适用于新教材2023版高中数学第七章随机变量及其分布7.5正态分布探究导学课件新人教A版选择性必修第三册

7.5正态分布第七章新课程标准素养风向标通过实际问题,借助直观观察,认识正态曲线的特点及曲线所表示的意义.1.理解正态曲线和正态分布的概念.(数学抽象)2.认识正态曲线的特点及曲线所表示的意义.(数学抽象)3.会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间内的概率.(数学运算)基础预习初探

N(μ,σ2)

x=μ

【对点练】1.已知随机变量ξ服从正态分布N(2,25),若P(ξ>c)=P(ξ<c-4),则实数c的值是 (

)A.4

B.3 C.2 D.1【解析】选A.随机变量ξ服从正态分布N(2,25),则此正态分布对应的正态密度曲线关于直线x=2对称,又P(ξ>c)=P(ξ<c-4),于是得c+(c-4)=4,解得c=4,所以实数c的值是4.

核心互动探究

【定向训练】1.正态分布有两个参数μ与σ,

相应的正态曲线的形状越扁平 (

)

A.μ越大

B.μ越小C.σ越大

D.σ越小【解析】选C.由正态曲线图象的特征知选C.

【跟踪训练】如图是当σ取三个不同值σ1,σ2,σ3时的三种正态曲线,那么σ1,σ2,σ3的大小关系是 (

)A.σ1>σ3>σ2>0 B.0<σ1<σ3<σ2C.σ1>σ2>σ3>0 D.0<σ1<σ2<σ3【解析】选D.由图可知,三种正态曲线的μ都等于0,由μ一定时,σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散,则0<σ1<σ2<σ3.探究点二

正态分布下的概率问题【典例2】(1)已知随机变量X服从正态分布,即X~N(μ,σ2),且P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.6826,若随机变量X~N(5,1),则P(X>6)≈ (

)A.0.3413 B.0.3174C.0.1587 D.0.1586【思维导引】建立已知P(μ-σ<X≤μ+σ)与所求P(X>6)的关系,直接求解.或者将所求P(X>6)用μ,σ表示出来,结合对称性,求X>6对应区域的面积,即为所求概率.

(2)设X~N(1,22),试求:①P(-1≤X≤3);②P(3≤X≤5);③P(X>5).【思维导引】将已知与所求用μ,σ表示出来,结合对称性,求对应区域的面积,即为所求概率.

【类题通法】正态分布概率求解的注意事项(1)注意对称:解答此类问题的关键在于充分利用正态曲线的对称性,把待求区间内的概率向已知区间内的概率进行转化,在此过程中注意数形结合思想的运用.(2)注意面积:正态曲线与x轴所围成的面积值为1;X落在区间[a,b]上的概率与由正态曲线、过点(a,0)和(b,0)的两条x轴的垂线及x轴所围成的图形的面积相等.(3)只需将所求随机变量取值范围的端点值转化为μ±σ,μ±2σ,μ±3σ之一,然后结合正态分布的对称性,数形结合(概率相当于面积),求解对应区域的面积即可.题目后面(或试卷前面)有参考数据,不需记忆P(μ-σ≤X≤μ+σ),P(μ-2σ≤X≤μ+2σ),P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)的值.【定向训练】1.已知随机变量X服从正态分布N(a,4),且P(X>1)=0.5,则实数a的值为 (

)A.1

B.2

C.3 D.4【解析】选A.随机变量X服从正态分布N(a,4),所以曲线关于x=a对称,由P(X>1)=0.5,可知μ=a=1.2.抽样调查表明,某校高三学生成绩ξ(总分750分)近似服从正态分布,平均成绩为500分.已知P(400<ξ<450)=0.3,则P(550<ξ<600)=

.

【解析】由图可以看出P(550<ξ<600)=P(400<ξ<450)=0.3.答案:0.3【跟踪训练】已知随机变量X服从正态分布N(4,σ2),P(X<6)=0.78,则P(X≤2)=

.

【解析】P(X≤2)=P(X≥6)=1-P(X<6)=0.22.答案:0.22

W0123P【类题通法】1.生活中常见的正态分布(1)在生产中,各种产品的质量指标一般都服从正态分布.(2)在测量中,测量结果、测量的随机误差都服从正态分布.(3)在生物学中,同一群体的某种特征都服从正态分布.(4)在气象中,某地每年某月份的平均气温、平均湿度、降雨量等都服从正态分布.2.利用3σ原则求某区间内取值概率的基本方法(1)根据题目给出的条件确定μ与σ的值.(2)将待求问题向[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]这三个区间转化.(3)利用上述区间求出相应的概率.【定向训练】1.(2022·宁波高二检测)宁波某高中某次高二年级数学测试,经抽样分析,成绩X近似服从正态分布N(90,σ2),且P(84<X≤90)=0.3,该校有500人参加此次测试,估计该校数学成绩不低于96分的学生人数为 (

)A.60

B.80

C.100

D.120【解析】选C.由题意知,P(X≤84)=P(X≤90)-P(84<X≤90)=0.5-0.3=0.2,P(X≥96)=P(X≤84)=0.2,则学生人数为500×0.2=100(人).

课堂素养达标

2.已知随机变量X服从正态分布N(4,9),且P(X≤2