2024年人教版七年级数学寒假提高讲义 第04课 平行线的性质及平移（教师版）

第第页第04课平行线的性质及平移课程标准1.掌握平行线的性质，并能依据平行线的性质进行简单的推理；2.了解平行线的判定与性质的区别和联系，理解两条平行线的距离的概念；3.掌握命题的定义，知道一个命题是由“题设”和“结论”两部分组成，对于给定的命题，能找出它的题设和结论；4.了解图形的平移变换，知道一个图形进行平移后所得的图形与原图形之间所具有的联系和性质，能用平移变换有关知识说明一些简单问题及进行图形设计.知识精讲知识精讲知识点01平行线的性质如右图：a∥b,截线c与这两条平行线相交，他们相交所成的角分别为∠1，∠2……….∠8.测量他们的角并填入下表中。并回答下列问题角∠1∠2∠3∠4∠5∠6∠7∠8度数100°80°100°80°100°80°100°80°哪些角是同位角，他们具有怎样的数量关系？同位角∠1=100°∠5=100°∠2=80°∠2=80°∠3=100°∠7=100°∠4=80°∠8=80°关系相等相等相等相等由此得出平行线的性质1：两直线平行，同位角相等；哪些角是内错角，他们具有怎样的数量关系？内错角∠3=100°∠5=100°∠4=80°∠6=80°关系相等相等由此得出平行线的性质2：两直线平行，内错角相等；哪些角是同旁内角，他们具有怎样的数量关系？内错角∠3=100°∠6=80°∠4=80°∠5=100°关系互补互补由此得出平行线的性质3：两直线平行，同旁内角互补.注意：（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提“两直线平行”，即没有说明两直线平行，同位角，内错角及同旁内角的关系不确定；(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质.比较平行线的判定平行线的性质两直线平行，同位角相等同位角相等，两直线平行两直线平行，内错角相等内错角相等，两直线平行两直线平行，同旁内角互补同旁内角互补，两直线平行知识点02两条平行线的距离同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离.注意：（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离.(2)两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等.知识点03命题、定理、证明1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题.

注意：（1）命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.（2）命题的表达形式：“如果……，那么…….”，也可写成：“若……，则…….”（3）真命题与假命题：真命题：题设成立结论一定成立的命题，叫做真命题.假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题.2.定理：定理是从真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过推理证实得到的另一个真命题，定理也可以作为继续推理的依据.3.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明.注意：（1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等.（2）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可.知识点04平移1.定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移.注意：（1）图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离.（2）图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置.2.性质：图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角的大小，具体来说：（1）平移后，对应线段平行且相等；（2）平移后，对应角相等；（3）平移后，对应点所连线段平行且相等；（4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形.注意：（1）“连接各组对应点的线段”的线段的长度实际上就是平移的距离.(2)要注意“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的区别，前者是通过连接平移前后的对应点得到的，而后者是原来的图形与平移后的图形上本身存在的.3.作图：平移作图是平移基本性质的应用，在具体作图时，应抓住作图的“四步曲”——定、找、移、连.(1)定：确定平移的方向和距离；(2)找：找出表示图形的关键点；(3)移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点；(4)连：按原图形顺次连接对应点.能力拓展能力拓展考法01平行线的性质【典例1】下列说法：①在同一平面内，不相交的两条线段叫做平行线；②过一点，有且只有一条直线平行于已知直线；③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等；④同旁内角相等，两直线平行.正确的个数有（）个.A.1B.2C.3D.4【答案】A【典例2】下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1=∠2的是A.B.C.D.【答案】B【即学即练】如图，直线AB∥CD，则下列结论正确的是（）A.∠1=∠2B.∠3=∠4C.∠1+∠3=180°D.∠3+∠4=180°【答案】D【即学即练】如图，OC是∠AOB的角平分线，l//OB,若∠1=52°，则∠2的度数为（）A.52°B.54°C.64°D.69°【答案】C【即学即练】如图，已知∠1=∠2，∠3=30°，则∠B的度数是()A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0【答案】B【即学即练】如图，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的度数是SKIPIF1<0SKIPIF1<0A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0【答案】A【即学即练】如图，直线AB、CD相交于点E，DF∥AB.若∠AEC=100°，则∠D等于（）A.70°B.80°C.90°D.100°【答案】B【即学即练】如图，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的度数为（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0【答案】B【典例3】如图，将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝48°，那么∠2的度数是（）A.48°B.78°C.92°D.102°【答案】D【即学即练】将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式折叠放在一起，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的度数为（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0【答案】B【即学即练】如图，有一块含有30°角的直角三角形板的两个顶点放在直尺的对边上.如果∠2=44°，那么∠1的度数是（

）

A.14°B.15°C.16°D.17°【答案】C【即学即练】把一块直尺与一块含SKIPIF1<0的直角三角板如图放置，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的度数为（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.124°【答案】D考法02辅助线与平行线【典例4】如图，直线a∥b，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1=58°，则∠2的度数为（）A.30°B.32°C.42°D.58°【答案】B【即学即练】如图，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0【答案】D【即学即练】如图，若AB∥CD，则α、β、γ之间的关系为()A.α+β+γ=360°B.α﹣β+γ=180°C.α+β﹣γ=180°D.α+β+γ=180°【答案】C【即学即练】如图，已知AB∥DE，∠ABC=70°，∠CDE=140°，则∠BCD的值为（）A.20°B.30°C.40°D.70°【答案】B【即学即练】如图，已知AB∥CD∥EF，则∠SKIPIF1<0、∠SKIPIF1<0、∠SKIPIF1<0三者之间的关系是()A.SKIPIF1<0°B.SKIPIF1<0°C.SKIPIF1<0°D.SKIPIF1<0【答案】B【即学即练】如图，AB∥CD，则下列等式成立的是()A.∠B＋∠F＋∠D＝∠E＋∠GB.∠E＋∠F＋∠G＝∠B＋∠DC.∠F＋∠G＋∠D＝∠B＋∠ED.∠B＋∠E＋∠F＝∠G＋∠D【答案】A【即学即练】如图，已知AB∥CD，则∠A、∠C、∠P的关系为_____.【答案】∠A+∠C﹣∠P=180°【即学即练】珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同，如图，若∠ABC=120°，∠BCD=80°，则∠CDE=__________度.【答案】20【即学即练】如图，直线AB∥CD，∠C＝44°，∠E为直角，则∠1等于（）A.132°B.134°C.136°D.138°【答案】B【即学即练】如图，已知AB，CD，EF互相平行，且∠ABE＝70°，∠ECD＝150°，则∠BEC＝________°.【答案】40考法03折叠问题【典例5】如图折叠一张矩形纸片，已知∠1=70°，则∠2的度数是__.【答案】55°【即学即练】如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE=32°，则∠GHC等于（）A.112°B.110°C.108°D.106°【答案】D【即学即练】如图所示，把一张长方形纸片沿SKIPIF1<0折叠后，点SKIPIF1<0分别落在点SKIPIF1<0的位置.若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于________.【答案】50°【即学即练】将一个矩形纸片按如图所示折叠，若∠1=40°，则∠2的度数是（）A.40°B.50°C.60°D.70°【答案】D【即学即练】如图，一个宽度相等的纸条按如图所示方法折叠一下，则SKIPIF1<0________度.【答案】65【即学即练】如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点C，D分别落在点C′、D′处，C′E交AF于点G，若∠CEF=64°，则∠GFD′=_____________.【答案】520【即学即练】如图，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1=500，则∠AEF的度数等于__.【答案】SKIPIF1<0考法04综合证明【典例6】如图，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0试说明直线AD与BC垂直SKIPIF1<0请在下面的解答过程的空格内填空或在括号内填写理由SKIPIF1<0.理由：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0已知SKIPIF1<0SKIPIF1<0______SKIPIF1<0______，SKIPIF1<0______SKIPIF1<0SKIPIF1<0______SKIPIF1<0______SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0已知SKIPIF1<0SKIPIF1<0______SKIPIF1<0等量代换SKIPIF1<0SKIPIF1<0______SKIPIF1<0______，SKIPIF1<0______SKIPIF1<0SKIPIF1<0______SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0已知SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0______SKIPIF1<0______.【答案】GD

AC

同位角相等，两直线平行

SKIPIF1<0

两直线平行，内错角相等

SKIPIF1<0

AD

EF

同旁内角互补，两直线平行

两直线平行，同位角相等

AD

BC【即学即练】如图,已知AC∥DF,直线AF分别与直线BD、CE相交于点G，H,∠1=∠2.求证：∠C=∠D.解：∵∠1=∠2（已知）∠1=∠DGH（），∴∠2=_______（等量代换）∴_______∥_______（同位角相等，两直线平行）∴∠C=_______（两直线平行，同位角相等）又∵AC∥DF（）∴∠D=∠ABG（）∴∠C=∠D（）【答案】对顶角相等，∠DGH，BD∥CE，∠ABG，已知，两直线平行，内错角相等，等量代换，【即学即练】如图,已知在△ABC中,EF⊥AB,CD⊥AB,G在AC边上,∠AGD=∠ACB，求证:∠1=∠2.【详解】∵EF⊥AB,CD⊥AB,

∴EF∥CD,

∴∠2=∠3.

又∵∠AGD=∠ACB,

∴DG∥BC,

∴∠1=∠3;

∴∠1=∠2.【即学即练】如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1＝∠2，求证：AB∥CD.证明：如图，设BC与AE、GF分别交于点M、N.∵AE⊥BC，FG⊥BC，∴∠AMB=∠GNB=90°，

∴AE∥FG，∴∠A=∠1；

又∵∠2=∠1，∴∠A=∠2，∴AB∥CD.考法05命题【典例7】把命题“等角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式是______.【答案】如果两个角是等角的补角，那么它们相等.【即学即练】将“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式为_________________________________________________.【答案】如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行.【即学即练】下列命题是真命题的是（）A.如果一个数的相反数等于这个数本身，那么这个数一定是0B.如果一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数一定是1C.如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定是0D.如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数一定是0【答案】A【即学即练】将“对顶角相等”改写为“如果...那么...”的形式，可写为__________.【答案】如果两个角互为对顶角，那么这两个角相等【即学即练】将命题“同角的补角相等”改写成“如果……，那么……”的形式为_________________.【答案】如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等考法06平移【典例8】如图，A，B，C，D中的哪幅图案可以通过图案①平移得到（）A.B.C.D.【答案】D【典例9】如图，将△ABE向右平移2cm得到△DCF，如果△ABE的周长是16cm，那么四边形ABFD的周长是（

）A.16cmB.18cmC.20cmD.21cm【答案】C【即学即练】如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，∠B＝90°，AB＝8，DH＝3，平移距离为4，求阴影部分的面积为（）A.20B.24C.25D.26【答案】D【即学即练】如图，有a、b、c三户家用电路接入电表，相邻电路的电线等距排列，则三户所用电线（）A.a户最长B.b户最长C.c户最长D.三户一样长【答案】D【即学即练】如图，两只蚂蚁以相同的速度沿两条不同的路径，同时从A出发爬到B，则()A.乙比甲先到B.甲和乙同时到C.甲比乙先到D.无法确定【答案】B【即学即练】如图是一块长方形SKIPIF1<0的场地，长SKIPIF1<0，宽SKIPIF1<0，从SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两处入口的中路宽都为SKIPIF1<0，两小路汇合处路宽为SKIPIF1<0，其余部分种植草坪，则草坪面积为（）A.SKIPIF1<0m2B.SKIPIF1<0m2C.SKIPIF1<0m2D.SKIPIF1<0m2【答案】B【即学即练】如图，△ABC沿着由点B到点E的方向，平移到△DEF，已知BC=5.EC=3，那么平移的距离为()A.2B.3C.5D.7【答案】A【即学即练】如图，已知∠1＝75°，将直线m平行移动到直线n的位置，则∠2﹣∠3＝_____°.【答案】105【即学即练】某宾馆在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺上红色地毯，已知这种红色地毯的售价为每平方米32元，主楼道宽2米，其侧面与正面如图所示，则购买地毯至少需______元.【答案】512元【即学即练】如图,在长方形草地内修建了宽为2米的道路,则草地面积为_______米2.【答案】144分层提分分层提分题组A基础过关练1.下列图形中，能将其中一个三角形平移得到另一个三角形的是（）A.B.C.D.【答案】A2.如图，直线a，b被直线c所截，a//b，∠1=60°，则∠2的度数是（）A.120°B.60°C.45°D.30°【答案】B3.如图，将一张含有SKIPIF1<0角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的大小为（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0【答案】A4.如图，∠1＝∠2，AC平分∠DAB，且∠D：∠DAB＝2：1，则∠D的度数是（）A.120°B.130°C.140°D.150°【答案】A5.如图，直线SKIPIF1<0，将一块含SKIPIF1<0角（SKIPIF1<0）的直角三角尺按图中方式放置，其中SKIPIF1<0和SKIPIF1<0两点分别落在直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上.若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的度数为（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0【答案】C6.如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐弯处的∠A是72°，第二次拐弯处的角是∠B，第三次拐弯处的∠C是153°，这时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠B等于()A.81°B.99°C.108°D.120°【答案】B7.下列说法不正确的是()A.若两个相等的角有一组边平行,则另一组边也平行B.两条直线相交,所成的两组对顶角的平分线互相垂直C.两条平行线被第三条直线所截,同旁内角的平分线互相垂直D.经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行【答案】A题组B能力提升练1.把命题“两直线平行，内错角相等”改成“如果……那么……”的形式：____________________【答案】如果两直线平行，那么内错角相等2.如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，在A，B，C三处经过三次拐弯，此时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行(即AE∥CD)，若∠A=120°，∠B=150°,则∠C的度数是________【答案】150°3.如图，三角板直角顶点落在长方形纸片的一边上，∠1＝35°，则∠2＝_____°.【答案】55.4.如图所示，把长方形ABCD沿EF折叠，若∠1＝48°，则∠AEF等于______.【答案】114°5.在下列解题过程的空白处填上适当的内容（推理的理由或数学表达式）如图，已知AB∥CD，BE、CF分别平分∠ABC和∠DCB，求证：BE∥CF.证明：∵AB∥CD，（已知）∴∠_______=∠_______.___________________________∵__________________________________________，（已知）∴∠EBC=_______，（角平分线定义）同理，∠FCB=______________.∴∠EBC=∠FCB.（等式性质）∴BE//CF.（_____________________________________）【答案】ABCDCB两直线平行，内错角相等BE平分∠ABC∠ABC∠DCB内错角相等，两直线平行6.阅读理解，补全证明过程及推理依据.已知：如图，点E在直线DF上，点B在直线AC上，∠1＝∠2，∠3＝∠4.求证：∠A＝∠F.证明：∵∠1＝∠2（已知）∠2＝∠DGF（）∴∠1＝∠DGF（等量代换）∴BDSKIPIF1<0（）∴∠3+∠＝180°（）又∵∠3＝∠4（已知）∴∠4+∠C＝180°（等量代换）∴SKIPIF1<0DF（）∴∠A＝∠F（）【答案】对顶角相等；CE；同位角相等，两直线平行；C；两直线平行，同旁内角互补；AC（或AB）；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等题组C培优拔尖练1.如图，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0