随机抽样中样本容量的确定

随机抽样中样本容量的确定摘要：本文就随机抽样中对总体平均数进行参数估计或假设检验时，对样本的必要容量问题进行了讨论，对在总体方差02已知和未知情况下，如何确定样本的必要容量进行了讨论，并对实际应用中必要样本容量的确定进行了合理的近似。关键词：必要样本容量随机抽样置信水平通过随机抽样的方法对总体参数进行估计或检验，确定随机抽样样本的容量n是一个非常重要的问题。如果样本容量n太大，会消耗大量的人力物力，造成不必要的浪费；如果样本容量n太小，会造成参数估计不精确，达不到规定的要求，进而影响假设检验的可靠性。因而科学地确定随机抽样中必要样本的样本容量n的大小，在实际应用中具有重要意义。设总体X服从正态分布，即X〜N(卩,o2),(X,xx)是抽自该总体的一个简1 2 n单随机样本，则该样本也服从正态分布X〜N(卩,巳)，即Z=兰二上〜N(0,1)。nJn1.在02已知条件下的必要样本容量均数在1-a的置信区间为(X均数在1-a的置信区间为(X-\-nZ)。而在对总体平均数进行假设检a验时，2验时，由于X〜N(卩Q2),对于给定的显著性水平a，当假定原假设H成立时，因Z=M二上〜N(0,1)，由正态分布的对称性可知,0Jn<Za2<Za2>=1—a1)式回答了两个问题：一是当原假设H:卩二卩成立时，给出了H的否定000域；二是在□未知时，给出了总体平均数口在置信水平1-a时的区间估计a a、(x— Z,x+―Z)。nan亠22我们可以看到，在a2已知条件下，不论是对总体平均数进行参数估计还是(x——Z,x+—Z)假设检验，均得到了一个相同的置信区间： :，记这个置信区间的长度为24其中"當",，在实际工乍中称△为估计精度或误差精度,它表示在1-a的置信水平下，用样本平均数x估计总体平均数口时所允许的最大绝对误差，它反映出了允许的最大绝对误差A与置信水平1-a和样本容量n之间的关系.如果给定了最大绝对误差A与置信水平1-a，就可以计算出此时的必要(2)样本容量n：(2)2.在a2未知条件下的必要样本容量在a2未知条件下，我们可以得到总体平均数□在1-a置信水平下的置信区间为(x-Xt(n间为(x-Xt(n-1),x+naS<nt(n-1)，而在对总体平均数进行假设检验时,a由于X〜N(卩,a2)，对于给定的显著性水平a，当假定原假设H:『口成立时，因00T二X丁0〜t(n-1)，选择临界值t(n-1)，使得P&>t(n—1)}=a，S a a 1a<n即 PJX-M0<t(n—1)[=1-a (3)aa(3)式同样回答了两个问题：当原假设H:u=u成立时，给出了H的否定000域；二是在□未知时，给出了总体平均数口在置信水平1-a时的区间估计(-雪(-雪(n-1),x+naS<nt(n-1)a同样可以看到，在b2未知条件下，不论是对总体平均数进行参数估计还是假设检验，均得到了一个相同的置信区间(X--£t(n假设检验，均得到了一个相同的置信区间(X--£t(n-1),X+<naS■Jnt(n-1)a我们还是以A我们还是以A=S<nt(n-1)表示样本平均数X估计或检验总体平均数口时所允a许的最大绝对误差，在知道最大绝对误差A与置信水平1-a的前提下，我们可以计算出此时的必要样本容量n(4)事实上，当总体方差b2未知时，我们可以用由经验确定的b2代替S2，对0于给定的显著性水平a，只要查得临界值t(n-1)，这时n的值就能由(4)式确a定。但实际上，确定临界值t(n-1)本身，事先就需要知道n的值，即自由度n-1a的值，因此(4)并没有真正解决n值的计算问题。然而，我们通过分析t分布临界值表可以发现，对于显著性水平a<0.05的情形，当n±30时，其临界值t(n-1)a~2,这个临界值对于大于30的各个n值影响均不太大，因此我们可以采用近似公式5)4S5)n=—

A2来计算n,如果计算出的n值大大超过30时,这与前面假定t(n-1)心2是不矛盾的。a在实际的工作中，对于n的确定可按如下方式进行：根据S和△的值，由(5)式计算n的值，如果n的值大于30，就可以以这个n值作为样本的必要容量；若n值不大于30，则采用“试差法”来确定样本的必要容量1,即先由(5)式计算出一个n值，以这个n值作为第二次查临界值t(n-1)时的n,将查得的临界值t(n-1)aa代入(4)式再计算n值，再以求得的n作为第三次查临界值t(n-1)时的n,再将a查得的临界值t(n-1)代入(4)式计算n值，如此循环，直到(4)式中两边的na值相同或相差很小时为止•一般要求计算出的n值不能小于5。从上面的式子(2)、(4)我们可以看到，对总体平均数进行参数估计或假设检验时必要样本容量具有以下三个特点：总体方差b2或样本方差S2越大，必要样本的容量n就越大;最大允许误差△越小，必要样本的容量n就越大；置信水平1-a越高，必要样本的容量n就越大。参考文献：李贤平，沈崇圣，陈子毅•概率论与数理统计[M].复旦大学出版社，2005.邵志芳.心理与教育统计学[M].上海科学普及出版社，2004.耿修