能力提升精练课件：1 时 验证勾股定理及其简单计算

第一章勾股定理1探索勾股定理第2课时验证勾股定理及其简单计算能力提升精练1探索勾股定理1.下列选项中(图中三角形都是直角三角形),不能用来验证勾股定理的是(

)D2.[2020陕西宝鸡期中]如图,在高为3米,斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯,则地毯的长度为(

)

A.4米

B.5米

C.6米

D.7米【解析】在Rt△ABC中,AC2=AB2-BC2=42,所以AC=4米,所以地毯的长度为AC+BC=7米.故选D.3.如图,一条小巷的左右两侧是竖直的墙壁,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙脚的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米.若梯子底端位置保持不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面1.5米,则小巷的宽度为(

)A.2.7米

B.2.5米

C.2米

D.1.8米【解析】如图,在Rt△ADE中,∠AED=90°,AE=0.7米,DE=2.4米,所以AD2=AE2+DE2=0.72+2.42,所以AD=2.5米,所以AC=2.5米.在

Rt△ABC

中,∠ABC=90°,BC=1.5米,所以AB2=AC2-BC2=2.52-1.52,所以AB=2米,所以BE=AE+AB=2.7米,即小巷的宽度为2.7米.故选A.4.如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个全等的直角三角形围成的.若AC=6,BC=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍,得到图2所示的“数学风车”,则这个风车的外围周长是(

)

A.72 B.52 C.80 D.76【解析】设“数学风车”中的四个大直角三角形的斜边长为x,则x2=122+52=169,所以x=13,所以“数学风车”的外围周长是(13+6)×4=76.故选D.5.[2021重庆沙坪坝区期末]在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题:“平地秋千未起,踏板一尺离地.送行二步与人齐,五尺人高曾记.仕女佳人争蹴,终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇,算出索长有几.”此问题可理解为:如图,有一架秋千,当它静止时,踏板离地的垂直高度AB为1尺,将它往前水平推送10尺时,即A'C=10尺,秋千的踏板离地的垂直高度A'D就和身高5尺的人一样高.若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直,则绳索OA的长为

.

【解析】设绳索OA的长为x尺,则OC的长为(x+1-5)尺,即OC=(x-4)尺.在

Rt△OCA'

中,OC2+A'C2=OA'2,即(x-4)2+102=x2,解得x=14.5.故绳索OA的长为14.5尺.6.如图,在长方形ABCD中,AD=6,AB=10,若将长方形ABCD沿DE折叠,使点C落在AB边上的点F处,则线段CE的长为

.

本题是纸片折叠问题,在解答此类问题时,要注意在折叠过程中包含了轴对称、全等,从而运用相关性质构建相关角或线段之间的关系,再对其进行分析与解题.名师点睛7.勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小明灵感,他惊喜地发现,当四个全等的直角三角形如图摆放时,可以用“面积法”来证明a2+b2=c2.请你写出证明过程.

8.在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c.若∠ACB=90°,如图1所示,根据勾股定理,得a2+b2=c2.若△ABC不是直角三角形,如图2和图3所示.请你类比勾股定理,试猜想a2+b2与c2的关系,并证明你的结论.【解析】若△ABC是锐角三角形,则a2+b2>c2.若△ABC是钝角三角形,∠C为钝角,则a2+b2<c2.当△ABC是锐角三角形时,证明如下:在题图2中,过点A作AD⊥BC,垂足为D.设CD的长为x,则BD=a-x.根据勾股定理,得b2-x2=AD2=c2-(a-x)2,即b2-x2=c2-a2+2ax-x2,所以a2+b2=c2+2ax.因为a>0,x>0,所以2ax>0,所以a2+b2>c2.当△ABC是钝角三角形,∠C为钝角时,证明如下:在题图3中,过点B作BD⊥AC,交AC的延长线于点D.设CD的长为x,则有BD2=a2-x2.在Rt