新初一暑假数学讲义-华师大版

目录

第

第一讲有理数......页

第

6页

第二讲数轴与相反数

第

14页

第三讲绝对值.....................

第

20页

第四讲有理数的加减法............

第

27页

第五讲有理数的乘除法............

第

32页

第六讲有理数的乘方和混合运算……

第

37页

第七讲代数式与整式..............

第

44页

第八讲整式的加减之合并同类型……

第0

5页

第九讲整式的加减之去括号与添括号

第56

第十讲图形与展开图..............页

第64

第十一讲点和线................页

第72

第十二讲角....................页

第82

第十三讲相交线与垂线..........页

第90

第十四讲同位甬/内错甬/同旁内角页

第96

第十五讲平行线及判定..........页

第103"

第十六讲平行线及性质..........

第1122^

第十七讲有理数全章复习........

第11

8"

整式加减全章复习.....

第十八讲第12

5羽

第十九讲图形的认识全章复习……第13

22

第二十讲相交线与平行线全章复习51

第一讲有理数

02知识导航

要点一、正数与负数

像+3、+1.5、+工、+584等大于0的数，叫做正数；像一3、一1.5、-,、-584等在正数前面加“一”

22

号的数，叫做负数.

要点诠释：

(1)一个数前面的是这个数的性质符号，“+”常省略，但不能省略.

(2)用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上升”等规定为正，

而把“后退、下降”等规定为负.

(3)0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界线.

要点二、有理数的分类

(1)按整数、分数的关系分类：(2)按正数、负数与0的关系分类：

'正整数'正整数

正有理数＜

整数＜0正分数

有理数＜［负整数

有理数，0

.正分数

分数，'负整数

.负分数负有理数,

、负分数

要点诠释：

(1)有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数.

(2)分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环

小数不是分数，例如万.

(3)正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数.

模块一正数与负数

中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引

入负数.如果收入100元记作+100元.那么-80元表示()

A.支出20元B.收入20元C.支出80元D.收入80元

【思路点拨】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示.

2

举一反三：

【变式1】一种大米的质量标识为"（50±0.5）千克”，则下列各袋大米中质量不合格的是（）

A.50.0千克B.50.3千克C.49.7千克D.49.1千克

【变式2］（1）如果收入300元记作+300元，那么支出500元用表示，0元表示

（2）若购进50本书，用-50本表示，则盈利30元如何表示？

【变式3】如果60m表示“向北走60m”，那么“向南走40m”可以表示为（）.

A.-20mB.-40mC.20mD.40m

体育课上，华英学校对九年级男生进行了引体向上测试，以能做7个为标准，超过的次数记为正数，不足

的次数记为负数，其中8名男生的成绩如下：2,-1,0,3,-2,-3,1,0

（1）这8名男生有百分之几达到标准？

（2）他们共做了多少引体向上？

模块二有理数的分类

_____________________________________________________________________

下面说法中正确的是（）.

A.非负数一定是正数.

B.有最小的正整数，有最小的正有理数.

C.一。一定是负数.

D.正整数和正分数统称正有理数.

举一反三：

【变式1】判断题:

（1）0是自然数，也是偶数.（）（2）0既可以看作是正数，也可以看成是负数.（）

（3）整数又叫自然数.（）（4）非负数就是正数，非正数就是负数.（）

3

【变式2】下列四种说法，正确的是（）.

（A）所有的正数都是整数（B）不是正数的数一定是负数

（0正有理数包括整数和分数（D）0不是最小的有理数

_____________________________________________________________________

请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里.

7'"

1,0.0708,-700,-3.88,0,3.14159265,——，0.23.

23

正整数集合：{…},负整数集合：{…},

整数集合：{…},正分数集合：{…},

负分数集合：{…},分数集合：{…},

非负数集合：{…},非正数集合：{…}.

举一反三：

【变式】在有理数-2、-5、3.14中，属于分数的个数共有个.

3

Q课堂演练

一、选择题

i.下列语句正确的（）个

（1）带“-”号的数是负数；

（2）如果a为正数，则-a一定是负数；

（3）不存在既不是正数又不是负数的数；

（4）0°C表示没有温度.

A.0B.1C.2D.3

2.关于数“0”，以下各种说法中，错误的是（）

A.0是整数B.0是偶数

C.0是正整数D.0既不是正数也不是负数

3.如果规定前进、收入、盈利、公元后为正，那么下列各语句中错误的是（）

A.前进-18米的意义是后退18米

B.收入-4万元的意义是减少4万元

C.盈利的相反意义是亏损

D.公元-300年的意义是公元后300年

4

4.一辆汽车从甲站出发向东行驶50千米，然后再向西行驶20千米，此时汽车的位置是（）

A.甲站的东边70千米处B.甲站的西边20千米处

C.甲站的东边30千米处D.甲站的西边30千米处

5.在有理数中，下面说法正确的是（）

A.身高增长1.2cm和体重减轻1.2Zg是一对具有相反意义的量

B.有最大的数

C.没有最小的数，也没有最大的数

D.以上答案都不对

6.下列各数是正整数的是（）

A.-1B.2C.0.5D.小

二、填空题

1.如果用+4米表示高出海平面4米，那么低于海平面5米可记作.

11.

2.在数0.5,-2-,100,0,1--45,0.1中，非负数是：非正数是.

22

3.把公元2008年记作+2008,那么-2008年表示.

4.既不是正数，也不是负数的有理数是.

5.如果向东行驶10米，记作+10米，那么向西行驶20米，记作米.

6.是整数而不是正数的有理数是.

7.既不是整数，也不是正数的有理数是.

8.一种零件的长度在图纸上是（101器：）毫米，表示这种零件的标准尺寸是毫米，加工要求最

大不超过毫米，最小不小于毫米.

三、解答题

1.说出下列语句的实际意义.

（1）输出-12t（2）运进-5t（3）浪费-14元（4）上升-2m（5）向南走-7m

2.下面两个圈分别表示负数集和分数集，请把下列6个数填入这两个圈中合适的位置.

-28%,-（一卫），-2014,3.14,-（+5）,-0.o

份数集分数集

5

3.随着人们的生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入普通家庭.小明家买了一辆小轿车，他连续记录

了7天中每天行驶的路程，以50km为标准，多于50km的记为“+”，不足50km的记为“-”，刚好50km

的记为:0”，记录数据如下表：

时间第一天第二人第三天第四天第五甘第夫天第七芫

路程(km)-8-11-140-16+41+8

(1)请你估计小明家的小轿车一月(按30天计)要行驶多少千米？

(2)若每行驶100km需用汽油8L,汽油每升7.14元，试求小明家一年(按12个月计)的汽油费用是多少

元？

Q课后巩固)

1.温度从5°C下降8°。后为()

A.3°CB.13°CC.-3°CD.-13°C

2.对一1的叙述正确的是()

A.是最小的负数B.是最大的负数

C.是最小的整数D.是最大的负整数

3.下列说法中：(1)0是最小的自然数；(2)0是最小的正数；(3)0是最大的负整数；(4)0属于整数

集合；(5)0既非正数也非负数.正确的是()

A.(1)(2)(4)B.(4)(5)C.(1)(4)(5)D.(1)(2)(5)

4.校、家、书店依次坐落在一条南北走向的大街上，学校在家的南边20米，书店在家北边100米，张明

同学从家里出发，向北走了50米，接着又向北走了一70米，此时张明的位置在

()

A.在家B.在学校C.在书店D.不在上述地方

5.下列判断中，正确的是()

(A)正整数和负整数统称为整数(B)正数和负数统称为有理数

(C)整数和分数统称为有理数(D)自然数和负数统称为有理数

6.把下列各数填在相应的大括号内:

—2.1,3,10,-3.14,-101,20.6,1056,-7.

42

正分数集合：｛…｝;非负数集合：｛…};

正整数集合：｛…｝;负整数集合：｛

6

第二讲数轴与相反数

02知识导航

要点一、数轴

1.定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.

要点诠释：

(1)原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可.

(2)长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量

线段的长度而制定的单位.有km、m、dm、cm等.

(3)原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动.

2.数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理数，还

可以表示其他数，比如万.

要点诠释：

(1)一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边

的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示.

(2)在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.

要点二、相反数

1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数；。的相反数是0.

要点诠释：

(1)“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同.

(2)“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉.

(3)相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数.

(4)求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可.

2.性质：

(1)互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等(这两个点关于原点对称).

(2)互为相反数的两数和为0.

要点三、多重符号的化简

多重符号的化简，由数字前面”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如TT-(-4)]}=4；

若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4.

模块一1数轴的概念

WSMk_______________________________

如图所示是几位同学所画的数轴，其中正确的是()

2-10~~11.-3-2-101231]12~012'Q-

(1)(2)(3)⑷

7

A.(1)(2)(3)B.(2)(3)(4)C.只有⑵D.⑴⑵⑶⑷

WSW_______________________________

小明的家与他上学的学校、书店依次坐落在一条东西走向的大街上，小明家位于学校西边30米处，书店位

于学校东边100米处，小明从学校沿这条大街向东走了40米，接着又向西走了100米到达超市，试用数轴

表示出小明的家、学校、书店、超市的位置.

举一反三：

【变式】如图为北京地铁的部分线路.假设各站之间的距离相等且都表示为一个单位长.现以万寿路站为

原点，向右的方向为正，那么木樨地站表示的数为，古城站表示的数为；如果改以古城

站为原点，那么木樨地站表示的数变为

。T0

舌

一

一

一

_公

南

五

军

A万

八

玉

主

城

棵

礼

寿

角

事

宝

泉

坟

站

松

路

士

游

博

山

路

站

站

站

路

乐

物

站

站

站

馆

园

站

站

|模块二

例题3

-1的相反数是()

5

A.5B.1C.-1D.-5

55

举一反三：

【变式1】填空：

(1)—(—2.5)的相反数是；(2)―是TOO的相反数；(3)-5：是的相反数;

(4)的相反数是T.1；(5)8.2和互为相反数.(6)a和互为相反数.

(7)的相反数比它本身大，______的相反数等于它本身.

【变式2】下列说法中正确的有()

①一3和+3互为相反数；②符号不同的两个数互为相反数；③互为相反数的两个数必定一个是正数,

一个是负数；④乃的相反数是一3.14；⑤一个数和它的相反数不可能相等.

A.0个B.1个C.2个D.3个或更多

8

如图，数轴上有A,B,C,D四个点，其中表示2的相反数的点是()

ABCD

-----1—>—।■—ft—I-----------1-------->

-4々-2-101234S6

A.点AB.点BC.点CD.点D

在数轴上到表示3的点距离为5个单位长度的正数是()

A.-2B.8C.-2或8D.5

举一反三：

【变式1】

(1)如果a=-13,那么一a=_；(2)如果一a=-5.4,那么a=__；

⑶如果一x=-6,那么x=_；(4)—x=9,那么x=

【变式2】-4的倒数的相反数是()

A.-4B.4C.--D.-

44

____________________________________________________________________

rn4-n

已知加，〃互为相反数，则2加+2〃+2-----■=.

举一反三：

【变式】已知2m—1与7-工相互为相反数，求加的值.

2

9

模块三卜多重符号的化简。|

WSMk_______________________________

化简下列各数中的符号.

(1)一(一2；)(2)-(+5)(3)-(-0.25)(4)+^-1

(5)-[-(+1)](6)-(-a)

BEMk_______________________________

化简：

(1)-{+[-(+3)]}；(2)-]-3|)).

举一反三：

【变式】当+6前面有2011个正号时，化简结果为：；当+6前面有2011个负号时，化

简结果为：;当+6前面有2012个负号时，化简结果为：.

模块四数轴/相反数综合

....................................................................

31

在数轴上表示2.5,0,--，-1,-2.5,1-,3有理数，并用把它连接起来.

44

举一反三：

【变式1】有理数a、b在数轴上的位置如图所示，下列各式不成立的是（）

----------------1------------1_।----------------->

a0h

A.b-a>0B.-b<0C.-a>-bD.-ab<0

【变式2】填空：

大于-3g且小于79的整数有个；比3之小的非负整数是

775—

10

若0,g两数在数轴上的位置如下图所示，请用“V”或填空.

qop

®pq；②一。0;③一p_<?;④一p0

举一反三：

【变式】如图，数轴上有A,B,C,D四个点，其中到原点距离相等的两个点是（）

AB,C,D

・▲--------1—3I•〉

-2-1017

A.点B与点DB.点A与点CC.点A与点DD.点B与点C

已知数轴上点A和点B分别表示互为相反数的两个数a,b（aVb）并且A、B两点间的距离是4,,求a、b

4

两数.

举一反三:

【变式】填空：（1）数轴上离原点5个单位长度的点表示的数是；（2）从数轴上观察，-3与3之

间的整数有个.

课堂演练

一、选择题

1.-5的相反数是（）

A.5B.-5C.±5D.-1

5

2.下列说法正确的是（）

A.数轴上一个点可以表示两个不同的有理数

B.数轴上的两个不同的点表示同一个有理数

C.有的有理数不能在数轴上表示出来

D.任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点

3.互为相反数的两个数的和为（）

A.0B.-1C.1D.2

II

4.如图，有理数a,b在数轴上对应的点如下，则有().

0b

(A)a>O>b(B)a>b>0(C)a<O<b(D)a<b<0

5.一个数比它的相反数小，这个数是()

A.正数B.负数C.非正数D.非负数

6.如果a+/?=0,那么力两个数一定是()

A.都等于0B.一正一负C.互为相反数D.互为倒数

二、填空题

1.的两个数，叫做互为相反数；零的相反数是.

2.若3a-4b与7a-6b互为相反数，则a与b的关系为.

3.如图所示，数轴上点A所表示的数的相反数是.

A

—I--------4---------1---------1---------

-3-2-101

4.数轴上离原点5个单位长度的点有个，它们表示的数是,它们之间的关系是.

5.化简下列各数：

(I)=；(2)_(+1)=；(3)—{+[—(+3)]}=•

6.己知一请按从小到大的顺序排列-1,—a,0,1,一b为一.

三、解答题

1.小敏的家、学校、邮局、图书馆坐落在一条东西走向的大街上，依次记为A、B、C、D,学校位于小敏家

西150米，邮局位于小敏家东100米，图书馆位于小敏家西400米.

(1)用数轴表示A、B、C、D的位置(建议以小敏家为原点).

(2)一天小敏从家里先去邮局寄信后.以每分钟50米的速度往图书馆方向走了约8分钟.试问这时小

敏约在什么位置?距图书馆和学校各约多少米？

2.已知：a是-(-5)的相反数，b比最小的正整数大4,c是最大的负整数.计算：3a+3b+c的值是多少？

3.化简下列各数，再用“心连接.

(1)-(-54)(2)-(+3.6)(3)-f+|

4.已知3m-2与-7互为相反数，求m的值.

12

课后巩固

一、选择题

1.如图所示，在数轴上点A表示的数可能是(

L-S—I-------1---------1--------1--------L

々-?-1n1?

A.1.5B.-1.5

2.从原点开始向右移动3个单位，再向左移动1个单位后到达A点，则A点表示的数是().

A.3B.4C.2D.-2

3.数轴上表示整数的点称为整点.某数轴的单位长度是1厘米，若在这条数轴上任意画出一条长为2004

厘米的线段AB,则线段AB盖住的整点的个数是()

A.2002或2003B.2003或2004

C.2004或2005D.2005或2006

4.北京、纽约等5个城市的国际标准时间(单位：小时)可在数轴上表示如图

组约多伦多伦敦北京首尔

1」」」」」」r~一」、

-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910

若将两地国际标准时间的差简称为时差，则()

A.首尔与纽约的时差为13小时

B.首尔与多伦多的时差为13小时

C.北京与纽约的时差为14小时

D.北京与多伦多的时差为14小时

5.一个数的相反数是非负数，则这个数一定是()

A.正数B.负数C.非正数D.非负数

6.在①+(+1)与-(T)；②-(+1)与+(-1)；③+(+1)与-(+1)；④+(-1)与-(-1)中，互为相反数的

是()

A.①@B.②③C.③④D.②④

7.-(-2)=()

A.-2B.2C.±2D.4

二、填空题

1.不大于4的正整数的个数为.

2.已知数轴上有A,B两点，A,B之间的距离为1,点A与原点0的距离为3,那么点B对应的数是.

3.若a为有理数，在-a与a之间(不含-a与a)有21个整数，则a的取值范围是.

4.如图所示，矩形ABCD的顶点A,B在数轴上，CD=6,点A对应的数为T,则点B所对应的数为.

A0B

5.数轴上离原点的距离小于3.5的整数点的个数为加，距离原点等于3.5的点的个数为〃,

则m—3n=

6.已知x与y互为相反数，y与z互为相反数，又z=2,则z-x+y=.

13

7.已知一l<a<OVl<b,请按从小到大的顺序排列-1,—a,0,1,-b为

三、解答题

1.小敏的家、学校、邮局、图书馆坐落在一条东西走向的大街上，依次记为A、B、C、D,学校位于小敏家

西150米，邮局位于小敏家东100米，图书馆位于小敏家西400米.

(1)用数轴表示A、B、C、D的位置(建议以小敏家为原点).

(2)一天小敏从家里先去邮局寄信后.以每分钟50米的速度往图书馆方向走了约8分钟.试问这时小

敏约在什么位置?距图书馆和学校各约多少米？

2.化简下列各数，再用连接.

(1)-(-54)(2)-(+3.6)(3)-[+—

I3/

3.若a与b互为相反数，c与d互为倒数，m是最大的负整数.求代数式2a+2b-号+m2的值•

14

第三讲绝对值

02知识导航

要点一、绝对值

1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.

要点诠释：

(1)绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.即

对于任何有理数a都有：

a(a>0)

|a|="0(a=0)

-a(a<0)

(2)绝对值的儿何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值

越大；离原点的距离越近，绝对值越小.

(3)一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的.

2.性质：

(1)0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数.

(2)互为相反数的两个数的绝对值相等.

(3)绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0.

要点二、有理数的大小比较

1.数轴法：在数轴上表示出两个有理数，左边的数总比右边的数小.如：a与b在数轴上的位置如图所示,

贝a<b._______।______।_______

2.法则比较法：°b

两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：

同为正号：绝对值大的数大

两数同号

同为负号：绝对值大的反而小

两数异号正数大于负数

正数与0：正数大于0

一数为0

负数与0：负数小于0

要点诠释：

利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：(1)分别计算两数的绝对值；(2)比较绝对值的大小；(3)判

定两数的大小.

3.作差法：设a、b为任意数，若a-b>0,则a>b；若a-b=0,则a=b；若a-bVO,a<b；反之成立.

4.求商法：设a、b为任意正数，若2〉1,则a>b；若且=1,则a=b；若乌<1,则。<。；反之也

hhh

成立.若a、b为任意负数，则与上述结论相反.

5.倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小.

15

模块一1绝对值的概念

求下列各数的绝对值.

—1—,—0.3,0,

2

已知一个数的绝对值等于2009,则这个数是一

举一反三：

【变式1】已知一个数的绝对值是4,则这个数是.

【变式2】如果IxI=2,那么x=；如果I-x|=2,那么x=________一

如果IX-2I=1,那么x=；如果IxI>3,那么x的范围是

_________________________________________________________

如果|x|=6,1y|=4,且x<y.试求x、y的值.

举一反三：

【变式1】下列说法正确的是（）

A.一个数的绝对值一定比。大

B.一个数的相反数一定比它本身小

C.绝对值等于它本身的数一定是正数

D.最小的正整数是I

【变式2】若|x-2|与|y+3|互为相反数,则x+y=

16

模块二1绝对值的应用

若-l<x<4,则|x+11-|x-41=.

【思路点拨】根据绝对值的性质：当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；当a是负有理数时，a的绝

对值是它的相反数-a,可得|x+li=x+l,|x-4|=-x+4,然后再合并同类项即可.

举一反三：

【变式】己知有理数a,b,c在数轴上对应的点的位置如图所示：

w,?、

—3—2—102

化简：|3a一c|+12a+8||c—占|

已知a、b为有理数，且满足：；12a+1|+|2-3|=0,则2=b=

举一反三：

【变式】己知b为正整数，且a、6满足|2。-4|+小=1,求/的值.

模块三卜有理数的大小比较Q|

.....................................................................

比较大小：|-13|_______-(-1.8)(填“>”、或

/I•

17

举一反三：

【变式】比大小:

-5.6../、

-3-______-3-；-|-3.2|-(+3.2)；0.0001-1000；

67

—1.38-1.384；—五-3.14.

_____________________________________________________________________

比较下列每组数的大小：

43

(1)-(-5)与-|-5|；(2)-(+3)与0；⑶与一-3；⑷一万与一|_3.14|.

54

6

课堂演练)

一、选择题

1.-3的绝对值是().

11

A.3B.—3C.—D.—

33

2.下列判断中，正确的是().

A.如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；

B.如果两个数相等，那么这两个数的绝对值相等；

C.任何数的绝对值都是正数；

D.如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数.

3.下列各式错误的是().

22

B.|—8.1|=8.1C.D.

332~~2

4.己知点M、N、P、Q在数轴上的位置如图，则其中对应的数的绝对值最大的点是()

NMpO

-4-3-2-10122456

A.MB.NC.PI).Q

5.若两个有理数a、b在数轴上表示的点如图所示，则下列各式中正确的是().

1।।一

ab0

A.a>bB.|a|>|b|C.-a<-bD.-a<|b|

18

6.若|a|+a=0,则@是（）.

A.正数B.负数C.正数或0D.负数或0

二、填空题

7.若m,n互为相反数，则|mIIn|；|m|=|n|,则m,n的关系是

8.已知|x|=2,y|=5,且x>y,则x=,y=.

9.满足3.5WIx|<6的x的整数值是.

10.在-2.1,-2,0,1这四个数中，最小的数是.

11.数a在数轴上的位置如图所示.则a-2|=.

-1012a

12.已知3]=3—4x,则x的取值范围是.

三、解答题

13.若有理数x、y满足|x|=5,|y|=2,且|x+y|=x+y,求x-y的值.

14.若|a+1.2|+|b-1|=0,那么a+