山东省菏泽市2021年中考数学真题卷（含答案与解析）

荷泽市2021年初中毕业生学业考试

数学试卷

（本试题卷共8页，满分120分，考试时间120分钟）

注意事项:

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号填写在试题卷和答题卡上，并将考试

号条形码粘贴在答题卡上指定位置。

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效。

3.非选择题（主观题）用0.5毫米的黑色签字笔直接答在答题卡上每题对应的答

题区域内，答在试题卷上无效。作图一律用2B铅笔或0.5毫米的黑色签字笔。

4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只

有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置.）

1.如图，数轴上点A所表示的数的倒数为（）

-4-3-2-101234

A.-3B.3C.1D.1

33

2.下列等式成立的是（）

A.B.a*a3-a3

C.(a-b)2=a2-b2D.(-2a3)2=4/

3.如果不等式组《、的解集为x>2,那么机的取值范围是()

A.B.C.tn>2D.m<2

4.一副三角板按如图方式放置，含45°角的三角板的斜边与含30°角的三角板的长直角边

)

A.10°B.15°C.20°D.25°

5.如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的体积为（）

A.12nB.18TTC.24TTD.30TT

6.在2021年初中毕业生体育测试中，某校随机抽取了10名男生的引体向上成绩，将这组

数据整理后制成如下统计表：

成绩（次）1211109

人数（名）1342

关于这组数据的结论不正确的是（）

A.中位数是10.5B.平均数是10.3

C.众数是10D.方差是0.81

7.关于x的方程（八1）2/+（2k+1）x+l=0有实数根，则火的取值范围是（）

A.k〉上且无B.无己上且ZW1C.D.%＞工

4444

8.如图（I）,在平面直角坐标系中，矩形ABC。在第一象限，且BC〃x轴，直线y=2x+l

沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形ABC。截得的线段长为小直线在x轴上

平移的距离为b,a、b间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形ABCD的面积为（）

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡

的相应区域内）

9.2021年5月11日，国家统计局、国务院第七次全国人口普查领导小组办公室对外发布:

截至2020年11月1日零时，全国人口共约1410000000人.数据1410000000用科学记

数法表示为.

10.因式分解：-a3+2a2-a—.

11.如图，在RtZXABC中，ZC=30°,。、E分别为AC、BC的中点，DE=2,过点B作

BF//AC,交OE的延长线于点凡则四边形ABPD的面积为.

12.如图，在△4BC中，AD1.BC,垂足为。，AD=5,BC=10,四边形EFGH和四边形

HGNM均为正方形，且点E、F、G、N、M都在△A8C的边上，那么△AEM与四边形

的面积比为.

13.定义：［a,b,c］为二次函数y^a^+bx+c(aWO)的特征数，下面给出特征数为［〃?，1

-m,2-〃4的二次函数的一些结论：①当m=l时，函数图象的对称轴是y轴；②当相

=2时，函数图象过原点；③当加>0时，函数有最小值；④如果"?<0,当x>工时，y

2

随X的增大而减小.其中所有正确结论的序号是.

14.如图，一次函数y=x与反比例函数尸［-(x>0)的图象交于点A,过点A作A8_L0A,

x

交x轴于点8；作BA1〃OA,交反比例函数图象于点Al；过点4作A|B1_LA|B交x轴于

点&再作81A2〃B4,交反比例函数图象于点A2,依次进行下去，…，则点A2021的横

坐标为

三、解答题（本题共78分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内）

15.（6分）计算：（2021-TT）°-|3-JI^+4COS30°-（工）

4

22

16.（6分）先化简，再求值：1+m-n+_正工——，其中机，〃满足典=-1.

m-2nm2-4mn+4n232

17.（6分）如图，在菱形A8CD中，点M、N分别在48、C8上，且求

证：BM=BN.

18.（6分）某天，北海舰队在中国南海例行训练，位于A处的济南舰突然发现北偏西30°

方向上的C处有一可疑舰艇，济南舰马上通知位于正东方向200海里B处的西安舰，西

安舰测得C处位于其北偏西60°方向上，请问此时两舰距C处的距离分别是多少？

北

19.（7分）列方程（组）解应用题

端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：

小王：该水果的进价是每千克22元；

小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销

售量将增加120千克.

根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让

顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？

20.（7分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在坐标轴上，且

k1

OA=2,OC=4,连接08.反比例函数y=—L（x>0）的图象经过线段OB的中点。，

x

并与A8、8C分别交于点E、F.一次函数），=也什匕的图象经过E、尸两点.

（I）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；

（2）点尸是x轴上一动点,当PE+PF的值最小时,点P的坐标为.

21.(10分)2021年5月，荷泽市某中学对初二学生进行了国家义务教育质量检测，随机抽

取了部分参加15米折返跑学生的成绩，学生成绩划分为优秀、良好、合格与不合格四个

等级，学校绘制了如下不完整的统计图.根据图中提供的信息解答下列问题：

L5米折返跑条形统计图

(1)请把条形统计图补充完整；

(2)合格等级所占百分比为%；不合格等级所对应的扇形圆心角为度；

(3)从所抽取的优秀等级的学生A、B、C…中，随机选取两人去参加即将举办的学校运

动会，请利用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到A、B两位同学的概率.

22.(10分)如图，在中，AB是直径，弦COJ_A8,垂足为H,E为布上一点，F为

弦DC延长线上一点，连接FE并延长交直径AB的延长线于点G,连接AE交CD于点P,

若FE=FP.

(1)求证：尸E是。。的切线；

(2)若的半径为8,sinF=3,求8G的长.

5

23.(10分)在矩形A8C。中，BC=6CD,点、E、尸分别是边A。、上的动点，且AE

=CF,连接E尸，将矩形ABC/）沿E尸折叠，点C落在点G处，点。落在点，处.

（1）如图1,当与线段BC交于点尸时，求证：PE=PF；

（2）如图2,当点尸在线段C3的延长线上时，GH交AB于点”，求证：点M在线段

E尸的垂直平分线上；

（3）当A8=5时，在点E由点A移动到4。中点的过程中，计算出点G运动的路线长.

HG

图1图2备用图

24.（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线丫=0?+公-4交x轴于A（-1,0）、

B（4,0）两点，交y轴于点C.

备用图

（1）求该抛物线的表达式；

（2）点P为第四象限内抛物线上一点，连接P8,过点C作CQ〃BP交x轴于点0,连

接PQ,求△P8Q面积的最大值及此时点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，将抛物线向右平移经过点（工，0）时，得到新抛

2

物线y=aix2+bix+ci，点E在新抛物线的对称轴上，在坐标平面内是否存在一点F,使得

以A、尸、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点尸的坐标；若不存在，

请说明理由.

xl+x2yl+y2

参考：若点P1（X1，〉I）、P2（X2,”），则线段P1P2的中点Po的坐标为（)

22

2021年山东省荷泽市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只

有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置.)

1.如图，数轴上点4所表示的数的倒数为()

A

।।।।।।ill.

-4-3-2401234

A.-3B.3C.-AD.-1

33

【分析】从数轴上得到点A表示的数，再求这个数的倒数即可.

【解答】解：点A表示的数为-3,

-3的倒数为-1,

3

故选：C.

2.下列等式成立的是()

A.<73+«3=676B.

C.(a-b)2^a2-b1D.(-2a3)2=4a6

【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幕的乘法法则，完全平方公式以及积的乘方

运算法则逐一判断即可.

【解答】解：A./+43=2/，故本选项不合题意;

8.a・“3=”4,故本选项不合题意；

C.(a-/?)2—a2-2ab+b2,故本选项不合题意；

D.(-2/)2=4/，故本选项符合题意；

故选：D.

x+5<4x-1

3.如果不等式组的解集为x>2,那么，"的取值范围是()

x>m

A.，〃W2B.C.m>2D.m<2

【分析】解第一个不等式，求出解集，再根据不等式组的解集，利用“同大取大”的口

诀可得答案.

【解答】解：解不等式x+5V4x-1,得：x>2,

・・•不等式组的解集为x>2,

・••加京2,

故选：A.

4.一副三角板按如图方式放置，含45。角的三角板的斜边与含30。角的三角板的长直角边

C.20°D.25°

【分析】根据平行线的性质和三角板的特殊角的度数解答即可.

【解答】解：如图：

■:NBI/3,

：.ZBAD=ZD=30°,

VZBAE=45°,

AZa=45°-30°=15°.

故选：B.

5.如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的体积为（）

3D3

A.B.18n24ITon

【分析】直接利用三视图得出几何体的形状，再利用圆柱体积求法得出答案.

【解答】解：由三视图可得，几何体是空心圆柱，其小圆半径是1,大圆半径是2,

则大圆面积为：TTX22=4TT,小圆面积为：irX12=TT,

故这个几何体的体积为：6X4IT-6XTT=24TT-6n=18ir.

故选：B.

6.在2021年初中毕业生体育测试中，某校随机抽取了10名男生的引体向上成绩，将这组

数据整理后制成如下统计表：

成绩(次)1211109

人数(名)1342

关于这组数据的结论不正确的是()

A.中位数是10.5B.平均数是10.3

C.众数是10D.方差是0.81

【分析】根据中位数，平均数，众数，方差的性质分别计算出结果，然后判判断即可.

【解答】解：根据题目给出的数据，可得：

中位数是l°+i°=io(分)，

2

平均数为：12X1+11X3+10X4+9X2=103

1+3+4+2

•.T0出现了4次，出现的次数最多，

众数是10；

方差是:_L[(12-10.3)2+3X(11-10.3)2+4X(10-10.3)2+2X(9-10.3)2]=0.81.

10

这组数据的结论不正确的是A.

故选：A.

7.关于x的方程(2-1)2/+(2k+l)x+l=0有实数根，则女的取值范围是()

A.4＞工且上二1B.人力上且出#1C.D.人＞工

4444

【分析】分k-1=0和k-1W0两种情况，利用根的判别式求解可得.

【解答】解：当k-IWO,即kWl时，此方程为一元二次方程.

:关于x的方程*7)2/+⑵+1)x+l=0有实数根，

；.△=(2k+\)2-4X(k-1)2义1=124-320,

解得火》工；

4

当％-1=0,即k=l时，方程为3x+l=0,显然有解;

综上，k的取值范围是工，

4

故选：D.

8.如图（1）,在平面直角坐标系中，矩形ABCO在第一象限，且BC〃x轴，直线y=2x+l

沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形ABC。截得的线段长为a,直线在x轴上

平移的距离为b,”、6间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形A3C。的面积为（）

A.遂B.2泥C.8D.10

【分析】根据函数图象中的数据可以分别求得矩形的边长BC,AB的长，从而可以求得

矩形的面积.

【解答】解：如图所示，过点8、。分别作y=2x+l的平行线，交A。、8c于点E、F.

由图象和题意可得A£=4-3=1,CF=8-7=1,BE=DF=®BF=DE="4=3,

则AB=JBE2-AE2=J5-]=2,BC—BF+CF=3+\=4,

矩形ABCD的面积为AB・BC=2X4=8.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡

的相应区域内）

9.2021年5月11日，国家统计局、国务院第七次全国人口普查领导小组办公室对外发布:

截至2020年11月1日零时，全国人口共约1410000000人.数据1410000000用科学记

数法表示为141X1（）9.

【分析】科学记数法的表示形式为“X10〃的形式，其中lW|a|<10,〃为整数.确定〃

的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值210时，〃是正整数；当原数的绝对值<1时，〃是负整数.

【解答】解：1410000000=1.41X1()9,

故答案为：1.41X1()9.

10.因式分解：-a3+2a2-1=-a(a-1)2.

【分析】先提公因式-a,再用完全平方式分解因式即可.

【解答】解：原式=-“(”2-2a+l)

=-a(a-I)2.

故答案为：-a(a-1)2.

11.如图，在RtZXABC中，ZC=30°,D、E分别为AC、BC的中点，DE=2,过点B作

BF//AC,交DE的延长线于点F,则四边形ABFD的面积为8遍.

【分析】由三角形的中位线定理证得OE〃AB,AB=2£>E=4,进而证得四边形ABFQ是

平行四边形，在RtZVIBC中，根据勾股定理求出BC=4«,得到BE=2«，根据平行

四边形的面积公式即可求出四边形ABFO的面积.

【解答】解：E分别为AC、BC的中点，

是△ABC的中位线，

：.DE//AB,DE=1-AB,

2

：.AB^2DE,DF//AB,

又,：BF〃AC,

J.BF//AD,

...四边形ABFD是平行四边形，

ABA.BE,

••S平行四边形ABF£>=A8・8E，

■:DE=2,

.♦.48=2X2=4,

在RtAABC中，

VZC=30°,

.*.AC=24B=2X4=8,

'BC=VAC2-AB2=V82-42=4^)

:.BE吟BC=2«,

•'•S平行四迈彩4BFD=4X2j§=8j"§，

故答案为8M.

12.如图，在△ABC中，AD1.BC,垂足为。，AZ)=5,BC=10,四边形EPG”和四边形

HGNM均为正方形，且点E、F、G、N、M都在△ABC的边上，那么△AEM与四边形

BCA/E的面积比为1：3.

【分析】通过证明△AEMS^ABC,可得空■图，可求E尸的长，由相似三角形的性质

ADBC

可得S^AEM=(EM)2=工，即可求解.

^AABCBC4

【解答】解：：四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形，

:.EF=EH=HM,EM//BC,

：./\AEM^/\ABC,

•••AP,=E"M..，

ADBC

••--5---E-F---2-E-F，

510

：.EF=^-,

2

：.EM=5,

S

.AAEM^(EM)2=工

,△ABCBC4

••S四边形BCME-ABC~S/\AEM—3s△AEM，

•••△AEM与四边形3cME的面积比为1：3,

故答案为：1：3.

13.定义：［a,b,c］为二次函数y=ax1+bx+c(a#0)的特征数，下面给出特征数为［，w,1

-m,2-相］的二次函数的一些结论：①当机=1时，函数图象的对称轴是y轴；②当机

=2时，函数图象过原点；③当机>0时，函数有最小值；④如果m<0,当x>工时，>'

2

随x的增大而减小.其中所有正确结论的序号是①②③.

【分析】根据特征数的定义，写出二次函数的表达式为y=，以2+(1一加)x+2-..①写

出对称轴方程后把，”=1代入即可判断；②把机=2代入即可判断；③根据开口方向即可

判断；④根据对称轴，开口方向，增减性即可判断.

【解答】解：由特征数的定义可得：特征数为阿，1-"?,2-〃?］的二次函数的表达式为y

=皿2+(1-w)x+2-m.

•.•此抛物线的的对称轴为直线犬=上=,l-m=nrl,

2a2m2m

・•.当机=1时，对称轴为直线x=0,即y轴.故①正确；

•・•当加=2时，此二次函数表达式为y=2x2-x,令x=0,则y=0,

・,•函数图象过原点，故②正确；

・・•当〃7>0时，二次函数图象开口向上，函数有最小值，故③正确；

V/n<0,

对称轴抛物线开口向下，

2m22m

・•・在对称轴的右侧，y随x的增大而减小.

即x>工，时，y随x的增大而减小.

22m

故④错误.

故答案为：①②③.

14.如图，一次函数y=x与反比例函数y=」(x>0)的图象交于点A,过点A作AB_LOA,

x

交x轴于点&作BA1〃OA,交反比例函数图象于点4；过点4作4B1L4|B交X轴于

点B；再作BIA2〃84,交反比例函数图象于点A2,依次进行下去，…，则点4021的横

坐标为_42022±。2021_•

【分析】由一次函数y=x与反比例函数(x>0)的图象交于点A,可得A(1,1)；

x

易得△048是等腰直角三角形，则08=2；分别过点A,Ai，A2,作x轴的垂线，垂足

分别为C,D,E,则△ABO是等腰直角三角形，设BD=m,则4£>=:”，则4(m+2,

胆)，点Ai在反比例函数y」上，可得m的值,求出点4的坐标,同理可得A2的坐标,

以此类推，可得结论.

【解答】解：如图，分别过点A,A],A2,作x轴的垂线，垂足分别为C,D,E,

,一次函数y=x与反比例函数y=2(x>0)的图象交于点A,

x

y=x

・・・联立11，解得A(1,1),

y=­

X

・・・AC=OC=1,ZAOC=45°,

VAB1OA,

•••△OAB是等腰直角三角形，

；.OB=2OC=2,

AZA\BD=45°,

设BD=m,则A\D=mf

**.Ai(m+2,m),

•・•点Ai在反比例函数y=工上，

x

Am(m+2)=1,解得机=-1+亚，(加=-1-y，负值舍去),

AAI（扬1,1）,

VAiBilAiB,

:.BB\=2BD=2M-2,

：.0B\=2®.

"：B\Ai//BA\,

：.ZA2BI£=45",

设BiE=r,则A2E=f,

.".A2（t+2®,f）,

,点A2在反比例函数y=2•上，

X

（r+2，^）=1,解得r=-（，=--J3，负值舍去），

•"2（MF，«-«），

同理可求得A3（2+F，2-«）,

以此类推，可得点A202I的横坐标为42022+42021•

故答案为：V2022+V2021.

三、解答题（本题共78分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内）

15.（6分）计算：（2021-it）°-|3-77^|+4cos30°-（A）

4

【分析】直接利用零指数辕的性质以及绝对值的性质、特殊角的三角函数值、负整数指

数基的性质分别化简得出答案.

【解答】解：原式=1-（2点-3）+4X返-4

2

=1-2心3+2«-4

=0.

22

16.（6分）先化简，再求值：1+m-n+_2_1更----其中如〃满足典=-

m-2nm2-4inn+4n232

【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由已知等式得出m=-旦”,

2

代入、约分即可.

［解答］解：原式=1+空2L./加-%）?

m-2n-（m-n）（m+n）

—j_nr2n

m+n

—mtn_nr2n

m+nm+n

_3n

m+n

VZ=-n,

32

・"=-

2

则原式=03n=号-=-6.

?切为n

17.（6分）如图，在菱形A3C£＞中，点M、N分别在A8、CBh,且/AOM=NC£W,求

证：BM=BN.

【分析】由菱形的性质，可用4S4证明△AM。丝△CNZ),所以AM=CN,所以AB-AM

=BC-CN,即BM=CN,则结论得证.

【解答】证明：•.•四边形A8C。为菱形，

：.AD^CD=AB=BC,乙4=/C.

在△4仞。和△CN£)中，

'/A=NC

<AD=CD，

ZADM=ZCDN

:.4AMDq4CND(ASA).

:.AM=CN,

：.AB-AM=BC-CN,

即BM=CN.

18.(6分)某天，北海舰队在中国南海例行训练，位于A处的济南舰突然发现北偏西30°

方向上的C处有一可疑舰艇，济南舰马上通知位于正东方向200海里B处的西安舰，西

安舰测得C处位于其北偏西60°方向上，请问此时两舰距C处的距离分别是多少？

北

【分析】过点C作C0_L8A的延长线于点。，由题意可证明AABC为等腰三角形，所以

AC=AB=200海里.再求出CO的距离，最后根据BC=2CD求BC的长.

【解答】解：过点C作8A的延长线于点。，如图.

由题意可得：ZCAD=60°,/CBD=30°=N£>C4,

AZBCA=ACAD-ZCBD=60°-30°=30°.

即/8C4=NCB/）,

AC=AB=200（海里）.

在RtaCD4中，C£>=sin/C4OXAC=*<X200=l°°«（海里）•

在RtZXCCB中，。8=2。£»=20/（海里）.

故位于A处的济南舰距C处的距离200海里，位于8处的西安舰距C处的距离200雨海

里.

19.（7分）列方程（组）解应用题

端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：

小王：该水果的进价是每千克22元；

小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销

售量将增加120千克.

根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让

顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？

【分析】设降低x元，超市每天可获得销售利润3640元，由题意列出一元二次方程，解

之即可得出答案.

【解答】解：设降低x元，超市每天可获得销售利润3640元，由题意得，

(38-x-22)(160+3X120)=3640,

3

整理得x2-12x+27=0,

.♦.x=3或x=9.

•.•要尽可能让顾客得到实惠，

，冗=9,

・,•售价为38-9=29元.

答：水果的销售价为每千克29元时，超市每天可获得销售利润3640元.

20.(7分)如图，在平面直角坐标系中，矩形OA8C的两边OC、OA分别在坐标轴上，且

k

OA=2,OC=4,连接08.反比例函数y=—L(x>0)的图象经过线段。8的中点方，

x

并与AB、BC分别交于点E、F.一次函数)，=4然+匕的图象经过E、尸两点.

(1)分别求出一次函数和反比例函数的表达式；

(2)点P是x轴上一动点，当PE+PF的值最小时，点P的坐标为(H,0).

【分析】(1)由矩形的性质及中点坐标公式可得0(2,1),从而可得反比例函数表达式;

再求出点E、尸坐标可用待定系数法解得一次函数的解析式；

(2)作点E关于x轴的对称点E,连接EF交x轴于点P,则此时PE+PF最小.求出

直线ET的解析式后令y=0,即可得到点P坐标.

【解答】解：(1)；四边形OABC为矩形，OA=BC=2,0c=4,

：.B(4,2).

由中点坐标公式可得点。坐标为(2,1),

k

；反比例函数(x>0)的图象经过线段08的中点。，

**•k\=xy=2X1=2,

故反比例函数表达式为y=2.

令y=2,则工=1；令x=4,则丁=£.

故点E坐标为(1,2),F(4,A).

2

设直线£尸的解析式为y=Ax+6,代入E、尸坐标得:

k=

2=k+b4

1，解得：＜

y=4k+bb4

故一次函数的解析式为丫=

（2）作点E关于x轴的对称点E,连接EF交x轴于点P,则此时PE+PF最小.如图.

由E坐标可得对称点E（1,-2）,

设直线EF的解析式为y=s+",代入点£\F坐标，得:

,I5

2k+bk节

则直线EF的解析式为y=lxJl,

66

令y=0,贝lJx=2Z_.

5

点尸坐标为（工L0）.

5

故答案为：（工，0）.

21.（10分）2021年5月，荷泽市某中学对初二学生进行了国家义务教育质量检测，随机抽

取了部分参加15米折返跑学生的成绩，学生成绩划分为优秀、良好、合格与不合格四个

等级，学校绘制了如下不完整的统计图.根据图中提供的信息解答下列问题：

L5米折返跑扇形统计图

（1）请把条形统计图补充完整；

（2）合格等级所占百分比为30%；不合格等级所对应的扇形圆心角为36度;

（3）从所抽取的优秀等级的学生A、8、C…中，随机选取两人去参加即将举办的学校运

动会，请利用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到A、3两位同学的概率.

【分析】（1）求出抽取的学生人数，即可解决问题；

（2）由合格等级的人数除以抽取的人数得合格等级所占百分比：再由360。乘以不合格

等级所占的比例即可；

（3）画树状图，共有30种等可能的结果，恰好抽到A、B两位同学的结果有2种，再由

概率公式求解即可.

【解答】解：（1）抽取的学生人数为：12+40%=30（人），

则优秀的学生人数为：30-12-9-3=6（人）,

把条形统计图补充完整如下：

不合格等级所对应的扇形圆心角为：360°X&=36°,

30

故答案为：30,36；

（3）优秀等级的学生有6人，为A、B、C、D、E、F,

画树状图如图：

ABCDEF

xZlV.

BCDEFACDEFABDEFABCEFABCDFABCDE

共有30种等可能的结果，恰好抽到A、B两位同学的结果有2种，

.♦.恰好抽到4、8两位同学的概率为2=工.

3015

22.(10分)如图，在。。中，A8是直径，弦CCAB,垂足为H,E为前上一点，F为

弦DC延长线上一点，连接FE并延长交直径AB的延长线于点G,连接AE交CD于点P,

若FE=FP.

(1)求证：FE是。。的切线；

(2)若的半径为8,sin尸=与，求BG的长.

【分析】(1)由等腰三角形的性质可得NA=NAEO,NFPE=NFEP,由余角的性质可

求/FEP+NAEO=90°,可得结论；

(2)由余角的性质可求/F=/EOG,由锐角三角函数可设EG=3x,OG=5x,在Rt4

OEG中，利用勾股定理可求x=2,即可求解.

【解答】解：(1)如图，连接OE,

•：OA=OE,

：.ZA^ZAEO,

'."CD1.AB,

AZAHP=90°,

•:FE=FP,

：.ZFPE=ZFEPf

*/ZA+ZAPH=NA+NFPE=90°,

AZFEP+ZAEO=90°=NFEO,

:.OELEF,

・・・/石是。。的切线；

(2)•：NFHG=NOEG=90。,

AZG+ZEOG=90°=NG+/R

：.NF=NEOG,

:.sinF=sinZEOG=^-=—,

OG5

设EG=3x,OG=5x,

■'0£=VOG2-EG2=V25X2-9X2=4X,

VOE=8,

♦x=2,

，OG=10,

・・・8G=10-8=2.

23.（10分）在矩形A8C£＞中，BC=6CD，点、E、尸分别是边A£＞、8C上的动点，且AE

=CF,连接EF,将矩形ABC。沿即折叠，点C落在点G处，点。落在点”处.

（1）如图1,当EH与线段8c交于点P时,,求证：PE=PF；

（2）如图2,当点尸在线段CB的延长线上时，G”交AB于点M,求证：点M在线段

EF的垂直平分线上；

（3）当A8=5时，在点E由点4移动到AO中点的过程中，计算出点G运动的路线长.

图1图2备用图

【分析】（1）欲证明PE=PF,只要证明

(2)连接4c交EF于。，连接PM,P0.首先证明P,M,0共线，再利用等腰三角形

的三线合一的性质解决问题即可.

(3)如图3中，由题意，点E由点A移动到AO中点的过程中，点G运动的路径是图

中弧8c.利用弧长公式，解决问题即可.

【解答】(1)证明：如图1中，

图1

；四边形A8CD是矩形，

J.AD//BC,

/DEF=NEFB,

由翻折变换可知，NDEF=NPEF,

：.NPEF=NPFE,

：.PE=PF.

(2)证明：如图2中，连接AC交所于0,连接PM,PO.

：.ZEAO=ZFCO,

'：AE=CF,NA0E=/C0F,

.•.△AE。丝△CFO(AAS),

：.OE=OF,

■:PE=PF,

平分NEP凡

"：PE=PF,AD=BC,AE=FC,

：.ED=BF,

由折叠的性质可知ED=EH,所以BF=EH,

：.PE-EH=PF-BF,

:.PB=PH,

:NPHM=NPBM=90°,PM=PM,

(HL),

平分/EPF,

：.P.M,O共线，

\'PO±EF,OE=OF,

...点M在线段EF的垂直平分线上.

(3)如图3中，由题意，点E由点A移动到AD中点的过程中，点G运动的路径是图

中弧BC.

图3

在RtZYBCD中，tan/C8O=生=声，

BC3

；.NCBD=30°,

，/ABO=/OAB=60°,

，/\AOB是等边三角形，

：.OA=OD=OB=OC=AB=5,ZBOC=120°,

...点G运动的路径的长=120•兀・5=0,

1803

故答案为：也7T.

3

24.(10分)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=o?+以-4交x轴于A(-1,0)、

B(4,0)两点，交y轴于点C.

备用图

(1)求该抛物线的表达式；

(2)点P为第四象限内抛物线上一点，连接P8,过点C作CQ〃BP交x轴于点Q,连

接PQ,求△PB。面积的最大值及此时点P的坐标；

(3)在(2)的条件下，将抛物线y=a7+bx-4向右平移经过点(工0)时，得到新抛

2

物线y=aix2+"x+ci，点E在新抛物线的对称轴上，在坐标平面内是否存在一点F,使得

以A、尸、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点尸的坐标；若不存在，

请说明理由.

参考：若点Pi(幻，yi)、P2(X2,”)，则线段P1P2的中点Po的坐标为(了1+了2).

22

【分析】(1)用待定系数法即可求解；

(2)求出直线PB的表达式为而CQ〃8P,则直线CQ的表达式为y=(m+1)

x-4,

令y=(m+1)x-4=0,解得x=-A-,即点。的坐标为(―^―,0),由S=』X8QX

m+1m+12

(-yp),即可求解;

(3)当AP是边时，则点A向右平移3个单位向下平移6个单位得到点P,同样点F(E)

向右平移3个单位向下平移6个单位得到点E(F)且AE=PF(AF=PE),进而求解；

当AP是对角线时，由中点坐标公式和AP=EF,列出等式，即可求解.

【解答】解：(1)由题意得：［a-b-4=0,解得fa=l,

116a+4b_4=0Ib=-3

故抛物线的表达式为-3x-4；

(2)由抛物线的表达式知，点C(0,-4),

设点P的坐标为(/n,nr-?>m-4),

设直线PB的表达式为

则(m2-3in-4=km+t,解得(k=m+l,

0=4k+t1t=-4m-4

,:CQ〃BP,

故设直线CQ的表达式为y=(加+1)x+p,

该直线故点C(0,-4),即〃=-4,

故直线CQ的表达式为y=(m+1)x-4,

令》=(加+1)x-4=0,解得l=/_,即点。的坐标为(—生，0),

m+1m+1

则8。=4-工_=也_,

m+1m+1

设△PBQ面积为S,

4m22

则5=2*80乂(-yP)=-4XX(/M-3W-4)=-2m+8m,

22m+1

2<0,故S有最大值，

当〃?=2时，△P8。面积为8,

此时点P的坐标为(2,-6)；

(3)存在，理由：

将抛物线了=”/+法-4向右平移经过点(工，0)时，即点A过改点，即抛物线向右平