高考平面几何专题突破

考试要第一部考试要第一部（一）直线与圆知识[0,π圆的一般方程 (二)圆锥曲注意点，(二)圆锥曲注意点，或；或解析几何中的一些常用结L2:4.两直线：L1夹角为 （１）点（２）ｘ（３）ｙ夹角为 （１）点（２）ｘ（３）ｙ（５）直线（６）直线（７）直线点P(x,y),0如果(x－a)2+(y点P(x,y)000(x－a)2+(y点P(x,y)000(x－a)2+(y点P(x,y)000 2210．圆上一点的切线方程：点P(x0,y0)在圆x+y=r上，那么过点P的切线方程为：x0x+y0y=r14.圆C的方程为：x2+y2+Dx+Ey+C1 圆C的方程为：圆C的方程为：x2+y2+Dx+Ey+C1 圆C的方程为：x2+y2+Dx+Ey+C2 把两式相减得相交弦所在直线方程为：(D1-D2)x+(E1-E2)y+(C1-.16.|PF2|=a-＝１中，F、F分别左右焦点，P(x,y)是椭圆是一点，则0 18．直线y=kx+b和圆锥曲线f(x,y)=0交于两点,P2(x2,y2)则弦长19.双曲线的渐近线的求法（注意焦点的位置）解题思路与（2）.即应用弦长公式；涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.mx2+ny2=1(m＞0,n＞0)的实质是将“曲线”化成“方程”，将“形”化成“数”，使我们通过对方程的研究来认识曲线的性质.求动点轨迹方程的常用方的实质是将“曲线”化成“方程”，将“形”化成“数”，使我们通过对方程的研究来认识曲线的性质.求动点轨迹方程的常用方第二部分解析几何中的范围问题（研究性学习之二一、“题设条件中的不等式关系”之运例1、已知双曲线中心在原点，右顶点为A（1，0，点P、Q在双曲线右支，点M（m，0）到直线AP的距离（1）若直线AP的斜率为k（2）时，△APQ的内心恰好是点M，求此双曲线方程等于半周长与内切圆半径之积等.至于运用哪一性质，还要视题设条件的具体情况来定夺（1）由已知设直线AP的方程为y＝k(x－1)，即∵点M到直线AP的距离为∴①∵∴，或.当时，点M的坐标为，∵点M到直线AP的距离为∴△APQ的内切圆半径或.当时，点M的坐标为，∵点M到直线AP的距离为∴△APQ的内切圆半径（不妨设点P在第一象限∴直线PQ的方程直线AP的方程为，因此解得点P的坐标为）将点P坐标代入双曲线方得.即这里的（2），审时度势的求解出点P坐标，恰如“四两拨千斤”.同学们请注意：一不要对三角形内心敬而生畏，二不例2设椭，且椭圆上存在点P使得垂直与L相交于点Q的方程，便是特设条件中隐蔽的不等关系（2的方程，注意到这里题设条件与点P的密切关系，故考，便是特设条件中隐蔽的不等关系（2的方程，注意到这里题设条件与点P的密切关系，故考虑从求点P坐标突破设点P坐标①.∴②（ⅰ）③，无解（ⅱ）④由此解得对于（2）以求解点P，无解（ⅱ）④由此解得对于（2）以求解点P策略二、“圆锥曲线的有关范围”之运例、与x轴交于A，B（1）作垂直于长轴的弦MN，求∠AMB的取值范围（2）椭圆上是否存在点P，使∠APB＝120°？若存在，求出椭圆离心率e的取值范围为右焦点，M在第一象限，则易，设A(－a,0)，B(a,0)，则∠AMB为直线AM到BM又①∴②（2）设椭圆上存在点P基于椭圆的对称性，不妨设点P又①∴②（2）设椭圆上存在点P基于椭圆的对称性，不妨设点P（x，y）在第①②③此时注意到点P在椭圆上，故④⑤⑥时，点P存在且此时椭圆离心率的取值范围；当时，点P不存在三、“一元二次方程有二不等实根的充要条件”之运当时，点P不存在三、“一元二次方程有二不等实根的充要条件”之运例1、已知椭圆的一个顶点A(0,－1)，焦点在x轴上，且右焦点到线l与椭圆交于不同两点M、N，使M、N关于过A点的直线对称，求直线l的斜率取值范围：（既设又解）设右焦点F(c,0)，则又设直线l的方程为①②③且④∴∴点P坐标又根据题意知M、N关于直线AP对称，故⑤.例2、已知椭圆C的中心在原点上，焦点在x轴上，一条经过⑤.例2、已知椭圆C的中心在原点上，焦点在x轴上，一条经过A、B两点，交x轴于点M.∴即（2）将直线l的方程与椭圆方程联立，消去x①②且又这里得∴③④⑤⑥⑦因而得⑧①②且又这里得∴③④⑤⑥⑦因而得⑧⑨，..导⑨，..导四、“点在圆锥曲线内部的充要条件”之运1234，又椭圆上不同两点A、C满足条成等差数列（2），又椭圆上不同两点A、C满足条成等差数列（2）设弦AC的垂直平分线方程为y＝kx＋m，求m的取值范围（2（①∵A、C上∴②③∴弦AC的垂直平分线方④⑤④⑤五、“圆锥曲线的定义或几何性质中隐蔽的不等关系”之运12例、已知双、，若在其左支上存在点P且点P到左准其中，有关双曲线上点P处的两条焦点其中，有关双曲线上点P处的两条焦点①设左支上的点P到左准线的距离为②∴又点P在双曲线左支∴（点P在左支这一条件的应用③④⑤第三部直线与圆锥曲线问题的解题策略（研究性之一一、条件或目标的认知与1、化生为之一一、条件或目标的认知与1、化生为（1）向弦中点问题转例1.已知双，过点A（0,-b）和B（a,0）的直线与原点间的距（km≠0）与双曲线交于不同两点C、D，且C、D两点都在以A为圆心的同一个圆上，求m（过程略（2）①设则C、D均在以A为圆为的同一圆又∴②③④（2）例2．设F是椭（1）求点P的轨迹C2的左焦点，M是C1上又∴②③④（2）例2．设F是椭（1）求点P的轨迹C2的左焦点，M是C1上任一点，P是线段FM上的点，且（2）过F作直线l与C1交于A、D两点，与C2交点B、C两点，四点依A、B、C、D顺序排列直线l的等价条件：设弦AD、BC的中点分别点P（1）点P的轨迹C2的方程①，故弦AD中点O1坐标②，故弦BC中点O2坐标③④⑤，故弦AD中点O1坐标②，故弦BC中点O2坐标③④⑤。2．化繁为（1）借助投例3．如图，自点M（1，-1）引直线l交抛物、、于P1、P2两点，在线段P1、P例3．如图，自点M（1，-1）引直线l交抛物、、于P1、P2两点，在线段P1、P2上取一点Q的倒数依次成等差数列，求点Q的轨迹方程①得或②且③④作P1、Q、P2在直线y=-1上的投影P1′、Q′、P2′（如图得∴⑤∴⑥⑦⑧或⑨因此，由⑧、⑨得所求点Q的轨迹方程⑤∴⑥⑦⑧或⑨因此，由⑧、⑨得所求点Q的轨迹方程（2）避重就上，椭圆中心为O开正面求解，而由直线OP（或OQ）方程和椭圆方程联立方程组解出点P（或点Q）坐标解（避重就轻，解而不设得（1）当点P、Q不在坐标轴上时，设直线OP的方①则直线OQ的方程②∴③∴④⑤解（避重就轻，解而不设得（1）当点P、Q不在坐标轴上时，设直线OP的方①则直线OQ的方程②∴③∴④⑤于H，于是=∴（2）当点P、Q在坐标轴上时，同样可。于是由（1（2）知所求椭圆中心O到弦PQ。二、求解交二、求解交点坐标的“度”1、半心半意，解至中例1.设斜率为2的直线与抛物求矩形ABCD的对角线交点M的轨迹方相交于A、B两点，以线段AB为边作矩形ABCD，直线AB的方程。由①②∴③再设AB，注意到四边形ABCD为矩形，故，⑥⑦∴⑧因此由⑦、⑧得所求动点M的轨迹⑥⑦∴⑧因此由⑦、⑧得所求动点M的轨迹方程。2、真心实意，求解到例2.正方形ABCD的中心为M（3，0，一条顶点在原点，焦点在X轴正半轴上的抛物线E，一条斜率A、B两点在抛物线E上，而C、D两点在直线l上，求抛物线E和直线l，。又设正方形ABCD的（一条）对角线的斜率为∴直线AM、BM的方程分别又设正方形ABCD的（一条）对角线的斜率为∴直线AM、BM的方程分别得①又点A、B在抛物线E上②③。A（4，2B（1，1；。三、求解交点坐标的转换1、设而不例1．设椭的上半部有不同三点A、B、C，它们到同一焦点1、设而不例1．设椭的上半部有不同三点A、B、C，它们到同一焦点的距离依次成等差数列，且点B的纵坐与椭圆的半焦距相等，求线段AC的中垂线在y轴上的截距分析考察线段AC的中垂线方易知其斜率由点AC同名坐标的差式表弦中点由点AC同名坐标的和式表出，弦AC中点M(x0,y0)，①而∴②此时，注意到点A、C③④⑤⑥，即AC于是可知弦AC的中垂线方程⑦∴在⑦中令x=0由此可知，所求弦AC的中垂线在y轴上的截距2、不即AC于是可知弦AC的中垂线方程⑦∴在⑦中令x=0由此可知，所求弦AC的中垂线在y轴上的截距2、不设不（1）利用圆锥曲线定义回避交点坐例2．已知F1、F2为椭圆的两个焦点，过F2的直线交椭圆于P、Q解：注意到这里涉及点P处两条焦点半径，故考虑利用椭圆定义1。①∴②③得∴④，。（2）借助有关图形性质回避交点坐例3．已知直线相交于AB两点，提示：圆心C到弦AB的距离（弦心距∴④，。（2）借助有关图形性质回避交点坐例3．已知直线相交于AB两点，提示：圆心C到弦AB的距离（弦心距（3）例4．已知圆M相交于不同两点A、B，所得公共弦AB平行于已知圆M经过点C（-2，3，D（1，4，求圆M的方程解（利用对圆的根轴方程的认知廻避交点坐标设圆M方程①②∴①—②得上述两圆公共弦AB所在直线方③注意到点C、D在圆M上，故④⑤∴所求圆M的方程四、高考真1.已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，∴所求圆M的方程四、高考真1.已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆在焦点F的直线交椭圆于A、B两点与（2）设M为椭圆上任意一点，（1）求椭圆离心率，首先要求关于a，b，c的等式。为此，从设出椭圆方程与直线AB的方程切入，运用对A、B坐标“则直线AB方程①设得②又，，与∴，③设∴∵点M在椭∴④∴⑤,而⑥又，，与∴，③设∴∵点M在椭∴④∴⑤,而⑥∴点评：对于（1），立足于对A、B坐标“既设又解”与2.P、Q、M、N四点都∴点评：对于（1），立足于对A、B坐标“既设又解”与2.P、Q、M、N四点都在上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点与与共，求四边形PMQN的面积的最小值和最大值，四边形PMQN的面积等，由得∴直线PQ，MN中至少有一条直线斜率存在不妨设PQ的斜率为k，则直线PQ的方程①∴且②∴③（1）时，直线MN的斜率，∴四边形PMQN的面令∴，S∴（2）时且②∴③（1）时，直线MN的斜率，∴四边形PMQN的面令∴，S∴（2）时，MN为椭圆的长轴，，∴于是2）∴四边形PMQN的面积的最大值为2，最小值点评：认知条件，从而认知本题中四边形PMQN面积的决∴四边形PMQN的面积的最大值为2，最小值点评：认知条件，从而认知本题中四边形PMQN面积的决定因素，寻求的目标便随之明确，而在对四边形面积S的变3.设A、B是椭上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D的取值范围，并求直线AB的方程，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理分析：在这里，有两条直线经过点N并且与椭圆相交，由于（1）要求直线AB的方程，故以交点A、B的坐标“即设又解知，圆的直径为AB或CD，到底是哪一个，则要在完成（1）之后根据具体（1）由题意，设直线AB方程①设得②③且④∴由N（1，3）是线段AB的中点∴将，直线AB的方程即（2）由题设知，线段CD垂直平分线段∴直线CD的方程即⑤将⑤与椭圆方程联立，消去y⑥，CD，则∴⑦且⑧∴∴将，直线AB的方程即（2）由题设知，线段CD垂直平分线段∴直线CD的方程即⑤将⑤与椭圆方程联立，消去y⑥，CD，则∴⑦且⑧∴，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆又点M到直线AB⑨时，A、B、C、D四点均在以M为圆心点评：在这里，对A、B及C、D的坐标均是“既设又解”，解到中途运用韦达定理时，A、B、C、D四点均在以M为圆心点评：在这