2024届吉林省辽源五中数学高二第二学期期末学业质量监测模拟试题含解析

2024届吉林省辽源五中数学高二第二学期期末学业质量监测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式主要有：——结伴步行，——自行乘车，——家人接送，——其他方式，并将收集的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图.根据图中信息，求得本次抽查的学生中类人数是（）A．30 B．40 C．42 D．482．若复数z满足，则在复平面内，z对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个.命中个数的茎叶图如下图，则下面结论中错误的一个是（）A．甲的极差是29 B．甲的中位数是24C．甲罚球命中率比乙高 D．乙的众数是214．在长为的线段上任取一点现作一矩形,领边长分别等于线段的长,则该矩形面积小于的概率为（）A． B． C． D．5．已知函数的图象向左平移个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍得函数的图象，则在下列区间上为单调递减的区间是（）A． B． C． D．6．已知集合，，若，则等于（）A．1 B．2 C．3 D．47．执行如图所示的程序框图，则输出的值是（）A．3 B．5 C．7 D．98．若身高和体重的回归模型为，则下列叙述正确的是（）A．身高与体重是负相关 B．回归直线必定经过一个样本点C．身高的人体重一定时 D．身高与体重是正相关9．已知直线经过抛物线的焦点，与交于两点，若，则的值为（）A． B． C．1 D．210．已知随机变量X的分布列：02若，，则（）A． B． C． D．11．如图，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知米，点C位于BD上，则山高AB等于()A．100米 B．米 C．米 D．米12．的展开式中，常数项为()A．－15 B．16 C．15 D．－16二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．抛物线上的点到准线的距离为__________．14．的展开式中的系数为______.15．在的展开式中,第4项的二项式系数是______（用数字作答）.16．已知随机变量服从正态分布，，则__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆满足：过椭圆C的右焦点且经过短轴端点的直线的倾斜角为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设为坐标原点，若点在直线上，点在椭圆C上，且，求线段长度的最小值.18．（12分）红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害，每只红铃虫的平均产卵数和平均温度有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.平均温度21232527293133平均产卵数/个7112124661153251.92.43.03.24.24.75.8（1）根据散点图判断，与（其中为自然对数的底数）哪一个更适宜作为平均产卵数关于平均温度的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出关于的回归方程.（计算结果精确到0.01）（2）根据以往统计，该地每年平均温度达到以上时红铃虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到以上的概率为.记该地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率为，求的最大值，并求出相应的概率.附：回归方程中，，.参考数据52151771371781.33.619．（12分）已知函数.（1）求此函数的单调区间；（2）设．是否存在直线（）与函数的图象相切？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．20．（12分）已知函数f(x)=4ax-a（1）当a=1时,求曲线f(x)在点(1,（2）若函数f(x)在其定义域内为增函数,求实数a的取值范围；（3）设函数g(x)=6ex,若在区间[1,e]上至少存在一点x021．（12分）给定椭圆，称圆为椭圆的“伴随圆”.已知点是椭圆上的点（1）若过点的直线与椭圆有且只有一个公共点，求被椭圆的伴随圆所截得的弦长：（2）是椭圆上的两点，设是直线的斜率，且满足，试问：直线是否过定点，如果过定点，求出定点坐标，如果不过定点，试说明理由。22．（10分）某企业是否支持进军新的区域市场，在全体员工中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：支持进军新的区城市场不支持进军新的区域市场合计老员工（入职8年以上）新员工（入职不超过8年）合计（Ⅰ）根据表中数据，问是否有的把握认为“新员工和老员工是否支持进军新的区域市场有差异”；（Ⅱ）已知在被调查的新员工中有名来自市场部，其中名支持进军新的区域市场，现在从这人中随机抽取人，设其中支持进军新的区域市场人数为随机变量，求的分布列和数学期望.附：

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

根据所给的图形，计算出总人数，即可得到A的人数．【题目详解】解：根据选择D方式的有18人，所占比例为15%，得总人数为120人，故选择A方式的人数为120﹣42﹣30﹣18＝30人．故选A．【题目点拨】本题考查了条形图和饼图的识图能力，考查分析问题解决问题的能力．2、D【解题分析】

由复数的基本运算将其化为形式，z对应的点为【题目详解】由题可知，所以z对应的点为，位于第四象限．故选D.【题目点拨】本题考查复数的运算以及复数的几何意义，属于简单题．3、B【解题分析】

通过茎叶图找出甲的最大值及最小值求出极差判断出A对；找出甲中间的两个数，求出这两个数的平均数即数据的中位数，判断出D错；根据图的数据分布，判断出甲的平均值比乙的平均值大，判断出C对．【题目详解】由茎叶图知甲的最大值为37，最小值为8，所以甲的极差为29，故A对甲中间的两个数为22，24，所以甲的中位数为故B不对甲的命中个数集中在20而乙的命中个数集中在10和20，所以甲的平均数大，故C对乙的数据中出现次数最多的是21，所以D对故选B．【题目点拨】茎叶图的优点是保留了原始数据，便于记录及表示，能反映数据在各段上的分布情况．茎叶图不能直接反映总体的分布情况，这就需要通过茎叶图给出的数据求出数据的数字特征，进一步估计总体情况．4、C【解题分析】试题分析：设AC=x，则0＜x＜12，若矩形面积为小于32，则x＞8或x＜4，从而利用几何概型概率计算公式，所求概率为长度之比解：设AC=x，则BC=12-x，0＜x＜12若矩形面积S=x（12-x）＜32，则x＞8或x＜4,即将线段AB三等分，当C位于首段和尾段时，矩形面积小于32，故该矩形面积小于32cm2的概率为P==故选C考点：几何概型点评：本题主要考查了几何概型概率的意义及其计算方法，将此概率转化为长度之比是解决本题的关键，属基础题5、A【解题分析】

先利用辅助角公式将函数化为的形式，再写出变换后的函数,最后写出其单调递减区间即可．【题目详解】的图象向左平移个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍变换后，在区间上单调递减故选A【题目点拨】本题考查三角函数变换，及其单调区间．属于中档题．6、D【解题分析】

由已知可得，则.【题目详解】由，得或又由，得，则，即故选：D【题目点拨】本题考查了集合的并集运算，属于基础题.7、D【解题分析】

由已知的框图可知，该程序的功能是利用循环结构计算输出变量n的值，模拟程序运行的过程，分析循环中各变量的变化情况，可得答案，本题中在计算S时，还需要结合数列中的裂项求和法解决问题，即：.【题目详解】解：由程序框图知：第一次循环：初始值为0，不满足，故，；第二次循环：当，不满足，故，；第三次循环：当，不满足，故，；第四次循环：当，不满足，故，；此时，，满足，退出循环，输出，故选D.【题目点拨】本题考查了程序框图的应用问题，解题时模拟程序框图的运行过程，便可得出正确的结论，这类题型往往会和其他知识综合，解题需结合其他知识加以解决.8、D【解题分析】

由线性回归直线方程可得回归系数大于0，所以正相关，且经过样本中心，且为估计值，即可得到结论．【题目详解】可得，可得身高与体重是正相关，错误，正确；回归直可以不经过每一个样本点，一定过样本中心点，，故错误；若，可得，即体重可能是，故错误．故选．【题目点拨】本题考查线性回归中心方程和运用，考查方程思想和估计思想，属于基础题．9、B【解题分析】试题分析：因为抛物线的焦点为，则由题意，得①．又由，得，所以②，由①②得，故选B．考点：1、直线与抛物线的位置关系；2、弦长公式．10、B【解题分析】

由，可得，由随机变量分布列的期望、方差公式，联立即得解.【题目详解】由题意，且，又联立可得：故选：B【题目点拨】本题考查了随机变量分布列的期望和方差，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.11、C【解题分析】

设，，中，分别表示，最后表示求解长度.【题目详解】设，中，，，中，，解得：米.故选C.【题目点拨】本题考查了解三角形中有关长度的计算，属于基础题型.12、B【解题分析】

把按照二项式定理展开，可得的展开式中的常数项．【题目详解】∵（）•（1），故它的展开式中的常数项是1+15=16故选：B【题目点拨】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，项的系数的性质，熟记公式是关键，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2【解题分析】

先求出抛物线的准线方程，再求点(2,-1)到准线的距离得解.【题目详解】由题得抛物线的准线方程为，所以点到准线的距离为.故答案为：2【题目点拨】本题主要考查抛物线的简单几何性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.14、56【解题分析】

利用二项式展开式的通项公式，即可容易求得结果.【题目详解】的展开式的通项公式为.令，解得，故其系数为.故答案为：.【题目点拨】本题考查利用二项式通项公式求指定项系数，属基础题.15、20【解题分析】

利用二项式的通项公式即可求出.【题目详解】二项式的通项公式为：.令,所以第4项的二项式系数是故答案为：20【题目点拨】本题考查了二项式某项的二项式系数,解决本题要注意与二项式某项的展开式系数的不同.16、0.22.【解题分析】

正态曲线关于x＝μ对称，根据对称性以及概率和为1求解即可。【题目详解】【题目点拨】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（I）；（Ⅱ）.【解题分析】

（Ⅰ）设出短轴端点的坐标，根据过右焦点与短轴端点的直线的倾斜角为，可以求出斜率，这样就可以求出，再根据右焦点，可求出，最后利用求出，最后写出椭圆标准方程；（Ⅱ）设点的坐标分别为，其中，由，可得出等式，求出线段长度的表达式，结合求出的等式和基本不等式，可以求出线段长度的最小值.【题目详解】（I）设椭圆的短轴端点为（若为上端点则倾斜角为钝角），则过右焦点与短轴端点的直线的斜率，（Ⅱ）设点的坐标分别为，其中,即就是，解得.又，且当时等号成立，所以长度的最小值为【题目点拨】本题考查了求椭圆的标准方程，考查了利用基本不等式求线段长最小值问题，考查了数学运算能力.18、（1）；（2）当时，.【解题分析】

（1）根据散点图判断更适宜作为关于的回归方程类型；对两边取自然对数，求出回归方程，再化为y关于x的回归方程；（2）由对其求对数，利用导数判断函数单调性，求出函数的最值以及对应的值.【题目详解】解：（1）由散点图可以判断，适宜作为卵数关于温度的回归方程类型.对两边取自然对数，得，由数据得，，所以，，所以关于的线性回归方程为，关于的回归方程为.（2）由得，因为，令得，解得；所以在上单调递减，在上单调递增，所以有唯一的极大值为，也是最大值；所以当时，.【题目点拨】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，也考查了概率的计算与应用问题，属于中档题.19、（1）单调递增区间是，单调递减区间是和（2）存在，的值是．【解题分析】

（1）求导数，利用导数的正负，即可求此函数的单调区间；（2）假设存直线与函数的图象相切于点，则这条直线可以写成，与直线比较，即可得出结论．【题目详解】解：（1）∵，∴．令，得，解之，得；令，得，解之，得，或．∴函数的单调递增区间是，单调递减区间是和．（2）∵，，∴．∴．假设存直线与函数的图象相切于点（），则这条直线可以写成．∵，，∴．即．∴解之，得所以存在直线与函数的图象相切，的值是．【题目点拨】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查导数的几何意义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20、(1)y=3x(2)[12【解题分析】

（1）求出f（x）的导数，求出f′（1），f（1），代入切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围结合二次函数的性质得到函数的单调性，从而求出a的具体范围；（3）构造函数ϕ（x）=f（x）﹣g（x），x∈[1，e]，只需ϕ（x）max＞0，根据函数的单调性求出ϕ（x）max，从而求出a的范围．【题目详解】（1）解:当a=1时,f(x)=4x-1x-2lnx,曲线f(x)在点(1,f(1))处的斜率为f'(1)=3,故曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-3=3(x-1)（2）解:f'(x)=4a+ax2-2x=4ax2-2x+ax2.令h(x)=4ax2-2x+a,要使f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数,只需h(x)≥0在区间(0,+∞)内恒成立.依题意a>0,此时h(x)=4ax2-2x+a的图象为开口向上的抛物线,h(x)=4a(x-14a所以f(x)定义域内为增函数,实数a的取值范围是[1（3）解:构造函数ϕ(x)=f(x)-g(x),x∈[1,e],依题意由（2）可知a≥12时,ϕ(x)=f(x)-g(x)为单调递增函数即ϕ(x)=a(4x-1x)-2lnϕ(x)max=ϕ(e)=a(4e-1此时,ϕ(e)=f(e)-g(e)>0,即f(e)>g(e)成立.当a≤8e4e2-1时,因为故当x值取定后,ϕ(x)可视为以a为变量的单调递增函数,则ϕ(x)≤8e4e2故ϕ(x)≤8e4即f(x)≤g(x),不满足条件.所以实数a的取值范围是(8e【题目点拨】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.21、（1）（2）见解