2024届江苏省南京十八中学九年级数学第一学期期末联考试题含解析

2024届江苏省南京十八中学九年级数学第一学期期末联考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，一条抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），其顶点在线段上移动．若点、的坐标分别为、，点的横坐标的最大值为，则点的横坐标的最小值为（）A． B． C． D．2．如图，正六边形ABCDEF内接于，M为EF的中点，连接DM，若的半径为2，则MD的长度为A． B． C．2 D．13．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是（）A． B． C． D．4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为弧BD，则图中阴影部分的面积是()A． B． C．- D．5．如图，的面积为12，点D、E分别是边AB、AC的中点，则的面积为（）A．6 B．5 C．4 D．36．如图，在矩形中，，，过对角线交点作交于点，交于点，则的长是()A．1 B． C．2 D．7．如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点在和之间，下列结论:①;②;③;④若是该抛物线上的点，则;其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，则tanA＝（）A． B． C． D．9．⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，下列位置关系正确的是()A． B．C． D．10．一个圆锥的侧面积是底面积的4倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是A．60° B．90° C．120° D．180°11．已知函数的图象经过点（2,3)，下列说法正确的是()A．y随x的增大而增大 B．函数的图象只在第一象限C．当x<0时，必y<0 D．点(-2,-3)不在此函数的图象上12．如图，AE是四边形ABCD外接圆⊙O的直径，AD＝CD，∠B＝50°，则∠DAE的度数为（）A．70° B．65° C．60° D．55°二、填空题（每题4分，共24分）13．小明和小亮在玩“石头、剪子、布”的游戏，两人一起做同样手势的概率是_____________．14．关于的一元二次方程的一个根，则另一个根______.15．如图，，与相交于点，若，，则的值是_______.16．中，若，，，则的面积为________.17．如图，平面直角坐标系中，已知O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，测第70次旋转结束时，点D的坐标为_____．18．如果二次函数的图象如图所示，那么____0.（填“＞”，“=”，或“＜”）．三、解答题（共78分）19．（8分）计算题：（1）计算：sin45°+cos230°•tan60°﹣tan45°；（2）已知是锐角，，求．20．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB=2，E为BC上一点，且BE=1，∠AED=90°，将AED绕点E顺时针旋转得到，A′E交AD于P，D′E交CD于Q，连接PQ，当点Q与点C重合时，AED停止转动．（1）求线段AD的长；（2）当点P与点A不重合时，试判断PQ与的位置关系，并说明理由；（3）求出从开始到停止，线段PQ的中点M所经过的路径长．21．（8分）如图，广场上空有一个气球，地面上点间的距离.在点分别测得气球的仰角为，，求气球离地面的高度.（精确到个位）（参考值:，，，）22．（10分）已知关于x的一元二次方程x1=1（1－m）x－m1有两个实数根为x1，x1．（1）求m的取值范围；（1）设y=x1+x1，求当m为何值时，y有最小值．23．（10分）如图，反比例函数y＝（x＞0）与直线AB：交于点C，点P是反比例函数图象上一点，过点P作x轴的垂线交直线AB于点Q，连接OP，OQ．（1）求反比例函数的解析式；（2）点P在反比例函数图象上运动，且点P在Q的上方，当△POQ面积最大时，求P点坐标．24．（10分）“江畔”礼品店在十一月份从厂家购进甲、乙两种不同礼品．购进甲种礼品共花费1500元，购进乙种礼品共花费1050元，购进甲种礼品数量是购进乙种礼品数量的2倍，且购进一件乙种礼品比购进一件甲种礼品多花20元．（1）求购进一件甲种礼品、一件乙种礼品各需多少元；（2）元旦前夕，礼品店决定再次购进甲、乙两种礼品共50个．恰逢该厂家对两种礼品的价格进行调整，一件甲种礼品价格比第一次购进时提高了30%，件乙种礼品价格比第次购进时降低了10元，如果此次购进甲、乙两种礼品的总费用不超过3100元，那么这家礼品店最多可购进多少件甲种礼品?25．（12分）某网店销售一种商品，其成本为每件30元.根据市场调查，当每件商品的售价为元（）时，每周的销售量（件）满足关系式：.（1）若每周的利润为2000元，且让消费者得到最大的实惠，则售价应定为每件多少元？（2）当时，求每周获得利润的取值范围.26．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC,AB上，且∠ADE=60°.求证：△ADC~△DEB．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【分析】根据顶点在线段上移动，又知点、的坐标分别为、，再根据平行于轴，之间距离不变，点的横坐标的最大值为，分别求出对称轴过点和时的情况，即可判断出点横坐标的最小值．【详解】根据题意知，点的横坐标的最大值为，此时对称轴过点，点的横坐标最大，此时的点坐标为，当对称轴过点时，点的横坐标最小，此时的点坐标为，点的坐标为，故点的横坐标的最小值为，故选：C．【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的图象与性质．解答本题的关键是理解二次函数在平行于轴的直线上移动时，两交点之间的距离不变．2、A【解析】连接OM、OD、OF，由正六边形的性质和已知条件得出OM⊥OD，OM⊥EF，∠MFO=60°，由三角函数求出OM，再由勾股定理求出MD即可．【详解】连接OM、OD、OF，∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，M为EF的中点，∴OM⊥OD，OM⊥EF，∠MFO=60°，∴∠MOD=∠OMF=90°，∴OM=OF•sin∠MFO=2×=，∴MD=，故选A．【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、三角函数、勾股定理；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出OM是解决问题的关键．3、A【分析】根据平行线分线段成比例定理与相似三角形的性质，逐项判断即得答案．【详解】解：A、∵DE∥BC，∴，故本选项正确；B、∵DE∥BC，∴△DEF∽△CBF，∴，故本选项错误；C、∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，故本选项错误；D、∵DE∥BC，∴△DEF∽△CBF，∴，故本选项错误．故选：A．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定和性质，属于基础题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解答的关键．4、A【分析】先根据勾股定理得到AB=，再根据扇形的面积公式计算出S扇形ABD，由旋转的性质得到Rt△ADE≌Rt△ACB，于是S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD-S△ABC=S扇形ABD．【详解】∵∠ACB=90°，AC=BC=1，∴AB=，∴S扇形ABD=，又∵Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，∴Rt△ADE≌Rt△ACB，∴S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD−S△ABC=S扇形ABD=，故选A.【点睛】本题考查扇形面积计算，熟记扇形面积公式，采用作差法计算面积是解题的关键.5、D【分析】先由点D、E分别是边AB、AC的中点，得DE∥BC，从而得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方及△ABC的面积为12，​可得SADE=1．【详解】解：∵点D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE∥BC，，∴△ADE∽△ABC，∴SADE：S△ABC=1：4∵△ABC的面积为12∴SADE=1.故选D．【点睛】本题考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握形似三角形的判定方法与性质定理是解答本题的关键.6、B【分析】连接，由矩形的性质得出，，，，由线段垂直平分线的性质得出，设，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】如图：连接，∵四边形是矩形，∴，，，，∵，∴，设，则，在中，由勾股定理得：，解得：，即；故选B．【点睛】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．7、C【分析】根据抛物线的对称轴可判断①；由抛物线与x轴的交点及抛物线的对称性可判断②；由x=-1时y＞0可判断③；根据抛物线的开口向下且对称轴为直线x=-2知图象上离对称轴水平距离越小函数值越大，可判断④．【详解】∵抛物线的对称轴为直线，

∴，所以①正确；

∵与x轴的一个交点在（-3，0）和（-4，0）之间，

∴由抛物线的对称性知，另一个交点在（-1，0）和（0，0）之间，

∴抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，即c＜0，故②正确；

∵由②、①知，时y＞0，且，

即＞0，所以③正确；∵点与点关于对称轴直线对称，∴，∵抛物线的开口向下，且对称轴为直线，

∴当，函数值随的增大而减少，

∵，∴，∴，故④错误；综上：①②③正确，共3个，

故选：C．【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置；常数项c决定抛物线与y轴交点；抛物线与x轴交点个数由决定．8、B【分析】根据正切的定义计算，得到答案．【详解】在Rt△ABC中，∠C＝90°，，故选：B．【点睛】本题考查正切的计算，熟知直角三角形中正切的表示是解题的关键.9、B【分析】根据圆O的半径和圆心O到直线l的距离的大小，相交：d＜r；相切：d＝r；相离：d＞r；即可选出答案．【详解】解：∵⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，∵5＞3，即：d＜r，∴直线L与⊙O的位置关系是相交．故选：B．【点睛】本题主要考查了对直线与圆的位置关系的性质，掌握直线与圆的位置关系的性质是解此题的关键.10、B【解析】试题分析：设母线长为R，底面半径为r，∴底面周长=2πr，底面面积=πr2，侧面面积=πrR，∵侧面积是底面积的4倍，∴4πr2=πrR．∴R=4r．∴底面周长=πR．∵圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长，∴设圆心角为n°，有，∴n=1．故选B．11、C【解析】∵图象经过点（2，3），∴k=2×3=6＞0，∴图象在第一、三象限．∴只有C正确．故选C．12、B【分析】连接OC、OD，利用圆心角、弧、弦的关系以及圆周角定理求得∠AOD＝50°，然后根据的等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可求得∠DAE＝65°．【详解】解：连接OC、OD，∵AD＝CD，∴，∴∠AOD＝∠COD，∵∠AOC＝2∠B＝2×50°＝100°，∴AOD＝50°，∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO＝，即∠DAE＝65°，故选：B．【点睛】本题考查了圆中弦，弧，圆心角之间的关系，圆周角定理和三角形内角和，解决本题的关键是正确理解题意，能够熟练掌握圆心角，弧，弦之间的关系.二、填空题（每题4分，共24分）13、【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两人随机同时出手一次，做同样手势的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】画树状图为：

共有9种等可能的结果数，其中两人随机同时出手一次，做同样手势的结果数为3，

故两人一起做同样手势的概率是的概率为．故答案为：．【点睛】本题涉及列表法和树状图法以及相关概率知识，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14、1【分析】设方程的另一个根为x2，根据根与系数的关系可得出4+x2=4，解之即可得出结论．【详解】设方程的另一个根为x2，根据题意得：4+x2=4，∴x2=1．故答案为：1．【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于、两根之积等于是解题的关键．15、【分析】根据判定三角形相似，然后利用相似三角形的性质求解.【详解】解：∵∴△AEB∽△DEC∴故答案为：【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形对应边成比例，难度不大.16、【分析】过点A作BC边上的高交BC的延长线于点D，在中，利用三角函数求出AD长，再根据三角形面积公式求解即可.【详解】解：如图，作于点D，则，在中，所以的面积为故答案为：.【点睛】本题主要考查了三角函数，灵活添加辅助线利用三角函数求出三角形的高是解题的关键.17、(3，﹣10)【分析】首先根据坐标求出正方形的边长为6，进而得到D点坐标，然后根据每旋转4次一个循环，可知第70次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转90°，即可得出此时D点坐标．【详解】解：∵A(﹣3，4)，B(3，4)，∴AB=3+3=6，∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB=6，∴D(﹣3，10)，∵70=4×17+2，∴每4次一个循环，第70次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转90°，此时D点与(﹣3，10)关于原点对称，∴此时点D的坐标为(3，﹣10)．故答案为：(3，﹣10)．【点睛】本题考查坐标与图形，根据坐标求出D点坐标，并根据旋转特点找出规律是解题的关键．18、＜【分析】首先根据开口方向确定a的符号，再依据对称轴的正负和a的符号即可判断b的符号，然后根据与Y轴的交点的纵坐标即可判断c的正负，代入即可判断abc的正负．【详解】解：∵图象开口方向向上，∴a＞0.∵图象的对称轴在x轴的负半轴上，∴.

∵a＞0，∴b>0.∵图象与Y轴交点在y轴的负半轴上，

∴c＜0.∴abc<0.故答案为<.【点睛】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，能根据图象正确确定各个系数的符号是解决此题的关键，此题运用了数形结合思想．三、解答题（共78分）19、（1）；（2）1﹣【分析】（1）代入特殊锐角的三角函数值进行实数的运算便可；（2）由已知求出α的度数，再代入计算便可．【详解】解：原式（2）∵∴，∴∴，原式【点睛】本题考查的是利用特殊角的三角函数值进行运算，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．20、（1）5；（2）∥，理由见解析；（3）【分析】（1）求出AE＝，证明△ABE∽△DEA，由可求出AD的长；（2）过点E作EF⊥AD于点F，证明△PEF∽△QEC，再证△EPQ∽△A'ED'，可得出∠EPQ＝∠EA'D'，则结论得证；（3）由（2）知PQ∥A′D′，取A′D′的中点N，可得出∠PEM为定值，则点M的运动路径为线段，即从AD的中点到DE的中点，由中位线定理可得出答案．【详解】解：（1）∵AB＝2，BE＝1，∠B＝90°，∴AE＝＝＝，∵∠AED＝90°，∴∠EAD+∠ADE＝90°，∵矩形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，∴∠BAE+∠EAD＝90°，∴∠BAE＝∠ADE，∴△ABE∽△DEA，∴，∴，∴AD＝5；（2）PQ∥A′D′，理由如下：∵，∠AED＝90°∴＝＝2，∵AD＝BC＝5，∴EC＝BC﹣BE＝5﹣1＝4，过点E作EF⊥AD于点F，则∠FEC＝90°，∵∠A'ED'＝∠AED＝90°，∴∠PEF＝∠CEQ，∵∠C＝∠PFE＝90°，∴△PEF∽△QEC，∴，∵，∴，∴PQ∥A′D′；（3）连接EM，作MN⊥AE于N，由（2）知PQ∥A′D′，∴∠EPQ＝∠A′＝∠EAP，又∵△PEQ为直角三角形，M为PQ中点，∴PM＝ME，∴∠EPQ＝∠PEM，∵∠EPF＝∠EAP+∠AEA′，∠NEM＝∠PEM+∠AEA′∴∠EPF＝∠NEM，又∵∠PFE＝∠ENM﹣90°，∴△PEF∽△EMN，∴＝为定值，又∵EF＝AB＝2，∴MN为定值，即M的轨迹为平行于AE的线段，∵M初始位置为AD中点，停止位置为DE中点，∴M的轨迹为△ADE的中位线，∴线段PQ的中点M所经过的路径长＝＝．【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，中位线定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．21、18.【分析】作AD⊥l，在Rt△ACD和Rt△ABD中，将BD,CD分别用AD表示出来，再根据BC=BD-CD列出关于AD的等式求解即可．【详解】解：过点作交延长线于点，中，，∴，同理可得：，∴即.∴.【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角是向上看的视线与水平线的夹角、俯角是向下看的视线与水平线的夹角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．22、（1）m≤；（1）m=【分析】（1）若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式△=b1-4ac≥0，建立关于m的不等式，可求出m的取值范围；

（1）根据根与系数的关系可得出x1+x1的表达式，进而可得出y、m的函数关系式，根据函数的性质及（1）题得出的自变量的取值范围，即可求出y有最小值时及对应的m值．【详解】解：（1）将原方程整理为x1+1（m-1）x+m1=0；∵原方程有两个实数根，∴△=〔1（m－1）〕1－4m1=－8m+4≥0，∴m≤（1）∵x1，x1为方程的两根，∴y=x1+x1=－1m+1，∵-1＜0∴y随m的增大而减小∵m≤∴当m=时，y有最小值．【点睛】此题是根的判别式、根与系数的关系与一次函数的结合题．牢记一次函数的性质是解答（1）题的关键．23、（1）y＝；（2）P（2，2）【分析】（1）点C在一次函数上得：m＝，点C在反比例函数上：，求出k即可．（2）动点P（m，），则点Q（m，﹣2），PQ=-+2，则△POQ面积=，利用-公式求即可．【详解】解：（1）将点C的坐标代入一次函数表达式得：m＝，故点C，将点C的坐标代入反比例函数表达式得：，解得k＝4，故反比例函数表达式为y＝；（2）设点P（m，），则点Q（m，﹣2），则△P