2024届福建省连城县一中数学高二下期末调研试题含解析

2024届福建省连城县一中数学高二下期末调研试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．某校组织《最强大脑》赛，最终、两队讲入决赛，两队各由3名选手组成，每局两队各派一名洗手，除第三局胜者得2分外，其余各局胜者均得1分，每局的负者得0分.假设每局比赛队选手获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时队的得分高于队的得分的概率为（）A． B． C． D．2．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有A．144个 B．120个 C．96个 D．72个3．（）A．＋2 B．＋4 C．＋2 D．＋44．根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为930，下雨的概率为1130，既吹东风又下雨的概率为A．89 B．25 C．95．将函数的图象向左平移个单位，所得图象其中一条对称轴方程为（）A． B． C． D．6．用，，，，这个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）A．个 B．个 C．个 D．个7．已知一段演绎推理：“因为指数函数是增函数，而是指数函数，所以是增函数”，则这段推理的()A．大前提错误 B．小前提错误 C．结论正确 D．推理形式错误8．已知函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是A． B．C． D．9．已知函数.若，则（）A．4 B．3 C．2 D．110．某班级在一次数学竞赛中为全班同学设置了一等奖、二等奖、三等奖以及参与奖，且奖品的单价分别为：一等奖20元、二等奖10元、三等奖5元、参与奖2元，获奖人数的分配情况如图所示，则以下说法正确的是（）A．参与奖总费用最高 B．三等奖的总费用是二等奖总费用的2倍C．购买奖品的费用的平均数为9.25元 D．购买奖品的费用的中位数为2元11．等比数列{}的前n项和为，若则=A．10 B．20 C．20或-10 D．-20或1012．若，则()A．2 B．0 C．-1 D．-2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知三棱锥A﹣BCD的顶点都在球O的表面上，且AB⊥BC，BC⊥CD，AB⊥CD，若AB＝1，BC，CD，则球O的表面积为_____．14．设集合，选择的两个非空子集和，要使中最小的数大于中最大的数，则不同的选择方法共有________种.15．某一智力游戏玩一次所得的积分是一个随机变量，其概率分布如表，数学期望.则__________.03616．在直角中，，，，为斜边的中点，则=．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）若数列的前项和为，且，.（1）求，，；（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明.18．（12分）一只口袋中装有形状、大小都相同的10个小球，其中有红球2个，黑球3个，白球5个．从中1次随机摸出2个球，求2个球颜色相同的概率；从中1次随机摸出3个球，记白球的个数为X，求随机变量X的概率分布和数学期望；每次从袋中随机摸出1个球，记下颜色后放回，连续取3次，求取到红球的次数大于取到白球的次数的概率．19．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数），且直线与曲线交于两点，以直角坐标系的原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2）已知点的极坐标为，求的值20．（12分）已知集合，，.（1）求；（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.21．（12分）已知.（I）求的最小值及最大值；（II）设，，，求的最大值.22．（10分）已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点，坐标原点为，.（1）求抛物线的方程；（2）当以为直径的圆与轴相切时，求直线的方程.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

先将队得分高于队得分的情况列举出来，然后进行概率计算.【题目详解】比赛结束时队的得分高于队的得分可分为以下种情况：第一局：队赢，第二局：队赢，第三局：队赢；第一局：队赢，第二局：队赢，第三局：队赢；第一局：队赢，第二局：队赢，第三局：队赢；则对应概率为：，故选：C.【题目点拨】本题考查独立事件的概率计算，难度较易.求解相应事件的概率，如果事件不符合特殊事件形式，可从“分类加法”的角度去看事件，然后再将结果相加.2、B【解题分析】试题分析：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；进而对首位数字分2种情况讨论，①首位数字为5时，②首位数字为4时，每种情况下分析首位、末位数字的情况，再安排剩余的三个位置，由分步计数原理可得其情况数目，进而由分类加法原理，计算可得答案．解：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；分两种情况讨论：①首位数字为5时，末位数字有3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有3×24=72个，②首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有2×24=48个，共有72+48=120个．故选B考点：排列、组合及简单计数问题．3、A【解题分析】

根据题意，先利用定积分性质可得，，然后利用微积分基本定理计算，利用定积分的几何意义计算，即可求出答案。【题目详解】因为，，，所以，故选A。【题目点拨】本题主要考查利用定积分的性质、几何意义以及微积分基本定理计算定积分。4、A【解题分析】

利用条件概率的计算公式即可得出．【题目详解】设事件A表示某地四月份吹东风，事件B表示四月份下雨．根据条件概率计算公式可得在吹东风的条件下下雨的概率P(B|A)=8故选：A【题目点拨】本题主要考查条件概率的计算，正确理解条件概率的意义及其计算公式是解题的关键，属于基础题.5、B【解题分析】试题分析：，向左平移个单位后所得函数解析式为，所以函数对称轴方程为，所以，当时，．考点：三角函数图象及性质．6、B【解题分析】

利用分类计数原理，个位数字为时有；个位数字为或时均为，求和即可.【题目详解】由已知得：个位数字为的偶数有，个位数字为的偶数为，个位数字为的偶数有，所以符合条件的偶数共有.故选：B【题目点拨】本题考查了分类计数运算、排列、组合，属于基础题.7、A【解题分析】

分析该演绎推理的大前提、小前提和结论，结合指数函数的图象和性质判断正误，可以得出正确的答案．【题目详解】该演绎推理的大前提是：指数函数是增函数，小前提是：是指数函数，结论是：是增函数．其中，大前提是错误的，因为时，函数是减函数，致使得出的结论错误．故选：A．【题目点拨】本题考查了演绎推理的应用问题，解题时应根据演绎推理的三段论是什么，进行逐一判定，得出正确的结论，是基础题．8、D【解题分析】

根据题目条件，构造函数，求出的导数，利用“任意的满足”得出的单调性，即可得出答案。【题目详解】由题意知，构造函数，则。当时，当时，恒成立在单调递增，则，化简得，无法判断A选项是否成立；，化简得，故B选项不成立；，化简得，故C选项不成立；，化简得，故D选项成立；综上所述，故选D。【题目点拨】本题主要考查了构造函数法证明不等式，常利用导数研究函数的单调性，再由单调性证明不等式，是函数、导数、不等式综合中的一个难点。9、D【解题分析】

令，则是R上的奇函数，利用函数的奇偶性可以推得的值．【题目详解】令，则是上的奇函数，又，所以，所以，，所以，故选D.【题目点拨】本题主要考查函数的奇偶性的应用，属于中档题．10、D【解题分析】

先计算参与奖的百分比，分别计算各个奖励的数学期望，中位数，逐一判断每个选项得到答案.【题目详解】参与奖的百分比为：设人数为单位1一等奖费用：二等奖费用：三等奖费用：参与奖费用：购买奖品的费用的平均数为：参与奖的百分比为，故购买奖品的费用的中位数为2元故答案选D【题目点拨】本题考查了平均值，中位数的计算，意在考查学生的应用能力.11、B【解题分析】

由等比数列的性质可得，S10，S20﹣S10，S30﹣S20成等比数列即（S20﹣S10）2＝S10•（S30﹣S20），代入可求．【题目详解】由等比数列的性质可得，S10，S20﹣S10，S30﹣S20成等比数列，且公比为∴（S20﹣S10）2＝S10•（S30﹣S20）即解=20或-10（舍去）故选B．【题目点拨】本题主要考查了等比数列的性质（若Sn为等比数列的前n项和，且Sk，S2k﹣Sk，S3k﹣S2k不为0，则其成等比数列）的应用，注意隐含条件的运用12、C【解题分析】令可得：，令，可得：，据此可得：-1.本题选择C选项.点睛：因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、6π．【解题分析】

根据题意画出图形，结合图形把三棱锥补充为长方体，则该长方体的外接球为三棱锥的外接球，计算长方体的对角线长，求出外接球的直径，利用球的表面积公式，即可求解.【题目详解】如图所示，以和为棱，把三棱锥补成一个长方体，则该长方体的长宽高分别为，此时长方体的外接球即为三棱锥的外接球，且长方体的对角线长为，即，即，所以外接球的表面积为.【题目点拨】本题主要考查了多面体的外接球的表面积的计算，其中解答中以和为棱，把三棱锥补成一个长方体，此时长方体的外接球即为三棱锥的外接球是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.14、【解题分析】试题分析：若集合中分别有一个元素，则选法种数有种；若集合中有一个元素，集合中有两个元素，则选法种数有种；若集合中有一个元素，集合中有三个元素，则选法种数有种；若集合中有一个元素，集合中有四个元素，则选法种数有种；若集合中有两个元素，集合中有一个元素，则选法种数有种；若集合中有两个元素，集合中有两个元素，则选法种数有种；若集合中有两个元素，集合中有三个元素，则选法种数有种；若集合中有三个元素，集合中有一个元素，则选法种数有种；若集合中有三个元素，集合中有两个元素，则选法种数有种；若集合中有四个元素，集合中有一个元素，则选法种数有种；总计有种．故答案应填：．考点：组合及组合数公式．【方法点睛】解法二：集合中没有相同的元素，且都不是空集，从个元素中选出个元素，有种选法，小的给集合，大的给集合；从个元素中选出个元素，有种选法，再分成两组，较小元素的一组给集合，较大元素的一组给集合，共有种方法；从个元素中选出个元素，有种选法，再分成两组，较小元素的一组给集合，较大元素的一组给集合，共有种方法；从个元素中选出个元素，有种选法，再分成两组，较小元素的一组给集合，较大元素的一组给集合，共有种方法；总计为种方法．根据题意，中最小的数大于中最大的数，则集合中没有相同的元素，且都不是空集，按中元素数目这和的情况，分种情况讨论，分别计算其选法种数，进而相加可得答案．本题考查组合数公式的运用，注意组合与排列的不同，进而区别运用，考查分类讨论的数学思想，属于压轴题．15、【解题分析】

通过概率和为1建立方程，再通过得到方程，从而得到答案.【题目详解】根据题意可得方程组：，解得，从而.【题目点拨】本题主要考查分布列与期望相关概念，难度不大.16、【解题分析】试题分析：由于为直角三角形，且，，所以，由正弦定理得，，.考点：1.正弦定理；2.平面向量的数量积三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2），证明见解析【解题分析】

（1）由已知条件分别取，能依次求出，，的值；（2）猜想.证明当是否成立，假设时，猜想成立，即：，证明当也成立，可得证明【题目详解】解：（1）由题意：，，当时，可得，可得同理当时：，可得当时：，可得（2）猜想.证明如下：①时，符合猜想，所以时，猜想成立.②假设时，猜想成立，即：.（），，两式作差有：，又，所以对恒成立.则时，，所以时，猜想成立.综合①②可知，对恒成立.【题目点拨】本题主要考查数列的递推式及通项公式的应用，数学归纳法的证明方法的应用，考查学生的计算能力与逻辑推理能力，属于中档题.18、（1）；（2）详见解析；（3）.【解题分析】

利用互斥事件的概率求和公式计算即可；由题意知X的可能取值，计算所求的概率值，写出X的概率分布，求出数学期望值；由题意知事件包含一红两黑和两红一黑，两红一白，求出对应的概率值．【题目详解】解：从袋中1次随机摸出2个球，则2个球颜色相同的概率为；从袋中1次随机摸出3个球，记白球的个数为X，则X的可能取值是0，1，2，3；则，，，，随机变量X的概率分布为；

X0123

P

数学期望；记3次摸球后，取到红球的次数大于取到白球的次数为事件A，则．【题目点拨】本题考查了离散型随机变量的概率分布与数学期望的应用问题，也考查了古典概型的概率计算问题，是中档题．19、(1).(2).【解题分析】分析：(1)曲线C的参数方程消去参数，得曲线C的普通方程，整理得到，由此，根据极坐标与平面直角坐标之间的关系，可以求得曲线C的极坐标方程；(2)将直线的参数方程与曲线C的普通方程联立，利用直线方程中参数的几何意义，结合韦达定理，求得结果.详解：（1）的普通方程为，整理得，所以曲线的极坐标方程为.（2）点的直角坐标为，设，两点对应的参数为，，将直线的参数方程代入曲线的普通方程中得，整理得.所以，且易知，，由参数的几何意义可知，，，所以.点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有曲线的参数方程向普通方程的转化，曲线的平面直角坐标方程向极坐标方程的转化，直线的参数方程中参数的几何意义，在解题的过程中，要认真分析，细心求解.20、(1).(2).【解题分析】分析：（1）先求出A,B集合的解集，A集合求定义，B集合解不等式即可，然后由交集定义即可得结论；（2）若“”是“”的必要不充分条件，说明且，然后根据集合关系求解.详解：(1),．则(2)，因为“”是“”的必要不充分条件，所以且．由，得，解得．经检验，当时，成立，故实数的取值范围是．点睛：考查定义域，解不等式，交集的定义以及必要不充分条件，正确