2024届甘肃省武威市数学高二第二学期期末统考试题含解析

2024届甘肃省武威市数学高二第二学期期末统考试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设复数，是的共轭复数，则（）A． B． C．1 D．22．己知复数z满足，则A． B． C．5 D．253．已知集合，，若图中的阴影部分为空集，则构成的集合为（）A． B．C． D．4．若函数是奇函数，则使得成立的的取值范围是（）A． B．C． D．5．已知函数的图象如图所示，若，且，则的值为（）A． B． C．1 D．06．已知直线的倾斜角为，直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，且都垂直于轴（其中分别为双曲线的左、右焦点），则该双曲线的离心率为A． B． C． D．7．复数为虚数单位）的虚部为（）A． B． C． D．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A． B． C． D．9．设函数（为自然对数的底数），若曲线上存在点使得，则的取值范围是A． B． C． D．10．直线：，，所得到的不同直线条数是（）A．22 B．23 C．24 D．2511．已知原命题：已知，若，则，则其逆命题、否命题、逆否命题和原命题这四个命题中真命题的个数为()A． B． C． D．12．若离散型随机变量的概率分布列如下表所示，则的值为()1A． B． C．或 D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设，关于的不等式在区间上恒成立，其中，是与无关的实数，且，的最小值为1.则的最小值______.14．已知复数z＝(i是虚数单位)，则|z|＝________．15．已知m＞0,函数.若存在实数n，使得关于x的方程f2(x)-(2n+1)f(x)+n2+n=0有6个不同的根，则m的取值范围是________．16．已知复数，其中是虚数单位，则复数的实部为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列的前项和（1）求的通项公式；（2）若数列满足：，求的前项和（结果需化简）18．（12分）小陈同学进行三次定点投篮测试，已知第一次投篮命中的概率为，第二次投篮命中的概率为，前两次投篮是否命中相互之间没有影响.第三次投篮受到前两次结果的影响，如果前两次投篮至少命中一次，则第三次投篮命中的概率为，否则为.（1）求小陈同学三次投篮至少命中一次的概率；（2）记小陈同学三次投篮命中的次数为随机变量，求的概率分布及数学期望.19．（12分）如图，矩形和等边三角形中，，平面平面．（1）在上找一点，使，并说明理由；（2）在（1）的条件下，求平面与平面所成锐二面角余弦值．20．（12分）进入春天，大气流动性变好，空气质量随之提高，自然风光越来越美，自驾游乡村游也就越来越热．某旅游景区试图探究车流量与景区接待能力的相关性，确保服务质量和游客安全，以便于确定是否对进入景区车辆实施限行．为此，该景区采集到过去一周内某时段车流量与接待能力指数的数据如表：时间周一周二周三周四周五周六周日车流量（x千辆）1099.510.51188.5接待能力指数y78767779807375（I）根据表中周一到周五的数据，求y关于x的线性回归方程．（Ⅱ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2，则认为该线性回归方程是可靠的．请根据周六和周日数据，判定所得的线性回归方程是否可靠？附参考公式及参考数据：线性回归方程，其中；21．（12分）已知函数，曲线在处的切线与轴平行.（1）求实数的值；（2）设，求在区间上的最大值和最小值.22．（10分）随着互联网金融的不断发展，很多互联网公司推出余额增值服务产品和活期资金管理服务产品，如蚂蚁金服旗下的“余额宝”，腾讯旗下的“财富通”，京东旗下“京东小金库”.为了调查广大市民理财产品的选择情况，随机抽取1200名使用理财产品的市民，按照使用理财产品的情况统计得到如下频数分布表：分组频数（单位：名）使用“余额宝”使用“财富通”使用“京东小金库”30使用其他理财产品50合计1200已知这1200名市民中，使用“余额宝”的人比使用“财富通”的人多160名.（1）求频数分布表中，的值；（2）已知2018年“余额宝”的平均年化收益率为，“财富通”的平均年化收益率为.若在1200名使用理财产品的市民中，从使用“余额宝”和使用“财富通”的市民中按分组用分层抽样方法共抽取7人，然后从这7人中随机选取2人，假设这2人中每个人理财的资金有10000元，这2名市民2018年理财的利息总和为，求的分布列及数学期望.注：平均年化收益率，也就是我们所熟知的利息，理财产品“平均年化收益率为”即将100元钱存入某理财产品，一年可以获得3元利息.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

先对进行化简，然后得出，即可算出【题目详解】所以，所以故选：A【题目点拨】本题考查的是复数的运算，较简单.2、B【解题分析】

先计算复数再计算.【题目详解】故答案选B【题目点拨】本题考查了复数的化简，复数的模，属于基础题型.3、D【解题分析】

先化简集合，注意，由题意可知，，确定即可【题目详解】或，图中的阴影部分为空集，或，即或又，，故选D【题目点拨】考查维恩图的识别、对数计算、列举法及集合的关系4、C【解题分析】的定义域为，它应该关于原点对称，所以，又时，，，为奇函数.又原不等式可以化为，所以，所以，选C.点睛：如果一个函数为奇函数或偶函数，那么它的定义域必须关于原点对称，我们可以利用这个性质去求奇函数或偶函数中的参数的值.5、C【解题分析】由题意得，，则，又，即，解得，所以，令，即，，解得该函数的对称轴为，则，即，所以，故选C.6、D【解题分析】

根据题意设点，，则，又由直线的倾斜角为，得，结合点在双曲线上，即可求出离心率.【题目详解】直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，且、都垂直于轴，根据双曲线的对称性，设点，，则，即，且，又直线的倾斜角为，直线过坐标原点，，，整理得，即，解方程得，（舍）故选D.【题目点拨】本题考查双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系及双曲线离心率的求法，考查化简整理的运算能力和转化思想，属于中档题.圆锥曲线离心率的计算，常采用两种方法：1、通过已知条件构建关于的齐次方程，解出.根据题设条件（主要用到：方程思想，余弦定理，平面几何相似，直角三角形性质等）借助之间的关系，得到关于的一元方程，从而解得离心率.2、通过已知条件确定圆锥曲线上某点坐标，代入方程中，解出.根据题设条件，借助表示曲线某点坐标，代入曲线方程转化成关于的一元方程，从而解得离心率.7、B【解题分析】

由虚数的定义求解．【题目详解】复数的虚部是－1．故选：B．【题目点拨】本题考查复数的概念，掌握复数的概念是解题基础．8、D【解题分析】

由三视图还原出原几何体，然后计算其表面积．【题目详解】由三视图知原几何体是一个圆锥里面挖去一个圆柱，尺寸见三视图．圆锥的母线长为，．故选：D.【题目点拨】本题考查组合体的表面积，解题关键是由三视图还原出原几何体，确定几何体的结构．9、D【解题分析】

法一：考查四个选项，发现有两个特殊值区分开了四个选项，0出现在了A，B两个选项的范围中，出现在了B，C两个选项的范围中，故通过验证参数为0与时是否符合题意判断出正确选项。法二：根据题意可将问题转化为在上有解，分离参数得到，，利用导数研究的值域，即可得到参数的范围。【题目详解】法一：由题意可得，，而由可知，当时，＝为增函数，∴时，．∴不存在使成立，故A，B错；当时，＝，当时，只有时才有意义，而，故C错．故选D．法二：显然，函数是增函数，，由题意可得，，而由可知，于是，问题转化为在上有解．由，得，分离变量，得，因为，，所以，函数在上是增函数，于是有，即，应选D．【题目点拨】本题是一个函数综合题，方法一的切入点是观察四个选项中与不同，结合排除法以及函数性质判断出正确选项，方法二是把问题转化为函数的最值问题，利用导数进行研究，属于中档题。10、B【解题分析】

根据排列知识求解，关键要减去重复的直线.【题目详解】当m,n相等时，有1种情况；当m,n不相等时，有种情况，但重复了8条直线，因此共有条直线.故选B.【题目点拨】本题考查排列问题，关键在于减去斜率相同的直线，属于中档题.11、D【解题分析】

判断原命题的真假即可知逆否命题的真假，由原命题得出逆命题并判断真假，即可得否命题的真假。【题目详解】由题原命题：已知，若，则，为真命题，所以逆否命题也是真命题；逆命题为：已知，若，则，为真命题，所以否命题也是真命题。故选D.【题目点拨】本题考查四种命题之间的关系，解题的关键是掌握互为逆否的命题同真假，属于基础题。12、A【解题分析】由离散型随机变量ξ的概率分布表知：.解得.故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

化简，结合单调性及题意计算出，的表达式，由的最小值为1计算出结果【题目详解】因为，所以在上单调递增，又关于的不等式在上恒成立，所以，，因为的最小为1，所以，即，所以，当且仅当，即时取“”，即的最小值为.【题目点拨】本题考查了计算最值问题，题目较为复杂，理清题意，结合函数的单调性求出最值，运用基本不等式计算出结果，紧扣题意是解题关键，考查了学生转化能力14、【解题分析】试题分析：因为，所以所以本题也可利用复数模的性质进行求解，即考点：复数的模15、.【解题分析】分析：作出的图象，依题意可得4m－m2+1＜m，解之即可.详解：作出f(x)的图象如图所示．当x＞m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，f2(x)-(2n+1)f(x)+n2+n=0，[f(x)-n][f(x)-(n+1)]=0。f(x)=n或f(x)=n+1∴要使方程f2(x)-(2n+1)f(x)+n2+n=0有6个不同的根，则4m－m2+1＜m，即m2－3m－1＞0.又m＞0，解得m＞.故答案为：.点睛：本题考查根的存在性及根的个数判断，数形结合思想的运用是关键，分析到4m－m2+1＜m是难点.16、【解题分析】

根据模长公式求出，即可求解.【题目详解】，复数的实部为.故答案为：.【题目点拨】本题考查复数的基本概念以及模长公式，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）；【解题分析】

（1）运用数列的递推式得时，，时，，化简计算可得所求通项公式；（2）求得，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．【题目详解】（1）可得时，则（2）数列满足，可得，即，前项和两式相减可得化简可得【题目点拨】本题考查数列的递推式的运用，考查数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，考查运算能力，属于中档题．18、（1）；（2）.【解题分析】分析：（1）先求小陈同学三次投篮都没有命中的概率，再用1减得结果，（2）先确定随机变量取法，再利用组合数求对应概率，列表得分布列，最后根据数学期望公式求结果.详解：（1）小陈同学三次投篮都没有命中的概率为(1－)×(1－)×(1－)＝；所以小陈同学三次投篮至少命中一次的概率为1－＝.（2）ξ可能的取值为0，1，2，1．P(ξ＝0)＝；P(ξ＝1)＝×(1－)×(1－)＋(1－)××(1－)＋(1－)×(1×)×＝；P(ξ＝2)＝××＋××＋××＝；P(ξ＝1)＝××＝；故随机变量ξ的概率分布为ξ0121P所以数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×=＋1×＝．点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值.19、（1）证明过程见解析；（2）平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【解题分析】试题分析：(1)分别取的中点，利用三角形的中位线的性质，即可证明面，进而得到；（2）建立空间直角坐标系，利用平面与平面法向量成的角去求解.试题解析：（1）为线段的中点，理由如下：分别取的中点，连接，在等边三角形中，，又为矩形的中位线，，而，所以面，所以；（2）由（1）知两两互相垂直，建立空间直角坐标系如图所示，，三角形为等边三角形，．于是，设面的法向量，所以，得，则面的一个法向量，又是线段的中点，则的坐标为，于是，且，又设面的法向量，由，得，取，则，平面的一个法向量，所以，平面与平面所成锐二面角的余弦值为．20、（I）（Ⅱ）是可靠的，详见解析【解题分析】

（I）根据表格中的数据，利用公式求得的值，即可求得回归直线的方程.（Ⅱ）由（I）中的回归直线的方程，分别代入和进行验证，即可得到结论.【题目详解】（I）由表中的数据，可得（10+9+9.5+10.5+11）＝10，（78+76+77+79+80）＝78，又由5，2.5，则，78﹣2×10＝1．所以y关于x的线性回归方程为；（Ⅱ）当时，，满足|74﹣73|＝1＜2，当时，，满足|75﹣75|＝0＜2，所以是可靠的．【题目点拨】本题主要考查了回归直线方程的求解，以及回归分析的应用，其中解答中认真审题，利用公式准确求解回归直线方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能