2024《试吧大考卷》二轮专题闯关导练数学【新高考】热点(十)　离心率

2024《试吧大考卷》二轮专题闯关导练数学【新高考】热点(十)离心率热点(十)离心率1．(椭圆离心率＋等差数列)若一个椭圆长轴长、短轴长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是()A.eq\f(4,5)B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5)D.eq\f(1,5)2．(双曲线离心率＋抛物线性质)已知抛物线x2＝4y的焦点F到双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)一条渐近线的距离是eq\f(1,2)，则该双曲线C的离心率为()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C．2D.eq\r(5)3．(椭圆离心率＋直线与圆相切)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为()A.eq\f(\r(6),3)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(2),3)D.eq\f(1,3)4．[2020·山东临沂模拟](双曲线离心率＋直线与圆相交)若双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线被圆x2＋(y－2)2＝2截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为()A.eq\r(3)B．2C.eq\r(5)D．2eq\r(5)5．[2020·山东九校联考](双曲线离心率＋直线与圆相切)已知直线l1，l2为双曲线M：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线，若l1，l2与圆N：(x－2)2＋y2＝1相切，双曲线M离心率的值为()A.eq\f(\r(3),3)B.eq\f(2\r(3),3)C.eq\r(3)D.eq\f(4\r(3),3)6．(椭圆离心率)以椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上的一点C为圆心的圆与x轴恰好相切于椭圆的一个焦点F，且与y轴交于M，N两点．若△MNC为正三角形，则该椭圆的离心率是()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(2),3)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(3),3)7．[2020·山东淄博模拟](双曲线离心率)已知直线y＝kx(k≠0)与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F.若△ABF的面积为4a2，则双曲线的离心率是()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C．2D.eq\r(5)8．[2020·山东济南模拟](椭圆离心率＋椭圆定义)设F1，F2分别是椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于A，B两点，且eq\o(AF1,\s\up6(→))·eq\o(AF2,\s\up6(→))＝0，eq\o(AF2,\s\up6(→))＝2eq\o(F2B,\s\up6(→))，则椭圆E的离心率为()A.eq\f(2,3)B.eq\f(3,4)C.eq\f(\r(5),3)D.eq\f(\r(7),4)9．[2020·山东临沂质量检测](双曲线率心率＋直线对称)F1，F2是双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，直线l为双曲线C的一条渐近线，F1关于直线l的对称点为F′1，且点F′1在以F2为圆心、以半虚轴长b为半径的圆上，则双曲线C的离心率为()A.eq\r(2)B.eq\r(5)C．2D.eq\r(3)10．(多选题)[2020·山东临沂罗庄区模拟](双曲线离心率)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M在双曲线的左支上，若2|MF2|＝5|MF1|，则双曲线的离心率可以是()A．3B.eq\f(7,3)C．2D.eq\f(5,3)11．(多选题)[2020·山东泰安模拟](双曲线离心率＋余弦定理)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上一点，且|PF1|＝2|PF2|，若sin∠F1PF2＝eq\f(\r(15),4)，则对双曲线中a，b，c，e的有关结论正确的是()A．e＝eq\r(6)B．e＝2C．b＝eq\r(5)aD．b＝eq\r(3)a12．(多选题)(椭圆、双曲线的离心率)已知△ABC为等腰直角三角形，其顶点为A，B，C，若圆锥曲线E以A，B为焦点，并经过顶点C，该圆锥曲线E的离心率可以是()A.eq\r(2)＋1B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2)D.eq\r(2)－113．[2020·山东枣庄质量检测](双曲线离心率)已知F为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，过F作C的渐近线的垂线FD，D为垂足，且|FD|＝eq\f(\r(3),2)|OF|(O为坐标原点)，则C的离心率为________．14．[2020·山东淄博实验中学模拟](双曲线离心率)双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1(－2,0)、F2(2,0)，M是C右支上的一点，MF1与y轴交于点P，△MPF2的内切圆在边PF2上的切点为Q，若|PQ|＝eq\r(2)，则C的离心率为________．15．(椭圆、双曲线离心率)已知椭圆M：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，双曲线N：eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________．16．[2020·山东省实验中学、淄博实验中学、烟台一中、莱芜一中四校联考](双曲线离心率＋直线与圆相切)已知双曲线E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的方程是2eq\r(2)x－y＝0，则双曲线E的离心率e＝________；若双曲线E的实轴长为2，过双曲线E的右焦点F可作两条直线与圆C：x2＋y2－2x＋4y＋m＝0相切，则实数m的取值范围是________．热点(十一)排列组合、二项式定理、概率1．(排列)七人并排站成一行，如果甲、乙两人必须不相邻，那么不同的排法种数是()A．3600种B．1440种C．4820种D．4800种2．(二项展开式特定项的系数)(1＋2x)(1＋x)4的展开式中x3的系数为()A．12B．14C．16D．203．[2020·山东日照校际联考](古典概型)2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p，使得p＋2是素数．素数对(p，p＋2)称为孪生素数．从10以内的素数中任取2个构成素数对，其中是孪生素数的概率为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,5)D.eq\f(1,6)4．(计数原理)某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD(边长为2个单位)的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i(i＝1,2，…，6)，则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A的所有不同走法共有()A．22种B．24种C．25种D．27种5．[2020·山东潍坊模拟](二项展开式特定项系数)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)＋1))5展开式中的常数项为()A．1B．11C．－19D．516．(古典概型)吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为()A.eq\f(1,5)B.eq\f(8,15)C.eq\f(3,5)D.eq\f(3,20)7．[2020·山东济南模拟](排列组合＋古典概型)2019年1月1日，济南轨道交通1号线试运行，济南轨道交通集团面向广大市民开展“参观体验，征求意见”活动．市民可以通过济南地铁APP抢票，小陈抢到了三张体验票，准备从四位朋友小王、小张、小刘、小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动，则小王和小李至多一人被选中的概率为()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3)D.eq\f(5,6)8．(排列组合＋计数原理)从集合{A，B，C，D，E，F}和{1,2,3,4,5,6,7,8,9)中各任取2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)．则每排中字母C和数字4,7至少出现两个的不同排法种数为()A．85B．95C．2040D．22809．(多选题)(二项展开式)关于多项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,x)－x))6的展开式，下列结论正确的是()A．各项系数之和为1B．各项系数的绝对值之和为212C．存在常数项D．x3的系数为4010．(多选题)[2020·山东六地市部分学校线上考试](概率)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是()A．P(B)＝eq\f(2,5)B．P(B|A1)＝eq\f(5,11)C．事件B与事件A1相互独立D．A1，A2，A3是两两互斥的事件11．(多选题)(古典概型)设集合M＝{2,3,4}，N＝{1,2,3,4}，分别从集合M和N中随机取一个元素m与n.记“点P(m，n)落在直线x＋y＝k上”为事件Ak(3≤k≤8，k∈N*)，若事件Ak的概率最大，则k的取值可能是()A．4B．5C．6D．712．(多选题)(概率)下列对各事件发生的概率判断正确的是()A．某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是eq\f(1,3)，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为eq\f(4,27)B．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为eq\f(1,5)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为eq\f(2,5)C．甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为eq\f(1,2)D．设两个独立事件A和B都不发生的概率为eq\f(1,9)，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是eq\f(2,9)13．(古典概型)人的某一特征(如单双眼皮)是由他的一对基因决定的，以D表示显性基因，d表示隐性基因，则具有DD基因的人是显性纯合子表现为双眼皮，具有dd基因的人是隐性纯合子表现为单眼皮，具有Dd基因的人为杂合子，显性纯合子与杂合子都显露显性基因决定的某一特征．孩子从父母身上各得一个基因，假定父母都是杂合子，则一对双眼皮夫妇生一个双眼皮的男孩概率是________．14．(二项展开式特定项)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,x)－\f(2,x)))n的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则该二项展开式中的常数项等于________．15．(排列组合)安排A，B，C，D，E，F六名义工照顾甲、乙、丙三位老人，每两位义工照顾一位老人．考虑到义工与老人住址距离问题，义工A不安排照顾老人甲，义工B不安排照顾老人乙，安排方法共有________种．16．(二项式定理＋导数运算)设(1－ax)2018＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2018x2018，若a1＋2a2＋3a3＋…＋2018a2018＝2018a(a≠0)，则实数a＝________.热点(十二)图表在概率与统计中的应用1．[2020·山东济宁一中模拟](散点图)某次考试，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本，他们的数学、物理分数对应如下表：学生编号12345678数学分数x6065707580859095物理分数y7277808488909395给出散点图如下：根据以上信息，判断下列结论：①根据此散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系；②根据此散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系；③甲同学数学考了80分，那么，他的物理成绩一定比数学只考了60分的乙同学的物理成绩要高．其中正确的个数为()A．0B．3C．2D．12．(多选题)[2020·山东德州模拟](直方图)某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60)元的学生有60人，则下列说法正确的是()A．样本中支出在[50,60)元的频率为0.03B．样本中支出不少于40元的人数有132C．n的值为200D．若该校有2000名学生，则定有600人支出在[50,60)元3．(多选题)(茎叶图)某特长班有男生和女生各10人，统计他们的身高，其数据(单位：cm)如下面的茎叶图所示，则下列结论正确的是()A．女生身高的极差为12B．男生身高的均值较大C．女生身高的中位数为165D．男生身高的方差较小4．(多选题)(正态分布图)已知三个正态分布密度函数φi(x)＝eq\f(1,\r(2π)σi)(x∈R，i＝1,2,3)的图象如图所示，则下列结论正确的是()A．σ1＝σ2B．μ1＞μ3C．μ1＝μ2D．σ2＜σ35．(多选题)[2020·山东青岛检测](折线图)如图的折线图是某超市2019年一月份至五月份的营业额与成本数据，根据该折线图，下列说法正确的是()A．该超市2019年的前五个月中五月份的利润最高B．该超市2019年的前五个月的利润一直呈增长趋势C．该超市2019年的前五个月的利润的中位数为0.8万元D．该超市2019年前五个月的总利润为3.5万元6．(多选题)[2020·山东济南模拟](条形图)2018年12月1日，贵阳市地铁1号线全线开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况．为了了解市民对地铁1号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后的某两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，并制作出如下等高条形图：根据图中的信息，下列结论中正确的是()A．样本中男性比女性更关注地铁1号线全线开通B．样本中多数女性是35岁及以上C．样本中35岁以下的男性人数比35岁及以上的女性人数多D．样本中35岁及以上的人对地铁1号线的开通关注度更高7．(多选题)(表格)根据新高考改革方案，某地高考由文理分科考试变为“3＋3”模式考试．某学校为了解高一年级425名学生的选课情况，在高一年级下学期进行模拟选课，统计得到排名前4的选课组合，如下表所示，其中物理、化学、生物为理科，政治、历史、地理为文科，“√”表示选择该科，“×”表示未选择该科．根据统计数据，下列判断正确的是()学科人数物理化学生物政治历史地理124√√×××√101××√×√√86×√√××√74√×√×√×A.前4种组合中，选择生物学科的学生更倾向于选择两理一文组合B．前4种组合中，选择两理一文的人数多于选择两文一理的人数C．整个高一年级，选择地理学科的人数多于选择其他任一学科的人数D．整个高一年级，选择物理学科的人数多于选择生物学科的人数8．(多选题)[2020·山东日照校际联考](折线图)“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对与该关键词相关的信息关注度也越高．如图是2018年9月到2019年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图．根据该走势图，下列结论正确的是()A．这半年中，网民对与该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B．这半年中，网民对与该关键词相关的信息关注度不断减弱C．从网民对该关键词的搜索指数来看，2018年10月份的方差大于11月份的方差D．从网民对该关键词的搜索指数来看，2018年12月份的平均值大于2019年1月份的平均值9．(多选题)(饼状图＋条形图)某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图.90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中正确的是()注：90后指1990～1999年之间出生的人，80后指1980～1989年之间出生的人，80前指1979年及以前出生的人．A．互联网行业从业人员中90后占一半以上B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多10．(直方图＋独立性检验＋分布列、期望)读书可以使人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气，书籍是文化的重要载体，读书是承继文化的重要方式，某地区为了解学生课余时间的读书情况，随机抽取了n名学生进行调查，根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频率分布直方图，将日均课余读书时间不低于40分钟的学生称为“读书之星”，日均课余读书时间低于40分钟的学生称为“非读书之星”．已知抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10人．(1)求n，p的值；(2)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并判断是否有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关？非读书之星读书之星总计男女1055总计(3)将上述调查所得到的频率视为概率，现从该地区大量学生中，随机抽取3名学生，每次抽取1名，已知每个人是否被抽到互不影响，记被抽取的“读书之星”人数为随机变量X，求X的分布列和期望E(X)．附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828热点(十)离心率1．答案：B解析：由题意得2b＝a＋c，所以4(a2－c2)＝a2＋c2＋2ac,3a2－2ac－5c2＝0，两边同除以a2得到3－2e－5e2＝0，因为0<e<1，所以e＝eq\f(3,5).故选B.2．答案：C解析：由抛物线x2＝4y得焦点F(0,1)，而双曲线C的渐近线方程为bx±ay＝0，则有eq\f(a,\r(a2＋b2))＝eq\f(a,c)＝eq\f(1,2)，则双曲线C的离心率e＝eq\f(c,a)＝2，故选C.3．答案：A解析：由题意知以线段A1A2为直径的圆的圆心坐标为(0,0)，半径为a.又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d＝eq\f(2ab,\r(a2＋b2))＝a，解得a＝eq\r(3)b，∴eq\f(b,a)＝eq\f(1,\r(3))，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2－b2),a)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3))))2)＝eq\f(\r(6),3).故选A.4．答案：B解析：设圆心到双曲线的渐近线的距离为d，由弦长公式可得，2eq\r(2－d2)＝2，解得d＝1，又双曲线C的渐近线方程为bx±ay＝0，圆心坐标为(0,2)，故eq\f(|0±2a|,\r(a2＋b2))＝1，即eq\f(2a,c)＝1，所以双曲线C的离心率e＝eq\f(c,a)＝2，故选B.5．答案：B解析：设渐近线方程y＝±eq\f(b,a)x，即eq\f(b,a)x±y＝0，与圆N：(x－2)2＋y2＝1相切，圆心到直线的距离d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2b,a))),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2＋1))＝1，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2b,a)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2＋1,3b2＝a2,3(c2－a2)＝a2，所以3c2＝4a2，e2＝eq\f(4,3)，e＞1，e＝eq\f(2\r(3),3).故选B.6．答案：D解析：不妨设点F为椭圆的右焦点，点C在x轴上方，由题意得点C的横坐标为c，代入椭圆的方程得Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，则△MNC的边长为eq\f(b2,a)，高为c，则cos30°＝eq\f(c,\f(b2,a))＝eq\f(ac,a2－c2)＝eq\f(\r(3),2)，化简得3c2＋2eq\r(3)ac－3a2＝0，则3e2＋2eq\r(3)e－3＝0，解得e＝eq\f(\r(3),3)或e＝－eq\r(3)(舍去)，故选D.7．答案：D解析：设双曲线的左焦点为F1，由双曲线的对称性得圆O经过点F1，且|BF1|＝|AF|，设|BF1|＝|AF|＝m，|BF|＝n，因为BF⊥AF，BF1⊥BF，所以S△ABF＝eq\f(1,2)mn＝4a2，m2＋n2＝4c2，则mn＝8a2，又因为|BF1|－|BF|＝|m－n|＝2a，所以|m－n|2＝m2－2mn＋n2＝4c2－16a2＝4a2，化简得双曲线的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(5)，故选D.8．答案：C解析：设|F2B|＝m，则|F1B|＝2a－m，|AF2|＝2m，所以|AF1|＝2a－2m，|AB|＝|AF2|＋|F2B|＝3m，由eq\o(AF1,\s\up6(→))·eq\o(AF2,\s\up6(→))＝0，得AF1⊥AF2，AF1⊥AB，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|AF1|2＋|AB|2＝|F1B|2,|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－2m2＋9m2＝2a－m2，,2a－2m2＋4m2＝4c2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3m，,c＝\r(5)m，))所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),3)，故选C.9．答案：B解析：(法一)易知F1(－c,0)，设F′1(x0，y0)，则F1，F′1的中点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0－c,2)，\f(y0,2)))，易知M点在双曲线的一条渐近线上，不妨设该渐近线方程为y＝eq\f(b,a)x，再结合直线F1F′1与直线l垂直可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x0－c,2)×b－a×\f(y0,2)＝0，,\f(y0,x0＋c)×\f(b,a)＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(b2－a2,c)，,y0＝－\f(2ab,c).))再根据|F′1F2|＝b，可得eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b2－a2,c)－c))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2ab,c)))2)＝b，整理可得4a2＝b2，故5a2＝c2，故e＝eq\r(5)，故选B.(法二)根据题意得F1(－c,0)，F2(c,0)，一条渐近线方程为y＝eq\f(b,a)x，则F1到该渐近线的距离为eq\f(|bc|,\r(a2＋b2))＝b，设F1关于该渐近线的对称点为F′1，F1F′1与该渐近线的交点为A，所以F1F′1＝2b，A为线段F1F′1的中点，又O是线段F1F2的中点，所以OA∥F2F′1，所以∠F1F′1F2＝90°，即△F1F′1F2为直角三角形，由勾股定理得4c2＝b2＋(2b)2，所以4c2＝5c2－5a2，离心率e为eq\r(5)，故选B.10．答案：BCD解析：由双曲线的定义可得|MF2|－|MF1|＝eq\f(3,2)|MF1|＝2a.根据点M在双曲线的左支上，可得|MF1|＝eq\f(4a,3)≥c－a，∴e＝eq\f(c,a)≤eq\f(7,3)，∴双曲线离心率的最大值为eq\f(7,3)，故选BCD.11．答案：ABCD解析：由双曲线定义可知：|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a，∴|PF1|＝4a，由sin∠F1PF2＝eq\f(\r(15),4)，可得cos∠F1PF2＝±eq\f(1,4)，在△PF1F2中，由余弦定理可得：eq\f(4a2＋16a2－4c2,2×2a×4a)＝±eq\f(1,4)，解得：eq\f(c2,a2)＝4或eq\f(c2,a2)＝6，∴e＝eq\f(c,a)＝2或eq\r(6).∴c＝2a或c＝eq\r(6)a又∵c2＝a2＋b2，∴b＝eq\r(3)a或b＝eq\r(5)a.故选ABCD.12．答案：ABD解析：(1)△ABC为等腰直角三角形，如果C＝eq\f(π,2)，圆锥曲线E为椭圆，e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(AB,CA＋CB)＝eq\f(\r(2),2)，(2)△ABC为等腰直角三角形，如果C＝eq\f(π,4)，A或B为直角，圆锥曲线E为椭圆，e＝eq\f(AB,CA＋CB)＝eq\f(1,\r(2)＋1)＝eq\r(2)－1.(3)△ABC为等腰直角三角形，如果C＝eq\f(π,4)，A或B为直角，圆锥曲线为双曲线，e＝eq\f(AB,|CA－CB|)＝eq\f(1,\r(2)－1)＝eq\r(2)＋1.故选ABD.13．答案：2解析：由题意得F(c,0)，一条渐近线方程为y＝eq\f(b,a)x，即bx－ay＝0，∴|FD|＝eq\f(|bc|,\r(b2＋a2))＝b，由|FD|＝eq\f(\r(3),2)|OF|得b＝eq\f(\r(3),2)c，∴b2＝eq\f(3,4)c2＝c2－a2，c2＝4a2，∴e＝eq\f(c,a)＝2.14．答案：eq\r(2)解析：设△MPF2的内切圆与MF1，MF2的切点分别为A，B，由切线长定理可知|MA|＝|MB|，|PA|＝|PQ|，|BF2|＝|QF2|，又|PF1|＝|PF2|，∴|MF1|－|MF2|＝(|MA|＋|AP|＋|PF1|)－(|MB|＋|BF2|)＝|PQ|＋|PF2|－|QF2|＝2|PQ|，由双曲线的定义可知|MF1|－|MF2|＝2a，故而a＝|PQ|＝eq\r(2)，又c＝2，∴双曲线的离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2).15．答案：eq\r(3)－12解析：由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c＋eq\r(3)c，再根据椭圆定义得c＋eq\r(3)c＝2a，所以椭圆M的离心率为eq\f(c,a)＝eq\f(2,1＋\r(3))＝eq\r(3)－1.双曲线N的渐近线方程为y＝±eq\f(n,m)x，由题意得双曲线N的一条渐近线的倾斜角为eq\f(π,3)，∴eq\f(n2,m2)＝tan2eq\f(π,3)＝3，∴e2＝eq\f(m2＋n2,m2)＝eq\f(m2＋3m2,m2)＝4，∴e＝2.16．答案：3(－3,5)解析：由题意知eq\f(b,a)＝2eq\r(2)，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\r(1＋2\r(2)2)＝3.又a＝1，∴c＝3，所以F(3,0)．由题意得，右焦点F在圆C外，所以需满足条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(32＋02－2×3＋4×0＋m＞0,x－12＋y＋22＝5－m＞0))解得－3＜m＜5，故实数m的取值范围是(－3,5)．热点(十一)排列组合、二项式定理、概率1．答案：A解析：第一步，先将除甲乙外的其他5人全排列，Aeq\o\al(5,5)＝5×4×3×2×1＝120种，第二步，将甲乙2人插入6个空中，Aeq\o\al(2,6)＝6×5＝30种，则不同的排法种数是Aeq\o\al(5,5)·Aeq\o\al(2,6)＝120×30＝3600种．故选A.2．答案：C解析：(1＋2x)(1＋x)4＝(1＋x)4＋2x(1＋x)4，展开式通项为Tr，k＝Ceq\o\al(r,4)xr＋2xCeq\o\al(k,4)xk＝Ceq\o\al(r,4)xr＋2Ceq\o\al(k,4)xk＋1，令r＝k＋1＝3，得r＝3，k＝2，则展开式中x3的系数为Ceq\o\al(3,4)＋2Ceq\o\al(2,4)＝4＋2×6＝16.故选C.3．答案：D解析：易知10以内的素数有2,3,5,7，共4个，从中任取2个构成的素数对有(2,3)，(3,2)，(2,5)，(5,2)，(2,7)，(7,2)，(3,5)，(5,3)，(3,7)，(7,3)，(5,7)，(7,5)，共12个．根据孪生素数的定义，知10以内的素数构成的孪生素数有(3,5)，(5,7)，共2个，所以从10以内的素数中任取2个素数，其中能构成孪生素数的概率P＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6)，故选D.4．答案：D解析：由题意知，正方形ABCD(边长为2个单位)的周长是8，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到了A处，表示三次骰子的点数之和是8,16，列举出点数中三个数字能够使得和为8,16的有125；134；116；224；233；466；556，共有7种组合，前2种组合125；134，每种情况可以排列出Aeq\o\al(3,3)＝6种结果，共有2Aeq\o\al(3,3)＝2×6＝12种结果；116；224；233；466；556各有3种结果，共有5×3＝15种结果，根据分类计数原理知共有12＋15＝27种结果，故选D.5．答案：B解析：通解eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)＋1))5＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))))5，则其展开式的通项Tk＋1＝Ceq\o\al(k,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))k(其中k＝0,1,2,3,4,5)．要求原式的展开式中的常数项，需求eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))k的展开式中的常数项.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))k的展开式的通项Tr＋1＝Ceq\o\al(r,k)xk－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))r＝(－1)rCeq\o\al(r,k)xk－2r(其中r＝0,1,2，…，k)，根据题意，令k－2r＝0，则k＝2r，即k是2的倍数，所以k＝0,2,4，所以原式的展开式中的常数项为Ceq\o\al(0,5)－Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(2,4)＝11，故选B.优解(c＋b＋a)n展开式的通项为Ceq\o\al(x,n)Ceq\o\al(y,n－x)cxbyan－x－y，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)＋1))5的展开式中的常数项为15＋Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,4)x·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))·13＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3)x2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))2·1＝1－20＋30＝11，故选B.6．答案：D解析：由题：“口香糖吃完时还剩2支香烟”说明：第四次取到的是口香糖，前三次中恰有两次口香糖一次香烟，记香烟为A1，A2，A3，口香糖为B1，B2，B3，进行四次取物，基本事件总数为：6×5×4×3＝360种．事件“口香糖吃完时还剩2支香烟”前四次取物顺序分为以下三种情况：烟、糖、糖、糖：3×3×2×1＝18种，糖、烟、糖、糖：3×3×2×1＝18种，糖、糖、烟、糖：3×2×3×1＝18种，包含的基本事件个数为：54.所以，其概率为eq\f(54,360)＝eq\f(3,20).故选D.7．答案：D解析：通解若小王和小李都没被选中，则有Ceq\o\al(2,2)种方法，若小王和小李有一人被选中，则有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)种方法，故所求概率P＝eq\f(C\o\al(2,2)＋C\o\al(1,2)C\o\al(1,2),C\o\al(2,4))＝eq\f(5,6).优解若小王和小李都被选中，则有1种方法，故所求概率P＝1－eq\f(1,C\o\al(2,4))＝eq\f(5,6).8．答案：C解析：根据题意，分2步进行分析：①：先在两个集合中选出4个元素，要求字母C和数字4,7至少出现两个，若字母C和数字4,7都出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，有5种选法，若字母C和数字4出现，数字7不出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，在1、2、3、5、6、8、9中选出1个数字，有5×7＝35种选法，若字母C和数字7出现，数字4不出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，在1、2、3、5、6、8、9中选出1个数字，有5×7＝35种选法，若数字4,7出现，字母C不出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出2个字母，有Ceq\o\al(2,5)＝10种选法，则有5＋35＋35＋10＝85种选法，②：将选出的4个元素全排列，有Aeq\o\al(4,4)＝24种情况，则一共有85×24＝2040种不同排法，故选C.9．答案：BCD解析：由题意可知，各项系数之和为26，各项系数的绝对值之和为212.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,x)－x))6＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)－x))))6，易知该多项式的展开式中一定存在常数项．由题中的多项式可知，若出现x3，可能的组合只有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)))0·(－x)3和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)))1·(－x)4，结合排列组合的性质可得x3的系数为Ceq\o\al(3,6)×13×Ceq\o\al(3,3)×20×(－1)3＋Ceq\o\al(5,6)×11×Ceq\o\al(4,5)×21×(－1)4＝40.故选BCD.10．答案：BD解析：由题意A1，A2，A3是两两互斥的事件，P(A1)＝eq\f(5,10)＝eq\f(1,2)，P(A2)＝eq\f(2,10)＝eq\f(1,5)，P(A3)＝eq\f(3,10)，P(B|A1)＝eq\f(PBA1,PA1)＝eq\f(\f(1,2)×\f(5,11),\f(1,2))＝eq\f(5,11)，故B正确；P(B)＝P(B·A1)＋P(B·A2)＋P(B·A3)＝eq\f(5,10)×eq\f(5,11)＋eq\f(2,10)×eq\f(4,11)＋eq\f(3,10)×eq\f(4,11)＝eq\f(9,22)，故A，C不正确；A1，A2，A3是两两互斥的事件，故D正确．故选BD.11．答案：BC解析：由题意，点P(m，n)的所有可能情况为(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)，共12个基本事件，则事件A3：点P(m，n)落在直线x＋y＝3上，包含其中(2,1)共1个基本事件，所以P(A3)＝eq\f(1,12)；事件A4：点P(m，n)落在直线x＋y＝4上，包含其中(2,2)、(3,1)共2个基本事件，所以P(A4)＝eq\f(1,6)；事件A5：点P(m，n)落在直线x＋y＝5上，包含其中(2,3)、(3,2)、(4,1)共3个基本事件，所以P(A5)＝eq\f(1,4)；事件A6：点P(m，n)落在直线x＋y＝6上，包含其中(2,4)、(3,3)、(4,2)共3个基本事件，所以P(A6)＝eq\f(1,4)；事件A7：点P(m，n)落在直线x＋y＝7上，包含其中(3,4)、(4,3)共2个基本事件，所以P(A7)＝eq\f(1,6)；事件A8：点P(m，n)落在直线x＋y＝8上，包含其中(4,4)共1个基本事件，所以P(A8)＝eq\f(1,12).综上可得，当k＝5或6时，P(Ak)max＝P(A5)＝P(A6)＝eq\f(1,4).故选BC.12．答案：AC解析：对于A，该生在第3个路口首次遇到红灯的情况为前2个路口不是红灯，第3个路口是红灯，所以概率为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))2×eq\f(1,3)＝eq\f(4,27)，故A正确；对于B，用A、B、C分别表示甲、乙、丙三人能破译出密码，则P(A)＝eq\f(1,5)，P(B)＝eq\f(1,3)，P(C)＝eq\f(1,4)，“三个人都不能破译出密码”发生的概率为eq\f(4,5)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)＝eq\f(2,5)，所以此密码被破译的概率为1－eq\f(2,5)＝eq\f(3,5)，故B不正确；对于C，设“从甲袋中取到白球”为事件A，则P(A)＝eq\f(8,12)＝eq\f(2,3)，设“从乙袋中取到白球”为事件B，则P(B)＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2)，故取到同色球的概率为eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，故C正确；对于D，易得P(A∩eq\x\to(B))＝P(B∩eq\x\to(A))，即P(A)·P(eq\x\to(B))＝P(B)P(eq\x\to(A))，即P(A)[1－P(B)]＝P(B)[1－P(A)]，∴P(A)＝P(B)，又P(eq\x\to(A)∩eq\x\to(B))＝eq\f(1,9)，∴P(eq\x\to(A))＝P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,3)，∴P(A)＝eq\f(2,3)，故D错误．13．答案：0.375解析：由题意知：父母基因都是杂合子，记为D1d1，D2d2，则孩子的基因有4种情况，即D1D2，D1d2，d1D2，d1d2，其中双眼皮孩子的概率P＝eq\f(3,4)，∵孩子要求是男孩，∴P＝eq\f(1,2)×eq\f(3,4)＝0.375.14．答案：112解析：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,x)－\f(2,x)))n的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，∴n＝8.通项公式为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)·(－2)r·＝(－2)r·Ceq\o\al(r,8)·，令eq\f(8－4r,3)＝0，则r＝2.可得二项展开式常数项等于4×Ceq\o\al(2,8)＝112.15．答案：42解析：6人分组为Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)＝90种，当A照顾老人甲时有Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(2,4)＝30种，同理义工B照顾老人乙也有30种，再加上A，B同时分别照顾老人甲和乙有Ceq\o\al(2,4)·2＝12种，所以共有90－30×2＋12＝42种．16．答案：2解析：(1－ax)2018＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2018x2018两边分别求导：－2018a(1－ax)2017＝a1＋2a2x＋…＋2018a2018x2017，取x＝1，－2018a(1－a)2017＝a1＋2a2＋…＋2018a2018＝2018a，a＝2.热点(十二)图表在概率与统计中的应用1．答案：D解析：对于①，根据此散点图知，各点都分布在一条直线附近，可以判断数学成绩与物理成绩具有较强的线性相关关系，①正确；对于②，根据此散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有较强的线性相关关系，不是一次函数关系，②错误；对于③，甲同学数学考了80分，他的物理成绩可能比数学只考了60分的乙同学的物理成绩要高，所以③错误．综上，正确的命题是①，只有1个．2．答案：BC解析：由频率分布直方图得：在A中，样本中支出在[50,60)元的频率为：1－(0.01＋0.024＋0.036)×10＝0.3，故A错误；在B中，样本中支出不少于40元的人数有：eq\f(0.036,0.03)×60＋60＝132，故B正确；在C中，n＝eq\f(60,0.03)＝200，故n的值为200，故C正确；在D中，若该校有2000名学生，则可能有600人支出在[50,60)元，故D错误．3．答案：AB解析：女生的极差是173－161＝12，A正确；由茎叶图数据，女生数据偏小，男生平均值大于女生值，B正确；女生身高中位数是166，C错误；女生数据较集中，男生数据分散，应该是男生方差大，女生方差小，D错误．(也可实际计算均值和方差比较)．4．答案：AD解析：根据正态曲线关于x＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边，所以μ1＜μ2＝μ3，B、C错误；又σ越小数据越集中，图象越瘦长，所以σ1＝σ2＜σ3，A、D正确．故选AD.5．答案：AD解析：第1个月的利润为3－2.5＝0.5(万元)，第2个月的利润为3.5－2.8＝0.7(万元)，第3个月的利润为3.8－3＝0.8(万元)，第4个月的利润为4－3.5＝0.5(万元)，第5个月的利润为5－4＝1(万元)，其中第5个月的利润最高，为1万元，所以A正确；第4个月利润相比第3个月在下降，所以B错误；前五个月的利润的中位数为0.7万元，所以C错误；前五个月的总利润为0.5＋0.7＋0.8＋0.5＋1＝3.5(万元)，所以D正确，故选AD.6．答案：ABD解析：设等高条形图对应2×2列联表如下：35岁及以上35岁以下总计男性aca＋c女性bdb＋d总计a＋bc＋da＋b＋c＋d根据第1个等高条形图可知，35岁及以上男性比35岁及以上女性多，即a＞b；35岁以下男性比35岁以下女性多，即c＞d.根据第2个等高条形图