Jordan标准型与矩阵可对角化

Jordan标准型与矩阵可对角化作者：徐朱城 指导老师：宛金龙摘要 本文以 -矩阵的性质为基础,对角化问题为主线，推导出线性代数中最深刻的结论——Jordan标准型定理.然后,应用Jordan标准型定理去解决Hamilton-Cayley定理分解,线性微分方程组求解的问题 .关键词 矩阵对角化 -矩阵 Smith标准型 Jordan标准型 Hamilton-Cayley定理引言n阶矩阵A与对角阵相似的充要条件是 A有n个线性无关的特征向量 .那么当只有m n)个线性无关的特征向量时 ,A与对角阵是不相似的 .对这种情况,我们“退而求其次”,寻找“几乎对角的”矩阵来与 A相似.这就引出了矩阵在相似下的各种标准型问题 .Jordan标准型是最接近对角的矩阵并且其有关的理论包含先前有关与对角阵相似的理论作为特例.此外,Jordan 标准型的广泛应用涉及到Hamilton-Cayley 定理的证明,矩阵分解,线性微分方程组的求解等等 .矩阵由于Jordan标准型的求解与特征多项式有关,而从函数的角度看,特征多项式实际上是特殊的函数矩阵（元素是函数的矩阵）,这就引出对-矩阵的研究.-矩阵及其标准型定义1称矩阵

A( ) (fij( ))为 -矩阵,其中元素fij

()(i

1,2,

1,2, 为数域F上关于 的多项式.定义2 称n阶 -矩阵

A( 是可逆的,如果有A B B A In并称B( )为A( 阵.反之亦然.定理1[1]

矩阵A(

可逆的充要条件是其行列式为非零的常数 ,即det(A( )) c 0.设A

=d是一个非零的数

表示A( )的伴

也是一个 -矩阵,且有A d1A* d1A* A I,

A( 是可逆的.(2)必要性

A( ),则A B I两边取行列式有

A B I 1由于A 与B 都是多项式,而它们的乘积为 式,即都是非零常数.证毕.例题1判断 -矩阵.解虽然

2+1 2 1A = 112+1 2 1A = 1 = 2 01A( )是满秩的,但A 不是非零常数,因而

A(

是不可逆的.注意 与数字矩阵不同的是满秩矩阵未必是可逆的 .这么定义可逆是有必逆的本质就是要保证变换的矩阵可以通过非零常数的倒数逆回去 .定义3

A( )经过有限次的初等变换化成矩阵 B( )，则称矩阵A( )等价,记为AB定理2矩阵A()B()P、Q,使得BPAQ证明因为AB所以)可以经过有限次初等变换变成B( ,即存在初等矩阵), )与初等矩阵

Q1( ),Q2( ), ( )使得B()

P1( )P2( )

)Q1( )Q2( )

)令P( )

Ps( ),Q( )

Q1()Q2()

)就是所要求的 它们都是初等矩阵的乘积 ,从而使可逆的.证毕.引理1设 -矩阵A( )=

)a21(

a12( a22(

)a2n( )am1( )

am2(

amn( )

) ,

aij()

a11,则一定可

A(

等价的矩阵,它的左上角元素不为零 ,比

.定理3任意m n阶的

A( 都必定可以通过初等变换找到一个与之等价的Smith标准型.d1( )

d2( )D dr( )00这里rank(A( )) r.

d1(),d2(), ,dr()

是首一（首项系数为 且di()|di1( )(i 1,2, ,r 1)

求 -矩阵

A(

1 21+ 2 2 2Smith.解1 21 2100A()00001 2

0 0

0 0 2即为所求的Smith标准型.2 -矩阵的性质定义4

A(

Smith标准型中的非零对角元1(),2(), dr()称为A(

的不变因子.定义5

A(

的所有非零k阶子式的首一（最高次项系数为 1）最大公因式Dk

A(

k阶行列式因子.定理4等价矩阵具有相同的秩和相同的各级行列式因子 .证明 设

A( )经过一次行初等变换化为了 B( )，f( )分别是A( )的k阶行列式因子.需要证明f( )=g( 种情况讨论：)

i,j

B( )的某)的某个阶子式反号,所以,f( )的k阶子式的从而f( )|g( ).

A(

B( )的每个k阶子式或者等于 A( )的某个k阶子式,或者等于A( )的某个k阶子式的c倍.所以,f( )的k阶子式的公因式,从而f(

g( ).

A(

ij()

B( )中那些包含i行与j行的阶子式和那些不包含i行的k阶子式都等于 A( )中对应的k阶子式；B( )中那些包子式与另一个k阶子式的 ( )的两个k阶子式的线性以,f( 阶子式公因式,从而f( )|g( ).对于列变换 ,可以一样地讨论 )经过一系列的初等变换变成B( )那么f( )|g( ).又由于初等变换的可逆性 )经过一系列的初等变换可以变成A( )|f( ).)所有的阶子式为零时 )所有的k阶子式也就等于零；反之亦然.故A( )又相同的各阶行列式因子 ,从而有相同的秩.证毕.既然初等变换不改变行列式因子 ,所以,每个 -矩阵与它的标准型有完全相同的行列式因子.而求标准型的矩阵是较为简单的 -矩阵的行列式因子时,只要求出它的标准型的行列式因子即可 .现在来计算标准型矩阵的行列式因子 .设标准型为d1( )d2( )dr( )00其中di( )(i 1, ,r)是首项系数为1的多项式,且di( )|di

1(

1,

其他的元素都是在这种形式的矩阵中如果有一个k阶子式包含的行与列的标号不完全相同 ,那么这个k阶子式一定0.,为了计算k阶行列式因子,只要看由

i1,i2, ,ik有行与

i1,i2, ,ik列(1 i1<i2

< <ik

r)组成的k阶子式就可以了,而这个k阶子式等于i d( )d(i 1 2,这种k阶子式的最大公因式就是d1( )d2( )

dik( ).dk( ).定理5矩阵A( 标准型是唯一的,并且d( ) D( ),d(

Dk( )(k

2,3, ,r).1 1

Dk1( )证明

A(

的标准是d1( )d2( )dr( ) .00d1( )d2( )由于A( )与

dr( ) 等价，则它们有相同00的秩与相同的行列式因子 A( )的秩就是标准型的主对角线上非零元素的个数r.A( )的k阶子式因子就是Dk()

d1( )d2(

dk( )

1,2, ,r)于是d( )=D( ),d(

D2( ), ,d(

Dr( ).1 1

rD1( )

Dr1( )这说明A( )的标准型的主对角线上的非零元素是被 A( 一决定的,所以A( )得标准型是唯一的 定理6

A( )等价的充要条件是它们有相同的行列式因子（或相同的不变因子） .证明：上一个定理的证明给出了 -矩阵的行列式因子与不变因子之间的个关系式说明行列式因子与不变因子是相互确定的 .因此,说两个矩阵有相同的各阶行列式因子 ,就等于说它们有相同的各级不变因子 .必要性已由定理1.2.1.然.事实上，若

A(

A( )

A(

)等价.证毕.定义6

A(

的所有非常数不变因子的首项系数为 1的不可约因式

A( 的初等因子.定理7矩阵

A( )等价的充要条件是它们有相同的初等因子 .例题3求矩阵B的初等因子,其中a bb a 1a bB=b a 1a bb a解:a bb aI B=由于有两个5阶子式

1a bb a 1a bb aa b bb a 1a bb

[( a)21

a 1, a ba 1

b3 0a a b,所以从而

D5( )=1D1( )= =D4( )=1而又B的不变因子为

D6( )= I B

[( a)2

b2]3d(

d()

D(

( a b)3( a b)3,1 5 6 6B的初等因子为( a b)3,( a b)3.Jordan标准型与矩阵可对角化在掌握了 -矩阵的基本概念:行列式因子、不变因子、初等因子基础上我们将进入Jordan标准型与矩阵可对角化理论的核心 .1 对角化的定义及判定定理定义7 如果方阵A相似于对角阵,即存在可逆矩阵P和对角阵D,使得A

1则称A.[3]8

(对角化定理) n阶矩阵A可对角化的充分必要条件是 A有n个线性无关的特征向量 .事实上,A

,D为对角阵的充分必要条件是 P的列向量是 A的n个线性无关的特征向量 .此时,D的对角线上的元素分别是 特征向量的特征值 .换句话说,A可对角化的充分必要条件是有 n个线性无关的特征向量形成n的基,我们称这样的向量为特征向量基 .证 首先看到,若P是列为1,

, ,n的任一n阶矩阵D是对角线元素为1,

2 ,n的对角阵,那么AP A 1,

2,

A 1

2, A,n

（1）而1APD P

211,

22, , n n

（2）n现在假设由（1）和（2）得

A ,用P右乘等式两边 ,则有AP PD.此时A1,A

2,

11,

2 2, ,n n

（3）,有A1=

11,A2=

2, ,An=n n

（4）因为P可逆,故P的列 1,

2, ,n必定线性无关.同样,因为这些 1,

2, ,n表示

2, ,n是特征值, 1,

2 , n是相应的特征向量.这就证明了定理中第一,第二和随后的第三个命题的必要性 .最后，给定任意n个特征向量 1,

2, ,n，用它们作为矩阵P,并用相应的特征值来构造矩阵 PD成立而不需要特征向量有任何条件 .若特征向量是线性无关的，则 P是可逆的,由AP PD可推出A 例题4,将下面的矩阵A对角化：2 4 3A解由A的特征多项式：

4 6 33 3 10 det(A

3 2 4 ( 1)( 2)2得特征值是 1和 对于 1的特征向量：11 11对于 2的特征向量：12 10没有有其他特征向量了 ,A的每个特征向量都是 1或2的倍数,因此不能利用A的特征向量构造出 3的基.由定理3.1.1,A不能对角化.2 Jordan标准型与对角化的关系定义8形如1Jn(1)1J

Jn(2)

+nk=n）2kJn(k)2k的块对角阵为Jordan,并称方阵i 1iiJn(i)ii

1

1,2, ,k)ni阶Jordan块.n注意 当J(ni

i ninii都是一阶Jordan,即Jn(1) 1,Jn(2) 2, ,Jn(k) k ,1 2 k有J为对角阵,由此看出对角阵其实只是 Jordan阵的特例.性质1 矩阵J可对角化,当且仅当k n.性质2Jordan块的个数k（相同的子块计重复出现的次数）是 J的.线性无关特征值向量的个数 .定理9 两个数字方阵相似的充要条件是它们的特征矩阵等价 .定义9 称n阶数字矩阵A的特征矩阵 E A的行列式因子、不变因子和初等因子为矩阵 A的行列式因子、不变因子和初等因子 .定理10两个数字方阵相似的充要条件是它们有相同的行列式因子 变因子）.定理11复数域上两个数字方阵相似的充要条件是它们有相同的初等因子.注意

ma m阶Jordan块a 1a1amm存在一一对应关系.因此可利用特征矩阵的初等因子求矩阵的 Jordan标准型,即有如下定理：标准型定理)复数域上任何一个数字方阵 A都与一个Jordan型矩阵相似,这个Jordan型矩阵除去其中Jordan块排序外是被 确定的,称它为A的Jordan标准型.证明:n阶复矩阵A的初等因子为12)s( )m1,( )2, ,( ms12)s其中1,

, ,s可能有相同的指数

ms也可能有相同的 初等(

m)ii对应于一个Jordan块,)ii 1iJ ( ) iii

1

1,2, 这些Jordan块构成一个Jordan,J1J2

i niniJ易知, J的初等因子就是(

1)1,(1

Js2)m2, ,(2

)ms.s.由于J与A有相同的初等因子,所以它们相似.s假设有另一个 么与A有相同的初等因子，因此，K与J除了其中Jordan块排序外是相同的，唯一性得证 .证毕.例题5在例2.2.1中求出的B( 标准型.求出例3.1.1Jordan.解由于B( )的初等因子为:BJordan标准型为a b由

3 3a b , a b1a b 1a a b 1a b 1a I A

2 4 3 14 6 3 13 3 1 ( 1)( 2)212 1 .2Jordan标准型的性质及应用Jordan标准化的应用是广泛的 ,下面将利用其给出 Hamilton Cayley定理的证明,并说明其在矩阵分解及在求解线性微分方程组中的应用 .1 Jordan标准型在证明Hamilton Cayley定理中的应用定理

Cayley定理）A是复数域C上任意n阶方阵,A的特征多项式为 ()| I 0,其中I为n阶单位矩阵.阶复方阵可以写成

1AP J,其中J是AJordan12J ,2n其中 ,

2, ,nA的特征值,故()|

I

-1)(

-2)

-n).从而

11I)(A-1

2I)

1A-nI)1=(PJP1-

1I)(

PJP1-

2I) (PJP-

P(J-

1I)(J-

2I)

nI)P0=P 2 1

1 2 1 n0 2 n 1Pn 1 n 2 00 0 0 1 n0 0 0 2 =P

P1= =00利用Hamilton Cayley定理可以简化矩阵计算 .其实,该定理换成线性变换语言为：定理14[5]（关于线性变换的 Hamilton Cayley定理） 设V为n维复

:V V为给定的线性变换 ,设1，2，

mT.fT( ) ( 1) ( m)的特征多项式.g(T表示将

fT()中的 用T代替, k用 kI代替之后所得到的常系数变换,即(T

1I）(T

mI,g(T,g(T将V中每一个向量都映为零向量：g(T)(x) 0, x V.注意 每个特征值 k都满足多项式方程

fT() Cayley定理则是说T满足方程

0.2 Jordan标准型在矩阵分解中的应用定理15 复数域C上任意n阶方阵,都等于两个对称矩阵的乘积 ,并且其中之一是的非退化的.证明：设AJordan标准型为J1J2J则存在P,使

JSPAP1 J令11Qi ,1QiJi.令Q1Q2Q ,QS则有Q' Q1

Q,J QJ'Q.故A P1JP

1QJ'QP

1)''P'P

(P1Q(P

1)')(A'P'P)令B P1Q(P

1)',C 'P'P,则A BC,B对称且非退化C为对角阵,这是因为C' P' 'PA P' '

1P P' '

1P P'Q'JPP'

JQQP P'J'QP P'J'(P')

1

P '

P C.定理16[6] 设A是数域P上的n阶方阵,能分解成P上一次因子之积 A M 阵,N相似于对角阵,且MN NM.

能分解成P上一次因子之积,说明A的Jordan标准型J是一个n阶方阵J1J2JJS令0 i1 0 iJi

Bi Ci1 0 iBi是幂零Jordan块Ci是对角阵.Ji的阶为

max(r1,r2, ,rn).则AA P1JP P1(B C)P P1BP P1CP其中C1B,CC2.CS令P1BP M,P1CPN则MkP1BkPP10P0,N相似于对角阵C,且MNP1BPP1CPP1BCPP1CBPP1CPP1BPNM.证明（证法二）由定理 12,存在可逆矩阵 P,使得A P1JP,其中Jm(1)1JJm(ss)Jm(ii)(is)是主对角线元为imJordan块.i令001NiJm(ii)iImi1,(i 1, ,s),0mmi iNi是幂零矩阵,因而N1NP1PNs也是幂零矩阵.在令1mI1MP1P,sIms则M相似于对角矩阵，并且MNNM注意 定理16等价于如下命题：设 是数域P上n维线性空间V的线性变换,则.其中是数域Pn维线性空间V的线性变换且是幂零变换, 也是数域Pn维线性空间V的线性变换且可对角化 .Jordan标准型在求解线性微分方程组中的应用例题6解线性微分方程组d 11 2dtd 24 1 32dtd 31 23dt解把微分方程组写成矩阵形式 dx Ax，dt其中1x

d 1dtd 2

1 1 04 3 02 dt dt3 d dt

1 0 2对微分方程组实行一个非奇异线性变换 X PY，其中0其中010P021，Y111于是得2 .3dy P1dxdt dt

P1AX

1APY

2 0 00 1 1 .0 0 1故d 1 2dtd 2dtd 3dt

12+ 33其一般解为

1 1cet

ctet2 2 3t3 c3e再由X PY求得原微分方程组的一般解为t 1 c2e ct 2cet c(2t

1)et2 2 3

c(t

1)et3 1 2 3其中t1,t2t3是任意常数.注意解线性微分方程组可以用 Jordan标准型来考察.设P是将A化为Jordan型的相似变换矩阵 ,若我们引进新变量 z,令y Pz,则Pdzdt亦即dz dt

APz,1APz.方程组的矩阵经过了一次相似变换 从例题6中可以看到,在解决具体问题中不仅要求出 Jordan标准型，而且需要求出变换矩阵 P,关于矩阵P的求法可参看文献[6].结束语们透彻地解决了 Jordan标准型与矩阵可对角化的问题 ,也看到了Jordan标准型在理解矩阵，多项式等方面的强大应用 .但遗憾的是在数值应用方面，几乎没有用到 Jordan标准型——这限制了其在计算机方面的应用 因为一个矩阵的Jordan标准型未必是该矩阵的各元素的连续函数，这样，矩阵的各元的一个小的变化就会引起 Jordan标准型的各元一个大的变化 .这样就不能指望用稳定的方法计算 Jordan标准型了.尽管有这样的局限性， Jordan标准型还是值得继续研究的，我们也将其更加深刻地认识到：在线性代数的理论体系下最深刻的概念之一矩阵的 标准型只不过是包含该矩阵的 GL(n,C)-轨道的某一最简单的表示 .这一更深刻的认识涉及到群表示理论 .总之，在探寻 Jordan标准型与矩阵可对角化的关系中,我们认识到了认识是无止境的这一哲学命题 ,我们也有理由相信还有更加美妙的结果在等待着我们去发现 .参考文献北京