台州市2023届高三第一次教学质量评估试题数学

台州市2023届高三第一次教学质量评估试题数学

一、选择题

1.设集合A={1,2,3,4,5},B={x|-44x44},则Ap|B=(

A.[1,4]

B.[1,5]

C.{1,2,3,4,5)

D.{1,2,3,4)

答案：

D

解析：

注意：集合A是自然数集，集合B实数集，/105={1,2,3,4}.

2.已知复数z满足z(l+i)=2(i为虚数单位)，则|三|=()

A.1

B.V2

c.V3

D.2

答案：

B

解析：

因为z=17=而西=1所以0=际笊="故选B.

3.已知单位向量入B满足I々一向=1，则向量"，否的夹角为()

4

答案：

c

解析：

因为单位向量人0满足|。一"二1，所以|。『一21al“川(：05<。/〉+|"2=1，即cos<a,6>=],得

向量入♦的夹角为2.故选C.

X

4.函数/(x)=——+ln(x+2)的零点个数是()

x+2

A.0

B.1

C.2

D.3

答案：

B

解析：

2

函数的定义域为*|x>—2},/(x)=l-一二+ln(x+2)在(-2,+8)上是增函数，/(—1)=-1,

x+2

/(0)=In2>0,/(I)•/(0)<().所以函数在(一1,0)内有一个零点.故选B.

5.已知抛物线C：),2=4%的焦点/，点"(2,0),经过点E的直线交抛物线于A8两点.且

IAV1=1A尸|.则点B的横坐标为()

B.1

答案：

c

解析：

抛物线C：)，2=4x的焦点尸(1,0)，因为|A〃|=|AE|,所以鹿,倔或选A(|,倔

做.&=2«.直线AF:y=2#(x—l).代入C:y2=4x得：6x2-13x+6=0,解得：x=g或

2

x=—.

3

所以点3的横坐标为(2.故选C.

6.已知数列｛““｝满足：Vm,nwN：。,“+”=%+。”•若%(0=2022,则q=()

A.1

B.2

C.3

D.2022

答案：

A

解析：

由Wm，nwN“，4”+.=%,+°“，令m=1，则4+"=4+4,

r.4=q+q=2q,%=4+%=3。1，…，an=«]+an=na1,

又%o22=2022=2022%nq=l.故答案选A.

7.在四棱锥P-ABC。中，平面PAB1平面ABC。，尸AB为边长为1的等边三角形，底面A8CD为矩

形，若四棱锥尸-ABC。存在一个内切球（内切球定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切,

则称这个球是这个多面体的内切球），则内切球表面积为（）

A.4万

B.71

4%

C.

3

71

D.—

3

答案：

D

解析：

解法一：

如图所示，设内切圆半径为乙・・•平面BAB1平面A3CO,为边长为1的等边三角形，・・・。到面

Q45的距离就是GE=r,

：・PF=PG+GF=2r+r=3r=—=r=—，

26

eITP

.•.内切球表面积是47户=4万x==二.故答案选D.

123

解法二：如图所示，易知内切球内切于APEF，记切点分别为M，N,K，设半径为「，

BC=EF=a,根据几何关系：ME=NE=r,PN=PK=B，MF=FK=a-r,所以

2

PF2=PE2+EF2=>(^--r+a-r)2=(―)2+/①,

13V

又Vp_ABCD=^O-ABCD+^O-PAB+^O-PBC+^O-PAD+^O-PCD=VP-A8CD=]S表•「=>/*=-

1•CI,—

所以有r=----7=--------------7=---------②,

小C、1一6、

u4———F2•1•tz+—,1,(―^—r+a-r)

联立①②两式可知：r=立,所以S球=4万户=4万.’-=代，故选D.

6坪123

8.水平放置的碗口朝上的半球形碗内，假设放入一根粗细均匀的筷子，在力的作用下，筷子在碗内及碗沿

可无摩擦自由活动直到筷子处于平衡（即筷子质心G最低）.此时若经过筷子作水平面垂直截面如图，其

中半圆O半径为1（表示半球直截面）线段43长为3（表示筷子）.则线段AB的中点G离碗口平面距

离最大时，直线AB与水平面夹角的余弦值为（）

cB

G

A

V137-3

A.

16

3+VB7

B.

16

c.V3

V

1

D.

2

答案:

B

解析：

令线段AB与半球碗的右侧交于点M.

设直线A3与水平面夹角为心AB的中点G离碗口平面距离为献。）.

此时h(6)—GMsin0=sin2^——sin0呜),

2

33

求导得：h'(6)=2cos26—cosd=4cos20—cos0—2=0,

22

此时n2±^4+323±Ji^7,设cos%=3+阿

cos"\=1616

e(04)稣

k⑹+0—

喇极大值

当8时，爪。)取得最大值....线段48的中点G离碗口平面距离最大时，直线与水平面夹角的余

弦值为止叵故选B

16

二、多选题

9.投掷两枚质地均匀的正方体毅子，则()

A.向上点数之和为5的概率为上

18

B.向上点数之和为7的概率为:

C.向上点数之和为6的倍数的概率为2

36

D.向上点数之和为偶数的概率为工

2

答案：

B、D

解析：

41

由题知：向上点数之和为5的样本点为(L4),(2,3),(3,2),(4,1),概率为数=5，故A错误；向上

点数之和为7的样本点为(L6),(2,5),…，(6,1),概率为g故B正确；向上点数之和为6的倍

366

数，

当和为6：样本点有5个；当和为12：样本点有1个，概率为三=,，故C错误；

366

向上点数之和为偶数的样本点有2C；・C；=18,概率为故D正确；故选BD.

10.已知定义在R上的函数/'(X),满足：Vx,yeR,=()

A.函数y(x)一定为非奇非偶函数

B.函数/'(x)可能既是奇函数又是偶函数

C.当x>0时，f(x)>1,则函数/(用在/?上单调递增

D.当x<0时，/(x)<1,则函数/(x)在R上单调递减

答案：

B、C

解析：

“0+0)="0)/(0),所以f(0)=0或"0)=1；当/(0)=0时，/(x+0)=/(x)/(0)=0,即

/(x)=0既是奇函数又是偶函数，故B正确；A错误；D错误；当x>0时，.〃0)工0,所以/(0)=1,

且/(x—x)=/(x)f(—x)=l,又所以/(-x)=」e(0,l),即x<0时，/(X)G(0,1),所

/(%)

以当xwR时，/(x)>0,不妨设％]<%2，则/(%2)=/((%2_%1)+%)=/(%2一西)/(玉)〉/(*1)，所

以函数/(x)在R上单调递增，故C正确；故选BC

11.如图，在正方体ABCD—ABGA中，E，/分别为边AQ，AB的中点，点尸为线段"户上的动

点，则()

A.存在点P，使得B、C111平面BEP

B.存在点P，使得46u平面BEP

c.对任意点p,使得A〃平面BEP

D.对任意点P,使得FCCy1平面BEP

答案：

A、B、D

解析：

当尸点运动到厂时，B^CJIBC,BCu平面BEP，且B£（t平面3万尸，所以平面3石尸，

故A正确；

如图（1）取中点M，易证BBJ/EM,所以DF与平面交于唯一点为p点时，B|Bu平面

EEP，故B正确；

如图（2）当。点在。时;平面AB〕A与平面班尸相交，故c错误;

如图(3)易证BELFC,CC,1BE,且尸。。。0]=。，即平面/C0，所以对任意点P，平

面FCC11平面8石P，故D正确；故选ABD.

12.已知实数a>2,h>2,且。。从若铸=)“，则。一匕可能等于()

I

A.—

2

B.1

C.2

D.3

答案：

A、B

解析：

,,,,,,,Ina\nh.Inx.1-Inx

ah—b=〃lna=alnb=---=----,设/(x)=,/(x)=—,

ab'xx

令尸(x)>(),解得0<x<e,所以/(x)在(0,e)上递增，在(e,+8)上递减,

图像如图所示，

因为。>2,b>2,假设。>力，则匕6(2,e),

当人=2时，/(2)=殍=野=/(4),所以ae(e,4),

因此a-6亡(0,2),所以A、B正确.故选AB.

三、填空题

13.经过点(0,0),(2,0),(0,3)的圆的方程为.

答案：

(x-1)2+(y-|)2=?或%2_2%+)>2_3)=0

解析：

设A(0,0),B(2,0),C(0,3),则AA8C为直角三角形，NA=90°.因此外接圆圆心在中点

(1,1),r2=l2+(|)2=^,所以圆方程为(x—l)2+(y-1)2=?.

o13

故填：(x-l)2+(y--)2=—sJ<；x2-2x+y2-3)>=0.

14.已知实数1，y满足V+2)2_2孙=4,则刈的最大值为.

答案：

2①+2

解析：

要求最大值，则X,y>0,

由基本不等式，4+2xy=x2+2y2>2-j2xy.即盯《?网】=2/+2,当且仅当丁=2,2，即

X2=4+2y/2,,2=2+71时等号成立.故填：2人+2.

51()27()

.已知-则为=

15(1+x—r)=a0+atx+a2x'+•••+6Z2Ox,

答案：

30

解析：

•吁=。一,/"+当用时,

Tm.„=cy•H)"Go2"(_1)"；+2〃=3

得《二或《J所以〃3=C=C；(-1)°+C：o・C；(-iy=30；故选30.

n=0,n=1,

16.已知owN"若关于上的方程2cos(<yx+l)=3x+l恰有三个不同的解，则满足上述条件的①的值可

以为(写出一个即可).

答案：

4(或5,6,7,8.9,10)

解析：

令0%+l=/(oeN*),则x=^~,

CD

...将关于X的方程2COS(3X+1)=3x+1化成2cosf=3Q-1)+1,

CD

根据题意可知：丁=285/与3；=3«-1)+1(0€7*)恰有三个交点,

CD

其中直线y=3(r—1)+1(。GN*)恒过定点(1,1),斜率％=3.作图:

3*

根据图像可知：y=2cosr与y=—(/-l)+l(oeN)在，轴左侧有两个交点，在V轴右侧有一个交点.

CO

3.57r7T

考虑37=2。0$1与丁=—Q—l)+1(GwN)相切，设切点的横坐标为:)£(—3巴—T)U(一凡一力,则

co22

3

2cosI。=—1-D+1,

co

、.3

-2sinf0=一,

co

33222323

A[-(t0-1)+1]+(-)-4,[(r0-1)+1](-)+2(r0-1)--3-0,

COCDCDCD

22

即3(y)-2(r0-1)y-[(r0-1)+1]=0,

...q=24_1)+.-Ip+[2[&-1)2+1]=d_1)+)4优-1)2+3,

'T―6―

<z>=(q-1)+-I)?+3,Je(―3肛——)U(——■—)，为单调递减函数，

当务二一3〃时，@=10.49；当/。=一等时;0*8.93；当曲=一〃时，/=5.84；当/。:一]时，

①a2.85.经验算，。=4,5,6,7,8,9,10均符合题意.

四、解答题

17.己知公差为2的等差数列｛%｝中，/，。4，。7成等比数列.

(1)求。“；

(2)设以=%+2%,求数列也｝的前“项和S".

答案：

见解析

解析：

(1)因为的，。4，%成等比数列，所以。；=%%，又因为等差数列｛%｝的公差为2,所以

(%+6)2=(q+4)(4+12),解得4=-3,所以。“=2〃-5；

(2)由题意我=2〃—5+22"工所以2n-8/"4")1

nS,-----xn+-^-------=n-4nd----(4-1)

"21-424

18.为考察某种药物A对预防疾病B的效果，进行了动物试验，根据100个有放回简单随机样本的数据,

得到如下列联表:

患病B

药物A合计

未患病患病

未服用301545

服用451055

合计7525100

(1)若从总体中任取一个样本，试估计该动物未服用药物A且未患疾病B的概率;

(2)能否有95%的把握认为药物A对疾病3有效？

尸⑴之2)0.1000.0500.0100.001

a2.7063.8416.63510.828

答案：

见解析

解析：

(1)由样本估计总体，估计该动物未服用药物且未患疾病5的概率为2=孟=6；

(2)假设药物A服用与患疾病3无关，

2n(ad-bc)2100x(30xl0-15x45)2100

□□y=______________________________—___________________________—____

(a+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)75x25x45x5533'

因为翳＜3,841,所以没有95%的把握认为药物A对疾病B有效.

19.如图，在四棱锥P—ABC。中，AB//CD,△以⑶与均为等腰直角三角形,

7T

NPBA=NPDA=3,P4=2,且平面A4B1平面PAQ.

D

(1)求证：R41BD；

(2)若。。=里，求点A到平面P8C的距离.

2

答案：

见解析

解析：

jr

(1)证明：取。4的中点O,因为AR4B与AR4O均为等腰直角三角形，NPBA=NPDA=《,则

OB±PA，DOLPA,

又因为3onco=o,所以P41平面8。。，所以P4L8D.

(2)因为平面Q481平面B4O，BO1PA,所以。81.平面PAQ,OB1OD,

以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系O-»z,

则A(—1,0,0),5(0,1,0),0(0,0,1),P(l,0,0),

设。(x,y,z),设。—C■=3―.所以x=y=3],z=l，因此eg3,]3」)，

31

-BC=0,

设平面P8C的法向量为，=(X，y,z，，则＜即《-2X,I—2y+4=0,

晨丽=0,

x_y=°，

令再=1,得y=l,Z]=-2,所以1=(1,1,—2),

设点A到平面P3C距离为"，则

1«1I3

20.设AABC的三个内角A，B，。所对的边分别为。，b,C,若AwB，且

sin4cos(23—A)=sinBcos(2A—B).

(1)求tanAtanB的值；

(2)若c=2,AABC的面积为1，求tanC的值.

答案：

见解析

解析：

(1)因为sinAcos(2B—A)=sinBcos(2A—B),

所以sinAcos(B4-(B—A))=sinBcos(A4-(A—B)),

所以sinAcosBcos(B—A)—sinAsinBsin(B—A)=sinBcosAcos(A—B)—sinBsinAsin(A—B),

所以cos(A—3)(sinAcosB-sinBcosA)=2sin(B—A)sinAsinB,

所以sin(A—B)cos(A—B)=—2sin(A—B)sinAsinB,

又因为在A45c中A/B，所以sin(A—3)WO,所以cos(A-3)=-2sinAsinB,所以

cosAcosb=-3sinAsinB,所以tanAtanB=-g.

(2)因为△ABC的面积为1，所以S='acsin8=l,所以a=」一，根据正弦定理可得

2sinB

22sinA1

——，所以一:二「;，所以sinC=2sinAsin5,所以

sinAsinCsinCsinCsinB

sinAcosB+cosAsinB=2sinAsinB,可得-----+----=2,

tanAtanB

2

又因为tanAtanB=---所以tanA+tanB=—

33

tanA+tanB

所以tanC=—tan(A+B)=—

1-tanAtanB2

21.已知函数/'(x)：?/—办3一匕x,(“，bwR,awO).

4

(1)若b=o,求函数y(x)的单调区间；

(2)若存在瓦cR,使得f(x0+x)=f(x0-x).设函数y=f(x)的图象与I轴的交点从左到右分别为

A.B，C，。.证明：点3，C分别是线段AC和线段8D的黄金分割点.(注：若线段上的点将线

段分割为两部分，且其中较长部分与全长之比等于较短部分与较长部分之比，则称此点为该线段的黄金分

割点)

答案：

见解析

解析：

(1)因为/(x)=a(《x4-马，所以产(%)=©2(］一3).

①当a>0时，/(x)在(一℃,3)上单调递减，在(3,+8)上单调递增；

②当a<0时，/(x)在(一8,3)上单调递增，在(3,y)上单调递减.

(2)证明：若存在％o^R,使得/(%+%)=/(%T),

343

则"(％+x)4—a(x0+x)-+x)=—(x0—x)—«(x0—x)—Z?(x0—x),

44

2222

得axox[(xo+x)+(x0-x)]-2«x[(x0+x)+(x0-x)+(x0+x)(x0-x)|-2hx=0,

222

得CVC()(Xg+X)—6Z(3XQ+)一〃=0对任意X恒成立，

即cix^(XQ—1)+%’—3aY(；—Z?=0对任意1怛成立，

.»党->=。,,所以I—?；代入得小)“(卜—幻，

所以《

由/(X)=0可得废(%3-4%2+8)=0.

因为函数/(X)的图象关于x=l对称，所以有2)(9—2x—4)=o,得XA=1-小,XB=O,

_1G匚匚I、IA5BCCDBC

x「=20,x=1+J5，所以—=—>—=—,

cDn7BCACBCBD

所以点B，C分别是线段AC和的黄金分割点.

2

222

22.己知点尸(2,1)是双曲线Q:x-y=a与椭圆C2:—+y=a的公共点.直线AB与双曲线G交于不

37

同的两点A，B，设直线Q4与的倾斜角分别为。，尸，且满足a+£=：-.

(1)求证：直线A8恒过定点，并求出该定点的坐标;

(2)记(1)中直线AB恒过的定点为Q，若直线AB与椭圆交于不同的两点石，F.求无•而

的取值范围.

答案:

见解析

解析:

2222

(1)证法一：由己知得。=3.所以G：土-匕=1,G：土+上=1,当Q4，依斜率不存在时，则

133263

直线BA，1PB为为=2或y=x-l,与题意不符；当24，1PB斜率存在时，记Q4，QB的斜率为

&,k2.

3乃

所以根据tan(cr+/3)=tan—=-1,可得勺+k?+1=女人.

设A(X1,y),B(x2,y2),直线43：y=丘+帆,

y=kx-^m,

由，X2y2，联立可得(1一公)%2-2/式一加2—3=0,

------=1,

33

A=4攵2疗+4(1-%2)(加2+3)>(),

所以，XX=>+3

12^-r

什百2km

因为勺+&+1=邛2，

所以(一匕+2k+1)%1%2+(~km—k+m—3)(百+/)一加--2m—7=0,

所以(&+加+2)(24+加-1)=0,所以也=一左一2或加=1-2后(此时直