卡尔曼滤波器的设计及应用研究

第3章无际卡尔曼滤波器（UKF）的研究3.1无际卡尔曼滤波器（UKF）原理和EKF一样，UKF也是一种递归式贝叶斯估计方法，它利用UT变换(UnscentedTransform)方法，用一组确定的取样点来近似后验概率。但是UKF不必线性化非线性状态方程和观测方程，它直接利用非线性状态方程来估算状态向量的概率密度函数（pdf）。UKF规定一组确定的取样点，当状态向量的概率密度函数是高斯型的，利用这组取样点能获取高斯密度函数的均值和协方差。当高斯型状态向量经由非线性系统进行传递时，对任何一种非线性系统，利用这组取样点能获取精确到三阶矩的后验均值和协方差。3.1.1非线性状态估计原理1.非线性系统状态估计一般描述状态方程和观测方程可表示为：（3.1）（3.2）式中，为状态量，为观测量，为系统输入，为系统噪声，且，为观测噪声，且，和相互独立且与系统状态x无关。不管条件密度函数的特征如何，最小均方估计就是条件均值。非线性状态滤波过程的实现包括一步预测与测量修正两个阶段。预测阶段：根据所有过去时刻的测量信息对状态作最小方差估计（3.3）状态估计质量的优劣利用预测误差协方差矩阵描述（3.4）修正阶段：获得当前时刻的测量信息后，对状态预测估值进行修正，得到状态的最优估计值（3.5）其中，、分别为估计值和观测值的最优预测，为滤波增益，反映了新息对估计的重要程度。（3.6）（3.7）（3.8）（3.9）描述最优状态估计值优劣的误差协方差阵确定如下：（3.10）3.1.2无际变换的基本原理UT变换的主要思想是“近似概率分布比近似非线性函数更容易”，它采用确定的点集S（又称为Sigma点）来表征输入分布（或部分统计特征），然后对每个Sigma点分别进行非线性变换，通过加权计算捕捉到变换后的统计特性。这种方法把系统当作“黑盒”来处理，因而不依赖于具体的非线性，也不必计算雅可比矩阵。UT算法的关键是Sigma点采样策略，也就是Sigma点的个数、位置以及相应权值的确定方法，保证在抓住输入变量x的分布特征的同时，使得逼近输出某些性能指标的代价函数达到最小。Unscented变换过程需要以下几步：第一步，构造Sigma点根据随机向量x的统计量和，采用对称采样策略，产生2n+1个列向量Sigma点集：（3.11）其中，n为输入状态的维数，k为尺度参数，，调整它可以提高逼近精度。为第二个尺度参数，通常设置为0或。用这组采样点可以近似表示状态x的高斯分布。第二步，对Sigma点进行非线性变换对所构造的点集{}进行非线性变换，得到变换后的Sigma点集(3.12)变换后的Sigma点集即可近似地表示的分布。第三步，计算y的均值和方差对变换后的Sigma点集进行加权处理，从而得到输出量y的均值和方差(3.13)(3.14)和分别为计算y的均值和方差所用加权(3.15)(3.16)(3.17)在均值和方差加权中需要确定、和共3和参数，它们的取值范围分别为：确定周围Sigma点的分布程度，通常设为一个较小的正数为状态分布参数，对于高斯分布是最优的，如果状态变量是单变量，则最佳的选择是。适当调节、可以提高估计均值的精度；调节可以提高方差精度。无际变换的特点：(1)对非线性函数的概率密度分布进行近似，而不是对非线性函数进行近似，即使系统的模型复杂，也不增加算法实现的难度;(2)所得到的非线性函数的统计量的准确性可以达到三阶（泰勒展开）;(3)不需要计算Jacobi矩阵，可以处理不可导非线性函数。结论本文研究了经典的卡尔曼滤波器和基于Unscented变换的卡尔曼滤波器，重点讨论了卡尔曼滤波器的基本原理和算法。在线性和非线性系统中分别对经典卡尔曼滤波和无际卡尔曼滤波进行仿真，证明了卡尔曼滤波器在预测估计中的有效性。在卡尔曼滤波器的设计中，引入Unscented变换，将输入矢量的统计特性通过非线性系统传播，较好克服了传统的扩展卡尔曼滤波器在通过非线性系统时，由线性化引起的较大截断误差，并且无需求解雅可比矩阵。通过在故障检测中的预测分析后，证明了Unscented卡尔曼滤波器具有良好的性能。总之，我们可以乐观地预测，在未来的发展中，基于UKF滤波算法的应用将在非线性预测和估计领域大有作为。

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