

解；1)在结构的拟求位移点c虚设力Fp,由静力平衡条件求出支座

反力FBy=Fpa/I(f)显然虚力系是满足静力平衡条件的力

状态◎

2)令虚力系在实际位移上作虚功，由忙0,得虚功方程：

Fp-(FPa/l)b-0

△勤=ab/I(I)

说明：利用虚功原理求结构位移的方法叫虚力法。同上例一样，本例

可设一个虚单位力Fp=1»

则有FBy=a/I(t)虚功方程为：

1XACV-(a/l)b=Q△cv=ab/l(I)

这种处理后的方法又可叫虚单位荷载法(简称单位荷载法或单位力

法)。

单位力法步骤:

1）在结构某指定点拟求位移的方向上，虚设一个单位力，并由静力

平衡条件求出结构由此产生的支座反力@

2）令虚力系中的所有外力在结构的实际位移上作虚功，建立虚功方

程并求解。

3）结果为正，所得位移方向与虚单位力的方向相同；结果为负，所

得位移方向与虚单位力的方向相反。

静定结构在支座移动时的位移计算公式

1）公式推导

左图，静定刚架发生了支座位移,拟求某点E沿截面I—I方向

的位移D。

右图，在E点沿拟求位移方向虚设单位力，并求出支座反力

令虚力系中的力在实际位移上作虚功，建立虚功方程：

1XD+FA及C[+FAyc2+MAC3=O

+

整理后，得：D二-(FAX°IFAVC2+MAC3)

写成一般式:

D=FRiCj(6-27)

该式即为静定结构在支座发生位移时的位移计算公式。

位移计算步骤是：

1）虚设单位力系，并求该力系的支座反力；

2）代入计算公式，计算位移。

3）按是否与单位力的方向一致确定所得位移方向。

例6-2-3图示多跨静定梁支座B发生沉陷a,求E截面的

竖向位移DEV和D校两侧截面的相对转角。@

M=1M=1

_L

/2/

才7

Fp=i

解：1）求DEV

位移公式

ABD

D=-LFRiCj(6-27)

DE产-(3/4)a=3a/4(t)

2)求6

0="(-5/2l)a=5a/(2l)

(OO)

复习刚体体系虚功原理（虚位移原理、虚力原理）

对于具有理想约束的刚体体系，其虚功原理为：设

体系上作用任意的平衡力系，又设体系发生符合约束条

件的无限小刚体体系位移，则主动力在位移上所作的虚

功总和恒等于零。

即：W=0

理想约束——约束力在可能位移上所作的功恒等于零

的约束，如：光滑较链、刚性链杆等。

刚体一具有理想约束的质点系。刚体内力在

刚体的可能位移上所作的功恒为零。

虚功原理（又称虚位移原理、虚力原理）用于讨论静

力学问题非常方便，是分析力学的基础。

因为虚功原理中平衡力系与可能位移无关，所以既

可把位移视为虚设的，也可把力系视为虚设的。

根据虚设的对象不同，虚功原理有两种应用形式，

解决两类不同的问题。

虚功原理的两种不同应用，不但适用于刚体体系，

也适用于变形体体系。

虚设（拟）力状态——求位移

例1:

图示简支梁，支座

A向上移动一已知距离

J，现在拟求8点的竖向

线位移4B。

解：已给位移状态；

FP=1

虚设力状态，在拟求位

移4§方向上加一单位荷

数Fp=l,形成平衡力系。

FRJ=-b/a

虚功方程：4・"S・F"0

由平衡方程求出：\I=.b/a

Ag=b/a-Cj

注:FR]=■b/ci

〃、虚设力系，应用虚功原理,称为虚力原理。若

设称为虚单位荷载法。

从虚功方程在此实质上是几何方程。即利用静

力平衡求解几何问题。

°、方程求解的关键，在于拟求,方向虚设单位

荷载，利用力系平衡求出与5相应的F%即利用平衡

方程求解几何问题。

上述方法也可称为“单位荷载法”

•d.通过上例可推出静定结构支座移

动时，位移计算的一般公式。

■注：因为静定结构在支座移动作用下，不

产生反力、内力，也不引起应变；所以属于刚

体体系的位移问题，可用刚体虚功原理求解。

外支座移动时静定结构的位移计算

当支座有给定位移4时(可能不止一个)，

沿拟求位移/方何虞设相应单位荷载，并求出单

位荷载作用下的支座反力耳不

(b)令虚拟力系在实际位移上作虚功，写虚功方程：

LA+Z万RK。=0(6-3)

由虚功方程，解出所求位移：

A=-FRK・CK(6-4)

例：

图示三校刚架，

支座笈下沉Q,向

右移动。2。求较。

的竖向位移4V和

较左右截面的相对

角位移阿。

心/K=-1-1/2XCJ-1/4XC2]=c/2+C2/4⑴

①C=WFRKcK=-[-l/l^C2]=c2/l)<

6.2.2变形体的虚功原理

在荷载作用等因素影响下会产生变形的结构称为

变形体。

根据功和能的原理可得变形体的虚功原理:

任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意

一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移上所

作虚功的总和，等于变形体的内力在虚位移的

相应变形上所作虚功的总和。（证明从略）

虚功原理也可以简述为：

“外力的虚功等于内力的虚变形功”。

变形体系处于平衡的充要条件是:

对于任何虚位移，外力所作虚功总和等于各微段

上的内力在其形变上所作的虚功之和，或外力虚功等

于变形虚功。

W—W(6.2)

QI622变形体的虚功原理

做功的外力和内力称为力状态或第一状态，它

们必须满足平衡条件；位移和变形称为位移状态或

第二状态，它们必须满足变形和支座约束条件。

式(6.2)又称为虚功方程。

在虚功方程中，若取第一状态为实际状态，第

二状态为虚拟状态，也就是虚功中力状态是实际的,

位移状态是虚拟的，这时，虚功原理也称为虚位移

原理；

反之，若取第一状态为虚拟状态，第二状态为

实际状态，也就是虚功中的力状态是虚拟的，位移

状态是实际的，这时，虚功原理也称为虚力原理。

6.3位移计算的一般公式单位荷载法

图6.5(a)所示结构在荷载q作用下发生了如图中虚

线所示变形。下面来求结构上任一截面沿任一指定

方向上的位移，如K截面的水平位移AK。

在K点上作用一个水芋的单位荷载PK=1,它应与

AK相对应，如图6.5(b)所示。

虚拟状态中的外力所做虚功

c

W=PKAK+工礼公金+E^(a)

首先在图6.5⑶上取ds微段,其上由于实际荷载

所产生的内力Mp、Fsp、FNP作用下所引起的相应变形

为d。、dv、du分另ll如图6.5(c)、(d)、⑹所示,其计算

式分别为

FAK+E冗晨d<9+E但皿+沅'dv

式中，F=1贝!J

AK=2府d6+2仄・向+E网小-△冗C

经进一步推导，可得

AK=Ej等y+Ef/。ds+E产/ds-£pRiC,

京Q|□尻+吸

小户N+d/N

a）位移状态（实际状态）b）力状态（虚拟状态）

6.4静定结构在荷载作用下的位移计算

一、静定结构在荷载作用下的位移公式

如果结构只有荷载作用，因支座移动引起的刚

体位移Ci=0,位移公式则为

6.4静定结构在荷载作用下的位移计算I

利用式(6.4)计算静定结构在荷载作用下的位移时*

应根据结构的具体情况，只保留其中的一项或两项。

例如梁和刚架以弯曲变形为主，而剪切变形和轴向

变形的影响很小，也可略去，式(6.4)简化为

5=工噜ds6.5a

而在桁架中，只存在轴力，且同一杆件的轴力FN、

旦P及EA沿杆长1也为常数，包式(6.4)简生成

3Z皓ds=E■S喑6.5b

组合结构——

△Kp=可华+E胃6.5c

(1)梁和刚架

梁式杆的位移中弯矩的影响是主要的，

位移计算公式中取第一项便具有足够的工

程精度

△KPds6.6

（2）桁架

各杆为链杆，而且是同材料的等直杆。杆内

只有轴力，且处处相等。因而只取公式中的

第二项并简化为实用的形式

△KPds

JEAEA\

SFNFNP16.7

、3)组合结构

既有梁式杆，又有链杆，取用公式中的前两项

〜KP=£二^^!~6.8

(4)拱

一般计轴力、弯矩的影响，剪切变形的影响忽

略不计

警■ds+zg6.9

虚拟状态的选取

例如图6.6⑶所示悬臂刚架,横梁上作用有竖向

荷载q，当求此荷载作用下的不同位移时，其虚设单

位荷载有以下几种不同情况：

(1)欲求A点的水平线位移时，应在A点沿水平方

向加一单位集中力如图6.6(b)所示；

(2)欲求A点的角位移，应在A点加一单位力偶如

图6.6(c)所示;

(3)欲求A、B两点的相对线位移，应在A、B两

点沿AB连线方向加一对反向的单位集中力如图6.6(d)

所示；

(4)欲求A、B两截面的相对角位移，应在A、B

两截面处加一对反向的单位力偶如图6.6(e)所示。

利用单位荷载法计算结构位移的步骤是：

(1)根据欲求位移选定相应的虚拟状态；

(2)列出结构各杆段在虚拟状态下和实际荷载作

用下的内力方程；

(3)将各内力方程分别代入位移计算公式，分段

积分求总和即可计算出所求位移。

图6.6

在应用单位荷载法计算时，应据所求位移不同，设

置相应的虚拟力状态。

上页I♦返回

例6—1求图示刚架A点

的竖向位移^Ay。E、A、

I为常数。

解：1.设置虚拟状态

选取坐标如图。

则各杆弯矩方段：

AB段：V=—x,BC段：M=-L

2.实际状态中各空弯矩方程为2

-

AB段：Mp=?BC段：Mp=-彳^~

3.代入公式(6—7)得

ql?dx^4^

警守女竽喑+g)G勺)宣二,(0

例：求图示半径为R的圆弧形曲梁B点的竖向位移圈L

Fp

已知EI为常数。T

B

解：取虚力状态如下所示:

为求Mp盟M取kB隔离体如下:

O

FP=1

Mp=FpXRxSin3r

B

M=lxRxSin0

o

FxRxSindx7?xSinOxTTFR3

-p-----------------------------d也——-P-

EI4EI

)

1例题3试求图示半径为R的圆弧形曲梁B点的竖向

位移ABV。梁的抗弯刚度EI为常数。

MrP=PRsin^MKA=KsinS

<0[>

（1）在B点加一单位力（右图），写出单位力作用下的弯

矩表达式

（2）写出单位力作用下的弯矩表达式（左图）

（3）将而K、MP代入求位移公式

1兀

—F(HsinS)(PHsinS)(HdS)

PR32sin2如3=丁父")

~~EI)4EI

<0[>

【例6.1］求图6.7⑶所示悬臂梁B端的竖向位移ABV。EI

为常数。

【解】⑴取图6.7(b)所示虚力状态。

(2)实际荷载与单位荷载所引起的弯矩分别为(以下侧

受拉为正，B为原点)

2

MP=-l/2qx(0<x</)

M=-x(0<x<Z)

(3)将Mp四代入位移公式，得

。=ZfA=/f(-)(r)〃='H=翡(，)

计算结果为正，说明ABV的方向与虚设单位力方向一致。

【例6.2］试求图6.8（式所示简支梁在均布荷载q作用下:

（1）B支座处的转角；（2）梁跨中C点的竖向线位移。EI为

常数。

【解】（1）求B截面的角位移。

在B截面处加一单位力偶m=l,建立虚力状态如图

6^0实际荷载与单位荷载所引起的弯矩分别为（以A为

原点）

22

MP=qlx-q/2Xx

M=-l/lXx

将Mp、M代入位移公式得

_12

^MpMdsJ-5")(rg/3

%~』)EI~I)EI~24EI

(pB的结果为负值，表示其方向与所加的单位力偶方

向相反，即B截面逆时针转动。

(2)求跨中C点的竖向线位移

在C点加一单位力P=l,建立虚力状态如图6.8(c)所示。

实际荷载与单位荷载所引起的弯矩分别为(以A为原点)，

当OSxSl/2时，有

M=-X-—X2,M=—X

p222

因为对称关系，因此得

24

qlxqx、,5ql/1、

-----------)ax=--------(6)

A。"/22384EI

Acv的计算结果为正值，表示C点竖向线位移方向与

单位力方向相同，即C点位移向下。

【例6.3］求图6.9⑶所示悬臂刚架C截面的角位移q)c。刚

架EI为常数。

【解】(1)取图6.9(b)所示虚力状态。

(2)实际荷载与单位荷载所引起的弯矩分别为(以内侧

受拉为正)

横梁BC(以C为原点)

Mp=-Px1(0尔勺)

M=-l(0%勺)

竖柱BA(以B为原点)

Mp=-Pl(0<x2<l)

M=-l(0<x2<l)

(3)将Mp、M代入位移公式

MMn1

(Pc-------dsH-------

EIEIEl

【例6.4】计算图色31所示屋架D点的竖向位移ADV。图

中右半部分括号内数值为杆件的截面面积A(cm2),设

E=2.1X102kN/m2o

【解】⑴取图6.10⑹所示虚力状态。

(2)实际荷载和单位荷载所引起的各杆内力分别如图

6.10⑶左半部和6.10(b)左半部所示。

(3)根据A=ZNpN〃EA,可把计算数据列成表6.1。

由此求得D点竖向位移

2

ADV=(2X940.3-200)/(2.1X10)=8.0mm(；)

结果为正，表示D点位移向下。

qP=1

⑷(b)

图6.7

y血

回

政

▼

8

.

9画

G

)

⑷

图6.9

y血

20kN

20kN20kN

lOkNlOkN

20G

60(4)

B

D~H

巾kN)8m/(cm2)

40kN「40kN

⑷S)

图6.10

y返回

表6.1计算半个屋架数值

I•八l/AN，NNJ/A

.杆件慧

(mm)《mm')(i/mm)<kN)(kNzmrr>>

AE224020001.12-1.12-67.184.2

上弦

EC224020001.12-1.12-44.756.1

下弦AD400040010,0160600

斜杆ED224010002.240—22.40

EF100010010.0000

竖针

CD2ono2(KJ10.0]20200

S.940.3

返回

6.5图乘法

在计算梁和刚架的位移时，经常要为一杆件作如下

积分：—

\^-ds

』EI

当荷载较复杂或杆件数目较多时，计算工作相当繁

琐。但当组成结构各杆段符合下述条件：

(1)杆轴为直线；

(2)EI为常数；

(3)而与MP两个弯矩图中至少有一个是直线图形时.

则可用下述图乘法来代替积分运算，使计算得到简化。

如图6.11所示,设结构上AB杆段为等截面直杆,

EI为常数，图诙一段直线，而MP图为任意形状。

现以图觞基线为x轴，以M图的延长线与x轴的交

点。为原点，建立xOy坐标系，则积分式(a)可写成

MpM71

-------as二——CDy

J知£/计算位移的积分r就等于一个弯矩图

的面积w乘以其形心所对应的另一个直线弯矩图上

的竖标yc,再除以EL于是积分运算转化为数值乘

除运算，此法即称图乘法。

下面指出应用图乘法计算位移的几个具体问题

当结构某一根杆件的M图为折线形时，或者各

杆段的截面不相等时，均应分段图乘，然后进行叠

加。

竖标yc只能由直线弯矩图中取值。如果MP与M

图都是直线，则yc可取自其中任一个图形。

当图形比较复杂，其面积或形心位置不易直接

确定时，可采用叠加法。例如，图6.12(a)所示两个

梯形应用图乘法，可不必求梯形的形心位置，而将

其中一个梯形(设为MP图)分成两个三角形，分别图

乘后再叠加。

对于图6.13所示由于均布荷载q所引起的MP图,

可以把它看作是两端弯矩竖标所连成的梯形ABDC

与相应简支梁在均布荷载作用下的弯矩图叠加而成。

图614给出了位移计算时常见的几种曲线的面

积和形心的位置。

图乘法计算位移的解题步骤是：

(1)画出结构在实际荷载作用下的弯矩图Mp；

(2)据所求位移选定相应的虚拟状态，画出单位

弯矩图M；

(3)分段计算一个弯矩图形的面积&及其形心所

对应的另一个弯矩图形的竖标yc；

(4)将。、yc代入图乘法公式计算所求位移。

【例6.5］求图6.15⑶所示简支梁A端角位移①人及跨中C

点的竖向位移A.。EI为常数。

【解】(1)求(pA

①实际荷载作用下的弯矩图Mp如图6.15(b)所示。

②在A端加单位力偶m=l,其单位弯矩图而如图

6.15(c)所示。

③MP图面积及其形心对应而图竖标分别为

22

w=2/3/Xl/8qlXl=ql3/lyc=l/2

④计算(pA

q)A=l/EIXwyc=l/EIXql3/12Xl/2=ql3/24EI

(2)求ACv

①MP图仍如图6.15(b)所示。

②在C点加单位力P=l,单位弯矩图而如图6.15(d)

所示。

③计算w、yCo由于M图是折线形，故应分段图乘

再叠加。因两个弯矩图均对称，

故计算一半取两倍即可。

w=2/3Xl/8ql2Xl/2=ql3/24

yc=5/8X1/4=51/32

④计算Ay

4

Acv=2(l/EIXwyc)=5/384ql(；)

【例6.6］试求图6.16⑶所示的梁在已知荷载作用下,A

截面的角位移(PA及C点的竖向线位移Acv。EI为常数。

【解】(1)分别建立在m=l及P=1作用下的虚设状态，如

图616(c)、@所示。

(2)分别作荷载作用和单位力作用下的弯矩图，如图

6.16(b)、(c)、(d)。

(3)图形相乘。将图(b)与图(c)相乘，则得

23

(pA=-l/EI(Pa/6+qa/12)

结果为负值，表示(pA的方向与m=l的方向相反。

计算Acv时，将图(b)与图(d)相乘，这里必须注意的

是Mp图BC段的弯矩图是非标准的抛物线，所以图乘时

不能直接代入公式，应将此部分面积分解为两部分，然

后叠加，则得

34

Acv==l/EI(2/3Pa+7/24qa)(；)

【例6.7】计算图亘12回所示悬臂刚架D点的竖向位移

ADVo各杆EI如图示。

【解】⑴实际荷载作用下的弯矩图MP如图6.17(b)所示。

(2)在D端加单位力P=l,单位弯矩图M如图6.17(c)

所示。

(3)计算w、yc

图乘时应分AB、BC、CD三段进行，由于CD段

M=0,可不必计入。故只计算AB、BC两段。

AB段：叼=2/39(取自M图)

y^Pl/4

BC段：W2=212/9

y2=PV4

(4)计算ADV

ADV=1/EI(w1yG)+1/2EI(w2yC2)

=-5P13/(36EI)⑴

【例6.8】计算图包凶④所示外伸梁C点的竖向位移Acv。

EI为常数。

【解】(1)实际荷载作用下的弯矩图MP如图6P8(b)所示。

(2)在C处加竖向单位力P=l,其弯矩图M如图6.18⑴

所示。

(3)计算w、yc

BC段：Wj=ql3/48

”1=3/81

3

AB段：w2=ql/16

1/3

yC2=

3

w3=ql/24

%=1/41

(4)计算Acv

Acv=1/EI(w1ycl+叱丫cz+nyc3)

=ql4/(128EI)(n

・例5、组合结构,求4y

(1)作“尸、M,求F”、FNO

(2)图乘，求位移。

P1

丁

Pa7

MP图，图

NP图ULN图

pp

NNp

EA

——1"

―-——a2-—pa+a2'pa+厂,ipa+(-6)(-亚p)6a

石

E2I2i23J14

y

面积w

监图

B

法图

■x

B

图6.n

而KMMX=^xJ^aMPdx

1F_1

=而织。卜"tgafxdo

EI=面

11

="3"面唉

积分式A=J*杰之值

等于某一图形面积B乘以该面积形心所对应的另一直线图

形的纵yc,再除以EI。

y返回

⑷S)

图6.12

I,血

D

监图

B

图6.13

y血

二次抛物线

图6.14y返回

I・返回

q

新图

新图

图6.15

y血

图6.16返回

图6.17

返回

⑷q

图6.18♦返回

例6-5-1

简支梁B端截面的角位移和梁中点C处的竖向

位移。已知梁的EI值为常数

(a)

(b)

解：《

⑴求梁B端的角位移。

1）作在荷载作用下梁的弯矩图，

见图（b）所示。

2）作虚单位力偶作用下的弯矩图

（常称单位弯矩图），见图⑹

所示。

3）由图乘公式计算位移0

⑵求梁中点C的竖向位移ACV（步骤同上）

⑵求梁中点C的竖向位移Acv

77^77

L/4

■例6-5-2求计算图(a)所示悬臂

梁B端截面的竖向位移ABV。

IZ2

FPL/2

FPL/5

U

3FPL/10

例6-5-3

求所示刚架B点的水平位移ABH

qp^kNZm

AA

7TL

101d>Jnr

8kMn

D

22.5kNm

21.51d>ftn

(b)巴图

10dsiT

SLdNin

Fp=2kN』J

[B

y—7A

2函2

"P图

4m

E

77^7

(d)M图

例6-5-4

求：A,B两端点的相对竖向位移AAB

q=5kN/m

12kNm

lOkN

77T

(b)"p图

・课堂练习

16kN/m

8kN

2KNO

W

V

K

P

I

Z

试绘制图示结构弯矩图。

30kN30kN

3kN/m

a，IL，”“

10m10m电,10m中⑤叫

>

<1

Fs图FN图

<0[>

16kN/m

20

匚

a36

//J26

2

aa/2I

Q(kN)N(kn)

M(kN.m)M图

<0[>

三、试求图示桁架指定截面之内力。

<0[>

1

（1）作1口截面，研究其左半部：2>c=0%产-2血尸（压）

Z/=06V4=4P（拉）

（2）研究结点D：Zy=0不3=3后（拉）

（3）研究结点E：2/。=042=-4P（压）

r>

(1)作1・1截面，研究其右半部:»=0FN2=P(拉)

（2）作2・2截面，研究其右半部：E"=0FL

£峪=0FN”后P（拉）

y=0

（3）研究结点C：ZFNDC=-旧P（氏）

作3・3截面，研究其左半部：Zv=°尸刈=2行尸（拉）

<0[>

0

(1)

Z*=°NAE=/（拉）

M亭（拉）

(2)作1・1截面，研究其右半部：2"尸=°

研究结点C：Zx=0%=彳尸（拉）

(3)

(4)研究结点G：Zx=oN1=；P（拉）

>

・

四、试求图示结构A点的竖向位移。

五、

<1

6-6静定结构温度变化时的位移计算

静定结构受到温度改变的影响时,

发生满足约束允许的变形和位移，为

零内力状态。

设温度沿截面高at?d

度h以直线传递，见

图（a）,则截面上材

料的应变沿高度也

呈线性变化。因此，

杆件由于温度改变

变形后平截面假定

仍然适用。

-6静定结构温度变化时的位移计算

当静定结构温度发生变化时,由于材料热胀冷缩，结构将产生

变形和位移。设结构(见图)外侧温度升高t15内侧温度升高t2,求K点

的竖向位移_

△Kt二为里履&^+可Mrf%+4区无去(a)

现研究实际状态中任一微段ds,

由于温度变化产生的变形。

du=(atjds+at2ds)/2-atds(b)

dsA」VatJ2-ds►

若各杆均为等截面时，则有助

△Kt=珏+X------(6—12)

在应用上面二式计算时，应注意正负号的确定。当

实际温度变形与虚拟内力方向一致时其乘积为正，相反

时为负。

梁和刚架不可略去轴力的影响。

桁架在温度变化时的便移计算公式为

△Kt=XFNad(6—13)

桁架因制造误差引起的位移计算与上式类似。设各杆长

度的制造误差为△/,雪移计算公式为

△(6—14)仁W

例题1

图示简支刚架内侧温度升高25T,外侧温度升高5T，各截面为矩

形，h=0.5m,线膨胀系数a=L0310飞，击求梁中点的竖向位移ADV。

解:作出MK、于NK图后，依求位移公式计算位移：

£+/25+5

J工=------

t=—=15℃,At=t2-t]=25-5=20℃

22At

%=•必力+J%

2013

=l.0xl()—5xl5x(-lx7)+1.0xl0-5x——x(—x6x—

0.522

=0.00075m(J)

例：图示三校刚架，室内温度

比原来升高了30。，室外

温度没有变化，求c点的

竖向位移国杆件的截

面为矩形，高度h为常数,

材料的膨胀系数为EL

解：⑴在C点作用一竖向单位力画出相和N

2.082.080.38

2.082.08

Mi图

A

0.208

30°_i_n0

r=-----------------=15°4=30°-0°=30°

(2)运用公式求cv002

Acv=—0x15(0.5x10x2+0.38x5.38x2)

30(10960A

-ax—0.208x—x2+2.08x5.38=—。211.2+

hI2hJ

制造误差产生的位移采用刚体的虚力原理计算。

例：图示桁架AC杆比要求的短了2cm,求由此产生的C

点水平位移。

解：在C点作用一水平单位力，方向朝左，求出AC杆的

内力，令虚设的力到真实的位移上去做功，由虚功

造误差产生的位包」

利用虚功方程有：

得：\CH=l4lcm

例：图示悬臂梁C点由于制造误差有一转角，求由

此引起的B点竖向位移

B

ACB

解：虚设一力状态：在B点加一竖向单位力，求出C点

的弯矩，并把C点的抗弯连系去掉，用弯矩Me

表示。

制造误差产生的位移计算

利用虚功方程有：lxA§v+Mcxa=。

得：ABV=—Mexa

由制造误差引起的位移计算公式如下:

A=〉［方［河以+〉［1Q］

—虚设单位力作用下产生的轴力、

剪力和弯矩。

—制造产生的轴向变形、弯曲变

形和剪切变形。

正负号规定：虚内力与变形方向一致为正，方向相反为负。

造误差产生的位移计算

例：图示桁架DC杆短了2cm,FE杆短长了3cm,求C点的

竖向位移。

解：在C点作用一竖向单位力，求出DC杆、FE杆的

轴力：p--F=—

rNDC_4NFE]6

157

运用位移计算公式有：A=_X2+><3=

C7471677lo7

6.7静定结构在支座移动时位移计算

静定结构由于支座移动或制造误差，不引起任

何内力，且其内部亦不产生变形，但整个结构会产

生位移（纯属刚体位移）。如图6.19⑶所示刚架,支座

移动为C-C2>C3,致使整个结构移动到了虚线位

置如图示。

下面利用虚功原理求结构上任一点K沿i-i方向的

位移AKi。

以图6.19（a）为实际状态（位移状态）。为了建立虚

功方程还需选取虚拟状态（力状态），为此在K点沿i-i

方向加一个单位集中力PK=1，如图6.19（b）所示。

容易计算出由于P"1而引起的与实际位移Cl、

、

C2>C3相应的支座反力FRI—FR21FRI3。外力虚功为

W=PKAKi+SFR<：i(a)

而内力虚功应等于零，即

W』0(b)

由虚功原理w=w-即

PKAKi+SF^Ci=O

而PK=1,代入上式整理得

♦ACi(6.8)

【例6.9】已知简支梁AB跨度为/,右支座B竖直下沉A,

如图6.20(a)所示。试求梁中点C的竖向位移Acv。

【解】(1)在梁中点C处加单位力P=l,如图6.20(b)所示

(2)计算单位荷载作用下的支座反力

由于A支座无位移，故只需计算B支座反力RB即可。

由于对称，B支座反力

FRiB=l/2⑴

(3)计算Acv

A