山西省晋中市寿川中学2023年高三数学理联考试卷含解析

山西省晋中市寿川中学2023年高三数学理联考试卷含

解析

一、选择题：本大题共1()小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

2功icos2x

1.三角函数6的振幅和最小正周期分别是()

A.“B.&Ec曲D.立霓

参考答案:

B

,8=sin-0K2x-CDs^sm2xlcDs2x

coslx--sinlx)

=5^5cos(2r♦—)

6故选B.

2.正方体ABC。-/，》C，。棱长为6,点P在棱AB上，满足PA=2PB,过点P的直线/

与直线N3'、CC，分别交于E、尸两点，则EF=()

A.3汨B.9石C.

14D.21

参考答案：

D

如图，过点/与CC*做平面分别与直线叱DA.jfJf

交于民连接即与直线CCf交于点尸，则可求

GF」皿」"二3

E^^AM=2BC^Y122

M=+=、谓=21,故选D

1

3.设a='2

1（3X2-2X）dx,则（ax-x）”的展开式中的第4项为（)

A.-1280x3B.-1280C.240D.-240

参考答案：

A

【考点】定积分.

【专题】导数的综合应用；二项式定理.

【分析】先计算定积分，再写出二项式的通项，即可求得展开式中的第4项.

r2i2

【解答】解：由于a=J1（3x?-2x）dx=（x=x?）11=4,

1T=「rx（4/）6-rx（r

则（ax?-x）s的通项为r+「6x=（-l）

6

crX4-rX

6

rQ.

3,3/6-36-3X3__1"c3

故（ax'-1x）”的展开式中的第4项为T“'1）仆r''，x-1'XUx,

故选：A.

【点评】本题考查定积分知识，考查二项展开式，考查展开式中的特殊项，属于基础题.

4.已知直线见平面。，〃、且加＜-四给出下列命题：

①若a〃/则则I/；②若。工“，则m〃/;③若用1/,则。上"；

④若m〃/，则"工"。其中正确的命题的个数是（）

A.1B.2C.3

D.4

参考答案：

【知识点】平面与平面之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系.G4G5

B解析：(1)中，若a〃B，且m_La?mj,B,又所以①正确.

(2)中，若a_LB,且又1?B,则m与1可能平行，可能异面，所以②

不正确.

(3)中，若m_Ll,且m_La,l?B?a与B可能平行，可能相交.所以③不正确.

(4)中，若m〃l,且又.•.④正确.故选B.

【思路点拨】根据有关定理中的诸多条件，对每一个命题进行逐一进行是否符合定理条件

去判定，将由条件可能推出的其它的结论也列举出来.

3

5.已知lg2=a,lg3=b,则lg2等于

ba

Aa-bBb-aCaDb

参考答案：

B

6.a为实数GT7为实数，则。=()

1i

A.1B.2C.3D.-2

参考答案：

B

7.已知函数1+2sinx的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换

后的图象可以与原图象重合的变换方式有()

①绕着x轴上一点旋转180°;

②沿x轴正方向平移；

③以x轴为轴作轴对称；

④以X轴的某一条垂线为轴作轴对称.

A.①③B.③④C.②③D.②④

参考答案：

D

【分析】

计算得到/(*+3)=/(*),小MM,故函数是周期函数，轴对称图

形，故②④正确，根据图像知①③错误，得到答案.

【详解】/㈤U2ri.(x+2fcr)l+2rinx"\

keZ,

当沿X轴正方向平移肛*wZ个单位时，重合，故②正确；

(一］=:心臼=a(广)

=x=-_

故(2J(2),函数关于2对称，故④正确；

根据图像知：①③不正确；

故选：D.

【点睛】本题考查了根据函数图像判断函数性质，意在考查学生对于三角函数知识和图像

的综合应用.

8.

将函数y=/(x>cosx的图象按向量斫(口，1)平移，得到函数y=2sin2x的图象,

那么函数加0可以是

A.cosxB.sinxC.2cosxD.2sinx

参考答案:

答案：D

9.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（）

A.16x+-fixB.16"+8\Q冗

16«16ff♦-

C.3D.3

参考答案:

C

【分析】

根据三视图可以判断出该几何体是一个底面直径为4高为4的圆柱和一个底面直径为4高

为2V互的圆锥的组合体，根据圆锥和圆柱的体积公式求出组合体的体积.

【详解】解：由几何体的三视图，知该几何体是一个底面直径为4高为4的圆柱和一个底

面直径为4高为动的圆锥的组合体，

该几何体的体积为：

故选：c.

【点睛】本题考查了通过三视图识别几何体，并求出几何体的体积问题，考查了空间想象

能力和数学运算能力.

1+OK2X+8&I'X

0<x<—/«=

10.当2时，函数■2x的最小值为（)

A.2B,2、QC.4D.4、,Q

参考答案：

C

zl-ixnCx-8+inX

v0<x<•-••lanx0Rx)=--------------

2,sin2x

2COS2X+8sin2x2+8tan2x1「i]

=----；-------=--------------4tanx>2----4tanx=4i.inx-

2sinxcosx2tanxtanx、匕nx,当且仅当二时取等号，函

J

1-cos2x-8sjtn-x

ftx)---------------

数n、\的最小值为4,选C.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.能够说明“若甲班人数为m，平均分为"；乙班人数为平均分为占，则甲乙

a^b

两班的数学平均分为~2~”是假命题的一组正整数“乃的值依次为.

参考答案：

岫是不相等的正整数即可

12.已知等差数列SJ中，的+%=32.的-a?=%则此数列的前1()项之和

当=---------

参考答案：

190

略

x-2y+520'

(xj)|,3-xN0>匚｛(”)*+/425)

13.设加为实数，若I0,则他的取值

范

围是_______

参考答案：

八4

OSES一

3______

14.关于x的方程工+1=C二有一个实数解，则实数m的取值范围是.

参考答案：

■^1.

【分析】

由题意可得，函数y=x+l的图象和函数丫=由三的图象有一个交点，对函数

尸的m分类，分别画出m的图象，可求出实数机的取值范围.

【详解】•••关于x的方程x+l=4/+m有一个实数解，

故直线y=x+l的图象和函数y=积+0的图象有一个交点.

在同一坐标系中分别画出函数y=x+l的图象和函数y=J』+m的图象.

由于函数y=W+m,

当〃『0时，尸击""1=、’=国和直线y=x+l的图象如图：

满足有一个交点；

当m>0时，y二卜口y2-x2=m(y>0)

此双曲线y2-x2=m的渐近线方程为y=±x,其中y=x与直线y=x+l平行,

双曲线V-x2=m的顶点坐标为(0,而)，

如图：只要机>0,均满足函数y=x+l的图象和函数丫=巧：的图象有一个交点,

=

当m<0时，y+nt]x2_y2--m(y>0),

此双曲线/-y2=_m的渐近线方程为y=±x,其中y=x与直线y=x+l平行,

(i0),如图：

当"41时，满足函数y=x+l的图象和函数的图象有一个交点,

即当一l《m<0时符合题意;

综上：・々一1,

故答案为：m>-l.

【点睛】本题考查的知识点直线和双曲线的位置关系的应用，将问题转化为直线y=x+l

的图象和函数的图象有一个交点，是解答本题的关键，考查了数形结合思

想，属于中档题.

15.已知f(x)为奇函数，当x<0时，f(x)=ln(-x)-3x,则曲线y=f(x)在(1,f

(1))处的切线方程为.

参考答案：

4x+y-1=0

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.

【分析】设x>0,则-x<0,运用已知解析式和奇函数的定义，可得x>0的解析式，求

得导数，代入x=l,计算得到所求切线的斜率，即可求出切线方程.•

【解答】解：设x>0,贝f(-x)=lnx+3x,

由f(x)为奇函数，可得f(-x)=-f(x),

即f(x)=-Inx-3x,x>0.

导数为r(x)=-7-3,

则曲线y=f(x)在x=l处的切线斜率为-4,

vf(1)=-3,

••••曲线y=f(x)在(1,f(l))处的切线方程为y+3=-4(x-1),即4x+y-1=0,

故答案为4x+y-1=0.

【点评】本题考查函数的奇偶性的定义的运用：求解析式，考查导数的运用：求切线的斜

率，求得解析式和导数是解题的关键，属于中档题.

16,已知数列SO满足%=2-1(川€四，则数列(%｝的前n项和

.

参考答案：

g=2*+3l

I7.A/3C中，角力、B、0所对的边为4、5、匕，若3,b=2u,则0=_.

参考答案：

IX

6

略

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.（本小题满分12分）

/（x）=-^―-ax（a>0）

已知函数-Inx

（I）若函数在°，XQ）上是减函数，求实数a的最小值；

（II）若3V七€k，/],使/（入1）0/'（/）+。成立，求实数a的取值范围.

参考答案：

【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用B12

1J1

（I）4（JI）J-24?

,（）InX-1£0

（I）因/3》在a，+0"上为减函数，故onx/在a，+«a上恒成立.

所以当X*Q''时，/（X）>a—".

1&

-------）十一—a

Inx24

J_=l_/（x）=l_a

故当放一5,即x=/时，x^~4a,

—~aS0ai.—

所以4,故4

1

所以a的最小值为彳.

（H）“若打1、七€也/],使/（$）&/'（勺）+。成立”等价于

当时，有/（工）心&/（x、.+a,

r/i==-a,/r（x）»w+a=」

当x*/]时，有八％"4」*4,

问题等价于:“当xe[”2]时,有/")皿用"

①当"~4时，/(工)在区灯上为减函数

々211]

/(X)■口=f(,)=。之w----y

则-八'24,故247.

②当°<彳时，由于""=・k・引T。在[&/]上为增函数，

故/3的值域为，(x)J'(J)],Bp[-a，4-a].

由/'(x)的单调性和值域知，存在唯一5e(eM),使，(％)=°,且满足:

当xe(e.xl：l)时，/(x)<0,J(1)为减函数；

当xe(%")时，八成>0,/(»为增函数；

所以E%4,)

11111111

aN-------------->—y——>-------——0<a<_

所以1nq/】3缩244,与-4矛盾，不合题意.

综上，小2人“

,(X)=-x・l_as0

【思路点拨】(I)因/(X)在上为减函数，故在G，*3)上

恒成立，求出导函数的最值，即可求实数&的最小值；

(II)“若知之€也/],使/(Xi)V5)+a成立”等价于

当xsk，']时，有/(x)/+。，当4时，若*r。使

成立，等价于xw[e.e1使《垃修，/好…+。.求出最值，即可确

定乙的取值范围.

19.设函数f(x)=lnx-ax2+ax,a为正实数.

(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

I

(2)求证：f(W0；

(3)若函数f(x)有且只有1个零点，求a的值.

参考答案：

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值.

【分析】(1)求导数，确定切线的斜率，切点坐标，可得切线方程；

(2)构造函数，确定函数的单调性与最值，即可证明结论；

(3)由题意可知，函数f(x)有且只有1个零点为(1,0),则F(1)=0,即可得出结

论.

【解答】(1)解：当a=2时，f(x)=lnx-2x2+2x,P(x)=x-2x+2,

•••f(1)=1,

vf(1)=0,

曲线y=f(x)在点(1,f⑴)处的切线方程是丫=*；

(2)证明：f(a)=-Ina-a+1(a>0)»

1。

—2

令g(x)=-lnx-x+1(x>0)，则g'(x)=x,

时，g'(x)>0,函数单调递增；x>l时，g'(x)<0,函数单调递减，

・•.x=1时，函数取得极大值，即最大值，

•••g(x)<g(1)=0,

;.f(a)<0；

(3)解：由题意可知，函数f(x)有且只有1个零点为(1,0),

贝ijf(1)=0,即1-2a+a=0

，a=1.

20.在AdUJC中，已知/C=4,BC=5

(1)若Nd=&尸,求8sb的值;

..7

cos(Z—A)=——

(2)若8,求c«C的值.

参考答案：

叵11

(1)5；(2)16.

试覆分析：（1＞偌助题设条件运用正弦定理求解，（2）老肺整设运用钻友定理和三角锣公式探求.

试tilt析1

jir<4空,

'：AC<BC,.avZ4=«)。,故/A为锐用，ecnH

(2)如图，在线线上取一点。，使穗H)=8D,则上3=4,故8*NC<D=0(/-A)=?,

8

在ACID中.设3=x,5MCD=5-x.由可知($-X)2=4W-2X4XXX1,解得x=3,

即/D・3.CD・2,所以&1DC中，由余兹定理可否cosC-'

2x2x416

考点：三角变换公式及正余弦定理等有关知识的综合运用.

21.（本小题共13分）

某校高三年级同学进行体育测试，测试成绩分为优秀、良好、合格三个等级.测

试结果如下表：（单位：人）

优秀良好合格

男

1:701

女120a30

按优秀、良好、合格三个等级分层，从中抽取50人，其中成绩为优的有30人.

（1）求。的值；

⑵若用分层抽样的方法，在合格的同学中按男女抽取一个容量为5的样本，从中

任选2人，记》为抽取女生的人数，求乃的分布列及数学期望.

参考答案:

50_30

解：(I)设该年级共月人，由题意得〈一180