2022年高考数学必备技能：二级结论速解

专题01子集、交集、并集、补集之间的关系式

一、结论

1、子集、交集、并集、补集之间的关系式：

4=8=Nn8=/=/U8=6=NnC/8=0=C/U8=/（其中/为全集）

（1）当4=5时，显然成立

（2）当”8时，恂?〃图如图所示，结论正确.

2、子集个数问题：若一个集合/含有〃（〃eND个元素，则集合/的子集有2"个，非空子集有2"-1个.

真子集有2"一1个，非空真子集有2"-2个.

理解：N的子集有2"个，从每个元素的取舍来理解，例如每个元素都有两种选择，则〃个元素共有2"种选

择，该结论需要掌握并会灵活应用.

二、典型例题（高考真题+高考模拟）

1.（2012•湖北・高考（文））己知集合/=卜|*-3》+2=0,X€"，8={x|0<x<5,xeW，则满足条件

/=的集合C的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【解析】求解一元二次方程，得

Z={x|X。-3x+2=0,xeR}={x|=0,xeR}

={1,2},易知8={X[0<X<5,XGN}={1,2,3,4}.

因为ZqCqB,所以根据子集的定义，

集合C必须含有元素1,2,且可能含有元素3,4,

原题即求集合{3,4}的子集个数，即有2?=4个，故选D.

【反思】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，由于集合元素个数少，也

可采用列举法，列出集合C的所有可能情况，再数个数即可.

2.（2021•全国•模拟预测）已知集合[={x|2<x<4},5={x||2x-2a-l|<l},若/口8=8,则实数。的取

值范围是（）

A.（1,3）B.（2,3）C.[1,3]D.[2,3]

【答案】B

【解析】解不等式|2X-2"1|41,得aW“+l,所以8={中4

由/口8=8,得画出数轴:

故选：B

【反思】在利用数轴求8U4包含关系时，特别注意最后答案区间的开闭细节问题；解此类题目时可以遵

循两步法原则：

①先确定大方向：由8a4,结合数轴

\a>2

可以得到：,〃注意此时不要把等号写上去，所谓先确定大方向，就是只确定。与2的大小，a+1与4

[a+l<4

的大小；

②再确定个别点：经过上述步骤再确定”不等式组中等号是否可以取到等号；假设。=2；则由数轴

[a+\<4

可以观察出几何力={x|2<x<4}中左端是开区间；而集合8={x|a«xWa+l}左端是闭区间，结合数轴假设

[a>2

。二2不成立；同理假设。+1=4,也不成立；故本题最后得到的关系式为,

〃+1<4

三、针对训练举一反三

（2013•福建•高考真题（文））若集合4={1,2,3}，8={1,3,4},贝必CI2的子集个数为

2.（2011・安徽•高考真题（理））设集合4={1,2,3,4,5,6},8={4,5,6,7},则满足5勺4目.5口8*0的集合5

的个数为

3.（2022•安徽黄山•一模（文））已知集合S=k|s=2〃+l,〃eZ},7={小|<3},则SDT的真子集的个

数是（)

A.1B.2C.3D.4

4.（2022•全国•模拟预测）已知4={-2,-1,0,1,3,4},8=k|2、一2〉1},则为口佃町的子集的个数为（）

A.3B.4C.15D.16

5.（2022,重庆实验外国语学校一模）已知集合4={X£N^£N）,则集合A的所有非空子集的个数为

（）

A.5个B.6个C.7个D.8个

6.（2021・全国•模拟预测）已知集合/=卜卜2（-一］）=0},%={机,疗}，若〃UN=〃，则%=（）

A.-1B.-1或0C.±1D.0或±1

7.（2021•江西・新余市第一中学模拟预测（理））已知集合4={x,2+3X-4=0},集合

5={x|x2+（a+1）x-a-2=0},且XU8=/,则实数°的取值集合为（）

A.{-3,2}B.{-3,0,2}

C.{a\a>-3}D.{4°<-3或0=2}

8.（2021•全国全国•模拟预测）已知集合0={x|2x2-7x4O,xeN},且？UQ,则满足条件的集合P的个

数是（）

A.8B.9C.15D.16

9.（2021・辽宁实验中学二模）已知非空集合A、B、C满足：A^B^C,AHC^B.则（）.

A.B=CB.^G（SUC）

C.（8cC）a/D./c8=ZcC

10.（2021・湖南•雅礼中学高一期中）定义4区8=，卜=中+：/€4y€8卜设集合/={0,2},5={1,2）,

C={1},则集合（/③8）®C的所有子集中的所有元素之和为.

11.（2022•全国•高三专题练习）集合S={0,1,2,3,4,5},A是5的一个子集，当xw4时，若有x-1AKx+1A,

则称X为A的一个〃孤立元素〃，那么S的4元子集中无“孤立元素〃的子集个数是.

12.（2022・天津西青,高三期末）若集合/={0,1,2,3},8=例夕=/-1,》€4},则集合8的所有子集的个数

是

13.（2021•江西•模拟预测）设全集U=R,集合/={串--9》+440},B=[x\2-a<x<a].

⑴当a=2时，求q（NuB）；

⑵若/门8=/1,求实数”的取值范围.

14.（2021•江西•模拟预测）设全集U=R,集合4={x|2“4x4a+l},8=[x；<4*<64

⑴当“=-1时，求40（电8）；

（2）^AQB=A,求实数。的取值范围.

15.（2021•陕西•高新一中高一期中）已知集合工=k1/+2X一3<0},8=廿|^<-1或

y>y）,C={x\-2<x<m+\],其中〃？>-3.

⑴求力8；

（2）若（/U8）nc=c,求实数也的取值范围.

16.（2021•安徽•芜湖一中高一阶段练习）已知集合/（={x|-24xV5},8={x|m+lVxV2"Ll}.

⑴当力={xwZ|-24x45}时，求A的非空真子集的个数；

⑵若/口8=/,求实数机的取值范围；

（3）若力仆8=0,求实数，”的取值范围.

专题02交、并、补（且、或、非）之间的关系（德•摩根定律）

一、结论

交、并、补（且、或、非）之间的关系（德•摩根定律）

⑴集合形式0,（4n8）=a⑷u（C8），c（/u8）=c/）n（C6）

（2）命题形式:TpA4）=（―ip）V（―14），—,（/?V^）=（―i/>）A（―17）

二、典型例题

1.（2017•四川•三模（理））已知全集U,集合M,N满足MuNqU,则下列结论正确的是（）

A.MUN=UB.（赖/）（"|（”）=0

C.“n&N）=0D.（胭）U（uN）=U

【解析】

全集U,集合"，N满足M^NgU,

绘制Venn图，如下:

对于A：MuN=N,A错误；

对于B：（枷）n（”）=；f（MUN）=°N,B错误；

对于C：Me（为N）=0,C正确；

对于D：（树川（9）=疫（〃口%）=』；D错误；

故选：C

【反思】本题主要借助〃图，对于B,D选项，充分利用德摩根律

G（/n8）=（CMU（C8）,GG4U8）=（C/）n（G8）,再结合〃图，可以快速，准确判断正误.

2.（2011•广东汕头•一模（理））设，、$2、$3是全集。的三个非空子集，且EUSzUSs：。，则下面论断

正确的是

A.q；s3n（s2us,）=0B.s,^（^s2nt,.s3）

C.那「於2口33=0D.S,e（^S2U

【解析】

根据公式领4c8）=（M）u（4）,^（AuB）=（vA）r＞（vB）,即可推出正确的结论.

,:S|uS2oS3=U,

uS2c瘠S3=（5jS2oS3）=N=0.

故选：C.

【反思】本题考查交、并、补集的混合运算，熟练运用公式赖/CB）=（J）5*），赖XDB）=（川）c（涉）

是解题的关键。

三、针对训练举一反三

1.（2021•上海市进才中学高一期中）已知。为全集，集合A、8非空，且/uB,则下列式子中一定是

空集的为（）

A.B./2为8）

C.俺4）c（08）D.（瘠/）U（/）

2.（2021•全国•高一课时练习）己知。为全集，则下列说法错误的是（）

A.若/n8=0,则（领）U（/）=uB.若zn5=0,则Z=0或8=0

C.若NU8=U,则（膨）n（/）=0D.若ZU8=0,则4=8=0

3.（2021嚏国福一单元测试）已知集合A中有10个元素，8中有6个元素，全集。有18个元素，/I8*0.

设集合（瘠/）n（u8）中有x个元素，则x的取值范围是（）

A.|x|3<x<8,xeN}B.^x|2<x<8,xeN1

C.|x[8<x<12,xeN|D.|x|10<x<15,xeN|

4.（2020•浙江•）已知全集U=中有0个元素，（知4）U（4）中有〃个元素，若/CIS非空，则/QB

的元素个数为（）.

A.mB.nC.m+nD.

5.（2021•全国•高一单元测试）已知全集U=R,则（瘩A/）U（十）=（）

A.a（〃nN）B.MCNC.M\JND.R

6.（2017•上海市育才中学）集合〃中有10个元素，8中有6个元素，全集。有18个元素，设集合CJZU8）

有x个元素，则x的所有取值组成的集合为.

7.（2019•河南•高一阶段练习）已知函数〃x）=JTP■的定义域为4函数g（x）=ln（l-x）+ln（x+1）的

定义域为6,设全集U=R,则（取）U（胆）=.

8.（2021•宁夏•吴忠中学高一期中）下列命题之中，U为全集时，下列说法正确的是.

⑴若"n8=0,则（q/）U（Cu8）=U；⑵若/ns=0,则4=0或8=0;

⑶若ZU8=U,则（4/）0（。4）=0；⑷若/UB=0,则4=5=0.

9.（2021•天津市滨海新区大港实验中学高一阶段练习）全集庐A,已知集合/={x|（x-3）（x+2）>0},

B={x|-3<2x-3<5},C-{x\aJr2<x<2a+1}.

⑴求/n8,4UB,（疹mn（*）；

（2）若81C=C，求。的范围.

10.(2020•江苏省板浦高级中学高一阶段练习)设全集U=[o,8],集合力={x|24xW5},8={x|14x46},

(1)求8n(C").

(2)求(C/)U(Q8)

专题03奇函数的最值性质

一、结论

①已知函数/(X)是定义在区间D上的奇函数,则对任意的xe。，都有/(X)+/(-X)=0.

②特别地，若奇函数/(X)在D上有最值,则/(x)max+/(》)*=0;

③若OcOOe。，则有f(0)=0.(若/(x)是奇函数，且0eQ=/(0)=0,特别提醒反之不成立)

二、典型例题

1.(2012•全国•高考真题(文))设函数/(x)=(x+l『+：inx的最大值为〃,最小值为〃，，则

m+M=.

【解析】/■(x)=^1j2-SinX=1+2xtSinX»令g(x)=24s，,则g(x)为奇函数，

所以g(x)的最大值和最小值和为0,又g(x)=

有历-1+”?-1=0,即加+M=2.

答案为：2.

【反思】本题中/(x)不是奇函数，无法直接使用结论，但是通过构造g(x)=/(x)-l,使得g(x)是奇函数,

从而有g(x)max+g(x)min=0n"_l+m_]=0nW+m=2

2.(2022•江苏盐城•一模)若/(x)=(x+3)5+(x+m)5是奇函数，贝|j〃?=.

【解析】因为〃x)=(x+3)5+(x+⑼5是奇函数，并且/(X)定义域为及

所以有/(。)=。，即3'+疝=0=加=—3.

【反思】在本例中，由于/(x)是奇函数，并且0属于定义域，所以可以直接利用奇函数性质/(0)=0求解

三、针对训练举一反三

1.（2022•河南•高三阶段练习（文））已知为奇函数，当X20时，〃x）=x2-4'+/,则当》＜0时,

〃x）=（）

22X

A.X-4^+1B.-X-4-1

C.-x2+4"J-1D.-x2+4v+1

2.（2022•湖北•十堰市教育科学研究院高三期末）已知y=/（x）是定义在R上的奇函数，且当xNO时，

/（x）=x2+OJC4-674-1,则/（-2）=（）

A.-2B.2C.-6D.6

3.（2022•四川遂宁•高一期末）若函数/（幻=小+伙，-eT）+3在（-8,0）上有最小值一6,（a,6为常数）,

则函数/（X）在（0,”）上（）

A.有最大值5B.有最小值5

C.有最大值9D.有最大值12

4.（2017•山西・（理））若对Vx,yeR,有/（x+y）=〃x）+/（y）-3,则函数g@）=言+〃可在

［-2017,2017］上的最大值与最小值的和为

A.4B.6C.9D.12

5.（2021•甘肃省民乐县第一中学（文））设函数/（xjno?+bsinx+clnk+mj+B的最大值为5,则

/（X）的最小值为（）

A.-5B.1C.2D.3

6.（2022・湖北•高一期末）已知函数/。）=3/+/+5》+2,若〃a）+/（2a-l）＞4,则实数。的取值范围

是（）

A.（；，+8）B.卜00，；）C.（-8,3）D.（3,+oo）

7.（2021•江西•模拟预测）已知函数/（乃=二：2在［-2021,2021］上的最大值与最小值分别为〃，加，则

3,4-1

M-\-m=.

8.（2022•全国•高三专题练习）定义在R上的奇函数g（x）,设函数/（x）=a+¥+g（x）的最大值为在,最小

X+1

值为加，贝!|"+〃7=_.

I

9.（2022•全国•高三专题练习）设函数的最大值为"，最小值为加，则M+加=_.

x2+1

10.（2021•江西•贵溪市实验中学高二阶段练习）己知定义域为R的函数/（、）=/詈是奇函数，则实数“

的值.

11.（2021•山东省莱西市第一中学高一阶段练习）设函数/（X）=〉-2）；；；COS3X的最大值为〃,最小

值为加厕"+.

州+2+X+9

12.（2021・陕西高新一中高一期中）已知函数的最大值为用，最小值为加，求"+”的

值.

专题04指数函数与对数函数互为反函数

一、结论

若函数y=/（x）是定义在非空数集。上的单调函数，则存在反函数y=/T（x）.特别地，丁=优与

y=logflx（。〉0且。。1）互为反函数.

在同一直角坐标系内，两函数互为反函数图象关于y=x对称，即（XoJGo））与（〃/）,/）分别在函

数卜=/（X）与反函数y=/“（X）的图象上.

若方程x+/（x）=左的根为项，方程x+/T（x）=A的根为X2,那么项+/=左.

二、典型例题

1.若实数。满足e'+x-2=0,实数b满足lnx+x—2=0,则a+b=

解析：同底数的指数函数和对数函数互为反函数，图像关于y=x对称，可知x=a是函数y=，和

y=-了+2交点的横坐标，同理x=b是函数y=lnx与y=-1+2交点的横坐标，且歹=一1+2与y=x垂

=>x=1,所以x=a,x=b关于x=l对称，所以Q+6=2

y=-x+2

【反思】对于利用反函数解题问题，首先要判断题目中两个函数互为反函数，然后再重复利用结论：若方

程x+/(x)=上的根为玉，方程x+/T(x)=《的根为马，那么X+±=h可快速解题.

2.设点尸为曲线£上的动点，。为曲线G上的动点，则称|PQ|的最小值为曲线£，G之间的距离，记

为：.若G-2y=0,C2:In%+In2=,则"(G，。?)="(£<2)=

解析：y=g和夕=ln2x互为反函数，关于y=x对称，设与y=x平行的直线《分别与'

XX

y=ln2x相切于点M,N,则d(G，C2)=|MN|,由y得V=]=lnx=ln2,即"(ln2,l),由

y=ln2x得y'=-=\^x=l,即N(l,ln2),所以

X

d(G,。2)=1MN|=J(l_ln2)2+(ln2-l)2=72(1-In2)

【反思】反函数问题的重点就是图象关于_y=x对称，这也是解题的关键，在利用反函数解题时，注意配

图，在图象中寻找解题突破口，数形结合.

三、针对训练举一反三

1.已知苞是方程X+2*=4的根，%是方程x+log2X=4的根，则斗+工2=

2.已知再是方程x+lgx=3的一个根，%方程x+10*=3的一个根，则%+%=

3.已知函数/(x)=&,xe[Le],g(x)=(与，若/(x),g(x)图象上分别存在点M,N关于直线N=x

ee

对称，则实数左的取值范围为()

1232

A.[一一,e]B.[一一,2e]C.[一一,3e]D.(一一,2e)

eeee

4.若须是方程xeY=/的解，/是方程xlnx=/的解，则玉/=()

4

A.eB./c./D.E

5.已知实数凡b满足Q=1()7-a,lgb=l()4-3一3,则/=

6.已知实数P，4满足2。+p=5,log2y]q+l+q-\,则p+2q=()

A.1B.2C.3D.4

3专题05函数周期性问题

一、结论

已知定义在R上的函数/(幻,若对任意xeR,总存在非零常数T,使得八x+7)=/(%),则称/(x)

是周期函数，T为其一个周期.除周期函数的定义外,还有一些常见的与周期函数有关的结论如下：

(D如果/(，+。)=-Ax)。0),那么/(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a

⑵如果/(%+。)=1(aH0),那么/(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.

/(x)

⑶如果/(x+。)=一1(aH0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.

f(x)

(4)如果/(x+a)+〃x)=c(。h0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.

⑸如果f(x+a)=/(x+6)(。工01#0),那么/(%)是周期函数,其中的一个周期T=|a-b|.

(6)如果/(X)=/(x+。)+f(x-a)(ah0),那么/(x)是周期函数,其中的一个周期T=6a.

二、典型例题

1.(2021•全国•高考真题)已知函数〃x)的定义域为R,〃x+2)为偶函数，/(2x+I)为奇函数，则()

A.=0B./(-1)=0C./(2)=0D./(4)=0

【答案】B

【解析】

因为函数/(x+2)为偶函数，则/(2+x)=〃2-x),可得/(x+3)=/(l-x),

因为函数〃2x+l)为奇函数，则为l-2x)=-/(2x+l),所以，/(l-x)=-/'(x+l),

所以，/(x+3)=—/(x+l)=/(x-l),即/(x)=/(x+4),

故函数/(X)是以4为周期的周期函数，

因为函数尸(x)=〃2*+l)为奇函数，则尸(0)=/⑴=0,

故〃T)=-/、(l)=0,其它三个选项未知.

故选：B.

解法二：因为函数/(x+2)为偶函数，所以其图象关于x=0对称，则函数/(x)的图象关于直线x=2对

称；所以/(—x)=〃x+4)…⑴；

又函数/(2x+l)为奇函数，所以其关于(0,0)对称；

横坐标向右平移1个单位1出巫卜.b

/(2x+l)---------------2-------->7(2(X-1升l)=f(2x)横，林伸长为原来2倍>/(X)

通过图象平移伸缩变换，可以得到/(2x)关于(；,0)对称，进而/(x)关于(1,0)对称；

可得：f(-x)=-f(x+2)-(2).综合⑴⑵可得“x+4)=—/(x+2)n/(x+2)=-②x)；利用

结论/(x+a)=-f(x)的周期为7=2。，故本题中/(x)的周期为7=4

利用/(-X)=-f(x+2)…(2)可得/(-1)=一"3)=-/(3-4)=-/(-I)=2/(-1)=0=>/(-1)=0

【反思】本例中涉及周期性，奇偶性，对称性的综合问题，其中求解周期的常用结论需直接记忆，可直接

使用，本文中的6个周期结论直接记忆，可快速求周期.

对称性问题：

f(a+x)=f(a-x)

①轴对称问题：/(x)关于x=a对称，可得到如下结论中任意一个：J/(x)=/(2«-x)；

f(~x)=.f(2a+x)

rf(a+x)=-f(a-x)

②点对称问题：/(x)关于(a,0)对称，可得到如下结论中任意一个：</(x)=—/(2a—x):

/(-x)=-/(2a+x)

2.(2021•全国•高考真题(理))设函数〃x)的定义域为R,/(x+1)为奇函数，/(x+2)为偶函数，当xe[l,2]

时，f(x)=ax2+h.若/(0)+〃3)=6,则/(|)=(

)

.935

A.—B.—C.一D.-

4242

【答案】D

【解析】

令X=l,由①得：/(0)=-/(2)=-(4a+6),由②得:y(3)=〃l)=a+b,

因为/(0)+/(3)=6,所以-(4a+b)+a+b=6=a=-2,

令x=0,由①得：/(l)=-/(l)n/(l)=0=b=2,所以/(X)=_2X2+2.

因为/(x+1)是奇函数，所以/(x+1)图象关于(0,0)对称，/(x+1)横坐标向右平树个单位＞/*)所以/(x)关

于(1,0)对称，得:

/(-%)=-/(2+%)-(1)

因为/(x+2)是偶函数，所以〃x+2)图象关于x=0对称；

/(X+2)横坐标向右平移2个单位＞/1),所以/(X)关于x=2对称，得：

/(-x)=/(4+x)…(2)；综合(1)(2)得到：

f(x+4)=-f(x+2)nj\x+2)=-/(x)得到7=4

所以/弓］=/(3'再利用/(一口=一/(2+力…⑴令x=-g代入：/(^)=-/(|)=|

故选：D.

【反思】本例中涉及周期性，奇偶性，对称性的综合问题，其中求解周期的常用结论需直接记忆，可直接

使用，本文中的6个周期结论直接记忆，可快速求周期.

三、针对训练举一反三

1.(2008•湖北,高考真题(文))己知/⑺在R上是奇函数，且〃x+4)=/(x),当xe(0,2)时,f(x)=2x2,

贝4/(7)=

A.-2B.2C.-98D.98

2.(2021•全国•模拟预测(文))已知定义在R上的偶函数/(x),对VxeR,有〃x+6)=〃x)+/(3)成立,

当04x43时，f(x)=2x-6,则〃2021)=()

A.0B.-2C.-4D.2

3.(2021•江西•三模(理))已知函数的图象关于原点对称,且满足/(x+l)+/(3-x)=0,且当xe(2,4)

时，/(x)=-logi(x-l)+机，若」(2021)-1=〃_］),则机=()

22

4343

A.-B.-C.—D.—

3434

4.(2021・四川・石室中学模拟预测(理))已知定义域为区的奇函数/(刈满足/(丫+4)二/'")=〃2),当工€(0,2)

时，/(X)=2X2-3X+1,则函数y=/(x)在［T,4］上零点的个数为()

A.10B.11C.12D.13

5.(2021•广西玉林•模拟预测(文))已知定义在R上的偶函数"X)满足/(x+3)=/(3-x),且当xe(0,3),

f(x)=xex,则下面结论正确的是()

A.〃ln3)</[S</(e)

B.

C.,/fyk/(e)</(ln3)D./(In3)</(e)</^yj

6.(2021•黑龙江•佳木斯一中三模(理))已知y=/(x)为奇函数且对任意xeR,/(x+2)=/(-x),若

当xe[0,l]时，/(x)=log2(x+«),则/(2021)=()

A.-1B.0C.1D.2

7.(2021•浙江•瑞安中学模拟预测)已知函数/(%)是定义在H上的奇函数，满足/(x+2)=/(r),且当

x«0,l]时，/(x)=log2(x+l),则函数歹=/(%)—d的零点个数是()

A.2B.3C.4D.5

8.(2021・陕西•模拟预测(文))已知定义在R上的奇函数〃x)满足/(x)=〃2-x).当14x42时，

/(x)=log2(x+7),则/(2021)=()

A.3B.-3C.-5D.5

9.(2021・全国・模拟预测)已知/3是定义在尺上的偶函数,且心€/?,/(4-\)+/3=0.若/(1)-/(3)=6,

则/⑵)=.

10.(2021•陕西•二模(理))已知定义在火上的奇函数y=/(x)满足/(x+8)+/(x)=0,且"5)=5,则

/(2019)+/(2024)=.

专题06函数图象的对称性

一、结论

已知函数/(X)是定义在及上的函数.

(1)若/(X+幻=f(b-x)恒成立,则y=/(x)的图象关于直线X=一对称,特别地，若

f(a+x)=j\a-x)恒成立,则y=/(x)的图象关于直线x=a对称；

f(a+x)^f(a-x)

最常逆应用：若丁=/(x)关于x=a对称：可得到如下结论中任意一个：\f[x}=f(2a-x)；

/(—x)=/(2a+x)

周期性与对称性记忆口诀：同号周期，异号对称.

(2)若/(。+》)=一/(1)+。，则y=/(x)的图象关于点(一,|)对称.

特别地，若f(a+x)=~J\a-x)+2b恒成立,则y=f(x)的图象关于点(a,h)对称.

特别地,若f(a+x)=-/("x)恒成立,则y=/(x)的图象关于点(a,0)对称.

f(a+x)^-f(a-x)

最常逆应用：若N=/(x)关于x=a对称：可得到如下结论中任意一个：/(x)=-/(2«-x)

J(r)=—/(2a+x)

二、典型例题

L(2021・四川雅安•模拟预测(文))已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且/(x+1)是偶函数.当0<xWI

时，/(x)=f—8x+15,贝IJ/(7)=()

A.-16B.-8C.8D.16

【答案】B

【解析】

由/(x+1)是偶函数可知对称轴为x=l,故/(—x)=/(2+x)…⑴，

又函数/(x)为奇函数，故/(r)=-/(x)…(2),综合⑴(2)得:

f(x+2)=-/(x)可得到函数最小正周期为T=4,所以"7)=〃-1)=-/(1)=-(1-8+19=-8.故选：B

【反思】函数的对称性和周期性，奇偶性，往往是紧密结合在一起的，其综合性更丰富考查函数的性质，

如本例中“X)对称轴为x=l,可以得到很多结论，比如：/(I-x)=/(l+x),f(x)=f(2-x),

/(f)=〃2+x)等，那么在解题时如何取舍呢，选哪个结论能更快的解题？对于这个疑问，需同时兼顾本

例中“X)是定义域为R的奇函数，可得到/(r)=-/(x),纵观整体，可以看出对于/(x)对称轴为x=l得

到的结论中选取/(-x)=/(2+x)从而进行快速求出周期.

2.(2021.全国.模拟预测(文))已知定义在R上的奇函数/(x)满足/(x+l)=-/(-l+x),且在区间［1,2］

上/(X)是增函数，令。=而?ft=siny,e=siny,则/(a),f(b),〃c)的大小关系为.

【答案】/(a)>/(c)>/(/>)

【解析】

/(x)是定义在R上的奇函数，可得到：/(-幻=-/(幻①

〃x+l)=-/(T+x)n/(x+2)=-/(》)②

联立①②得/(x+2)=/(—x)所以/(x)关于x=1对称.

由于/(x)在口，2］上递增，所以/(x)在［0,1］递减.

.5TT.f2兀).2n

c=sin—=sin|it------=sin—,

7I7J7

、=$南》在(0,5)上递增，所以a<c<b,

所以/⑷>/(c)>/(b).

故答案为：/(«)>,/-(c)>/(/>)

【反思】函数的对称性和周期性，奇偶性，往往是紧密结合在一起的，其综合性更丰富考查函数的性质，

本例中，用数学符号/(-x)=-/(x)表示出/(x)是定义在R上的奇函数，通过化简

/(x+l)=-/(-l+x)n/(x+2)=-/(x)再联立，可得到：/(x+2)=/(—x)这样就得到了：/(x)关于x=l

对称.这也是周期性，奇偶性，对称性常考的形式.解题时注意利用已知条件，尤其是对称性的逆应用.

三、针对训练举一反三

1.(2021•黑龙江•哈尔滨市第六中学校二模(理))已知定义域为R的函数/(x)在［2,+8)单调递减，且

/(4-x)+〃x)=0,则使得不等式/(f+x)+f(2x)<0成立的实数x的取值范围是()

A.-4<x<lB.或x>3

C・x<-3或x〉lD,x<-4或x〉l

2.(2021•宁夏六盘山高级中学一模(理))已知函数/⑴是R上的满足/(l+x)=/(-l-x),且的图象

关于点(1,0)对称，当xw［0,l］时、/(x)=2-2\则/(0)+/(1)+/(2)+…+7(2021)的值为()

A.-2B.-1C.0D.1

3.(2021•全国•二模(理))已知/(X)是定义域为尺的奇函数，/(l+x)=〃l-x),当OWxWl时，〃x)=e'-l,

则24x43时，“X)的解析式为()

A./(x)=l-e、-2B./(x)=er-2-1

C.f(x}=\-ex-'D./(x)=e'-'-l

4.(2021•山东滨州•一模)定义在R上的偶函数/(x)满足〃2+x)=〃2-x),当xe［-2,0］时，〃x)=x+2,

设函数力(x)=eTT(_2<x<6)(e为自然对数的底数)，则/⑺与〃(x)的图象所有交点的横坐标之和为

()

A.5B.6C.7D.8

5.(2021•河南•二模(文))已知定义域为R的函数/(x)在［2,+8)单调递减，且/(4-*)+〃x)=0,则使

得不等式/(/+9+/(》+1)<0成立的实数x的取值范围是()

A.-3<x<1B.或x>3C.x<-3或x>lD.XR-1

6.(2021•黑龙江肇州•模拟预测(文))已知/(x)是定义在R上的函数，且对任意xeR都有

f(x+2)=/(2-x)+4/(2)，若函数y=/。+1)的图象关于点(-1,0)对称，且/(I)=3,则“2021)=()

A.6B.3C.0D.-3

7.(2021•广西•模拟预测(文))已知/(x)是定义在R上的奇函数，满足/(l+x)=/(l-x),7⑴=2,

则/(2)+/(3)+/(4)=()

A.0B.-2C.2D.6

8.(2021・全国全国•模拟预测)请写出一个同时满足条件①②③的函数/(x)=.

①WxeR,/(1-x)=/(l+x)；②函数/(x)的最小值为1；③函数/(x)不是二次函数.

9.(2021•江西•新余市第一中学模拟预测(文))已知定义在火上的奇函数/(x),满足/(x+2)=-/(x),

且当xe［0,1］时，/(x)=x2+x+sinx,若方程/(x)=〃?(〃?>0)在区间［-4,4］上有四个不同的根斗G知匕，

则xt+x2+x3+x4的值为.

10.(2021•江西上饶•三模(理))已知函数/(x)定义域为R,满足/(x)=/(2-r),且对任意1£1<凡,均

则不等式“2x-l)-/(3-x”0解集为

^/(%,)-/(x2)，

专题07经典超越不等式

一、结论

(1)对数形式：x21+Inx(x>0),当且仅当x=1时,等号成立.

(2)指数形式：/2x+l(xeH),当且仅当x=0时,等号成立.

进一步可得到一组不等式链：e'>x+l>x>l+lnx(x>0且XHI)

上述两个经典不等式的原型是来自于泰勒级数：

Y2npOx

ex=l+x+—+■■-+X—+——x,,+l；

2!n\(M+1)!

-v3«+'

ln(l+x)=x-----1-----,•,+(-1)H-r---F0(x〃+i)；

23〃+l

截取片段：

ex>X+1(XG7?)

ln(l+x)<x(x>-l),当且仅当x=0时，等号成立;

进而：InxWx—l(x>0)当且仅当x=l时，等号成立

二、典型例题

1.(2022•江苏苏州•高三期末)已知。>6+1>1则下列不等式一定成立的是()

A.\b-a\>bB.a+—>b+—

ab

「6+1/c

C.----<----D.a+\nb<b+\na

a-\Ina

【答案】C

【解析】

取。=