冀教版七年级下册三角形讲义

/授课主题：三角形教学目标：1.掌握三角形的有关概念，分类，性质，主要线段(角平分线、中线、高)；2.掌握与三角形角度有关的计算和证明。教学重难点：重点：三角形内角和定理，三角形的有关概念；难点：三角形内角和定理的推导过程以及与三角形角度有关的计算和证明导入（作业检查，内容回顾）二、知识梳理+经典例题▶知识梳理◀三角形(1)定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。(2)三角形的特征：①不在同一直线上；②三条线段；③首尾顺次相接；④三角形具有稳定性。(3)三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边；三角形两边之差小于第三边。▶经典例题◀例1.在如图所示图形中，三角形共有()个A.4B.5C.6D.7例2.现有两根长度分别为3和6的木棒，若要从长度分别为2，3，5，7，9的5根木棒中选一个钉成三角形的木框，则可选择的木棒有()A.1根B.2根C.3根D.4根2.三角形分类(1)按边分为：等腰三角形(等边三角形是特殊的等腰三角形)和不等边三角形；(2)按角分为：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。▶经典例题◀例1.已知，在∆中，∠A﹢∠∠C，则∆的形状为()A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.以上都不对例2.等腰三角形中，一个角为50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为()A.150°B.80°C.50°或80°D.70°3.三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°。▶经典例题◀例1.在∆中，∠A∶∠B∶∠1∶2∶3，则∠例2.已知在△中，∠40°，∠∠40°，则∠，∠。4．三角形的外角(1)概念：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫三角形的外角。一个三角形有6个外角。(2)性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；②三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。▶经典例题◀例1.如图，在∆中，∠C＝40°，∠A＝∠，则∆的外角∠＝例2.三角形的三个外角中，钝角的个数最多有个，锐角最多个。5．三角形中的三条重要线段：角平分线、中线、高(1)角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。注意：①三角形的角平分线是一条线段，角的平分线是一条射线；②一个三角形有三条角平分线，三条角平分线都在三角形的内部，并且交于一点，这个点叫做三角形的内心。(2)中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。注意:①三角形的中线是一条线段；②任何三角形都有三条中线，三条中线都在三角形的内部，并且交于一点，这个点是三角形的重心，任何三角形的重心都在三角形内部。(3)高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。注意：①三角形的高是一条线段；②三角形三条高所在的直线交于一点，这个点叫三角形的垂心，不一定在三角形内部。▶经典例题◀例1.下列说法错误的是（

）．A．锐角三角形的三条高线，三条中线，三条角平分线分别交于一点B．钝角三角形有两条高线在三角形外部C．直角三角形只有一条高线D．任意三角形都有三条高线，三条中线，三条角平分线例2.如图，是△的角平分线，是△的角平分线，若∠80°，则∠。例3.如图，已知是∆的中线，5，3，△和△的周长的差是()A．2B．3C．6D．不能确定三、随堂检测1.下列说法正确的是

(

)A.三角形的角平分线、中线、高都在三角形的内部B.直角三角形只有一条高C.三角形的三条高至少有一条在三角形内D.钝角三角形的三条高均在三角形外2.等边三角形三边上的中线、高、角平分线共有

(

)A.3条

B.5条

C.7条

D.9条3.下列画△的边上的高，正确的是

(

)4.(1)在△中，是∠的平分线，是边上的中线，∠40º，则∠，若6，则.(2)△的周长为18，、分别为、边上的中线，、相交于O，的延长线交于D，且=3，2.则的长为.5.如图，在△中，∠50°，点E是△内一点，∠150°，∠的平分线与∠的平分线相交于点D，求∠的度数。6.如图等腰直角三角形中，∠=90°，为腰上的中线，⊥交于E，求证：∠=∠7.如图△中，∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6.∠60°，求∠、∠的度数。8.在△中，∠90°，是角平分线，和高相交于F，作∥交于G，求证：.归纳总结五、课后作业三角形检测题（本检测题满分：100分，时间：90分钟）一、选择题（每小题3分，共30分）1.（2013·长沙中考）如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是（）2.等腰三角形的两边长分别为5和10，则此三角形的周长是（）A．15B．20C．25D．20或253.（2013·河北中考）如图①，点M是铁丝的中点，将该铁丝首尾相接折成△，且∠30°，∠100°，如图②，则下列说法正确的是（）A.点M在上B.点M在的中点处C.点M在上，且距点B较近，距点C较远D.点M在上，且距点C较近，距点B较远4.已知在△中，∠和∠的平分线交于点O，则∠一定（）A.小于直角B.等于直角C.大于直角D.不能确定5.下列命题中正确的是（）A.三角形可分为斜三角形、直角三角形和锐角三角形B.等腰三角形任意一个内角都有可能是钝角或直角C.三角形的外角一定是钝角D.△中，如果∠A＞∠B＞∠C，则∠A＞60°，∠C＜60°6.某同学手里拿着长为3和2的两个木棍，想要找一个木棍，用它们围成一个三角形，则他所找的这根木棍长满足条件的整数解是（）A.1，3，5 B.1，2，3C.2，3，4 D.3，4，57.已知一个三角形的两边长分别是2和4，则下列数据中，可作为第三边长的是（）A.1B.3C.6D.78.一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如图所示的图形，其中∠90°，∠45°，∠30°，则∠的度数是（）A.15°B.25°C.30°D.10°9.小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别是4，9，12，如何求这个三角形的面积？”小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解.”小华根据小明的提示作出的图形正确的是（）A B C D10.直角三角形的两锐角的平分线相交成的角的度数是（）A.45° B.135° C.45°或135° D.以上答案均不对二、填空题（每小题3分，共24分）第12题图11.若一个三角形的三个内角之比为4∶3∶2，则这个三角形的最大内角为.第12题图12.如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=度．13.等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为.14.已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为．15.若（1）220，则以为边长的等腰三角形的周长为.16.如图所示，=29，=19，=20，=16，若x，则x的取值范围为.BBACD第16题图第17题图第17题图17.如图所示，在△中，∠=∠，∠A=40°，点P是△内一点，且∠1=∠2．则∠.18.（2013·山东威海中考）将一副直角三角板如图摆放，点C在上，经过点D.已知∠∠90°，，∠30°，∠40°，则∠.三、解答题（共46分）19.（7分）认真阅读下面关于三角形内、外角平分线所夹的探究片段，完成所提出的问题．探究1：如图①，在△中，O是∠与∠的平分线和的交点，通过分析发现∠90°+，理由如下：∵和分别是∠和∠的角平分线，∴.∴.又∵∠∠180°－∠A，∴.∴∠180°－（∠1+∠2）=180°－（90°－∠A）=探究2：如图②中，O是∠与外角∠的平分线和的交点，试分析∠与∠A有怎样的关系？请说明理由．探究3：如图③中，O是外角∠与外角∠的平分线和的交点，则∠与∠A有怎样的关系？请说明理由．第19题图第19题图20.（7分）在△中，，上的中线把三角形的周长分为24和30的两个部分，求三角形各边的长．21.（7分）已知一个三角形有两边长均为3-x，第三边长为2x，若该三角形的边长都为整数，试判断此三角形的形状．22.（9分）已知：如图，⊥，⊥，⊥，∠1=∠2，求证：⊥．第2第22题图23.（7分）如图所示，武汉有三个车站A、B、C成三角形，一辆公共汽车从B站前往到C站．

（1）当汽车运动到点D时，刚好，连接线段，这条线段是什么线段？这样的线段在△中有几条呢？此时有面积相等的三角形吗？

（2）汽车继续向前运动，当运动到点E时，发现∠∠，则这条线段是什么线段呢？在△中，这样的线段又有几条呢？

（3）汽车继续向前运动，当运动到点F时，发现∠∠90°，则是什么线段？这样的线段在△中有几条？24.（9分）规定，满足:（1）各边互不相等且均为整数，（2）最短边上的高与最长边上的高的比值为整数k，这样的三角形称为比高三角形，其中k叫做比高系数．根据规定解答下列问题：

（1）求周长为13的比高系数k的值.（2）写出一个只有4个比高系数的比高三角形的周长.李新硕的讲义回顾内容角的比较和运算如图，∠和∠都是直角，如果∠140°，则∠的度数是()